專題10.5 互斥對立條件概率與獨(dú)立事件（解析版）

專題10.5互斥對立，條件概率與獨(dú)立事件題型一互斥與對立題型二頻率與概率題型三古典概型題型四獨(dú)立事件的概率題型五條件概率題型六全概率公式題型七貝葉斯公式題型一 互斥與對立例1．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子1次，事件A表示“擲出的點(diǎn)數(shù)大于2”，則與A互斥且不對立的事件是（

）．A．?dāng)S出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù) B．?dāng)S出的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)C．?dāng)S出的點(diǎn)數(shù)小于2 D．?dāng)S出的點(diǎn)數(shù)小于3【答案】C【分析】根據(jù)已知寫出對應(yīng)事件的基本事件，根據(jù)互斥、對立概念判斷各項(xiàng)與事件A的關(guān)系.【詳解】由題意，，而事件，“擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”對應(yīng)基本事件有，與A不互斥，“擲出的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”對應(yīng)基本事件有，與A不互斥，“擲出的點(diǎn)數(shù)小于2”對應(yīng)基本事件有，與A互斥且不對立，“擲出的點(diǎn)數(shù)小于3”對應(yīng)基本事件有，與A對立．故選：C例2．一名射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)，7環(huán)以下的概率分別為0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.計(jì)算這名射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率．(2)至少射中7環(huán)的概率．【答案】(1)0.52(2)0.87【分析】（1）利用互斥事件的概率求解；（2）利用對立事件的概率求解.【詳解】（1）設(shè)“射中10環(huán)”“射中9環(huán)”“射中8環(huán)”“射中7環(huán)”“射中7環(huán)以下”的事件分別為A，B，C，D，E，可知它們彼此之間互斥，且，所以，所以所以射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.52.（2）事件“至少射中7環(huán)”與事件E“射中7環(huán)以下”是對立事件，則，所以至少射中7環(huán)的概率為0.87.練習(xí)1．從裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么互斥而不對立的兩個(gè)事件是（

）A．“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球” B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”C．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球” D．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件、對立事件的定義逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】對于A，恰好有一個(gè)黑球的事件與恰好有兩個(gè)黑球的事件不能同時(shí)發(fā)生，可以同時(shí)不發(fā)生，因此“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”是互斥而不對立的兩個(gè)事件，A是；對于B，至少有一個(gè)黑球的事件與都是紅球的事件是對立事件，B不是；對于C，至少有一個(gè)黑球的事件與至少有一個(gè)紅球的事件可以同時(shí)發(fā)生，不互斥，C不是；對于D，至少有一個(gè)黑球的事件與都是黑球的事件可以同時(shí)發(fā)生，不互斥，D不是.故選：A練習(xí)2．已知隨機(jī)事件中，與互斥，與對立，且，則（

）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.9【答案】C【分析】由對立事件概率關(guān)系得到發(fā)生的概率，再由互斥事件的概率計(jì)算公式即可..【詳解】因?yàn)椋录c對立，所以，又，與互斥，所以，故選：C.練習(xí)3．下列說法中正確的是（

）A．若事件與事件是互斥事件，則B．對于事件和，C．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，則事件“至少有一次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件D．把紅、橙、黃、綠4張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，則事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是互斥事件【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件以及事件的關(guān)系與運(yùn)算逐一判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)槭录c事件是互斥事件，但不一定對立，所以不一定成立，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，因?yàn)槭录筒灰欢ㄊ腔コ馐录?，所以沒有，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，因?yàn)槭录爸辽儆幸淮沃邪小迸c事件“至多有一次中靶”，可以同時(shí)發(fā)生，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，因?yàn)榧凹追值眉t牌”與事件“乙分得紅牌”不能同時(shí)發(fā)生，所以這兩事件是互斥事件，故選項(xiàng)D正確.故選：D.練習(xí)4．（多選）已知甲罐中有四個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，乙罐中有五個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，5，6，現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件A＝“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5”，事件B＝“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積大于8”，則（

）A．事件A與事件B是互斥事件 B．事件A與事件B是對立事件C．事件發(fā)生的概率為 D．事件發(fā)生的概率為【答案】CD【分析】根據(jù)已知，利用列舉法列出基本事件，再利用交事件、并事件以及古典概型進(jìn)行求解.【詳解】由題可知，事件A的所有基本事件為：甲1乙5，甲1乙6，甲2乙5，甲2乙6，甲3乙3，甲3乙5，甲3乙6，甲4乙2，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙6，共11個(gè)；事件B的所有基本事件為：甲2乙5，甲2乙6，甲3乙3，甲3乙5，甲3乙6，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙6，共8個(gè)；所以事件A與事件B有“公共部分”，故A、B錯(cuò)誤；所以事件的所有基本事件為：甲1乙5，甲1乙6，甲2乙5，甲2乙6，甲3乙3，甲3乙5，甲3乙6，甲4乙2，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙6，共11個(gè)；又從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，共個(gè)基本事件，所以事件發(fā)生的概率為，故C正確；事件發(fā)生的概率為：甲2乙5，甲2乙6，甲3乙3，甲3乙5，甲3乙6，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙6，共8個(gè)，所以事件發(fā)生的概率為，故D正確；故選：CD.練習(xí)5．某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中，射中環(huán)的概率是射中環(huán)的概率的2倍，運(yùn)動(dòng)員射中環(huán)以下的概率為，求運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中，射中環(huán)的概率．【答案】【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的知識(shí)求得正確答案.【詳解】設(shè)事件分別表示“射中環(huán)”“射中環(huán)”“射中環(huán)以下”，則，因?yàn)?，所以，?即運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中，射中環(huán)的概率為.題型二 頻率與概率例3．在拋擲硬幣試驗(yàn)中，記事件A為“正面朝上”，則下列說法正確的（

）A．拋擲兩枚硬幣，事件“一枚正面，一枚反面”發(fā)生的概率為B．拋擲十枚硬幣，事件B為“拋擲十枚硬幣，正面都朝上”沒有發(fā)生，說明C．拋擲100次硬幣，事件A發(fā)生的頻率比拋擲50次硬幣發(fā)生的頻率更接近于0.5D．當(dāng)拋擲次數(shù)足夠大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率接近于0.5【答案】D【分析】根據(jù)古典概型判斷AB，利用概率與頻率的關(guān)系判斷CD.【詳解】拋擲兩枚硬幣，出現(xiàn)的基本事件為（正，反），（正，正），（反，正），（反，反），所以事件“一枚正面，一枚反面”發(fā)生的概率為，故A錯(cuò)誤；“拋擲十枚硬幣，正面都朝上”沒有發(fā)生，不能說明，應(yīng)有，故B錯(cuò)誤；拋擲100次硬幣，事件A發(fā)生的頻率與拋擲50次硬幣A發(fā)生的頻率不能判斷誰更接近于0.5，故C錯(cuò)誤；根據(jù)頻率與概率的關(guān)系知，當(dāng)拋擲次數(shù)足夠大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率接近于0.5，故D正確.故選：D例4．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米3285石，驗(yàn)得米內(nèi)有夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得261粒米內(nèi)有夾谷29粒，則這批米內(nèi)夾谷約為石.【答案】365【分析】用樣本頻率估計(jì)總體頻率，按比例計(jì)算．【詳解】設(shè)這批米內(nèi)夾谷約為粒，則，解得，則這批米內(nèi)夾谷約為．故答案為：．練習(xí)6．在一個(gè)不透明的紙盒中裝有2個(gè)白球和若干個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同.每次從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回袋中，通過多次重復(fù)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.8附近，則袋子中紅球約有個(gè).【答案】【分析】利用頻率結(jié)合古典概型的計(jì)算公式代入即可得出答案.【詳解】因?yàn)槊郊t球的頻率穩(wěn)定在0.8附近，估計(jì)袋中紅球個(gè)數(shù)是.故答案為：.練習(xí)7．某制造商今年月份生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機(jī)抽取個(gè)進(jìn)行檢查，測得每個(gè)乒乓球的直徑（單位：mm），將數(shù)據(jù)分組如下：分組頻數(shù)頻率100.10200.20500.50200.20合計(jì)1001.00若用上述頻率近似概率，已知標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的直徑為，則這批乒乓球的直徑誤差不超過的概率是．【答案】【分析】根據(jù)表格提供數(shù)據(jù)以及概率、頻率的知識(shí)求得正確答案.【詳解】標(biāo)準(zhǔn)尺寸是，并且誤差不超過，即直徑需落在[39.97，40.03]范圍內(nèi)．由頻率分布表知，頻率為，所以直徑誤差不超過的概率約為.故答案為：練習(xí)8．（多選）某校為了解學(xué)校餐廳中午的用餐情況，分別統(tǒng)計(jì)了食用大米套餐和面食的人次數(shù)，剩下的為食用米線漢堡等其它食品（每人只選一種），結(jié)果如表所示：總?cè)舜螖?shù)大米套餐人次數(shù)面食人次數(shù)1000550260假設(shè)隨機(jī)抽取一位同學(xué)，記中午吃大米套餐為事件M，吃面食為事件N，吃米線漢堡等其他食品為事件H，若用頻率估計(jì)事件發(fā)生的概率，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用頻率求各事件對應(yīng)的概率，應(yīng)用互斥事件加法求，判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】用頻率估計(jì)概率得：，，，故A，B，C正確；表示事件N發(fā)生或事件H發(fā)生，且N與H互斥，故，故D錯(cuò)誤，故選：ABC．練習(xí)9．甲、乙兩人相約在某健身房鍛煉身體，他們分別在兩個(gè)網(wǎng)站查看這家健身房的評(píng)價(jià)．甲在網(wǎng)站A查到共有840人參與評(píng)價(jià)，其中好評(píng)率為，乙在網(wǎng)站B查到共有1260人參與評(píng)價(jià)，其中好評(píng)率為．綜合考慮這兩個(gè)網(wǎng)站的信息，則這家健身房的總好評(píng)率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計(jì)算可得.【詳解】由已知可得這家健身房的總好評(píng)率為.故選：B.練習(xí)10．某車間從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000個(gè)零件進(jìn)行一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的檢測，整理檢測結(jié)果得此項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．估計(jì)這批產(chǎn)品該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的眾數(shù)為45C．估計(jì)這批產(chǎn)品該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)的中位數(shù)為60D．從這批產(chǎn)品中隨機(jī)選取1個(gè)零件，其質(zhì)量指標(biāo)在的概率約為0.5【答案】C【分析】利用各組的頻率之和為1，求得的值，判定A；根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念判定BC；根據(jù)頻率估計(jì)概率值，從而判定D.【詳解】，解得，故A正確；頻率最大的一組為第二組，中間值為，所以眾數(shù)為45，故B正確；質(zhì)量指標(biāo)大于等于60的有兩組，頻率之和為，所以60不是中位數(shù)，故C錯(cuò)誤；由于質(zhì)量指標(biāo)在[50,70)之間的頻率之和為，可以近似認(rèn)為從這批產(chǎn)品中隨機(jī)選取1個(gè)零件，其質(zhì)量指標(biāo)在的概率約為0.5，故D正確.故選:題型三 古典概型例5．用0，1，2三個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，其中三位數(shù)為偶數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，用列舉法可寫出所有基本事件，再利用古典概型可解．【詳解】根據(jù)題意，用0，1，2三個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有：102，120，210，201共四種情況，其中三位數(shù)是偶數(shù)有：102，210，120，共3種情況，故用0，1，2三個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，其中三位數(shù)為偶數(shù)的概率是.故選：D．例6．若從集合中任取3個(gè)元素組成該集合的一個(gè)子集，那么取得的子集中，滿足3個(gè)元素中恰好含有2個(gè)連續(xù)整數(shù)的概率等于；【答案】./0.6【分析】根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.【詳解】從中任取3個(gè)元素形成的子集共有個(gè)，當(dāng)連續(xù)整數(shù)為1，2時(shí)，此時(shí)符合條件的子集有2個(gè)；當(dāng)連續(xù)整數(shù)為2，3時(shí)，此時(shí)符合條件的子集有1個(gè)；當(dāng)連續(xù)整數(shù)為3，4時(shí)，此時(shí)符合條件的子集有1個(gè)，當(dāng)連續(xù)整數(shù)為4，5時(shí)，此時(shí)符合條件的子集有2個(gè)，故有6個(gè)子集中恰好含有兩個(gè)連續(xù)整數(shù)．故所求概率為，故答案為：練習(xí)11．江南的周莊、同里、用直、西塘、烏鎮(zhèn)、南潯古鎮(zhèn)，并稱為“江南六大古鎮(zhèn)”，是中國江南水鄉(xiāng)風(fēng)貌最具代表的城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊(yùn)、清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風(fēng)貌、古樸的吳儂軟語民俗風(fēng)情，在世界上獨(dú)樹一幟，馳名中外，這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州境內(nèi)的有3處．某家庭計(jì)劃今年暑假從這6個(gè)古鎮(zhèn)中挑選2個(gè)去旅游，則至少選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用組合數(shù)求出所有可能情況數(shù)，應(yīng)用古典概型的概率求法、對立事件概率求法求概率即可.【詳解】從這6個(gè)古鎮(zhèn)中挑選2個(gè)去旅游的可能情況有種情況，至少選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的概率為．故選：C練習(xí)12．一個(gè)不透明的袋中裝有2個(gè)紅球，2個(gè)黑球，1個(gè)白球，這些球除顏色外，其他完全相同，現(xiàn)從袋中一次性隨機(jī)抽取3個(gè)球，則“這3個(gè)球的顏色各不相同”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】列舉出所有可能的結(jié)果，并找出其中符合題意的情況即可得解.【詳解】由題意設(shè)2個(gè)紅球分別用表示，2個(gè)黑球分別用表示，1個(gè)白球用表示，則取出的三個(gè)球的組合有以下種情形：、、、、、、、、、，其中符號(hào)條件的有以下四種情形：、、、.因此從袋中一次性隨機(jī)抽取3個(gè)球，則“這3個(gè)球的顏色各不相同”的概率為.故選：D.練習(xí)13．2022年11月8日，江西省第十六屆運(yùn)動(dòng)會(huì)在九江市體育中心公園主體育場開幕，這是九江市舉辦的規(guī)模最大、規(guī)格最高的綜合性體育賽事．賽事期間，有3000多名志愿者參加了活動(dòng)．現(xiàn)將4名志愿者分配到跳高、跳遠(yuǎn)2個(gè)項(xiàng)目參加志愿服務(wù)活動(dòng)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則“恰好有一個(gè)項(xiàng)目分配了3名志愿者”的概率為．【答案】【分析】按照分組分配的方法，再結(jié)合古典概型概率公式，即可求解.【詳解】4名志愿者分配到跳高、跳遠(yuǎn)2個(gè)項(xiàng)目，有種方法，將4名志愿者按照1，3的分組，再分配的方法，共有種方法，所以“恰好有一個(gè)項(xiàng)目分配了3名志愿者”的概率．故答案為：練習(xí)14．齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)雙方各出上、中、下等馬各一匹分組分別進(jìn)行一場比賽，勝兩場及以上者獲勝，若雙方均不知道對方馬的出場順序，則田忌獲勝的概率為．【答案】【分析】用列舉法進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)齊王的下等馬、中等馬、上等馬分別為a1，a2，a3，田忌的下等馬、中等馬、上等馬分別為b1，b2，b3.齊王與田忌賽馬，其情況有：(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齊王獲勝；(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齊王獲勝；(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齊王獲勝；(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，齊王獲勝；(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，田忌獲勝；(a3，b1)，(a1，b3)，(a2，b2)，齊王獲勝，共6種．其中田忌獲勝的只有一種情形，即(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，則田忌獲勝的概率為.故答案為：練習(xí)15．某校組織了600名高中學(xué)生參加中國共青團(tuán)相關(guān)的知識(shí)競賽，將競賽成績分成，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.若圖中未知的數(shù)據(jù)，，成等差數(shù)列，成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為300.

(1)求出頻率分布直方圖中，，的值；(2)估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；(3)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)落在，內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行現(xiàn)場知識(shí)答辯，求抽取的這2人中恰有1人的得分在區(qū)間內(nèi)的概率.【答案】(1)，，(2)中位數(shù)為69，平均數(shù)為71(3)【分析】（1）由成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為300，可求出，再由各組的頻率和為1，結(jié)合，，成等差數(shù)列，可求出，（2）先判斷中位數(shù)的位置，再列方程求解，利用平均數(shù)的定義求平均數(shù)即可，（3）由分層抽樣的定義求得抽取的6人中成績位于的人數(shù)為4，這4人分別記為，，，，成績位于的人數(shù)為2，這2人分別記為，，然后利用列舉法求解概率.【詳解】（1）由已知可得，則，即，又因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，解得，，（2）可知，，設(shè)中位數(shù)為，則，由，解得，即中位數(shù)為69，平均數(shù)為.（3）成績位于區(qū)間內(nèi)的學(xué)生有人，成績位于區(qū)間內(nèi)的學(xué)生有人，通過分層抽樣抽取的6人中成績位于的人數(shù)為，這4人分別記為，，，，成績位于的人數(shù)為，這2人分別記為，，從上述6人中抽取2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15種，其中恰有1人的得分在區(qū)間內(nèi)的基本事件有，，，，，，，，共8種，故所求概率.題型四 獨(dú)立事件的概率例7．甲，乙，丙三人打靶，他們的命中率分別，若三人同時(shí)射擊一個(gè)目標(biāo)，甲、丙擊中目標(biāo)而乙沒有擊中目標(biāo)的概率為，乙擊中目標(biāo)而丙沒有擊中目標(biāo)的概率為，已知“甲擊中目標(biāo)”，“乙擊中目標(biāo)”，“丙擊中目標(biāo)”是相互獨(dú)立事件，則的值分別為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由獨(dú)立事件的概率公式列方程組求解．【詳解】由題意，解得．故選：C．例8．如圖，已知電路中有4個(gè)開關(guān)，每個(gè)開關(guān)獨(dú)立工作，且閉合的概率為，則燈亮的概率為．

【答案】/0.8125【分析】先計(jì)算出燈不亮的概率，進(jìn)而利用對立事件求概率公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】記開關(guān)閉合為事件A，B，C，D，因?yàn)殚_關(guān)斷開且開關(guān)至少有一個(gè)斷開時(shí)，線路才斷開，導(dǎo)致燈不亮，所以燈不亮的概率為,所以燈亮的概率為.故答案為：練習(xí)16．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“第一枚骰子奇數(shù)面朝上”，事件“第二枚骰子偶數(shù)面朝上”，事件“兩枚骰子向上點(diǎn)數(shù)之和為”.則下列結(jié)論正確的是（

）A．與對立 B．與互斥C． D．與獨(dú)立【答案】D【分析】根據(jù)對立事件、互斥事件、古典概率、相互獨(dú)立事件等知識(shí)對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，事件“第一枚骰子奇數(shù)面朝上”，事件“第二枚骰子偶數(shù)面朝上”，兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，即“第一枚骰子奇數(shù)面朝上，第二枚骰子偶數(shù)面朝上”，所以與不是對立事件，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，事件“第一枚骰子奇數(shù)面朝上”，事件“兩枚骰子向上點(diǎn)數(shù)之和為”，兩個(gè)事件可以同時(shí)發(fā)生，如“第一枚骰子為點(diǎn)，第二骰子為點(diǎn)”，所以與不是互斥事件，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.基本事件的總數(shù)為，事件“兩枚骰子向上點(diǎn)數(shù)之和為”，包含的基本事件為：，共個(gè)，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.事件“第二枚骰子偶數(shù)面朝上”，則，事件“第二枚骰子偶數(shù)面朝上，兩枚骰子向上點(diǎn)數(shù)之和為”，包含的基本事件為：，所以，所以，所以與獨(dú)立，所以D選項(xiàng)正確.故選：D練習(xí)17．某知識(shí)問答競賽需要三人組隊(duì)參加，比賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個(gè)階段，每個(gè)階段比賽中，如果一支隊(duì)伍中至少有一人通過，則這支隊(duì)伍通過此階段.已知甲、乙、丙三人組隊(duì)參加，若甲通過每個(gè)階段比賽的概率均為，乙通過每個(gè)階段比賽的概率均為，丙通過每個(gè)階段比賽的概率均為，且三人每次通過與否互不影響，則這支隊(duì)伍進(jìn)入決賽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得這支隊(duì)伍通過每個(gè)階段比賽的概率為，利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算可得出結(jié)果.【詳解】“至少有一人通過”的對立事件為“三人全部未通過”，則這支隊(duì)伍通過每個(gè)階段比賽的概率為，所以他們連續(xù)通過初賽和復(fù)賽的概率為，即進(jìn)入決賽的概率為.故選：B練習(xí)18．在東京奧運(yùn)會(huì)乒乓球男子單打決賽中，中國選手馬龍戰(zhàn)勝隊(duì)友樊振東，奪得冠軍。乒乓球決賽采用7局4勝制.在決勝局的比賽中，先得11分的運(yùn)動(dòng)員為勝方，但打到10平以后，先多得2分者為勝方.在平后，雙方實(shí)行輪換發(fā)球法，每人每次只發(fā)1個(gè)球.若在決勝局比賽中，馬龍發(fā)球時(shí)馬龍得分的概率為，樊振東發(fā)球時(shí)馬龍得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，在雙方平后，馬龍先發(fā)球，則雙方戰(zhàn)至的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】記甲為馬龍，乙為樊振東在比分為后甲先發(fā)球的情況下，甲以贏下此局分兩種情況：①后四球勝方依次為甲乙甲甲，概率為：.②后四球勝方依次為乙甲甲甲，概率為，，乙以贏下此局分兩種情況：③后四球勝方依次為乙甲乙乙，概率為：④后四球勝方依次為甲乙乙乙，概率為，所以，所求事件概率為.故選：A練習(xí)19．（多選）連續(xù)拋擲兩次骰子，“第一次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)小于3”記為事件，“第二次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”記為事件，“兩次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”記為事件，“兩次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”記為事件，則下列敘述中不正確的是（

）A．與互斥 B．C．與相互獨(dú)立 D．與不相互獨(dú)立【答案】ABC【分析】由已知，根據(jù)題意，分別寫出事件A、B、C、D包含的基本事件，并計(jì)算出概率，然后根據(jù)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可做出判斷.【詳解】因?yàn)閽仈S一次骰子，包含個(gè)基本事件，事件表示結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)為、，所以；事件表示第二次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)為、，所以；事件表示結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)為，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18種情況，而拋擲兩次骰子共出現(xiàn)種情況，所以；事件表示結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)為，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18種情況，而拋擲兩次骰子共出現(xiàn)種情況，所以；對于A：由上述事件與事件表示的結(jié)果可知，，所以事件與事件互斥且對立，故A正確；對于B：因?yàn)椋硎緝纱螔仈S結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)且第一次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)小于的概率，其中有，，，，，共6種情況，所以，所以，故B正確；對于C：因?yàn)椋?，表示兩次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)且第一次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)小于3的概率，其中有，，，，，，共6種情況，所以，所以與相互獨(dú)立，故C正確；對于D：因?yàn)?，，而表示兩次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)且第二次拋擲結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的概率，其中有，，，，，，共6種情況，所以，所以與相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.練習(xí)20．甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行籃球投籃練習(xí)，甲同學(xué)一次投籃命中的概率為，乙同學(xué)一次投籃命中的概率為，假設(shè)兩人投籃命中與否互不影響，則甲、乙兩人各投籃一次，恰有一人命中的概率是．【答案】/【分析】根據(jù)互斥事件與獨(dú)立事件的概率運(yùn)算公式求解即可得所求事件的概率.【詳解】設(shè)A，B分別表示事件“一次投籃中甲命中”和“一次投籃中乙命中”所以則恰有一人命中的概率為．故答案為：.題型五 條件概率例9．從1、2、3、4、5、6、7這7個(gè)數(shù)中任取5個(gè)不同的數(shù)，事件：“取出的5個(gè)不同的數(shù)的中位數(shù)是4”，事件：“取出的5個(gè)不同的數(shù)的平均數(shù)是4”，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)、平均數(shù)的定義，結(jié)合古典概型、條件概率的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)題意，從7個(gè)數(shù)中任取5個(gè)數(shù)，則基本事件總數(shù)為，這5個(gè)數(shù)的中位數(shù)是4的基本事件有個(gè)，所以，其中5個(gè)數(shù)的平均數(shù)都是4的基本事件有1，2，4，6，7；1，3，4，5，7；2，3，4，5，6，共3種情況，這3種情況恰好也是的基本事件，所以，所以，故選：C例10．（多選）已知為隨機(jī)事件，則下列表述中不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)概率的性質(zhì)及事件的運(yùn)算關(guān)系，結(jié)合獨(dú)立事件、條件概率公式判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】僅當(dāng)與相互獨(dú)立時(shí)，成立，故A不正確；當(dāng)和是兩個(gè)互斥事件時(shí)才成立，故B不正確；，故C正確；，故D不正確．故選：ABD練習(xí)21．2023年3月13日第十四屆全國人民代表大會(huì)第一次會(huì)議在北京勝利閉幕，某中學(xué)為了貫徹學(xué)習(xí)“兩會(huì)”精神，舉辦“學(xué)兩會(huì)，知國事”知識(shí)競賽．高二學(xué)生代表隊(duì)由A，B，C，D，E共5名成員組成，現(xiàn)從這5名成員中隨機(jī)抽選3名參加學(xué)校決賽，則在學(xué)生A被抽到的條件下，學(xué)生B也被抽到的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出事件，利用條件概率求解公式計(jì)算.【詳解】記事件A：學(xué)生A被抽到，事件B：學(xué)生B被抽到，所以，，所以．故選：B練習(xí)22．若是互斥事件且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用互斥事件的概率加法公式，即可求解.【詳解】因?yàn)槭腔コ馐录?，且，所?故選：D.練習(xí)23．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以、和表示從甲罐中取出紅球、白球和黑球，再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以表示從乙罐中取出的球是紅球，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)全概率公式求得，結(jié)合條件概型的知識(shí)確定正確答案.【詳解】依題意，，A選項(xiàng)正確.，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A練習(xí)24．已知，，，則．【答案】【分析】利用條件概率公式和對立事件的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，所以?故答案為：練習(xí)25．甲、乙兩個(gè)袋子中，各放有大小、形狀和個(gè)數(shù)相同的小球若干.每個(gè)袋子中標(biāo)號(hào)為0的小球?yàn)?個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的2個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的n個(gè).從一個(gè)袋子中任取兩個(gè)球，取到的標(biāo)號(hào)都是2的概率是.(1)求n的值；(2)從甲袋中任取兩個(gè)球，已知其中一個(gè)的標(biāo)號(hào)是1的條件下，求另一個(gè)標(biāo)號(hào)也是1的概率.【答案】(1)2(2)【分析】（1）根據(jù)取到標(biāo)號(hào)都是2的概率列出式子即可求解；（2）記“其中一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)是1”為事件，“另一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)是1”為事件，求出，利用條件概率公式即可求出.【詳解】（1）由題意得，解得或（舍去）；（2）記“其中一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)是1”為事件，“另一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)是1”為事件，則，，所以.題型六 全概率公式例11．甲單位有3名男性志愿者，2名女性志愿者；乙單位有4名男性志愿者，1名女性志愿者，從兩個(gè)單位任抽一個(gè)單位，然后從所抽到的單位中任取2名志愿者，則取到兩名男性志愿者的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用古典概型運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】從所抽到的單位中任取2名志愿者，則取到兩名男性志愿者的概率為：，故選：D例12．已知，則．【答案】0.74/【分析】運(yùn)用條件概率公式、對立事件概率公式及全概率公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，所以，所以，故答案為?.74.練習(xí)26．甲口袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，乙口袋中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球，先從甲口袋中隨機(jī)取出1球放入乙口袋，分別以，表示從甲口袋取出的球是紅球?白球的事件；再從乙口袋中隨機(jī)取出1球，以表示從乙口袋取出的球是紅球的事件，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求出，，再根據(jù)全概率公式求出，再根據(jù)條件概率公式即可得解.【詳解】，，，.故選：A.練習(xí)27．某人外出出差，委托鄰居給家里盆栽澆一次水，若不澆水，盆栽枯萎的概率為；若澆水，盆栽枯萎的概率為．鄰居澆水的概率為．則該人回來盆栽沒有枯萎的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】記為事件“盆栽沒有枯萎”，為事件“鄰居給盆栽澆水”，利用全概率公式可求得的值，再利用對立事件的概率公式可求得的值.【詳解】記為事件“盆栽沒有枯萎”，為事件“鄰居給盆栽澆水”，由題意可得，，，，由全概率公式可得,由對立事件的概率公式可得，故選：B.練習(xí)28．有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品，其中甲工廠生產(chǎn)的占，乙工廠生產(chǎn)的占.已知甲、乙兩工廠生產(chǎn)的該型號(hào)產(chǎn)品的次品率分別為，，則從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是.【答案】0.024【分析】利用全概率公式直接求解．【詳解】設(shè)，分別表示甲、乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，表示取到次品，則，，，，從中任取一件產(chǎn)品取到次品的概率為：，故答案為：0.024．練習(xí)29．有臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第臺(tái)加工的次品率為，第，臺(tái)加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起，第，，臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，.隨機(jī)取一個(gè)零件，記“零件為次品”，“零件為第臺(tái)車床加工”，則下列結(jié)論：①②③④其中正確的序號(hào)為.【答案】①②③【分析】由全概率公式和條件概率依次判斷4個(gè)結(jié)論即可.【詳解】因?yàn)?，故①正確；因?yàn)?，故②正確；因?yàn)椋?，所以，故③正確；由③可得，又因?yàn)?，故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③.練習(xí)30．“青團(tuán)”是江南人家在清明節(jié)吃的一道傳統(tǒng)點(diǎn)心，據(jù)考證“青團(tuán)”之稱大約始于唐代，已有1000多年的歷史．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)箱子裝有大小、外觀均相同的“青團(tuán)”，已知甲箱中有3個(gè)蛋黃餡的“青團(tuán)”，2個(gè)肉餡的“青團(tuán)”和5個(gè)青菜餡的“青團(tuán)”.乙箱中有3個(gè)蛋黃餡的“青團(tuán)”，3個(gè)肉餡的“青團(tuán)”和4個(gè)青菜餡的“青團(tuán)”.問：(1)從甲箱中取出一個(gè)“青團(tuán)”是蛋黃餡的的概率是多少？(2)若依次從甲箱中取出兩個(gè)“青團(tuán)”，求第一個(gè)是蛋黃餡的條件下，第二個(gè)是肉餡的概率；(3)若先從甲箱中隨機(jī)取出一個(gè)“青團(tuán)”放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出一個(gè)“青團(tuán)”，從乙箱取出的“青團(tuán)”是蛋黃餡的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)古典概型方法求解即可；（2）根據(jù)條件概率公式求解即可；（3）從甲箱中隨機(jī)取出一個(gè)“青團(tuán)”放入乙箱可能的情況有3種，再根據(jù)全概率與條件概率公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)事件“取出青團(tuán)是蛋黃餡”，.（2）設(shè)事件“甲箱中取出的第一個(gè)青團(tuán)是蛋黃餡”，事件“取出第二個(gè)青團(tuán)是肉餡”，.（3）設(shè)事件“從乙箱取出的“青團(tuán)”是蛋黃餡”.設(shè)事件分別是甲箱中取出蛋黃餡的“青團(tuán)”，肉餡的“青團(tuán)”和青菜餡的“青團(tuán)”，

題型七 貝葉斯公式例13．托馬斯·貝葉斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的問題中得到了一個(gè)公式：，這個(gè)公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱為的全概率．假設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球和2個(gè)紅球．現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，再從乙袋中任取2個(gè)球．已知從乙袋中取出的是2個(gè)白球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)白球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，先分析求解設(shè)從甲中取出個(gè)球，其