9.3 雙曲線（精練）（教師版）

9.3雙曲線（精練）1（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）已知直線是雙曲線的一條漸近線，且點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由雙曲線，則其漸近線方程為，由題意可得：，整理可得，將代入雙曲線方程可得：，解得，，所以雙曲線.故選：C.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F為雙曲線：的左焦點(diǎn)，P為的右支上一點(diǎn)，則直線PF的斜率的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由已知，設(shè)直線PF為，聯(lián)立，消去得根據(jù)已知可得方程有一正根一負(fù)根，，解得故選：D．3．（2024秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)A，B為雙曲線右支上的兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為，則直線AB的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則有，兩式相減，得，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，因此由，即直線AB的斜率為，方程為，代入雙曲線方程中，得，因?yàn)?，所以線段AB存在，故選：C4．（2023·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線與直線相交于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，則，由點(diǎn)差法得．∵，∴，，∴，又，∴，∴漸近線方程為.故選：A．5．（2023秋·浙江寧波）過雙曲線內(nèi)一點(diǎn)且斜率為的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，弦恰好被平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，且，又因?yàn)椋?，即有，所以，所以，所以，所以，所?故選：C.6．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的漸近線方程為，左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且斜率為的直線l交雙曲線的右支于M，N兩點(diǎn)，若的周長為36，則雙曲線C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，則雙曲線方程為，，，所以直線為，設(shè)，由，得，則，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)榈闹荛L為36，所以，所以，得，所以雙曲線方程為，故選：D7．（2024秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知雙曲線C：，若雙曲線C的一條弦的中點(diǎn)為，則這條弦所在直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【解析】設(shè)該弦為，設(shè)，則有，兩式相減，得，因?yàn)殡p曲線C的一條弦的中點(diǎn)為，所以，因此由，即這條弦所在直線的斜率為，方程為，代入雙曲線方程中，得，因?yàn)?，所以該弦存在，故選：D8．（2023春·河北廊坊）（多選）已知雙曲線，則（

）A．雙曲線E的實(shí)軸長為24 B．雙曲線E的焦距為26C．雙曲線E的漸近線的斜率為 D．雙曲線E的漸近線的斜率為【答案】BD【解析】設(shè)雙曲線E的焦距為，因?yàn)?，，所以，所以雙曲線E的實(shí)軸長，焦距，故A錯(cuò)誤，B正確；漸近線的斜率為，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：BD9．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，過點(diǎn)可作直線與曲線交于，兩點(diǎn)，使，則曲線可以是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由題意，根據(jù)選項(xiàng)可得，點(diǎn)恰為四個(gè)曲線的焦點(diǎn)，A中，拋物線焦點(diǎn)弦弦長最小值為，故不存在弦長，所以A不正確；B中，橢圓中，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可得焦點(diǎn)弦弦長取值范圍為，即，而，所以B正確；C中，若同在右支上，則焦點(diǎn)弦弦長取值范圍為，即，因?yàn)?，所以C正確；D中，若在異支上，則焦點(diǎn)弦弦長取值范圍為，即，因?yàn)?，所以D正確.故選：BCD.10（2023春·湖北）（多選）過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線與該雙曲線交于、兩點(diǎn)，則（

）A．存在四條直線，使B．與該雙曲線有相同漸近線且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為C．若、都在該雙曲線的右支上，則直線斜率的取值范圍是D．存在直線，使弦的中點(diǎn)為【答案】BC【解析】對于A，由于，所以右焦點(diǎn)為，設(shè)直線方程為：.聯(lián)立得：，恒成立.所以，，則，.所以.所以，解得，所以只有兩條，故A錯(cuò)誤；對于B，雙曲線的漸近線為，所以，過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故B正確；對于C，若、都在該雙曲線的右支上，則，即，所以，解得.故C正確；對于D，假設(shè)存在直線，使弦的中點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得：，恒成立.所以，所以，所以直線方程為，但是由于不在直線上，故不存在這樣的直線，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．（2022秋·山東青島）（多選）已知雙曲線，點(diǎn)，在上，的中點(diǎn)為，則（

）A．的漸近線方程為 B．的右焦點(diǎn)為C．與圓沒有交點(diǎn) D．直線的方程為【答案】CD【解析】對于AB，由雙曲線可得，所以漸近線方程為，右焦點(diǎn)為，故AB不正確；對于C，聯(lián)立消可得，代入，解得無實(shí)數(shù)根，所以與圓沒有交點(diǎn)，故正確；對于D，設(shè)，則，，兩式相減，得，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以等式可得，易得直線的斜率存在，故可得，則直線為即，聯(lián)立雙曲線的方程和直線，消去x，可得，此時(shí)，則直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意，故直線l的方程為，故正確.故選：CD11．（2023秋·山西忻州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M在雙曲線E上，為直角三角形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，作，垂足為N，若，則雙曲線E的離心率為.【答案】【解析】依題意，為直角三角形，顯然，否則與重合，若，由，得，則為的中點(diǎn)，與矛盾，于是，即軸，令雙曲線半焦距為c，由，得，因此，，由，得，顯然有，則，即，整理得，則，而，解得，所以雙曲線E的離心率為.故答案為：12．（2023秋·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支相交于A，B兩點(diǎn)，，且的周長為10，則雙曲線C的焦距為．【答案】/【解析】

設(shè)，，，根據(jù)雙曲線的定義可知：，可得，有，解得，在和中，由余弦定理有，解得，可得雙曲線的焦距為．故答案為：.13．（2023·全國·課堂例題）如圖，已知，為雙曲線的焦點(diǎn)，過作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，且，則雙曲線的漸近線方程為.

【答案】【解析】設(shè)，，則，解得，∴.在中，，則①.由雙曲線的定義，得②.由①②得.∵，∴，即.∴.∴雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.14．（2023·湖南長沙·湖南師大附中?？既＃┮阎p曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M，N分別為C的漸近線和左支上的動點(diǎn)，且的最小值恰為C的實(shí)軸長的2倍，則C的離心率為.【答案】【解析】由雙曲線的定義得，所以，于是.

如圖：當(dāng)M、N、三點(diǎn)共線，且與點(diǎn)M所在的漸近線垂直時(shí)，取得最小值，其最小值就是到漸近線的距離d，又C的漸近線方程為，所以，故的最小值為b，從而的最小值為，由題設(shè)知，所以，所以.故答案為：15．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為雙曲線左支上的動點(diǎn)，且的周長不小于18，則雙曲線的離心率的取值范圍為.【答案】【解析】由右焦點(diǎn)為，點(diǎn)A坐標(biāo)為，可得.因?yàn)榈闹荛L不小于18，所以的最小值不小于13.設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，可得，故，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值,即，所以,即.因?yàn)?所以.又,所以.故答案為:.16．（2023秋·陜西西安·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為1，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【答案】或【解析】點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為，則其漸近線方程為，點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為1，即，則，所以此時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為，則其漸近線方程為，點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為1，即，則，所以此時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.綜上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故答案為：或17．（2023秋·課時(shí)練習(xí)）直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)．【答案】或【解析】由消去y，整理得，當(dāng)時(shí)，由得；又注意到直線恒過點(diǎn)，且漸近線的斜率為時(shí)，直線與漸近線平行時(shí)也成立．故答案為：或

18．（2023北京）設(shè)P是雙曲線的右支上的動點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，已知，，則|PA|＋|PF|的最小值為；|PB|＋|PF|的最小值為．【答案】/【解析】如圖：

設(shè)雙曲線的另一焦點(diǎn)為，則有，，連接，易知點(diǎn)在雙曲線內(nèi)，點(diǎn)B在雙曲線外，則；.故答案為：；.19．（2023秋·陜西寶雞）設(shè)動點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離和點(diǎn)到直線的距離的比值為，記點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交曲線于兩點(diǎn)，求的面積.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：由動點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離和到直線：的距離的比值為，可得，整理得，即曲線的方程為.（2）解：聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，，可得，，所以，又由點(diǎn)到直線的距離，所以的面積.20．（2022秋·江西南昌）已知雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)，且漸近線方程為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)A為雙曲線C的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交雙曲線C于M、N兩點(diǎn)，試問，直線AM與直線AN的斜率之和是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)為定值.【解析】（1）由漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)代入雙曲線方程中可得，故雙曲線方程為（2）由題意可知：直線有斜率，設(shè)其方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程，設(shè),則，由于,則，將代入可得由于點(diǎn)在直線上，所以，此時(shí)，只需要，即可，因此,故直線AM與直線AN的斜率之和為定值.

1．（2023秋·廣東揭陽·高三?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則雙曲線的方程可以為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)為雙曲線的下焦點(diǎn)，為雙曲線的上焦點(diǎn)，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn).

因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，故，?因?yàn)?，所以，故點(diǎn)，將代入雙曲線中，即，化簡得，，解得或（舍去），故B項(xiàng)正確.故選：B.2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的上下焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的下支上，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，過點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，設(shè)，則點(diǎn)到漸近線的距離.由雙曲線的定義可得，故，所以，即的最小值為，因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，即恒成立，所以，，即，即，所以，，即，解?故選：A.

3．（2023·安徽安慶）過雙曲線：的右焦點(diǎn)作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B．或 C． D．【答案】B【解析】

如圖①，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，雙曲線的漸近線方程為，所以，在中，，設(shè)，，，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，，，，則，則，且即，解得，所以如圖②，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，設(shè)，則，，在中，，設(shè)，，，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，，，，則，，，所以，則，所以，即，解得，所以.故選：B4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則的中點(diǎn)，可得，因?yàn)樵陔p曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項(xiàng)A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時(shí)，故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；故選：D.5．（2023·湖北·模擬預(yù)測）已知雙曲線，，過點(diǎn)可做2條直線與左支只有一個(gè)交點(diǎn)，與右支不相交，同時(shí)可以做2條直線與右支只有一個(gè)交點(diǎn)，與左支不相交，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的兩條漸近線分別為，由已知易知，若在雙曲線內(nèi)部（如位置），顯然作任何直線均與雙曲線右支有交點(diǎn)，無法滿足題意；若在雙曲線與漸近線之間（如位置），過P所作直線若與雙曲線左支相交則必與右支也相交，也無法滿足題意；故P只能在雙曲線的漸近線上方，此時(shí)過P可做唯一一條與右支相切的直線，也可以作一條與漸近線平行的直線，該兩條直線均與左支無交點(diǎn)；同理也可作出唯一一條與左支相切的直線，及一條與漸近線平行的直線符合要求；即，故，故選：B6．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┣€，要使直線與曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得：，即，即曲線上的點(diǎn)為圓上或圓外的點(diǎn)，由得：或，由得：或或或，由此可得曲線的圖象如下圖所示，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，直線與曲線有四個(gè)不同交點(diǎn)；實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.7．（2023·河南信陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交雙曲線于點(diǎn)．設(shè)直線的斜率為．則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．的取值范圍是且B．直線的斜率為C．直線的斜率為D．直線與直線的斜率之和的最小值為【答案】D【解析】對于A，是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，直線與雙曲線兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，直線的斜率在兩條漸近線斜率之間，即，由題意知：不重合，，的取值范圍為且，A正確；對于B，設(shè)，則，，，，B正確；對于C，設(shè)，則，又，，由B知：，，C正確；對于D，，，即不成立，，D錯(cuò)誤.故選：D.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為，且與直線無交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)雙曲線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)雙曲線的右焦點(diǎn)為，若取最小值，則點(diǎn)在雙曲線的右支上，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，聯(lián)立可得，因?yàn)榕c直線無交點(diǎn)，則，即，因?yàn)椋獾?故選：B.9．（2023秋·江西·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）（多選）已知、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與的一條漸近線切于點(diǎn)，過的直線與交于、兩個(gè)不同的點(diǎn)，若的離心率，則（

）A．B．的最小值為C．若，則D．若、同在的左支上，則直線的斜率【答案】ACD【解析】對于A選項(xiàng)，設(shè)雙曲線的一條漸近線為，即，則到直線的距離為，因?yàn)橐詾閳A心的圓與相切于點(diǎn)，所以，因?yàn)?，即，則，又，即，所以，.在中，，在中，，，，所以，故A正確；

對于B選項(xiàng)，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，、兩點(diǎn)分別為雙曲線的頂點(diǎn)，則，又因?yàn)椋吹淖钚≈挡豢赡転?，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，又，且，所以在的右支上，所以，所以，故C正確；對于D選項(xiàng)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，因?yàn)橹本€與雙曲線交于右支的兩點(diǎn)，所以，，解得或，D對.故選：ACD.10．（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）（多選）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作直線的垂線，垂足為P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，過P作C的切線交直線于點(diǎn)Q，則（

）A．C的離心率為 B．C的離心率為C．△OPQ的面積為 D．△OPQ的面積為【答案】AC【解析】直線和直線，是雙曲線C：的兩條漸近線，

設(shè)，則有，又垂直于漸近線，漸近線方程為，，，，而，，，在中，，由正弦定理：，，，，，A選項(xiàng)正確；雙曲線C的方程為：，漸近線為，過點(diǎn)的切線與雙曲線切于點(diǎn)，則有，又，均在雙曲線的漸近線上，故設(shè)，又，，，當(dāng)點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，由，切線斜率存在，設(shè)切線方程為，代入雙曲線方程，得令，得，解得，過點(diǎn)的切線方程為，切線方程代入，解得，切線方程代入，解得，，，則C選項(xiàng)正確.故選：AC11．（2023春·黑龍江大慶）（多選）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，若直線與的右支交于兩點(diǎn)，且為的重心，則（

）A．的離心率的取值范圍為B．的離心率的取值范圍為C．直線斜率的取值范圍為D．直線斜率的取值范圍為【答案】AC【解析】設(shè)為的中點(diǎn)，根據(jù)重心性質(zhì)可得，因?yàn)?，則，因?yàn)橹本€與的右支交于兩點(diǎn)，所以點(diǎn)在雙曲線右支內(nèi)部，故有，解得，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，的中點(diǎn)在軸上，故三點(diǎn)不共線，不符合題意舍，設(shè)直線斜率為，設(shè)，所以，，因?yàn)樵陔p曲線上，所以，兩式相減可得：，即，即有成立，即有，因?yàn)椴还簿€，即，即，即，所以的離心率的取值范圍為，因?yàn)?，因?yàn)?，即，所以，所?故選：AC12．（2023秋·上海浦東新·高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考開學(xué)考試）設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，第一象限內(nèi)的點(diǎn)在的右支上，且，則的內(nèi)心坐標(biāo)為．【答案】/【解析】由題意知，，，所以，即，，所以，，過作交延長線于點(diǎn)H，如圖所示，

所以，，又因?yàn)椋?，所以點(diǎn)P軌跡方程為（且），，則，所以，，設(shè)的內(nèi)心為G，內(nèi)切圓分別與、、相切于點(diǎn)M、N、E，則設(shè)，，，如圖所示，

由雙曲線的定義知，，即，①又因?yàn)?，②所以由①②得：，，所以，即，所以設(shè)，由等面積法可得，即，解得，即所以的內(nèi)心坐標(biāo)為.故答案為：.13．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）過點(diǎn)能作雙曲線的兩條切線，則該雙曲線離心率的取值范圍為.【答案】【解析】當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，由可得，故直線與雙曲線相交，不合乎題意；當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，聯(lián)立可得，因?yàn)檫^點(diǎn)能作雙曲線的兩條切線，則，可得，由題意可知，關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以，，可得，又因?yàn)?，即，因此，關(guān)于的方程沒有的實(shí)根，所以，且，解得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，該雙曲線的離心率的取值范圍是.故答案為：.14．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知雙曲線，過其右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，已知，若這樣的直線有條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】記，若直線與軸重合，此時(shí)，；若直線軸時(shí)，將代入雙曲線方程可得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，；當(dāng)，可得，則，所以，雙曲線的實(shí)軸長和通徑長不可能同時(shí)為；當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，記，則點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，由題意可得，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，，即，所以，關(guān)于的方程由四個(gè)不等的實(shí)數(shù)解.當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，可得，可得，整理可得，因?yàn)?，解得；?dāng)時(shí)，即當(dāng)，可得，可得，整理可得，可得.綜上所述，.故答案為：.15．（2023秋·浙江·高三浙江省春暉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，為雙曲線上異于、的任意一點(diǎn)，直線、的斜率乘積為．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)、在雙曲線的右支上，直線、在軸上的截距之比為．試問直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】（1）設(shè)，由可得，又，，又焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為，解得：．所以雙曲線的方程：.（2）設(shè)直線的方程為，如圖，

由得，，，直線，則直線在軸上的截距為，直線，則直線在軸上的截距為，由題得：，又，所以．所以，則，，，，化簡得：或．若，直線過頂點(diǎn)，舍去．．則直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)．16．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，若，且雙曲線焦距為4．(1)求雙曲線的方程；(2)如果為雙曲線右支上的動點(diǎn)，在軸負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，坐標(biāo)為【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以由雙曲線的定義可得①，又雙曲線焦距即，且③，①②③聯(lián)立解得，所以雙曲線的方程為.（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題設(shè)條件，由題目可知，

設(shè)為雙曲線右支上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，于是，所以，即，?dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，所以，將代入并整理得，所以，解得，即，綜上，滿足條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為.17．（2023秋·陜西漢中·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線：的焦距為，且焦點(diǎn)到近線的距離為1.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原