上海市四校八大重點(diǎn)高中數(shù)學(xué)自招真題匯編（六）

上海市四校八大重點(diǎn)高中數(shù)學(xué)自招真題匯編六（華二）四個(gè)互不相等的整數(shù)，滿足下列關(guān)系式，則可能有個(gè)取值。 解：結(jié)合萬位數(shù)、百位數(shù)、個(gè)位數(shù)得：，結(jié)合千位數(shù)、十位數(shù)得：，∵互不相等∴可能取。共個(gè)。（上中）設(shè)為整數(shù)且滿足，則代數(shù)式。解：∵為整數(shù)，∴、都是自然數(shù)，∵∴或∴或∴（復(fù)附）已知，為奇質(zhì)數(shù)，求滿足條件的的整數(shù)解。解：∵∴∴∵為整數(shù)，且∴、為整數(shù)，且∴或∴或。（交附）先計(jì)算，的結(jié)果，再推導(dǎo)出一般式并證明。解：，∴一般式為：證明：.（建平）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△和△的直角頂點(diǎn)始終在軸的正半軸上，在第一象限內(nèi)，點(diǎn)在直線上方，，，為的中點(diǎn)，與相交于，當(dāng)點(diǎn)位置變化時(shí)，△的面積恒為。試解決下列問題：（1）設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，請(qǐng)把長(zhǎng)表示成關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并化簡(jiǎn)；（2）等式能否成立？為什么？（3）設(shè)與相交于，當(dāng)△為直角三角形時(shí)，判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論。解：∵點(diǎn)橫坐標(biāo)為，△的面積恒為?！啵ǎ?，，∴∴，（∵）。（2）若，則點(diǎn)在線段的垂直平分線上易知為線段的垂直平分線∴點(diǎn)在直線上∴∴顯然無解（∵）∴等式不能成立。（也可利用列出關(guān)于的方程解）（3）易知，①若，則，四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∴∴∴平行四邊形為菱形；②若，則，，，四邊形為直角梯形；（交附）已知，在△中，，，求△的面積。解：作的平分線，設(shè),則,,易知△∽△∴∴解得：（負(fù)值舍）.（即△為黃金三角形）過作于?！唷?，∴.（復(fù)附）若、、為正有理數(shù)，證明：（1）若為有理數(shù)，則、為有理數(shù)。（2）若為有理數(shù)，則、、為有理數(shù)。解：（1）設(shè)(為正有理數(shù))∴∴∴∴，為有理數(shù)（2）設(shè)，則∴∴∴。把看成（1）中的，看成（1）中的，由（1）知為有理數(shù)，為有理數(shù)，為有理數(shù)∵∴為有理數(shù)由（1）知、為有理數(shù)∴、、為有理數(shù)。（上中）解方程組解：∴∴∴或解得：或（上中）（1），求其中任意兩個(gè)元素的乘積之和；（2），求其中任意偶數(shù)個(gè)元素的乘積之和。解：（1）由公式得：。（2）構(gòu)造多項(xiàng)式表示任意兩個(gè)元素的乘積之和，表示任意四個(gè)元素的乘積之和，……。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴∴.【備用】已知三個(gè)關(guān)于的一元二次方程，，有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，則解：設(shè)公共根為，則，，∴即∴∴若實(shí)數(shù)滿足，，則解：可以看成和是關(guān)于的方程的兩根方程可化簡(jiǎn)為：由韋達(dá)定理得：