專題14 三次函數(shù)（解析版）

專題14三次函數(shù)一、考情分析函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點與難點,我們知道二次函數(shù)是重要的且具有廣泛應(yīng)用的基本初等函數(shù),學(xué)生對此已有較為全面、系統(tǒng)、深刻的認(rèn)識,并在某些方面具備了把握規(guī)律的能力,由于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù),使得我們可以利用二次函數(shù)研究三次函數(shù)的圖象與性質(zhì),這使得三次函數(shù)成為高考數(shù)學(xué)的一個熱點.二、解題秘籍(一)三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)三次函數(shù)的圖象有六種,如圖：圖(2)圖(1)圖(2)圖(1)圖(4)圖(3)圖(4)圖(3)圖(5)圖(6)2.對函數(shù)進行求導(dǎo)：是二次函數(shù),原函數(shù)的極值點與單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有關(guān),所以容易發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)中的參數(shù)與的符號起決定性作用.當(dāng)為正時,原函數(shù)的圖象應(yīng)為上圖中的（1）、（3）、（5）三種情況；而當(dāng)為負(fù)時,原函數(shù)的圖象則為（2）、（4）、（6）三種情況.當(dāng)時,二次方程有兩相異實根,且在的兩邊的符號相反,故函數(shù)存在兩個極值點,圖象為上圖中的（3）、（4）兩種；當(dāng)時,二次方程有兩相等實根,且在根的兩邊的符號相同,這時函數(shù)只存在駐點（但不是極值點）,函數(shù)的圖象為上圖中（1）、（2）兩種,當(dāng)時；方程無實根,的值恒為正（或負(fù)）,函數(shù)的圖象為上圖中的（5）、（6）兩種.圖(5)圖(6)仔細(xì)觀察圖象,我們還不難發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)是中心對稱曲線,這一點可以得到進一步的驗證:設(shè),得整理得,.據(jù)多項式恒等對應(yīng)系數(shù)相等,可得且,從而三次函數(shù)是中心對稱曲線,且由知其對稱中心仍然在曲線上.而是否具有特殊的意義？對函數(shù)進行兩次求導(dǎo),再令等于0,得,恰好是對稱中心的橫坐標(biāo),這可不是巧合,因為滿足的正是函數(shù)拐點的橫坐標(biāo),這一性質(zhì)剛好與圖象吻合.除此,三次函數(shù)的對稱中心還有一個很少引起注意的性質(zhì)---過三次曲線的對稱中心且與該三次曲線相切的直線有且僅有一條；而過三次曲線上除對稱中心外的任一點與該三次曲線相切的直線有二條.由于三次曲線都是中心對稱曲線,因此,將其對稱中心移至坐標(biāo)原點便可將三次函數(shù)的解析式簡化為.若M（x1,y1）是三次曲線上的任一點,設(shè)過M的切線與曲線y=f（x）相切于（x0,y0）,則切線方程為,因點M上此切線上,故,又,所以,整理得：,解得,或.綜上所述,當(dāng)點M是對稱中心即時,過點M作曲線的切線切點是惟一的,且為M,故只有一條切線；當(dāng)點M不是對稱中心即時,過點M作曲線的切線可產(chǎn)生兩個不同的切點,故必有兩條切線,其中一條就是以M為切點（亦即曲線在點M處）的切線.由此可見,不僅切線與曲線的公共點可以多于一個,而且過曲線上點的切線也不一定惟一求以曲線上的點(x0,f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化簡．【例1】（2023屆黑龍江省哈爾濱市高三上學(xué)期12月月考）設(shè)函數(shù)(1)若，，求曲線在點處的切線方程；(2)若，不等式對任意恒成立，求整數(shù)k的最大值．【解析】（1）當(dāng)，時，，所以，即切點為因為，所以，所以切線方程為，即，（2），由，所以，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增不等式，對恒成立，構(gòu)造，，構(gòu)造，，對有，所以在遞增，，，所以，，所以，，即，在遞減，，，即，在遞增，所以，結(jié)合，故，所以對恒成立，故，所以整數(shù)k的最大值為3；(二)三次函數(shù)的零點1.若三次函數(shù)沒有極值點,則有1個零點；2.三次函數(shù)有2個極值點,則時有1個零點；時有2個零點；時有3個零點.【例2】（2023屆江西省贛撫吉十一校高三第一次聯(lián)考）已知函數(shù),其中.(1)若的極小值為－16,求；(2)討論的零點個數(shù).【解析】（1）由題得,其中,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,無極值；當(dāng)時,令,解得或；令,解得,所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,,所以當(dāng)時,取得極小值,所以,解得.（2）由（1）知當(dāng)時,的極小值為,的極大值為,當(dāng),即時,有三個零點,如圖①曲線；當(dāng),即時,有兩個零點,如圖②曲線；當(dāng),即時,有一個零點,如圖③曲線；當(dāng)時,,易知有一個零點.

綜上,當(dāng)時,有一個零點；當(dāng)時,有兩個零點；當(dāng)時,有三個零點.(三)過平面上一點P作三次函數(shù)圖象的切線的條數(shù)此類問題一般是先設(shè)出切點Q,寫出曲線在處的切線方程,把點P坐標(biāo)代入,整理出一個關(guān)于t的三次方程,該方程實根個數(shù)就是切線條數(shù).【例3】（2024屆江蘇省南通市高三上學(xué)期期初質(zhì)量監(jiān)測）已知函數(shù)的極小值為，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點.(1)求的解析式；(2)若曲線恰有三條過點的切線，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1），因為，且的圖象經(jīng)過，兩點.所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以在處取得極小值，所以，又因為，，所以，，解方程組得，，，所以.（2）設(shè)切點為，則，因為，所以，所以切線方程為，將代入上式，得.因為曲線恰有三條過點的切線，所以方程有三個不同實數(shù)解.記，則導(dǎo)函數(shù)，令，得或1.列表：01+0-0+↗極大↘極小↗所以的極大值為，的極小值為，所以，解得.故的取值范圍是.(四)含參數(shù)的三次函數(shù)的單調(diào)性的討論求含參數(shù)的三次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,一般根據(jù)函數(shù)極值點與閉區(qū)間的位置關(guān)系進行討論.【例4】（2024屆內(nèi)蒙古包頭市高三上學(xué)期調(diào)研）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有2個零點，求的值．（注：）【解析】（1），，當(dāng)，即時，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即或時，令，解得，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)或時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時，，此時函數(shù)無零點，當(dāng)時，等價于，設(shè)，，則，當(dāng)時，，故單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，故單調(diào)遞減，當(dāng)時，，故單調(diào)遞增，又，當(dāng)且時，，當(dāng)時，，如圖作出函數(shù)的大致圖象，

由圖可知，要使，兩個函數(shù)有兩個交點，則，即當(dāng)時，有且只有2個零點．(五)三次函數(shù)與韋達(dá)定理的交匯由于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù),而二次函數(shù)常與韋達(dá)定理交匯,故有時可以用定理交匯處理三次函數(shù)問題【例5】設(shè)是函數(shù)的兩個極值點,且(1)求a的取值范圍；(2)求證：.【解析】(1),的兩個實根,又a＞0,由得(2)設(shè)則上單調(diào)遞增,三、典例展示【例1】（2024屆海南省瓊中縣高三上學(xué)期9月全真模擬）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時，求在上的值域；(2)若的極小值為，求m的值．【解析】（1）當(dāng)時，，則，令，得或，當(dāng)x變化時，，的變化情況如表所示：x01＋0－0＋單調(diào)遞增極大值0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增0所以在上的值域為．（2）由，得，令，得或，因為，令，得；令，得或，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極小值，令，解得，故m的值為6．【例2】（2024屆貴州省貴陽第一中學(xué)高三上學(xué)期適應(yīng)性月考）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若過點存在3條直線與曲線相切，求的取值范圍；(3)請問過點，，，，分別存在幾條直線與曲線相切？（請直接寫出結(jié)論，不需要證明）【解析】（1）因為，所以.又，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)在處的切線的斜率為，所以，切線方程為.（2）設(shè)切點為，則，切線方程為，整理可得，.又點在切線上，則.要使過點存在3條直線與曲線相切，則該方程有個解.令，則.解，可得，所以在上單調(diào)遞增；解，可得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.所以，在處取得極小值，在處取得極大值.又，，由題意可知，.（3）設(shè)切點為，則，切線方程為.①當(dāng)點在切線上時，有，此時，即點為切點.由（1）知，切線為1條；②當(dāng)點在切線上時，由（2）知，在處取得極小值，且，所以，此時，只有1個解，即只存在1條切線；③當(dāng)在切線上時，由（2）知，，解得或.所以此時存在2條切線；④設(shè)切線過此時有.令，則.解，可得，所以在上單調(diào)遞增；解，可得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.所以，在處取得極小值，在處取得極大值.又，，所以，當(dāng)時，有3條切線.所以，過點的切線有3條.又方程，可化為，解得或，所以，過點的切線有2條.【例3】（2023屆江蘇省徐州市睢寧縣高三下學(xué)期5月模擬）已知函數(shù)，，且在上的極大值為1．(1)求實數(shù)的值；(2)若，，，求的值．【解析】（1），，①時，，∴，無極值．②時，，∴，當(dāng)，即時，，無極大值；當(dāng)時，時，；時，，∴在處取極大值，即，∴，舍去．③時，，∴，時，；時，；時，．∴在處取極大值，∴符合題意．綜上，．（2）由（1）可知，，，令可得，令可得或，如圖所示．

①當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，矛盾；當(dāng)時，，∴，矛盾．②當(dāng)時，符合題意．③當(dāng)時，時，，∴，則，，∴，矛盾．④當(dāng)時，符合題意．⑤當(dāng)時，時，，∴，則，，∴，矛盾．⑥當(dāng)時，符合題意．⑦當(dāng)時，，則，∴，與矛盾．⑧當(dāng)時，，，∴，與矛盾．綜上，，或，或．【例4】（2023屆重慶市第十一中學(xué)校高三上學(xué)期11月質(zhì)量檢測）已知函數(shù)，在處取極大值，在處取極小值.(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)在方程的解中，較大的一個記為，在方程的解中，較小的一個記為，證明：為定值.【解析】（1）當(dāng)時，，定義域為R，，當(dāng)時，或；當(dāng)時，；即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為.（2）由，根據(jù)題意，得的兩根為，且，即，得，，所以，因為，則，可知，因為，即，即，可知，同理，由，可知；得到，所以.【例5】（2023屆上海市嘉定區(qū)高三三模）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，(1)若函數(shù)有三個零點，且，試比較與的大小.(2)若，試判斷在區(qū)間上是否存在極值點，并說明理由.(3)在（1）的條件下，對任意的，總存在使得成立，求實數(shù)的最大值.【解析】（1）因為，故一正一負(fù)，，所以，所以是方程的兩根，由韋達(dá)定理得，因為所以，故，，，因為，，所以；（2），開口向上，，，，①當(dāng)時，，根據(jù)零點存在定理可知，存在使得，且時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上存在極大值點，②當(dāng)時，，，根據(jù)零點存在定理可知，存在使得，且時，，時，，所以在區(qū)間上存在極小值點；（3）對任意的，總存在使得成立，設(shè)，的最大值為，則，即①，②，③，由①+③得④，由②得⑤，④+⑤得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，所以的最大值為2.【例6】設(shè)函數(shù),其中,為常數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有且僅有3個零點,求的取值范圍．【解析】(1)．當(dāng)時,,或,,,當(dāng)時,,或,,,當(dāng)時,,綜上,當(dāng)時,在,上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減；當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減；當(dāng)時,在上單調(diào)遞增．(2)由（1）可知,有3個零點,則且,∴,∴．四、跟蹤檢測1.（2024屆江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽市高三上學(xué)期期初檢測）已知函數(shù)在處有極小值.(1)求m的值；(2)求函數(shù)在上的最大值.【解析】（1）因為，則，又因為在處有極小值，則，解得或，（i）當(dāng)時，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得極小值，符合題意；（ii）當(dāng)時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得極大值，不符合題意，舍去綜上所述：.（2）由（1）可知：，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，如圖所示：

又因為，則有：（i）當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最大值為；（ii）當(dāng)時，結(jié)合圖象可知：函數(shù)在上的最大值為；（iii）當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)在上的最大值為；綜上所述：.2.（2023河南省新未來3月聯(lián)考）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時，若對，恒成立，求的最小值．【解析】（1）若，可得，有，令，可得，令，則或，故函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，函數(shù)的極小值為，極大值為；（2）令，有，由函數(shù)單調(diào)遞增及，，可知存在，使得，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，可得，由，恒成立，有，可得，有，可得，令，有，令，則，令，則，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，故的最小值為．3．（2023屆安徽省卓越縣中聯(lián)盟高三上學(xué)期第一次聯(lián)考）已知函數(shù)，．(1)若在上的值域為，求在上的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)，則當(dāng)時，求的零點個數(shù)．【解析】（1）因為，所以，令，解得或，當(dāng)，即時，令，得；令，得或；所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時是的極大值點；當(dāng)，即時，令，得；令，得或；所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，此時是的極小值點；當(dāng)時，恒成立，則在上單調(diào)遞增，此時，易得，，不滿足題意；又，在上的值域為，所以在上的最值為，故是的極大值點，所以，此時，有或兩種情況，都有，故滿足題意，所以由上述分析可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即；因為，令，則，令，則，令，解得或．①若，則，此時在上單調(diào)遞增．又，所以有且僅有1個零點，即有且僅有1個零點．②若，，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，故在上沒有零點，下證．當(dāng)時，．因為，所以．因為，所以，所以，所以．從而在上有唯一零點，所以在上有唯一零點，在上沒有零點，綜上所述，當(dāng)時，有且僅有1個零點，故有且僅有1個零點．4．（2023屆湖南省湘潭市部分學(xué)校高三上學(xué)期期末聯(lián)考）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù))，若，曲線與曲線都有唯一的公共點，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）因為，所以，所以，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因為，所以，因為，曲線與曲線都有唯一的公共點，所以，方程有唯一解，即方程有唯一解，令，則，對于，當(dāng)，即時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，易知，當(dāng)趨向于0時，趨向于無窮小，趨向于0，故趨向于無窮小；當(dāng)趨向于無窮大時，趨向于無窮大，趨向于無窮大，故趨向于無窮大；所以的值域為，所以，與有且只有一個交點，滿足題意；當(dāng)，即時，有兩個實根，且，，若，則當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以先增后減再增，存在一個極大值和一個極小值，要使有唯一實數(shù)根，則大于的極大值或小于的極小值，記為極大值點，則，恒成立，又，即，則的極大值為，令，則，故在上單調(diào)遞增，故，則，故，記為極小值點，則，恒成立，又，即，則的極小值為，令，則，故在上單調(diào)遞減，因為，即，取，則，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，故，所以，即，所以趨向于無窮小，則趨向于無窮小，所以不存在，使得恒成立；若，記為極大值點，則，同理可得恒成立，因為在上單調(diào)遞減，所以，則，故，記為極小值點，則，同理可得不存在，使得恒成立；綜上：要使，曲線與曲線都有唯一的公共點，，即的取值范圍為.5．（2023屆北京市第五中學(xué)高三下學(xué)期3月檢測）設(shè)函數(shù)，(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍；(3)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在兩個極值點，，且，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，，則，由解得：或，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，.（2）函數(shù)，則，因函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則，成立，即，，顯然在上單調(diào)遞減，即，，則，所以a的取值范圍是.（3）由(2)知，，因函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在兩個極值點，，則在區(qū)間內(nèi)有兩個不等根，，即有，解得，且有，不妨令，則，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，則在處取得極大值，在取得極小值，顯然，，由兩邊平方得，而，即，整理得：，把代入上述不等式并整理得：，解得，綜上得，所以實數(shù)a的取值范圍是.6．已知函數(shù)（）有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點是的零點．(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(2)求證：；(3)若這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于，求的取值范圍．【解析】（1）因為所以，令，所以令，解得由于當(dāng)時，，所以在時為單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在時為單調(diào)遞減；所以的極小值點為；由于導(dǎo)函數(shù)的極值點是原函數(shù)的零點，所以，即，所以；因為有極值，所以有兩個不等的實根，所以，即，解得，所以（2）證明：由（1）知，設(shè)函數(shù)，則；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；又因為，所以，故；即，因此.（3）設(shè)的極值點是，由（1）知，，所以所以即整理得所以函數(shù)的兩個極值之和為，的極值為，設(shè)這兩個函數(shù)的所有極值之和為，所以，而；即在上單調(diào)遞減，而，所以由，即得；因此的取值范圍為.7．已知.(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；(2)當(dāng)時，曲線在相異的兩點點處的切線分別為和和的交點位于直線上，證明：兩點的橫坐標(biāo)之和小于4.【解析】（1）的定義域為R，，，的解集為，故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.（2）證明：當(dāng)時，，，設(shè)，，點處切線方程為，點處切線方程為，故，解得，故兩切線交點的橫坐標(biāo)為，由題意，結(jié)合，，解得.故A，B兩點的橫坐標(biāo)之和小于4.8．（2024屆江西省穩(wěn)派上進教育高三上學(xué)期摸底考試）已知函數(shù)，，，分別為，的導(dǎo)函數(shù)，且對任意的，存在，使．(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)證明：，有．【解析】（1）因為，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故．因為，所以．令，則，又，所以，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．又對任意的，存在，使，所以，即，解得，故實數(shù)a的取值范圍為．（2）令，，則．令，解得，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）．令，則．令，解得，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），故（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）．又，所以．因為，所以，故，即．9.已知函數(shù),,,（1）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào),求的取值范圍；（2）求的最大值；（3）若對任意恒成立,求的取值范圍．【解析】（1）由題意可知,函數(shù)在上有極值點,,則,所以,函數(shù)在上遞減,在上遞增,所以,,可得；（2）若時,對任意的,,在上遞減,,,,所以,,則；若,對任意的,,在上遞增,,,,所以,,則；若,由,可得或；由,可得.則在上遞增,在上遞減,在上遞增；,,,．因為,所以,函數(shù)關(guān)于對稱,,則,若,,,則；若,,,則,則；若,,,則,則.綜上；（3）先考慮必要性,若對任意恒成立,首先必須滿足.①若,,可得,不合乎題意；②若,,解得,此時；③若時,,解得,此時.綜上,此時函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.若,由（2）可知,,則,由,則,所以若,則,,由,則,則,令,則,對于函數(shù),對任意的恒成立,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,,對于函數(shù),對任意的恒成立,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,因此,.綜上：.10.已知函數(shù)在處的切線與軸平行．（1）求的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的圖象與拋物線恰有三個不同交點,求的取值范圍．【解析】（1）由已知得,∵在處的切線與軸平行∴,解得．這時由,解得或；由,解．∴的單調(diào)增區(qū)間為和；單調(diào)減區(qū)間為．（2）令,則原題意等價于圖象與軸有三個交點．∵,∴由,解得或；由,解得．∴在時取得極大值；在時取得極小值．依題意得,解得．故的取值范圍為．11.已知函數(shù)（1）（i）求函數(shù)的圖象的交點A的坐標(biāo)；（ii）設(shè)函數(shù)的圖象在交點A處的切線分別為是否存在這樣的實數(shù)a,使得？若存在,請求出a的值和相應(yīng)的點A坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.（2）記上最小值為F（a）,求的最小值.【解析】（I）（i）設(shè)點A的坐標(biāo)為得故函數(shù)與圖象的交點A坐標(biāo)為 （ii）若存在a,使得則當(dāng)點A坐標(biāo)為又,則,此時點A坐標(biāo)為 當(dāng)點A坐標(biāo)為又,則,無解. 綜上,存在（2）令整理得圖象另一交點橫坐標(biāo) 結(jié)合圖象可得：（1）若（2）若（3）若綜上所以 當(dāng)且當(dāng)時取到“=”；當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減,此時綜上, 12.已知函數(shù)在時有極小值.(1)當(dāng)時,求在處的切線方程；(2)求在上的最小值.【解析】(1)因為函數(shù)在時有極小值,故,,解得：.當(dāng)時,,故,,則,則在處的切線方程為：,整理得：.故在處的切線方程為.(2)由（1）得,且,故,令,解得,因為,所以,,.又函數(shù)在時有極小值,當(dāng)時,或,,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,故函數(shù)在有極大值,與題意不符,故,即,即,所以,當(dāng)或,,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,故函數(shù)在有極大值.當(dāng),即時,函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,故在區(qū)間上得最小值為,當(dāng),即時,函數(shù)在區(qū)間和單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,且,,.故當(dāng)時,,,當(dāng)時,,.綜上所述：當(dāng)時,函數(shù)在上的最小值為,當(dāng)時,函數(shù)在上的最