9.4 拋物線（精講）（教師版）

9.4拋物線（精講）一．拋物線的概念(1)定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡．(2)焦點(diǎn)：點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)．(3)準(zhǔn)線：直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離性質(zhì)頂點(diǎn)O(0，0)對(duì)稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下一．拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.由拋物線定義，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離可相互轉(zhuǎn)化．2.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．二．與拋物線有關(guān)的最值問題1.將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決．2.將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決．三．常用的結(jié)論1．與焦點(diǎn)弦有關(guān)的常用結(jié)論如圖，傾斜角為θ的直線AB與拋物線y2＝2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．則有(1)x1·x2＝eq\f(p2,4).(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直線AB的傾斜角).(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值(F是拋物線的焦點(diǎn)).（5）以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；以AF或BF為直徑的圓與y軸相切．（6）．若A，B為拋物線y2＝2px(p＞0)上兩點(diǎn)，且OA⊥OB，則直線AB過定點(diǎn)(2p，0)．考點(diǎn)一拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程【例1-1】（2023秋·北京豐臺(tái)·高三北京豐臺(tái)二中開學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為3，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】如下圖所示：

根據(jù)題意可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，若到直線的距離為，則到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，利用拋物線定義可知.故選：A【例1-2】（2023·新疆·統(tǒng)考三模）已知拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離與它到直線的距離相，因此，，拋物線方程為．故選：C．【一隅三反】1．（2023秋·福建福州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則P到C的準(zhǔn)線的距離為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，將代入得，故P到準(zhǔn)線的距離為2，故選：C．2．（2023秋·山東青島·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，在上，，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】拋物線的開口向上，由于在上，且，根據(jù)拋物線的定義可知，所以拋物線的方程為.故選：A3．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線C上，點(diǎn)，且，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是拋物線C：的焦點(diǎn)，所以，．又因?yàn)?，所以，設(shè)，則，所以，故點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為8．故選：B

考點(diǎn)二拋物線有關(guān)的最值問題【例2-1】（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，且點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線的方程為：．由拋物線的定義知：點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系可知，的最小值是點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，故的最小值為7．故選：C.

【例2-2】（2022秋·廣東東莞·高三?？茧A段練習(xí)）拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，則點(diǎn)到拋物線上動(dòng)點(diǎn)的距離最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，所以拋物線的方程為，且，所以拋物線的方程為，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.故選：B【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上，若點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）．A．13 B．12 C．10 D．8【答案】A【解析】，故,記拋物線的準(zhǔn)線為，則：，記點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，則.故選：A.

2．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，圓，P為E上一點(diǎn)，Q為C上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【解析】由題意知,設(shè)，則,所以當(dāng)時(shí),，又因?yàn)閳A的半徑為1，所以.故選：B.

3．（2023春·四川南充）已知是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．6【答案】B【解析】由消去得，因?yàn)?，所以方程無解，即直線與拋物線無交點(diǎn)；過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，記拋物線的焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為,為拋物線的準(zhǔn)線，根據(jù)拋物的定義可得，，則到直線和的距離之和為，若，，三點(diǎn)不共線，則有，當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且位于之間時(shí)，，則，又，所以，即所求距離和的最小值為.故選：.4．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，則的最小值是（

）A．10 B．9 C．8 D．5【答案】B【解析】設(shè)，，聯(lián)立得，則.所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，上式取等號(hào)，故.故選：B考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系【例3-1】（2023秋·課時(shí)練習(xí)）（多選）已知直線l過定點(diǎn)，則與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】（1）當(dāng)過點(diǎn)的直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由方程組消去y得，①若，則，解得，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，直線l的方程為，A正確；②若，令，解得，此時(shí)直線與拋物線相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，直線l的方程為，即，B正確.（2）當(dāng)過點(diǎn)的直線l的斜率不存在時(shí)，方程為，與拋物線相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，C正確．綜上，直線l的方程為，或.故選：ABC.

【一隅三反】1．（2023秋·課時(shí)練習(xí)）已知直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線與拋物線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切C．相離 D．相交或相切【答案】D【解析】直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或與拋物線相切時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)，所以D選項(xiàng)正確.故選：D2．（2023秋·課時(shí)練習(xí)）（多選）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率可以是（）A． B．C．1 D．2【答案】BC【解析】拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，

準(zhǔn)線為，Q點(diǎn)的坐標(biāo)，又直線l過點(diǎn)Q，且斜率必存在，可設(shè)l：，聯(lián)立，可得，當(dāng)時(shí)，得，即交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，由得，即，解得，或，綜上，k的取值范圍是．故選：BC.3．（2023秋課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有條．【答案】3【解析】①當(dāng)斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)的直線為y軸，顯然符合題意．②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為．聯(lián)立得，當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)方程有唯一實(shí)數(shù)解，符合題意；當(dāng)時(shí)，由解得，此時(shí)方程有唯一實(shí)數(shù)解，符合題意．綜上共有3條直線．故答案為：3

4．（2023秋云南）已知拋物線方程為，若過點(diǎn)的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是.【答案】【解析】依題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得①，當(dāng)時(shí)，①可化為，此時(shí)，即直線與拋物線相交于.當(dāng)時(shí)，由于①有解，所以，即，解得且.綜上所述，直線l的斜率的取值范圍是.故答案為：考點(diǎn)四弦長(zhǎng)【例4-1】（2023·北京大興·?？既＃┮阎獟佄锞€頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，則線段的長(zhǎng)為【答案】6【解析】是拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，設(shè)，線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,.，線段的長(zhǎng)為6.故答案為：6.【例4-2】（2023秋·遼寧鞍山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則弦最短長(zhǎng)度為4C．存在以為直徑的圓與相交D．若直線，且點(diǎn)在軸的上方，則【答案】BD【解析】對(duì)于A，若，則，故，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若，則，則拋物線方程為，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立其與拋物線的方程可得，設(shè)，則故，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)弦最短長(zhǎng)度為4，故B正確，對(duì)于C，設(shè)的中點(diǎn)為，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立其與拋物線的方程可得，設(shè)，因?yàn)椋?，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，而，故以為直徑的圓與相切，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，聯(lián)立與拋物線方程可得，解得或，由于點(diǎn)在軸的上方，所以故，又，則，所以，D正確，故選：BD

【一隅三反】1．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，作斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則（

）A． B．或3 C．或2 D．3【答案】C【解析】由題意可知直線的方程為，由，可得，解得或，或者.

故選：C.2．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知A，B是拋物線：上兩動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則（

）A．直線AB過焦點(diǎn)F時(shí)，最小值為4B．直線AB過焦點(diǎn)F且傾斜角為時(shí)，C．若AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，則最大值為5D．【答案】BC【解析】對(duì)于A項(xiàng)，過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，過點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，設(shè)直線的傾斜角為，畫圖為：

根據(jù)拋物線的定義：，從圖可知，，，在中，，所以，同理，則，故當(dāng)時(shí)，故最小值為，此時(shí)垂直于軸，所以A不正確；對(duì)于B項(xiàng)，由A可知，，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)直線過焦點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以最大值為5，故C正確；當(dāng)直線過焦點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線不過焦點(diǎn)時(shí)，不是定值，舉例當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，即，，，故D錯(cuò)誤；故選：BC.3．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)分別是拋物線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為．【答案】【解析】如圖所示：

由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為可知圓心，半徑為，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義可知，圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離滿足，即；所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立；即的最小值為．故答案為：考點(diǎn)五直線與拋物線的綜合問題【例5】（2023秋·湖南·高三臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，且．(1)求的值；(2)若直線l與交于M，N兩點(diǎn)，與交于P，Q兩點(diǎn)，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）由題意知，，所以，解得．（2）由（1）知，．設(shè)直線，，，，，根據(jù)題意結(jié)合圖形可知，且．聯(lián)立，得，則，同理聯(lián)立，得，則．由可得，，又，，所以，即，化簡(jiǎn)得，即，又因?yàn)?，，所以，再由，得．?lián)立，解得，所以，，．故，所以為定值.【一隅三反】1．（2023秋·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試）直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離小1，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)點(diǎn)是曲線上位于直線的上方的點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的切線交于點(diǎn)，若，證明：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）由題意，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離相等，滿足拋物線定義，則，得，則的方程為；（2）設(shè)，則，，則.即，

由，有，過點(diǎn)的切線的斜率為，則切線的方程為，同理切線的方程為，聯(lián)立方程組解得，由點(diǎn)是曲線上位于直線的上方的點(diǎn)，可知，則，，則代入，得，即為定值.2．（2023秋·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，．(1)求；(2)過點(diǎn)作直線，與交于，兩點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為．判斷直線是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理出．【答案】(1)(2)過定點(diǎn)【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以①，因?yàn)椋杂山拱霃焦降芒?，由①②解得（?fù)值舍去），所以.（2）由（1）知拋物線的方程為，依題意直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，則，由消去得，，則，所以，，所以，則直線的方程為，即，即，即，令，可得，所以直線恒過定點(diǎn).

3．（2023·全