專題9 指數(shù)型函數(shù)取對數(shù)問題（原卷版）

專題9指數(shù)型函數(shù)取對數(shù)問題一、考情分析函數(shù)與導數(shù)一直是高考中的熱點與難點,在導數(shù)解答題中有些指數(shù)型函數(shù)，直接求導運算非常復雜或不可解，這時常通過取對數(shù)把指數(shù)型函數(shù)轉化對數(shù)型函數(shù)求解，特別是涉及到形如的函數(shù)取對數(shù)可以起到化繁為簡的作用，此外有時取對數(shù)還可以改變式子結構，便于發(fā)現(xiàn)解題思路，故取對數(shù)的方法在解高考導數(shù)題中有時能大顯身手.二、解題秘籍(一)等式兩邊同時取對數(shù)把乘法運算轉化為對數(shù)運算，再構造函數(shù)通過兩邊取對數(shù)可把乘方運算轉化為乘法運算，這種運算法則的改變或能簡化運算，或能改變運算式子的結構，從而有利于我們尋找解題思路，因此兩邊取對數(shù)成為處理乘方運算時常用的一種方法.有時對數(shù)運算比指數(shù)運算來得方便，對一個等式兩邊取對數(shù)是解決含有指數(shù)式問題的常用的有效方法.【例1】（2024屆遼寧省大連市高三上學期期初考試）已知函數(shù).(1)討論的單調性；(2)若（e是自然對數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，求導得則，由得，若，當時，，則單調遞減，當時，，則單調遞增，若，當時，，則單調遞增，當時，，則單調遞減；所以當時，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增；當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減.（2）由，兩邊取對數(shù)得，即，由（1）知，當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，，而，時，恒成立，因此當時，存在且，滿足，若，則成立；若，則，記，，則，即有函數(shù)在上單調遞增，，即，于是，而，，，函數(shù)在上單調遞增，因此，即，又，則有，則，所以.(二)等式或不等式兩邊同時取對數(shù)把乘積運算運算轉化為加法運算，形如或的等式或不等式通過兩邊取對數(shù)，可以把乘積運算，轉化為加法運算，使運算降級.【例2】（2024屆遼寧省名校聯(lián)盟高三上學期聯(lián)考）已知，，函數(shù)和的圖像共有三個不同的交點，且有極大值1．(1)求a的值以及b的取值范圍；(2)若曲線與的交點的橫坐標分別記為，，，且．證明：．【解析】（1）因為，，所以當時，，，所以在上單調遞增，無極大值；當時，，，所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以為極大值點，所以，解得．因為，圖像共有三個不同的交點，所以方程有三個不等正實根．設，則，且當時，t與x一一對應，所以問題轉化為關于t的方程有三個不等實根．又0不滿足方程，所以方程有三個實根．設，則函數(shù)與函數(shù)的圖像有三個交點，當或時，，，所以在，上單調遞增；當時，，，所以在上單調遞減．當，時，，而；當時，，無論還是，當時，都有，當時，．根據以上信息，畫出函數(shù)的大致圖像如下圖所示，

所以當時，函數(shù)與函數(shù)的圖像有三個交點，故b的取值范圍為．（2）證明：要證，只需證，只需證．設（1）中方程的三個根分別為，，，且，，，2，3，從而只需證明．又由（1）的討論知，，．下面先證明，設，則．當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞增，所以，所以當時，，從而當，時，．又由（1）知在，上單調遞增，在上單調遞減．所以當時，，令，解得，由得；當時，，令，解得，由得；當時，，令，解得，由得．綜上，，得證．(三)把比較轉化為比較的大小比較兩個指數(shù)式的大小，有時可以通過取對數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)的單調性比較大小，如比較的大小，可通過取對數(shù)轉化為比較的大小，再轉化為比較的大小，然后可以構造函數(shù)，利用的單調性比較大小.【例3】一天，小錘同學為了比較與的大小，他首先畫出了的函數(shù)圖像，然后取了離1.1很近的數(shù)字1，計算出了在x=1處的切線方程，利用函數(shù)與切線的圖像關系進行比較.（1）請利用小錘的思路比較與大?。?）現(xiàn)提供以下兩種類型的曲線，試利用小錘同學的思路選擇合適的曲線，比較的大小.【解析】（1）構造函數(shù)，由f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，得，即，取x=1，得（2）通過取對數(shù)，把比較的大小轉化為比較e與3的大小，即比較與大小選，令與公切于e則有，記，∴在上單調遞減，在上單調遞增,，下證：只需證只需證而，即選，通過取對數(shù)，把比較的大小轉化為比較e與3的大小，即比較與大小，即較與大小令與y=kx+t切于，則有令∴在上單調遞增，在上單調遞減,，當取等下證，只需證，.三、典例展示【例1】（2021全國甲卷高考試題）已知且，函數(shù)．(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．【解析】（1）當時，,令得,當時，,當時，,∴函數(shù)在上單調遞增；上單調遞減；（2）,設函數(shù),則,令，得,在內,單調遞增；在上,單調遞減；,又，當趨近于時，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是．【例2】（2023屆新疆高三第三次適應性檢測）已知函數(shù)，．(1)討論的單調性；(2)若方程有兩個不相等的實根，求實數(shù)的取值范圍，并證明．【解析】（1）因為，所以，當時，，所以在區(qū)間上單調遞增，當時，令，得；令，得，所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，綜上當時，在區(qū)間上單調遞增，當時，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減.（2）方程，即，等價于，令，其中，則，顯然，令，則，所以在區(qū)間上單調遞減，且由時可得在區(qū)間上，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以，因為方程有兩個實根，所以關于的方程有兩個實根，，且，，所以，要證，即證，即證，只需證，因為，所以，整理可得，不妨設，則只需證，即，令，，其中，因為，所以在區(qū)間上單調遞增，所以，故．【例3】已知函數(shù)，，．(1)求的極值；(2)若有兩個零點a，b，且，求證：．【解析】(1)函數(shù)的定義域為，．當時，，則在上單調遞增；當時，，則在上單調遞減，所以函數(shù)的極大值為，無極小值．(2)令，則．設，則，易知函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增．又，所以，又有兩個零點，所以．因為，所以．要證，即證，即證．又，則，故即證，即證．設，，則，所以在上單調遞減，所以，故得證．【例4】設函數(shù).(1)設、且，求證：對任意的、，總有成立；(2)設，，且，求證：.【解析】（1）證明：.不妨設，令，其中，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，因為，則，所以，，即，所以，當、且，對任意的、，總有成立.（2）證明：，，且，要證.即證，即，當時，由（1）可知，不等式成立，假設當時不等式成立，即，則當時，設，由（1）可得，則，這說明當時，結論也成立，故對任意的，，所以，，因此，，故當，，且時，.【例5】已知函數(shù)（1）討論g(x)的單調性；（2）若，對任意恒成立，求a的最大值；【解析】（1），當時，，在上單調遞增；當時，令，解得，令，解得，在上單調遞減，在上單調遞增；綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；（2）即為，即，設，則，易知函數(shù)在上單調遞增，而，所以（兩邊取對數(shù)），即，當時，即為，設，則，易知函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，（e），，即的最大值為．【例6】已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)設a，b為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：．【解析】(1)，定義域為，由，解得，由，解得，由，解得，所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．(2)∵a，b為兩個不相等的正數(shù)，且，∴，即，由（1）可知，且，時，，則令，則為的兩根，且，不妨設，則，先證，即證，即證，令，即證在上，，則，在上單調遞增，即，∴在上恒成立，即在上單調遞減，，∴，即可得；再證，即證，由（1）單調性可得證，令，，在上單調遞增，∴，且當，所以存在使得，即當時，單調遞減，當時，單調遞增，又有，且，所以恒成立，∴，則，即可證得．四、跟蹤檢測1.已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)當時，證明：函數(shù)有兩個零點；(3)若函數(shù)有兩個不同的極值點（其中），證明：．2.形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，冪指函數(shù)在求導時，可以利用對數(shù)法：在函數(shù)解析式兩邊取對數(shù)得，兩邊對求導數(shù)，得，于是.已知，.（1）求曲線在處的切線方程；（2）若，求的單調區(qū)間；（3）求證：恒成立.3.已知函數(shù)．(1)求的極值點．(2)若有且僅有兩個不相等的實數(shù)滿足．（i）求k的取值范圍（ⅱ）證明．4.已知，.(1)記，討論的單調區(qū)間；(2)記，若有兩個零點a，b，且.請在①②中選擇一個完成.①求證：；

②求證：5．已知，，（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若，函數(shù)有兩個零點，，求證：.6.已知函數(shù)存在極大值.（1）求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)有兩個零點，，求實數(shù)的取值范圍，并證明：.7.已知函數(shù).（1）若是曲線的切線，求a的值；（2）若有兩不同的零點，求b的取值范圍；（3）若，且恒成立，求a的取值范圍.8．已知函數(shù)，．（1）當時，①求的極值；②若對任意的都有，，求的最大值；（2）若函數(shù)有且只有兩個不同的零點，，求