江蘇省部分省級示范性重點中學(xué)2025屆高三七月摸底考試數(shù)學(xué)試卷（解析）

2025屆高中畢業(yè)生七月摸底考試數(shù)學(xué)試卷本試題卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.★祝考試順利★注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.本卷命題范圍：必修一、二.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.對數(shù)與互為相反數(shù)，則有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合對數(shù)的運算法則，即可求解.【詳解】因為對數(shù)與互為相反數(shù)，可得，即，所以.故選：C.2.使式子有意義的x的取值范圍是（）A. B. C. D.,且【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的定義得到不等式組解得.【詳解】解：解得，即且.故選：【點睛】本題考查對數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.3.如圖，已知某頻率分布直方圖形成“右拖尾”形態(tài)，則下列結(jié)論正確的是（）A.眾數(shù)平均數(shù)中位數(shù) B.眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)C.眾數(shù)平均數(shù)中位數(shù) D.中位數(shù)平均數(shù)眾數(shù)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的概念結(jié)合圖形分析判斷.【詳解】由頻率直方圖可得，單峰不對稱且“右拖尾”，最高峰偏左，眾數(shù)最小，平均數(shù)易受極端值的影響，與中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“拖尾”那邊，故平均數(shù)大于中位數(shù)，所以眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù).故選：B4.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．考點：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論．5.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式計算可得答案.【詳解】設(shè)，所以，可得，兩式相除可得，可得，，因為，所以，當(dāng)時，，解得，此時，當(dāng)時，，解得，舍去，當(dāng)時，，解得，此時，當(dāng)時，，解得，舍去，當(dāng)時，，解得，此時，當(dāng)時，，解得，舍去，結(jié)合選項，只有D正確.故選：D.6.設(shè)是銳角，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由原條件解出，然后利用二倍角公式即可.【詳解】由已知有，且.故，結(jié)合，解得.所以.故選：D.7.在中，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.【詳解】因為，所以由正弦定理得，即，則，故，又，所以.故選：B.8.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】解法一：由化簡得到即可判斷；解法二：證明充分性可由得到，代入化簡即可，證明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入即可，證明必要性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.【詳解】解法一：因為，且，所以，即，即，所以.所以“”是“”的充要條件.解法二：充分性：因為，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因為，且，所以，即，即，所以.所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.解法三：充分性：因為，且，所以，所以充分性成立；必要性：因為，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9已知函數(shù)，則（）A.的對稱軸為B.的最小正周期為C.的最大值為1，最小值為D.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增【答案】AD【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，對于A，驗算是否成立即可；對于B，由即可判斷；對于CD，借助函數(shù)單調(diào)性，只需求出函數(shù)在上的最大值和最小值驗算即可判斷CD.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖中實線所示．對于，由圖可知，函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，對任意的，，所以函數(shù)的對稱軸為，A正確；對于，對任意的，結(jié)合圖象可知，函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為，故B錯誤；對于C，由選項可知，函數(shù)的對稱軸為，且該函數(shù)的最小正周期為，要求函數(shù)的最大值和最小值，只需求出函數(shù)在上的最大值和最小值，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，因為，所以，因此的最大值為，最小值為-1，故C錯誤；對于，由C選項可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，正確，故選：AD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷C選項的關(guān)鍵是求出函數(shù)在上的最大值和最小值即可，由此即可順利得解.10.質(zhì)點P和Q在以坐標(biāo)原點O為圓心，半徑為1的上逆時針做勻速圓周運動，同時出發(fā)．P的角速度大小為，起點為與x軸正半軸的交點；Q的角速度大小為，起點為射線與的交點．則當(dāng)Q與P重合時，Q的坐標(biāo)可以為（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】確定點Q的初始位置，由題意列出重合時刻t的表達(dá)式，進(jìn)而可得Q點的坐標(biāo)，通過賦值對比選項即可得解.【詳解】由題意，點Q的初始位置的坐標(biāo)為，銳角，設(shè)t時刻兩點重合，則,即，此時點，即，當(dāng)時，，故A正確；當(dāng)時，，即，故B正確；當(dāng)時，，即，故D正確.由三角函數(shù)的周期性可得，其余各點均與上述三點重合.故選：ABD.11.已知平面平面，B，D是l上兩點，直線且，直線且．下列結(jié)論中，錯誤的有（）A.若，，且，則ABCD是平行四邊形B.若M是AB中點，N是CD中點，則C.若，，，則CD在上的射影是BDD.直線AB，CD所成角的大小與二面角的大小相等【答案】ABD【解析】【分析】由空間中線線、線面及面面關(guān)系逐項判斷即可得解.【詳解】對于A，由題意，AB，CD為異面直線，所以四邊形ABCD為空間四邊形，不能為平行四邊形，故A錯誤；對于B，取BC的中點H,連接HM,則HM是的中位線，所以，因為HM與MN相交，所以MN與AC不平行，B錯誤；對于C，若，所以由線面垂直判定可得平面ABC，所以，由結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得，所以點C在平面內(nèi)的投影為點D,所以CD在平面內(nèi)的投影為BD，故C正確；對于D,由二面角的定義可得當(dāng)且僅當(dāng)時，直線AB，CD所成的角或其補角才為二面角的大小，故D錯誤.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺的體積為______．【答案】【解析】【分析】由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，求得圓臺的高，然后利用圓臺的體積公式即可求得其體積.【詳解】圓臺的下底面半徑為5，故下底面在外接球的大圓上，如圖所示，設(shè)球的球心為O，圓臺上底面的圓心為，則圓臺的高，據(jù)此可得圓臺的體積：.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查圓臺與球的切接問題，解題的關(guān)鍵在于確定下底面與球的關(guān)系，然后利用幾何關(guān)系確定圓臺的高度即可求得其體積.13.寫出一個最小正周期為2的奇函數(shù)________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可考慮正弦型函數(shù)，，再利用周期計算，選擇一個作答即可.【詳解】由最小正周期為2，可考慮三角函數(shù)中的正弦型函數(shù)，，滿足，即是奇函數(shù)；根據(jù)最小正周期，可得.故函數(shù)可以是中任一個，可取.故答案為：.14.下圖改編自李約瑟所著的《中國科學(xué)技術(shù)史》，用于說明元代數(shù)學(xué)家郭守敬在編制《授時歷》時所做的天文計算．圖中的，，，都是以O(shè)為圓心的圓弧，CMNK是為計算所做的矩形，其中M，N，K分別在線段OD，OB，OA上，，．如果記，，，，則___________(用和表示).【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定可得，再利用直角三角形邊角關(guān)系求解即得.【詳解】由四邊形是矩形，得，又，平面，則平面，而，則平面，又平面，則，，由，，平面，則平面，而，則平面，又平面，則，，在中，，在中，，因此，所以.【點睛】思路點睛：立體幾何中的角的關(guān)系的計算，一般放置在直角三角形進(jìn)行討論，注意利用空間中的垂直關(guān)系實現(xiàn)不同面中的垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.聲強級(單位:dB)由公式給出,其中I為聲強(單位:).(1)一般正常人聽覺能忍受的最高聲強為,能聽到的最低聲強為.求人聽覺的聲強級范圍.(2)平時常人交談時的聲強約為,求其聲強級.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)分別代入與求解即可.(2)代入求解即可.【詳解】解:(1)..因此人聽覺的聲強級范圍為.(2).【點睛】本題主要考查了對數(shù)的實際運用,需要根據(jù)題意代入對應(yīng)的數(shù)值進(jìn)行計算,屬于基礎(chǔ)題.16.設(shè)，，求證：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）證明見詳解．【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算可證；（2）根據(jù)指數(shù)冪的運算可證；（3）根據(jù)指數(shù)冪的運算可證．【詳解】（1）；（2），又，；（3），又．17.對于函數(shù)f（x）＝a（1）探索函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）是否存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，若存在，求出a的取值；若不存在，說明理由？【答案】（1）不論a為何實數(shù)，f（x）總為增函數(shù)；（2）存在，【解析】【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，作差，比較大小，定號即可判斷；（2）利用函數(shù)奇偶性的定義，列出方程，即可求解.【詳解】（1）∵f（x）的定義域為R，設(shè)x1＜x2，則＝a，∵x1＜x2，∴，，∴＜0，即f（x1）＜f（x2），所以不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù).（2）假設(shè)存在實數(shù)a使f（x）為奇函數(shù)，∴f（﹣x）＝﹣f（x）即a，解得：a＝1，故存在實數(shù)a使f（x）為奇函數(shù).【點睛】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性的判斷，以及利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)的值，屬基礎(chǔ)題.18.如圖，在三棱錐P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC.（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；（2）若AC=BC=PA，M是PB的中點，求AM與平面PBC所成角的正切值；（3）在（2）的條件下，求平面PAB與平面PBC夾角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由面面垂直的判定定理求證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由求解；（3）由求解．【小問1詳解】證明：因為，所以，又平面平面，得，而平面，得平面，因為平面，所以平面平面．【小問2詳解】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，得，，設(shè)平面的一個法向量為：，則，取，得，設(shè)與平面所成角為，則，得，得，則與平面所成角的正切值為：【小問3詳解】解：設(shè)平面的一個法向量為：，則，取，得，設(shè)平面與平面所成角為，則，得，故平面與平面夾角的正弦值為：19.對稱變換在對稱數(shù)學(xué)中具有重要的研究意義．若一個平面圖形K在m（旋轉(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱K具有對稱性，并記m為K的一個對稱變換．例如，正三角形R在（繞中心O作120°的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍然與R重合（如圖1圖2所示），所以是R的一個對稱變換，考慮到變換前后R的三個頂點間的對應(yīng)關(guān)系，記；又如，R在（關(guān)于對稱軸所在直線的反射）的作用下仍然與R重合（如圖1圖3所示），所以也是R的一個對稱變換，類似地，記．記正三角形R的所有對稱變換構(gòu)成集合S．一個非空集合G對于給定的代數(shù)運算.來說作成一個群，假如同時滿足：I．，；II．，；Ⅲ．，，；Ⅳ．，，．對于一個群G，稱Ⅲ中的e為群G的單位元，稱Ⅳ中的為a在群G中的逆元．一個群G的一個非空子集H叫做G的一個子群，假如H對于G的代數(shù)運算來說作成一個群．（1）直接寫出集合S（用符號語言表示S中的元素）；（2）同一個對稱變換的符號語言表達(dá)形式不唯一，如．對于集合S中的元素，定義一種新運算*，規(guī)則如下：，．①證明集合S對于給定的代數(shù)運算*來說作成一個群；②已知H是群G一個子群，e，分別是G，H的單位元，，，分別是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之間的關(guān)系以及，之間的關(guān)系，并給出證明；③寫出群S的所有子群．【答案】（1）答案見解析；（2）①證明見解析；②答案見解析，證明見解析；③證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定信息，按旋轉(zhuǎn)變換、對稱變換分別求出對應(yīng)變換，再寫出集合.（2）①根據(jù)群的定義條件，逐一驗證即得；②按照群定義Ⅲ、Ⅳ分別推理計算即得；③寫出的所有子群即可.【小問1詳解】依題意，正三角形的對稱變換如下：繞中心作的旋轉(zhuǎn)變換；繞中心作的旋轉(zhuǎn)變換；繞中心作的旋轉(zhuǎn)變換；關(guān)于