第四章數(shù)學建模建立函數(shù)模型解決實際問題：探究茶水溫度與時間的關系高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

數(shù)學建?；顒印骄坎杷疁囟扰c時間的關系高中數(shù)學

01.實驗基本信息02.實驗目標03.實驗原理04.實驗設計思路與創(chuàng)新點05.教學過程06.實驗效果評價實驗基本信息01一、教材分析教學內(nèi)容

人教A版數(shù)學必修第一冊《數(shù)學建模

建立函數(shù)模型解決實際問題》第一課時1.運用已有函數(shù)知識解決實際問題2.體會建立函數(shù)模型的過程3.感受函數(shù)在生活中的廣泛應用一、教材分析素養(yǎng)導向教育信息化2.0根本任務：積極推動“互聯(lián)網(wǎng)+教育”,堅持信息技術與教育教學深度融合。政策導向數(shù)學建模實驗活動是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的過程，是基于數(shù)學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動。有利因素高一學生思維活躍、求知欲強，本節(jié)課研究的內(nèi)容是有關茶水溫度，學生曾在物理化學等學科進行過實驗操作，有初步的實驗思維。不利因素高中階段的數(shù)學建模實驗課對于高一學生來說接觸較少，經(jīng)驗不夠豐富，在實驗操作探究中容易出現(xiàn)問題，不同學生的差異性容易產(chǎn)生不同的學習效果。二、學情分析授課對象：高一學生實驗目標02培養(yǎng)科學探究精神，激發(fā)對科學實驗的興趣。能從實驗數(shù)據(jù)中提取有意義的結論，處理數(shù)據(jù)，培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模核心素養(yǎng)。掌握實驗操作的基本技能，包括記錄數(shù)據(jù)和繪制溫度變化散點圖。了解溫度變化的基本原理，理解實驗設計中的控制變量的概念。一、教學目標目標一目標二目標三目標四學生課前查閱資料后，能否準確回答溫度變化的理論問題，評價對知識的理解程度。觀察實驗操作過程，根據(jù)實驗器材使用的正確性、數(shù)據(jù)記錄的規(guī)范性給予評價。診斷并發(fā)展學生獲取信息能力、問題解決能力。診斷并培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W態(tài)度、實驗中的細節(jié)和數(shù)據(jù)的準確性，提高小組合作能力。教學評一體化二、重難點突破1.實驗操作的規(guī)范性2.從實際問題中抽象出數(shù)學問題3.函數(shù)模型的選擇和修正1.進行預實驗，對實驗中器材、信息技術SPSS、Excel公式的使用進行課前演示2.以問題串的形式引導，強調(diào)情境中的關鍵詞3.通過問題驅(qū)動回顧以前的基本初等函數(shù)圖象及性質(zhì)，為建立模型中函數(shù)擬合做好準備實驗過程中數(shù)據(jù)的采集及繪制散點圖教學重點教學難點突破策略二、突破策略教學方法實驗探究法問題引導法多媒體輔助教學法本著貫徹“以學生為主體，教師為主導”的理念，把培養(yǎng)學生的邏輯思維能力作為根本目標，設計以下的教學方法：自主學習方法合作探究法討論法歸納總結法交流展示法實驗設計思路與創(chuàng)新點03實驗材料SPSS軟件一、實驗器材秒表量杯電子天平溫度傳感器數(shù)據(jù)采集終端信息技術軟件茶葉、水Excel測量初始溫度使用溫度計測量每個杯子中茶水的初始溫度，確保所有杯子的初始溫度盡量一致。STEP1STEP2STEP3STEP4STEP5二、實驗步驟準備工作先在杯子中投放3g綠茶，熱水燒開初始溫度為85℃，準備好相同材質(zhì)的玻璃杯，清洗并晾干。倒入熱水將相同體積的熱水倒入相同材質(zhì)的杯子中，確保每個杯子的水量一致。記錄溫度變化每隔1分鐘使用溫度傳感器測量并記錄茶水的溫度，持續(xù)15分鐘。數(shù)據(jù)記錄與分析將不同杯子的溫度隨時間變化的數(shù)據(jù)記錄在表格中；繪制溫度隨時間變化的散點圖，觀察杯子中茶水的降溫規(guī)律；進行數(shù)據(jù)分析，建立茶水溫度隨時間變化的函數(shù)模型。在模型的構建、數(shù)據(jù)的處理和求解數(shù)學模型等方面都是數(shù)學在解決問題上的應用。數(shù)學素養(yǎng)工程素養(yǎng)經(jīng)歷構建模型解決問題的全過程，形成良好的工程思維藝術素養(yǎng)從品茶引發(fā)的數(shù)學問題，感受我國茶文化的博大精深，陶冶情操科學素養(yǎng)用科學的手段測量溫度并收集數(shù)據(jù)，用數(shù)學的方法分析數(shù)據(jù)，樹立嚴謹求實的科學精神技術素養(yǎng)融合物理知識，并利用信息技術的手段分析和處理數(shù)據(jù)，提高動手操作能力1.將STEAM教育理念、跨學科知識融入數(shù)學建模實驗探究課三、創(chuàng)新點3.教學形式上將演示—探究—評價有機結合，教學評一體化，推動問題解決三、創(chuàng)新點2.運用SPSS軟件、計算機Excel輔助教學，讓學生深刻體會信息技術輔助知識學習的工具作用1.實驗準備階段1初始溫度：確保每次實驗中熱水的初始溫度均為85℃2水量：確保每個杯子中茶水的體積均為150ml3環(huán)境溫度：在相同的室溫條件下進行實驗改進措施：控制變量未進行實驗假設或控制變量，會導致結果出現(xiàn)誤差教材中：四、實驗改進2.收集數(shù)據(jù)采集數(shù)據(jù)偏少，不容易看出溫度變化規(guī)律改進措施：增加數(shù)據(jù)采集時間教材中：四、實驗改進使用科學計算機計算過程繁瑣，費時費力改進措施：利用Excel表格公式功能求解教材中：3.求解建立模型中a的值四、實驗改進實驗原理04牛頓冷卻定律英國物理學家和數(shù)學家牛頓（IssacNewton,1643-1727年）曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型。如果物體的初始溫度是，環(huán)境溫度是

，則經(jīng)過時間t后物體的溫度將滿足：其中k為正的常數(shù)。冷卻定律推導出來,在忽略表面積以及外部介質(zhì)性質(zhì)和溫度的變化,物體溫度變化是越來越慢的。

一、實驗原理?教學目標一：了解溫度變化的基本原理實驗教學過程05一、教學過程0201030506環(huán)節(jié)一創(chuàng)設情境，提出問題環(huán)節(jié)六課后小結，歸納思考環(huán)節(jié)五利用模型，解決問題環(huán)節(jié)二選定對象，采集數(shù)據(jù)環(huán)節(jié)三直觀呈現(xiàn)，散點作圖環(huán)節(jié)四選擇模型，求解模型教學過程04設計意圖給出所要研究問題的背景，體驗感受中國的茶文化，以問題串的形式，逐漸引導學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，從而讓學生體會意識到建立茶水溫度和時間函數(shù)模型的必要性。情境創(chuàng)設：中國的茶文化【問題1】針對以上實例我們能提出什么問題呢？【問題2】在這個問題中變量是什么？【問題3】如何建立兩者之間的函數(shù)模型呢？

經(jīng)驗表明某種綠茶用85℃的熱水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感。環(huán)節(jié)一

創(chuàng)設情境

提出問題竹葉青設計意圖讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模的初始階段，體會到數(shù)據(jù)采集這一環(huán)節(jié)的重要性，為后面對數(shù)據(jù)的處理分析有重要的指導意義。分工：以3人為一小組，其中一人負責用秒表（手表）讀時間，一人負責數(shù)據(jù)讀取，一人負責填寫《數(shù)據(jù)采集記錄表》。環(huán)節(jié)二

選定對象

采集數(shù)據(jù)準備：教師介紹實驗器材使用方法，準備每組初始溫度相同的茶水一杯，溫度傳感器一臺、秒表一個。要求：先在杯子中投放3g綠茶,再用量杯稱量150ml水，煮沸后待溫度降至85℃時泡制綠茶,每隔1分鐘測量茶水的溫度并記錄數(shù)據(jù)，持續(xù)15分鐘。學生實驗操作過程環(huán)節(jié)二

選定對象

采集數(shù)據(jù)設計意圖

讓學生經(jīng)歷散點作圖的過程，體會散點圖的作用，數(shù)少形時缺直觀的思想。【問題4】得到這些數(shù)據(jù)要怎么處理？【問題5】數(shù)據(jù)表明隨著時間的推移茶水溫度有怎樣的變化規(guī)律？環(huán)節(jié)三

直觀呈現(xiàn)

散點作圖根據(jù)散點圖的走勢，你會選擇建立怎樣的函數(shù)模型?【問題6】變量間關系可以建立一次函數(shù)y=kx+b模型嗎？考慮泡茶時的室溫是恒定的，溫度會一直降低下去嗎？【問題7】可以建立指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型嗎？？環(huán)節(jié)四

選擇模型

求解模型指數(shù)型函數(shù)模型的校正過程?教學目標三：能夠從實驗數(shù)據(jù)中提取有意義的結論【問題8】是函數(shù)嗎？反比例函數(shù)呢？（注：我們把

稱為指數(shù)型函數(shù)）

環(huán)節(jié)四

選擇模型

求解模型根據(jù)選擇的函數(shù)模型與采集數(shù)據(jù)，求解函數(shù)模型由初始溫度85℃知，k=60,如何求a的值呢？討論得：指數(shù)型

及反比例型若選擇指數(shù)型設計意圖1.讓學生回顧以前所學習過的函數(shù)模型，為后面模型的選擇做準備。2.得到不符合實際的函數(shù)模型后，引導學生通過對解析式的結構以及實際情況分析，校正模型。環(huán)節(jié)四

選擇模型

求解模型?教學目標三：能夠掌握數(shù)據(jù)的處理。模型檢驗【問題9】兩種函數(shù)模型均符合實際情況，哪一種模型擬合效果更好一些？解答：介紹SPSS軟件及操作后，小組間利用spss演示擬合的函數(shù)結果，并對比兩種函數(shù)模型擬合的差異。設計意圖利用SPSS軟件擬合函數(shù)，讓學生體會信息技術和數(shù)學學科的融合特點。同理利用相鄰的兩組數(shù)據(jù)，計算參數(shù)的平均值，得到反比例型函數(shù)模型：SPSS軟件：一款強大的統(tǒng)計分析工具，可用于擬合各種函數(shù)。環(huán)節(jié)四

選擇模型

求解模型設計意圖通過實際問題的最終解決，讓學生感受到數(shù)學建模的意義和價值。經(jīng)過多長時間茶水可以達到最佳飲用口感？將y=60帶入函數(shù)：得：，左右兩邊同時取對數(shù)得：所以，泡制一杯最佳口感的茶水大約需要9分鐘.環(huán)節(jié)五

利用模型

解決問題設計意圖通過小結，讓學生更加清楚建立兩個變量模型的方法和步驟，通過課后探究活動，進一步體會模型的優(yōu)化問題，提高高中生數(shù)學建模核心素養(yǎng)。數(shù)學建模的一般步驟：環(huán)節(jié)六

歸納小結

課后思考學生撰寫的研究報告實驗效果評價06一、實驗效果探究茶水溫度與時間的關系問卷調(diào)查一、實驗效果表1學習興趣與態(tài)度一、實驗效果表2知識理解與掌握一、實驗效果表3學習方法與技能表4學習收獲與應用效果評價：提高了學生積極性和參與度培養(yǎng)了動手實踐、觀察、分析、解決問題的能力和嚴謹?shù)膶嶒瀾B(tài)度將所學運用于生活中一、實驗效果教師與組員課堂評價量表:課堂評價量表（單項10分）第（

）組1分2分3分4分5分6分7分8分9分10分對應目標課前準備課堂動手實驗

1.能夠爭取搭建儀器，提升實驗操作能力，培養(yǎng)合作精神。數(shù)據(jù)觀察

1.能夠了解初等函數(shù)的圖象、性質(zhì)特點；2.能夠應用函數(shù)圖象、性質(zhì)解決實際問題；3.能夠借鑒函數(shù)性質(zhì)特點進行知識遷移，解決實際問題。數(shù)據(jù)分析

數(shù)學內(nèi)容猜想

1.能夠結合所學函數(shù)知識對實驗數(shù)據(jù)進行合理的、深入的研究；2.能夠利用計算機工具畫出散點圖，并利用圖象特點找到適合的函數(shù)模型。建立函數(shù)模型