9.2 橢圓（精練）（教師版）

9.2橢圓（精練）1．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測）已知離心率為的橢圓的方程為，則（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【解析】由題意，，即，可得，則.故選：C2．（2022秋·四川綿陽·高三鹽亭中學(xué)校考階段練習(xí)）橢圓?的左、右焦點(diǎn)分別為?，焦距為?，若直線?與橢圓?的一個(gè)交點(diǎn)為?在?軸上方，滿足?，則該橢圓的離心率為（

）A．? B．?C．? D．?【答案】A【解析】由直線可知：過定點(diǎn)，斜率，即，則，解得，又因?yàn)椋傻?，結(jié)合橢圓的定義可得，整理得.故選：A.

3．（2023·四川巴中·南江中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則橢圓C的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，則，，兩式作差并化簡整理得，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，，所以，由，得，又因?yàn)?，解得，，所以橢圓C的方程為．故選：A．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，若存在直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，重心為，直線的斜率取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，由已知，，設(shè)，因?yàn)橹匦臑?，所以，所以，又，所以，所以，所以直線的斜率，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，又，所以直線的斜率取值范圍是，故選：B.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的上頂點(diǎn)為B，斜率為的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，的中點(diǎn)為，因?yàn)槎荚跈E圓上，所以，作差可得，即，所以，即，因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉椤鰾MN的重心，所以，所以，則，所以，整理得，即，所以，則，所以離心率.故選:A.6．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考三模）已知橢圓，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，分別為橢圓的左?右兩個(gè)焦點(diǎn)，直線與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn)，則直線與的斜率乘積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直線過原點(diǎn)，可設(shè)，則，；，，，.故選：B.7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）“蒙日圓”涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相輸出垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日圓．若橢圓C：的離心率為，則橢圓C的蒙日圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)闄E圓：的離心率為，則，解得，即橢圓的方程為，于是橢圓的上頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)，經(jīng)過兩點(diǎn)的橢圓切線方程分別為，，則兩條切線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然這兩條切線互相垂直，因此點(diǎn)在橢圓的蒙日圓上，圓心為橢圓的中心O，橢圓的蒙日圓半徑，所以橢圓的蒙日圓方程為.故選：B8．（2023春·內(nèi)蒙古赤峰）在橢圓上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如下圖所示：

根據(jù)題意可知，當(dāng)點(diǎn)在第三象限且橢圓在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取得最大值，可設(shè)切線方程為，聯(lián)立，消去整理可得，，因?yàn)椋獾?，所以，橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，因此，點(diǎn)到直線的距離的最大值為,聯(lián)立，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B.9．（2023秋·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）（多選）已知點(diǎn)為橢圓C：的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則下列正確的是（

）A．的最小值為B．的最大值為7C．的最小值為D．的最大值為1【答案】ABD【解析】依題意，，所以，的最小值，即是的長，當(dāng)點(diǎn)在位置時(shí)取到，所以的最小值為，故A正確；設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，所以，則當(dāng)點(diǎn)在位置時(shí)取到最大值，所以的最大值為，故B正確；的最小值當(dāng)在位置時(shí)取到，即的最小值為，故C錯(cuò)誤；由，則當(dāng)點(diǎn)在位置時(shí)取到最大值，所以的最大值為，故D正確.故選:ABD

10．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．的離心率為C．存在，使得D．面積的最大值為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故，解得，A正確；B選項(xiàng)，設(shè)，則，故的離心率為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，以為直徑的圓的方程為，與橢圓聯(lián)立得，，整理得，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，故，滿足要求，故存在，使得，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，故?dāng)點(diǎn)位于上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，面積取得最大值，故最大面積為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，面積取得最大值，最大值為，D正確.故選：ACD11．（2023秋·貴州銅仁·高三貴州省思南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）已知方程表示的曲線為C，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線C是橢圓 B．當(dāng)或時(shí)，曲線C是雙曲線C．若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則 D．若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則【答案】BCD【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，，則曲線是圓，A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)或時(shí)，，曲線是雙曲線，B正確；對于C，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，C正確；對于D，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，解得，D正確．故選：BCD12．（2023秋·課時(shí)練習(xí)）（多選）以坐標(biāo)軸為對稱軸，兩焦點(diǎn)的距離是，且過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則，得，此時(shí)橢圓方程是；若焦點(diǎn)在軸上，則，則，此時(shí)橢圓方程是．故選：AB13．（2023秋·重慶）（多選）已知圓與圓的一個(gè)交點(diǎn)為M，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是曲線C，則下列說法正確的是（

）A．曲線C的方程式B．曲線C的方程式C．過點(diǎn)且垂直于x軸的直線與曲線C相交所得弦長為D．曲線C上的點(diǎn)到直線的最短距離為【答案】BCD【解析】對A,B，由題意知,,所以,所以點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且,,即,所以,所以曲線的方程為,故A錯(cuò)誤，B正確；對C，過點(diǎn),且垂直于軸的直線為,它與曲線相交于兩點(diǎn),所以弦長為,故C正確；對D，設(shè)與直線平行的直線，，由，得，令，解得，此時(shí)直線與橢圓相切，易得，此時(shí)切點(diǎn)到直線的距離距離最短，直線的方程為，此時(shí)兩平行線的距離為，故曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離為，故D正確.故選：BCD.14．（2022秋·福建漳州）（多選）以下四個(gè)命題表述正確的是（

）A．橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為B．已知圓C：，點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA、PB，AB為切點(diǎn)，直線AB經(jīng)過定點(diǎn)C．曲線：與曲線：恰有三條公切線，則m＝4D．圓上存在4個(gè)點(diǎn)到直線l：的距離都等于1【答案】ABC【解析】對于A:設(shè)直線與橢圓相切，聯(lián)立方程得：，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，得當(dāng)時(shí)，直線與距離最大，最大距離為故A正確.對于B:設(shè)點(diǎn)，因?yàn)锳B為切點(diǎn)，所以，，連接，根據(jù)圓周角與圓直徑關(guān)系可知，AB兩點(diǎn)在以為直徑的圓上，圓的方程為，兩圓公共弦AB所在直線方程為，聯(lián)立方程得，令，則故B正確.對于C:曲線：，曲線:，因?yàn)閮蓤A有三條公切線，所以兩圓外切，故，得故C正確.對于D:直線與圓相切，且與距離為1，因此圓上存在3個(gè)點(diǎn)到直線l：的距離都等于1故D錯(cuò)誤.故選:ABC15．（2023秋·貴州貴陽·高三貴陽一中?？计谀┮阎c(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且的最小值為3，則橢圓C的離心率是．【答案】【解析】由，則在橢圓內(nèi)，若是橢圓左焦點(diǎn)，

所以，僅當(dāng)共線且在之間時(shí)取等號，故，即，而且，則，故，此時(shí)，故.故答案為：16．（2023秋·四川達(dá)州·高三?？奸_學(xué)考試）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：上任意一點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/【解析】由題意橢圓C：，M為橢圓C上任意一，N為圓E：上任意一點(diǎn)，

故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號成立，而，故，即的最小值為，故答案為：17．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為、，焦距為，與坐標(biāo)軸不垂直的直線過且與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為．【答案】/【解析】因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，則，所以，為等腰直角三角形，

設(shè)，則，由橢圓的定義可得，所以，，所以，，由勾股定理可得，即，整理可得，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.18．（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模），是橢圓E：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓E上一點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，滿足，，則橢圓E的離心率為.【答案】【解析】因?yàn)椋裕瑒t是的角平分線，所以，又因?yàn)椋?，設(shè)，由橢圓定義得，即，解得，則，則，所以，則，故答案為：19．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，則橢圓的短軸長為．【答案】2【解析】題意可得，所以離心率，故，故短軸長為，故答案為：220．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知，是橢圓（）的左右焦點(diǎn)，是其右頂點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸交橢圓于，兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率是．【答案】【解析】因?yàn)檩S，不妨設(shè)，，又，，由得：，即，故．故答案為：.21．（2024秋·廣東廣州·高三華南師大附中?？奸_學(xué)考試）直線與圓和橢圓同時(shí)相切，請寫出一條符合條件的的方程【答案】或或（只需寫一條）【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，橢圓中，，它們的圖象如下圖：

由圖可知，或與圓和橢圓同時(shí)相切，即符合條件的的方程可以為或假設(shè)公切線斜率存在且不為零時(shí)方程為，由圖可知所以①由得由得②由①②解得故答案為：或或（只需寫一條）22（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線：（，）的左，右焦點(diǎn)分別為，，過左焦點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（在第一象限），是的中點(diǎn)，若是等邊三角形，則直線的斜率為．【答案】【解析】

設(shè)雙曲線的半焦距為，，根據(jù)題意得．又，∴．在中，由余弦定理得，，即，解得，則．設(shè)，，則，，兩式相減可得，所以．設(shè)，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，，又，所以．故答案為：.23．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，則橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)M到直線AB距離的最大值為．【答案】【解析】由橢圓，可得，故直線AB的方程為，與AB平行且與橢圓相切的直線可設(shè)為，代入橢圓方程整理，得，則，解得，當(dāng)時(shí)，與之間的距離為；當(dāng)時(shí)，與間的距離為，故橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)M到直線AB距離的最大值為，故答案為：24．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）曲線上點(diǎn)到直線距離的最小值為．【答案】/【解析】令與相切，聯(lián)立整理可得，所以，可得，當(dāng)，此時(shí)與的距離，當(dāng)，此時(shí)與的距離，所以曲線到直線距離的最小值為.故答案為：25．（2022秋·安徽蕪湖·高二安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓C：（）與x軸分別交于、點(diǎn)，N在橢圓上，直線，的斜率之積是．(1)求橢圓C的方程；(2)求點(diǎn)N到直線l：的最大距離．【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意，設(shè)，則，，因?yàn)橹本€，的斜率之積是，所以．整理得橢圓方程為；（2）由（1）中結(jié)論可得，橢圓方程為，設(shè)直線，則當(dāng)點(diǎn)N既在橢圓C上又在直線上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Ｎ到直線l有最大距離，設(shè)直線：，聯(lián)立方程，得，則，解得或，因?yàn)橐簏c(diǎn)到直線l的最大距離，所以直線為，故最大距離為．

1．（2023秋·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：（）的左焦點(diǎn)為，過左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，，過點(diǎn)所作直線的傾斜角為，所以該直線斜率為，所以直線方程可寫為，聯(lián)立方程，可得，，根據(jù)韋達(dá)定理：，，因?yàn)?，即，所以，所以，即，所以，?lián)立，可得，.故選：C2．（2023·河南·河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）A，B是橢圓上兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)在直線上，則直線AB與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可知，直線AB的斜率必然存在，設(shè)直線AB的方程為，則直線AB與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m，設(shè)點(diǎn)，，將直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立并化簡得，，化簡得，即.由韋達(dá)定理可得，所以，將等式兩邊平方得，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，由于，解得或.因此，直線AB與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是.故選：A3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓，離心率為，過的直線分別與相切于，兩點(diǎn)，則直線方程為（

）A．或 B．C． D．或【答案】A【解析】首先證明橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為：，①當(dāng)切線斜率存在時(shí),設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程，得，，即，，又，把代入中，得，，化簡得.②當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，過的切線方程為，滿足上式.綜上，橢圓上一點(diǎn)的切線方程為：.再證明若點(diǎn)是橢圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則切點(diǎn)弦的方程為．這是因?yàn)樵?，兩點(diǎn)處，橢圓的切線方程為和．兩切線都過點(diǎn)，所以得到了和，由這兩個(gè)“同構(gòu)方程”得到了直線的方程；因?yàn)闄E圓，離心率為，若焦點(diǎn)在軸，則，，所以，所以，解得，所以橢圓，所以過作橢圓的兩條切線方程，切點(diǎn)弦方程為；若焦點(diǎn)在軸，則，，所以，所以，解得，所以橢圓，所以過作橢圓的兩條切線方程，切點(diǎn)弦方程為，即；綜上可得直線方程為或.故選：A4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若直線l：與曲線C：有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，軌跡為橢圓的右半部分；當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，軌跡為雙曲線的左半部分，其漸近線為，作出圖象如下圖，直線l（圖中虛線）是與直線平行的直線，平行移動(dòng)直線，可得直線l，如圖可知，當(dāng)直線l介于直線和（與l平行且與橢圓相切，切點(diǎn)在第一象限）之間時(shí)，直線l與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)．設(shè)的方程為，，則有，聯(lián)立，消去x并整理得，由，解得或（舍），故m的取值范圍為．故選：B．5．（2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校校考二模）（多選）已知是圓上不同的兩點(diǎn)，橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，直線分別是圓的兩條切線，為橢圓的離心率.下列選項(xiàng)正確的有（

）A．直線與橢圓相交B．直線與圓相交C．若橢圓的焦距為兩直線的斜率之積為，則D．若兩直線的斜率之積為，則【答案】BCD【解析】對于A中，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可以為，可得直線為，即，由，整理得，此時(shí)，所以直線與橢圓無交點(diǎn)，所以A錯(cuò)誤；對于B中，因?yàn)?，所以，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得，所以直線與圓相交，所以B正確；對于C中，橢圓的焦距為，可得，即，不妨設(shè)，則直線，由原點(diǎn)到直線的距離等于1，可得，解得，同理可得，因?yàn)?，即，解得，又由，解得，所以離心率，所以C正確；對于D中，不妨設(shè)，則,，所以，解得，所以，因?yàn)椋傻?，所以，所以D正確.故選：BCD.

6．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，由直線上任一點(diǎn)向橢圓作切線，切點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在軸的上方，則（

）A．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，B．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，直線的斜率為C．存在點(diǎn)，使得為鈍角D．存在點(diǎn)，使得【答案】AD【解析】設(shè)點(diǎn)、，先證明出橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為，由題意可得，聯(lián)立可得，即，即方程組只有唯一解，因此，橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為，同理可知，橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)為直線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則有，即，所以，點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足方程，所以，直線的方程為，對于A選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，此時(shí)直線的方程為，由可得，即點(diǎn)，此時(shí)，A對；對于B選項(xiàng)，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，即時(shí)，此時(shí)，直線的斜率為，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，同理，所以，，因此，恒為銳角，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，若點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，則軸，此時(shí)，所以，點(diǎn)不是橢圓的上頂點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，所以，，，存在點(diǎn)，使得，則，則，化簡可得，因?yàn)?，，所以，，即，因?yàn)椋獾?，因此，存在點(diǎn)，使得，D對.故選：AD.7．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，由直線上任一點(diǎn)P向橢圓作切線，切點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)A在x軸的上方，則（

）A．恒為銳角 B．當(dāng)垂直于x軸時(shí)，直線的斜率為C．的最小值為4 D．存在點(diǎn)P，使得【答案】ABD【解析】對于A項(xiàng)，設(shè)切線方程為聯(lián)立得：，∵直線與橢圓相切，故則，∴切線PA的方程為，同理切線PB的方程為而P點(diǎn)在上，故，又滿足該方程組，故，顯然過定點(diǎn)即橢圓左焦點(diǎn).以為直徑的圓半徑最大無限接近，但該圓與一直相離，即始終為銳角，A正確；對于B項(xiàng)，由A得，軸時(shí)，，易得，，故B正確；對于C項(xiàng)，由B知軸時(shí)，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，取中點(diǎn)，若則，即為等腰三角形，，化簡得，由A知：，整理得：，顯然存在P滿足題意，故D正確；故選：ABD8．（2024秋·廣東廣州·高三華南師大附中校考開學(xué)考試）已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，A是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，過作垂直軸的直線在第二象限交橢圓于點(diǎn)S，過S作橢圓的切線，的斜率為，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意得，

由橢圓定義可得，又，由余弦定理可得：，所以，又，解得，所以，故橢圓的方程為.（2）直線，設(shè)，

聯(lián)立與得，所以，恒成立，所以，故，設(shè)直線為，，聯(lián)立，所以，由可得，所以，則，所以得，所以，則，由于函數(shù)在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，所以.9．（2024秋·安徽·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，點(diǎn)在上，且點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值為3，過點(diǎn)且不與軸垂直的直線與交于兩點(diǎn).(1)求的方程；(2)記為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意得，，解得，故的方程為.（2）設(shè)，直線，聯(lián)立，整理得：.由得，且，，點(diǎn)到直線的距離，，

令，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故面積的最大值為.10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA＝∠OMB．【答案】(1)或．(2)證明見解析【解析】（1）由已知得，直線l的方程為x＝1．l的方程與C的方程聯(lián)立可得或．∴直線AM的方程為