蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練專題08解題技巧專題：共頂點(diǎn)的等腰三角形(原卷版+解析)

專題08解題技巧專題：共頂點(diǎn)的等腰三角形考點(diǎn)一共頂點(diǎn)的等腰三角形考點(diǎn)二共頂點(diǎn)的等邊三角形考點(diǎn)一共頂點(diǎn)的等腰三角形例題：（2022·湖北黃石·中考真題）如圖，在和中，，，，且點(diǎn)D在線段上，連．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（2021·山東·梁山縣第二中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，大小不同的等腰直角三角形△ABC和△DEC直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)C處，連接AE、BD，點(diǎn)A恰好在線段BD上．(1)找出圖中的全等三角形，并說(shuō)明理由；(2)猜想AE與BD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．2．（2022·安徽宿州·七年級(jí)期末）已知：和均為等腰直角三角形，點(diǎn)與點(diǎn)A重合，，，．(1)如圖1，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)B、、在一條直線上時(shí)，__________°；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，試判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．3．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知中，；中，；，點(diǎn)A．D．E在同一直線上，AE與BC相交于點(diǎn)F，連接BE．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，①請(qǐng)直接寫(xiě)出和的形狀；②求證：；③請(qǐng)求出的度數(shù)．(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，若，，求線段AF的長(zhǎng)．考點(diǎn)二共頂點(diǎn)的等邊三角形例題：（2021·湖北·襄陽(yáng)市樊城區(qū)青泥灣中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，△ABC與△DCE為等邊三角形，B、C、E在同一條直線上，連接AE、BD相交于點(diǎn)M，連接CM、GF有如下結(jié)論：（1）AE=BD（2）MG=MD（3）GFBE

（4）MC平分∠BME，其中正確的有________．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東青島·七年級(jí)期末）如圖，△ABC、△CDE均為等邊三角形，連接BD、AE交于點(diǎn)O，BC與AE交于點(diǎn)P．求∠AOB的度數(shù)．2．（2020·湖南常德·八年級(jí)階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)探究課上，老師出示了這樣的探究問(wèn)題，請(qǐng)你一起來(lái)探究：已知：C是線段AB所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊，在AB同側(cè)作等邊三角形ACE和等邊三角形BCD，連接AD、BE交于點(diǎn)P．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上移動(dòng)時(shí)，線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系是：．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在直線AB外，且∠ACB＜120°，上面的結(jié)論是否還成立？若成立請(qǐng)證明，不成立說(shuō)明理由．此時(shí)∠APE是否隨著∠ACB的大小發(fā)生變化，若變化寫(xiě)出變化規(guī)律，若不變，請(qǐng)求出∠APE的度數(shù)．(3)如圖3，在（2）的條件下，以AB為邊在AB另一側(cè)作等邊三角形△ABF，連接CF，可證得CF也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，求證：PB+PC+PA=BE．3．（2022·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)階段練習(xí)）已知與都是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D在一條直線上，點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，（P不與B，C重合），連接，在的右側(cè)作射線交直線于點(diǎn)Q，且，連接．(1)如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在邊上時(shí)，在邊上截取，連接．①請(qǐng)?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形并證明：；②請(qǐng)直接寫(xiě)出的形狀；(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段，，三者之間的數(shù)量關(guān)系．4．（2022·河南鄭州·七年級(jí)期末）在等邊三角形中，點(diǎn)D為直線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，B重合），以為邊在右側(cè)作等邊三角形，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，①的度數(shù)為_(kāi)_________；②線段之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)求出的度數(shù)以及線段之間的數(shù)量關(guān)系．專題08解題技巧專題：共頂點(diǎn)的等腰三角形考點(diǎn)一共頂點(diǎn)的等腰三角形考點(diǎn)二共頂點(diǎn)的等邊三角形考點(diǎn)一共頂點(diǎn)的等腰三角形例題：（2022·湖北黃石·中考真題）如圖，在和中，，，，且點(diǎn)D在線段上，連．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證出∠BAD=∠CAE，由SAS證明△ABD≌△ACE即可；（2）先由全等三角形的性質(zhì)得到，再由和都是等腰直角三角形，得到且，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠AEC的度數(shù)，即可求出∠CED的度數(shù)．（1）證明：∵，∴，即．在與中，，∴≌（SAS）；（2）解：由（1）得，又∵和都是等腰直角三角形，∴且，在中∵且∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·山東·梁山縣第二中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，大小不同的等腰直角三角形△ABC和△DEC直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)C處，連接AE、BD，點(diǎn)A恰好在線段BD上．(1)找出圖中的全等三角形，并說(shuō)明理由；(2)猜想AE與BD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和垂直的定義解答即可．（1）解：，理由如下：，，即，在與中，，；（2）解：，理由如下：設(shè)與相交于點(diǎn)，在與中，，，，，．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)得出與全等的解題的關(guān)鍵．2．（2022·安徽宿州·七年級(jí)期末）已知：和均為等腰直角三角形，點(diǎn)與點(diǎn)A重合，，，．(1)如圖1，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)B、、在一條直線上時(shí)，__________°；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，試判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)，理由見(jiàn)詳解(2)90(3)，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）證明，由全等三角形的性質(zhì)即可確定與的數(shù)量關(guān)系；（2）由等腰直角三角的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）由等腰直角三角的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．（1）解：，理由如下：∵，即，∴，∴，∵，，∴，∴；（2）由（1）可知，，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案為：90；（3），理由如下：∵，，，由（1）可知，，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知中，；中，；，點(diǎn)A．D．E在同一直線上，AE與BC相交于點(diǎn)F，連接BE．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，①請(qǐng)直接寫(xiě)出和的形狀；②求證：；③請(qǐng)求出的度數(shù)．(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，若，，求線段AF的長(zhǎng)．【答案】(1)①△ABC和△DEC是等邊三角形；②見(jiàn)詳解；③60°；(2)4【分析】（1）①根據(jù)中，；中，，=60°，即可得到結(jié)論；②先證明△ACD≌△BCE，即可得到結(jié)論；③由?ACD≌?BCE得∠ADC=∠BEC，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）延長(zhǎng)BE、AC相交于點(diǎn)G，證明?ACD≌?BCE，得∠CAD=∠CBE，推出∠ACF=∠BEF=90°，證明?ACF≌?BCG以及?AEB≌?AEG，結(jié)合條件即可求解．（1）①∵，，∴，為等腰三角形，又∵，∴和是等邊三角形；②∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠BCE+∠DCB，∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，又∵，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；③∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵∠ADC=180°-∠CDE=180°-60°=120°，∴∠BEC=∠CEF+∠AEB=120°，∵∠CEF=60°，∴∠AEB=120°-60°=60°；（2）延長(zhǎng)BE、AC相交于點(diǎn)G，∵=90°，，，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，∵∠AFC=∠BFE，∴∠ACF=∠BEF=90°，∴∠AEB=∠AEG=90°，在?ACF和?BCG中，∵，∴△ACF≌△BCG（ASA），∴AF=BG，∵∠CAF=∠BAF，∠AEB=∠AEG=90°，AE=AE，∴?AEB≌?AEG(ASA)，∴BE=GE=2，∴AF=4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形，等腰直角三角形，全等三角形等，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，“旋轉(zhuǎn)全等”模型，是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二共頂點(diǎn)的等邊三角形例題：（2021·湖北·襄陽(yáng)市樊城區(qū)青泥灣中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，△ABC與△DCE為等邊三角形，B、C、E在同一條直線上，連接AE、BD相交于點(diǎn)M，連接CM、GF有如下結(jié)論：（1）AE=BD（2）MG=MD（3）GFBE

（4）MC平分∠BME，其中正確的有________．【答案】（1）（3）（4）【分析】求出∠BCD＝∠ACE，利用SAS證明△BCD≌△ACE可得AE＝BD，∠CAF＝∠CBG，（1）正確；然后證明△ACF≌△BCG，可得CF＝CG，證明△CGF是等邊三角形，求出∠CGF＝60°＝∠BCG，根據(jù)平行線的判定可得（3）正確；過(guò)點(diǎn)C分別作CP⊥BD于點(diǎn)P，CQ⊥AE于點(diǎn)Q，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高線相等可知CP＝CQ，由角平分線的判定可得MC平方∠BME，（4）正確；由于條件不足，無(wú)法證明MG=MD，故（2）錯(cuò)誤．【詳解】解：∵△ABC，△DCE都是等邊三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD，∠CAF＝∠CBG，（1）正確；∵∠ACF＝180°－∠ACB－∠DCE＝180°－60°－60°＝60°，∴∠ACF＝∠BCG＝60°，又∵AC＝BC，∴△ACF≌△BCG（ASA），∴CF＝CG，∵∠ACF＝60°，∴△CGF是等邊三角形，∴∠CGF＝60°＝∠BCG，∴GFBE，（3）正確；過(guò)點(diǎn)C分別作CP⊥BD于點(diǎn)P，CQ⊥AE于點(diǎn)Q，∵△BCD≌△ACE，∴CP＝CQ，∴MC平方∠BME，（4）正確；條件不足，無(wú)法證明MG=MD，故（2）錯(cuò)誤；正確的是（1）（3）（4），故答案為：（1）（3）（4）．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的判定等知識(shí)，仔細(xì)觀察圖形，找出合適的全等三角形進(jìn)行證明是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東青島·七年級(jí)期末）如圖，△ABC、△CDE均為等邊三角形，連接BD、AE交于點(diǎn)O，BC與AE交于點(diǎn)P．求∠AOB的度數(shù)．【答案】∠AOB＝60°【分析】利用“邊角邊”證明△BCD和△ACE全等，可得∠CAE＝∠CBD，根據(jù)“八字型”求出∠BOP＝∠ACP＝60°即可．【詳解】證明：∵△ABC和△ECD都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵∠APC＝∠BPO，∴∠BOP＝∠ACP＝60°，即∠AOB＝60°．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．2．（2020·湖南常德·八年級(jí)階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)探究課上，老師出示了這樣的探究問(wèn)題，請(qǐng)你一起來(lái)探究：已知：C是線段AB所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊，在AB同側(cè)作等邊三角形ACE和等邊三角形BCD，連接AD、BE交于點(diǎn)P．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上移動(dòng)時(shí)，線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系是：．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在直線AB外，且∠ACB＜120°，上面的結(jié)論是否還成立？若成立請(qǐng)證明，不成立說(shuō)明理由．此時(shí)∠APE是否隨著∠ACB的大小發(fā)生變化，若變化寫(xiě)出變化規(guī)律，若不變，請(qǐng)求出∠APE的度數(shù)．(3)如圖3，在（2）的條件下，以AB為邊在AB另一側(cè)作等邊三角形△ABF，連接CF，可證得CF也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，求證：PB+PC+PA=BE．【答案】(1)AD=BE(2)AD=BE成立，∠APE不隨著∠ACB的大小發(fā)生變化，始終是60°，見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACE＝∠DCB＝60°，CA＝CE，CD＝CB，根據(jù)全等三角形的判定定理得到△ECB≌△ACD（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）證明△ECB≌△ACD（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AD＝BE，∠CEB＝∠CAD，設(shè)BE與AC交于Q，證出∠APQ＝∠ECQ＝60°，則可得出結(jié)論；（3）同理可得△EAB≌△CAF，求出∠CPE=∠EAC=60°，在PE上截取PH＝PC，連接HC，可得△PCH為等邊三角形，證明△CPA≌△CHE（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AP＝EH，則可得出結(jié)論．（1）解：∵△ACE和△BCD都是等邊三角形，∴∠ACE＝∠DCB＝60°，CA＝CE，CD＝CB，∴∠ACE＋∠DCE＝∠DCB＋∠DCE，即∠ACD＝∠ECB，在△ECB和△ACD中，，∴△ECB≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，故答案為：AD＝BE；（2）AD=BE成立，∠APE不隨著∠ACB的大小發(fā)生變化，始終是60°，證明：∵△ACE和△BCD是等邊三角形，∴EC=AC，BC=DC，∠ACE=∠BCD=60°，∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD，在△ECB和△ACD中，，∴△ECB≌△ACD（SAS），∴AD=BE，∠CEB=∠CAD，設(shè)BE與AC交于Q，又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°，∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°；（3）由（2）同理可得△EAB≌△CAF（SAS），∴∠AEB＝∠ACF，設(shè)BE與AC交于Q，則∠AQE＝∠PQC，∴∠CPE=∠EAC=60°，在PE上截取PH=PC，連接HC，∴△PCH為等邊三角形，∴HC=PC，∠CHP=60°，∴∠CHE=120°，又∵∠APE=∠CPE=60°，∴∠CPA=120°，∴∠CPA=∠CHE，在△CPA和△CHE中，，∴△CPA≌△CHE（AAS），∴AP=EH，∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)階段練習(xí)）已知與都是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D在一條直線上，點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，（P不與B，C重合），連接，在的右側(cè)作射線交直線于點(diǎn)Q，且，連接．(1)如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在邊上時(shí)，在邊上截取，連接．①請(qǐng)?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形并證明：；②請(qǐng)直接寫(xiě)出的形狀；(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段，，三者之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②等邊三角形(2)或或【分析】（1）①根據(jù)題意作線段BM即可，由△ABC是等邊三角形推出∠BAP=∠QPD，證明△BMP是等邊三角形，得到∠AMP=120°，利用△CDE是等邊三角形，求出∠ECP=180°-60°=120°，推出AMP=∠PCQ，由AB-BM=BC-BP，得到=PC，即可證得△AMP≌△PCQ；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=PQ，即可判斷△APQ是等邊三角形；（2）分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在射線BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P在射線CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明三者之間的關(guān)系即可．（1）解：①在邊上截取，連接．如圖所示，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，AB=BC，∴∠BAP+∠APB=120°，又∵∠APQ=60°，∴∠APB+∠QPD=120°，∴∠BAP=∠QPD∵BM=BP，∠B=60°，∴△BMP是等邊三角形，∴∠BMP=60°，∴∠AMP=120°，∵△CDE是等邊三角形，∴∠ECD=60°，∴∠ECP=180°-60°=120°，∴∠AMP=∠PCQ，∵AB-BM=BC-BP，∴AM=PC，∴△AMP≌△PCQ；②∵△AMP≌△PCQ，∴AP=PQ，∵∠APQ=60°，∴△APQ是等邊三角形；（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，如圖，由（1）知，△AMP≌△PCQ，∴AM=PC，MP=CQ，∵AC=AB=BM+AM，∴AC=CQ+CP；②當(dāng)點(diǎn)P在射線BC上時(shí)，如圖，在BA延長(zhǎng)線上截取AM=CP，連接MP，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，AB=BC，∵AM=CP，∴BM=BP，∴△BMP是等邊三角形，∴BM=MP，∠M=60°，∵∠MAP=∠B+∠APB=∠APB+60°，∠CPQ=∠APB+∠APQ=∠APB+60°，∴∠MAP=∠CPQ，∵△CDE是等邊三角形，∴∠ECD=60°，∴∠M=∠QCP，∴△MAP≌△CPQ，∴CQ=MP，∵BM=AB+AM，∴CQ=AC+CP；③當(dāng)點(diǎn)P在射線CB上時(shí)，如圖，延長(zhǎng)AB至M，使BM=BP，∴△BMP是等邊三角形，∴BM=MP，∠M=60°，∵∠MAP+∠APB=60°，∠APQ=∠APB+∠CPQ=60°，∴∠MAP=∠CPQ，∵△CDE是等邊三角形，∴∠PCQ=∠ECD=60°，∴∠M=∠QCP，∵AB=BC，∴AB+BM=BC+BP，∴AM=CP，∴△MAP≌△CPQ，∴CQ=MP，∵AM=AB+BM，∴CP=AC+CQ；綜上，線段，，三者之間的