6.1 空間向量及其運(yùn)算（十一大題型）（解析版）

6．1空間向量及其運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能類比平面向量的學(xué)習(xí)，經(jīng)歷平面向量推廣到空間向量的過程，并初步建構(gòu)空間向量及其運(yùn)算的研究框架．（2）能類比平面向量，用自己的語言解釋空間向量的概念，說明空間向量與平面向量的共性與差異．（3）能將平面向量的線性運(yùn)算推廣到空間，給出空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算的定義及其幾何意義．（4）能將平面向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律推廣到空間，并能借助圖形解釋其意義；會(huì)用空間向量的線性運(yùn)算表示空間中的基本元素，體會(huì)空間向量的線性運(yùn)算在解決立體幾何問題中的作用．（5）能將平面向量數(shù)量積的運(yùn)算推廣到空間，給出空間向量數(shù)量積的概念，會(huì)計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積；能將平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律推廣到空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律，能用自己的語言解釋空間向量運(yùn)算律和實(shí)數(shù)運(yùn)算律的聯(lián)系與區(qū)別．（6）能借助圖形解釋空間向量投影的概念以及投影向量的意義．（7）能利用向量數(shù)量積解決幾何度量問題，證明與垂直有關(guān)的簡單問題；體會(huì)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及其運(yùn)算律在解決立體幾何問題中的作用．（1）了解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示與字母表示.（2）掌握空間向量的線性運(yùn)算（3）掌握共線向量定理，會(huì)用共線向量定理解決相關(guān)問題．（5）理解空間共面向量定理，會(huì)證明直線與平面平行.（6）理解空間向量共面的充要條件，會(huì)證明空間四點(diǎn)共面．知識(shí)點(diǎn)01空間向量的有關(guān)概念1、空間向量（1）定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．（2）長度或模：空間向量的大?。?）表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母表示；若向量的起點(diǎn)是，終點(diǎn)是，也可記作：，其模記為或．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）空間中點(diǎn)的一個(gè)平移就是一個(gè)向量；（2）數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量．2、幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量任意0單位向量任意1相反向量相反相等的相反向量：的相反向量：相等向量相同相等【即學(xué)即練1】（2024·山東日照·高二校考階段練習(xí)）下列命題中為真命題的是（

）A．向量與的長度相等B．將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C．空間非零向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等【答案】A【解析】選項(xiàng)A：因?yàn)榭臻g向量與互為相反向量，所以空間向量與的長度相等，所以A正確；選項(xiàng)B：將空間所有的單位向量平移到一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，所以B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：兩個(gè)空間向量不相等，它們的?？赡芟嗟?，也可能不相等，如向量與的模相等，所以D錯(cuò)誤；故選：A.知識(shí)點(diǎn)02空間向量的線性運(yùn)算（1）向量的加法、減法空間向量的運(yùn)算加法減法加法運(yùn)算律①交換律：②結(jié)合律：（2）空間向量的數(shù)乘運(yùn)算①定義：實(shí)數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)時(shí)，與向量方向相同；當(dāng)時(shí)，與向量方向相反；當(dāng)時(shí)，；的長度是的長度的倍．②運(yùn)算律結(jié)合律：．分配律：，．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）空間向量的運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的延展，空間向量的加法運(yùn)算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運(yùn)算，可以將向量合并；（2）向量的減法運(yùn)算是向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，滿足三角形法則．（3）空間向量加法的運(yùn)算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，即：因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；【即學(xué)即練2】（2024·廣東中山·高二中山市華僑中學(xué)校考階段練習(xí)）已知三棱錐，點(diǎn)M，N分別為AB，OC的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選：C.知識(shí)點(diǎn)03共線問題共線向量（1）定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．（2）方向向量：在直線l上取非零向量，與向量平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量，都有．（3）共線向量定理：對于空間任意兩個(gè)向量，，的充要條件是存在實(shí)數(shù)使．（4）如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量，則對于直線l上任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)，使得．知識(shí)點(diǎn)詮釋：此定理可分解為以下兩個(gè)命題：（1）存在唯一實(shí)數(shù)，使得；（2）存在唯一實(shí)數(shù)，使得，則．注意：不可丟掉，否則實(shí)數(shù)就不唯一．（3）共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進(jìn)而證線面平行）②證明三點(diǎn)共線．注意：證明平行時(shí)，先從兩直線上取有向線段表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法．證明三點(diǎn)共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn)．【即學(xué)即練3】（2024·福建莆田·高二?？茧A段練習(xí)）已知不共線向量，，，，，，則一定共線的三個(gè)點(diǎn)是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得，即，所以，無解，所以不共線，則三點(diǎn)不共線，若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得，即，所以，無解，所以不共線，則三點(diǎn)不共線，，若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得，即，所以，無解，所以不共線，則三點(diǎn)不共線，，所以，又點(diǎn)為兩向量的公共端點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線.故選：D.知識(shí)點(diǎn)04向量共面問題共面向量（1）定義：平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量．（2）共面向量定理：若兩個(gè)向量，不共線，則向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使．（3）空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對，使或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有．（4）共面向量定理的用途：①證明四點(diǎn)共面②線面平行（進(jìn)而證面面平行）．【即學(xué)即練4】（2024·全國·高二專題練習(xí)）八十年代初期，空間向量解決立體幾何問題的思路得到了長足的發(fā)展，已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對空間任意一點(diǎn)O，若，則P，A，B，C四點(diǎn)（）A．不共面 B．不一定共面C．無法判斷是否共面 D．共面【答案】D【解析】對于空間任意一點(diǎn)和不共線三點(diǎn)、、，若點(diǎn)滿足：，且，則、、、四點(diǎn)共面.而，其中，所以四點(diǎn)共面.故選：D知識(shí)點(diǎn)05空間向量數(shù)量積的運(yùn)算空間向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個(gè)非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作．即．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為．（2）常用結(jié)論（，為非零向量）①．②．③．（3）數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律交換律分配律知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）由于空間任意兩個(gè)向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個(gè)向量的夾角的定義和取值范圍、兩個(gè)向量垂直的定義和表示符號及向量的模的概念和表示符號等，都與平面向量相同．（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．（3）兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩向量的點(diǎn)乘，與以前學(xué)過的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書寫時(shí)一定要將它們區(qū)別開來，不可混淆．【即學(xué)即練5】（2024·北京房山·高二統(tǒng)考）在棱長為2的正方體中，（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【解析】在棱長為2的正方體中,易知，因?yàn)?，與的夾角為，所以與的夾角為，.故選：D知識(shí)點(diǎn)06夾角問題1、定義：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)D，作，，則叫做向量與的夾角，記作，如下圖．根據(jù)空間兩個(gè)向量數(shù)量積的定義：，那么空間兩個(gè)向量、的夾角的余弦．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）規(guī)定：（2）特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向；如果，那么與垂直，記作．2、利用空間向量求異面直線所成的角異面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量，計(jì)算兩個(gè)方向向量的夾角得到．在求異面直線所成的角時(shí)，應(yīng)注意異面直線所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補(bǔ)角．【即學(xué)即練6】（2024·山東煙臺(tái)·高二校聯(lián)考）已知空間向量，，滿足，，且，則與的夾角大小為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【解析】由題設(shè)，則，所以，又，可得，即.故選：C知識(shí)點(diǎn)07空間向量的長度1、定義：在空間兩個(gè)向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：將其推廣：；．2、利用向量求線段的長度．將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題．一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來求解．【即學(xué)即練7】（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中學(xué)?？迹┤鐖D，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，，，，，，為中點(diǎn)．(1)用空間的一組基表示，；(2)求，的值．【解析】（1）由題意可得：，.（2）由題意可得：，因?yàn)椋?題型一：空間向量的概念例1．（2024·新疆·高二?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，互為相反向量，則C．空間中兩平行向量相等 D．在四邊形ABCD中，【答案】D【解析】對于A，向量不可以比較大小，所以A錯(cuò)誤；對于B,若，互為相反向量，則，故B錯(cuò)誤；對于C，兩向量相等需要向量的方向相同，且長度相同，故C錯(cuò)誤；對于D，四邊形ABCD中，，故D正確.故選：D例2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？迹┙o出下列命題，其中正確的是（

）A．若，則是鈍角B．若，則與一定共線C．若，則AB與CD為同一線段D．非零向量、、滿足與，與，與都是共面向量，則、、必共面【答案】B【解析】A.當(dāng)時(shí)，滿足，但不是鈍角，故A錯(cuò)誤；B.當(dāng)時(shí)，，所以與一定共線，故B正確；C.當(dāng)時(shí)，則與共線，但線段與可能只是平行關(guān)系，故C錯(cuò)誤；D.如圖所示：設(shè)，顯然滿足與，與，與都是共面向量，但??不共面，故D錯(cuò)誤；故選：B.例3．（2024·福建泉州·高二統(tǒng)考）在正方體中，與向量相反的向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，可知是的相反向量.故選：A變式1．（2024·陜西咸陽·高二咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在長方體中，下列向量與是相等向量的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示的長方體中，A：向量與方向相反，所以這兩個(gè)向量不相等，因此本選項(xiàng)不正確；B：向量與大小相等，方向相同，所以這兩個(gè)向量相等，因此本選項(xiàng)正確；C：向量與方向相反，所以這兩個(gè)向量不相等，因此本選項(xiàng)不正確；D：顯然向量與向量方向相反，所以這兩個(gè)向量不相等，因此本選項(xiàng)不正確，故選：B【方法技巧與總結(jié)】（1）平面向量是一種特殊的空間向量．（2）兩個(gè)向量相等的充要條件為長度相等，方向相同．（3）向量不能比較大小．題型二：空間向量及其線性運(yùn)算例4．（2024·貴州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在四面體中，分別為的中點(diǎn)，為的重心，則（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)闉榈闹匦?，所以，所?故選：B.例5．（2024·云南臨滄·高二校考）如圖，在空間四邊形中，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故選：C.例6．（2024·山東棗莊·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四面體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段上靠近點(diǎn)E的一個(gè)三等分點(diǎn)，令，，，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】連接，.故選：A.變式2．（2024·福建漳州·高二?？迹┮阎忮FO—ABC，點(diǎn)M，N分別為線段AB，OC的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】點(diǎn)M，N分別為線段AB，OC的中點(diǎn)，則故選：D變式3．（2024·山東青島·高二統(tǒng)考）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖，連接因點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足則即：故選：C.【方法技巧與總結(jié)】（1）向量加法的三角形法則和向量減法的定義是解決空間向量加法、減法運(yùn)算的關(guān)鍵，靈活應(yīng)用相反向量可使向量間首尾相接．（2）利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的運(yùn)算時(shí)，務(wù)必要注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果．題型三：共線向量（或平行向量）例7．（2024·湖北省直轄縣級單位·高二?？迹┤艨臻g四點(diǎn)滿足，則（

）A．直線B．直線C．點(diǎn)P可能在直線上，也可能不在直線上D．直線，且【答案】A【解析】由于，所以四點(diǎn)共面，由于，所以三點(diǎn)共線，根據(jù)平行四邊形法則可知：是線段上，靠近的三等分點(diǎn)（如下圖所示）.所以A選項(xiàng)正確，BCD選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A例8．（2024·湖北省直轄縣級單位·高二?？茧A段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．空間任意兩個(gè)向量共面B．向量、、共面即它們所在直線共面C．若，，則與所在直線平行D．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使【答案】A【解析】空間任意兩個(gè)向量都能平移到同一平面內(nèi)，因此它們共面，A正確；空間三個(gè)向量指能平移到同一平面內(nèi)，而不是指表示它們的直線在同一平面內(nèi)，B錯(cuò)；若，，但當(dāng)時(shí)，與不一定平行，因此它們所在直線也不一定平行，即使兩個(gè)向量平行，它們所在的直線也可能是同一直線，不一定平行，C錯(cuò)；若，當(dāng)時(shí)，不存在唯一的實(shí)數(shù)，使，D錯(cuò)．故選：A．例9．（2024·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是空間的一個(gè)基底，，，若，則（

）A． B． C．6 D．5【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄?，又因?yàn)?，且，可得，則，解得，所以.故選：C.變式4．（2024·新疆伊犁·高二?？迹┮阎?、、為空間三個(gè)不共面的向量，向量，，若與共線，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?、、為空間三個(gè)不共面的向量，向量，，若與共線，設(shè)，即，可得，解得，故.故選：D.變式5．（2024·全國·高二課堂例題）如圖，平行六面體中，點(diǎn)M在線段上，且，點(diǎn)N在線段上，且．求證：M，N，三點(diǎn)在一條直線上．

【解析】設(shè)，，，則．又，所以，．因?yàn)椋?，所以，所以．所以．可知．又是直線和的公共點(diǎn)，故和共線，即M，N，三點(diǎn)在一條直線上．變式6．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點(diǎn)共線．【解析】因?yàn)?，，，所以，，所以，所以，又為公共點(diǎn)，所以B，C，D三點(diǎn)共線．變式7．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，．(1)求證：、、三點(diǎn)共線；(2)若點(diǎn)是平行四邊形的中心，求證：、、三點(diǎn)共線．【解析】（1）由題意，，，故,,故，由于有公共點(diǎn)A，故A、、三點(diǎn)共線；（2）由題意，點(diǎn)是平行四邊形的中心，故，故,因?yàn)橛泄颤c(diǎn)D，故、、三點(diǎn)共線．變式8．（2024·遼寧·高二本溪高中校聯(lián)考）設(shè)向量不共面，已知，，若三點(diǎn)共線，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在唯一的，使得,即，即，解得：.故選：A.變式9．（2024·福建福州·高二福州三中?？迹┮阎臻g向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、【答案】C【解析】因?yàn)?，，若、、三點(diǎn)共線，則，而無解，故A錯(cuò)誤.因?yàn)?，若、、三點(diǎn)共線，則，而無解，故B錯(cuò)誤.因?yàn)?、、，所以，即，所以、、三點(diǎn)共線，故選C正確.因?yàn)?、、，所以，若、、三點(diǎn)共線，則，而無解，故D錯(cuò)誤.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】向量共線的判定及應(yīng)用（1）判斷或證明兩向量共線，就是尋找實(shí)數(shù)，使成立，為此常結(jié)合題目圖形，運(yùn)用穴間向量的線性運(yùn)算法則將目標(biāo)向量化簡或用同一組向量表達(dá)．（2）判斷或證明空間中的三點(diǎn)（如共線的方法：是否存在實(shí)數(shù)，使．題型四：空間向量的夾角例10．（2024·江蘇南京·高二）已知單位向量滿足，若與的夾角為，則實(shí)數(shù)．【答案】【解析】因?yàn)榕c的夾角為，所以，即，解得，又，所以．故答案為：例11．（2024·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是.則與所成角的余弦值為.

【答案】/【解析】設(shè)，則，因?yàn)橐皂旤c(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是，故，故，，，故，與為異面直線，所成角范圍為大于小于等于，故與所成角的余弦值為，故答案為：例12．（2024·山東淄博·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】不妨設(shè)，則，，則，，，所以，即與所成角的余弦值為.故選：D.變式10．（2024·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知不共面的三個(gè)向量都是單位向量，且夾角都是，則向量和的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，得，所以，設(shè)向量和的夾角為，則，又，所以.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】空間任意兩個(gè)向量可平移到共同起點(diǎn)形成夾角．題型五：空間向量的數(shù)量積例13．（2024·湖南張家界·高二張家界市民族中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正四面體的棱長為2，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則的值為．【答案】【解析】由題設(shè)，，所以.故答案為：例14．（2024·遼寧·高二統(tǒng)考）在正三棱錐中，是的中心，，則.【答案】/【解析】如圖所示，

，因?yàn)闉檎忮F且，所以為正四面體，作中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹行?，所以三點(diǎn)共線且，所以，所以故答案為：例15．（2024·遼寧沈陽·高二沈陽市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是邊長為1的菱形，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，因?yàn)榈酌妫缘酌?，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，所以，所以為等邊三角形，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯(cuò)誤.故選：C.變式11．（2024·北京順義·高二?？迹┤鐖D，四面體的所有棱長都是2，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】C【解析】四面體的所有棱長都是2，故，.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】由向量數(shù)量積的定義知，要求與的數(shù)量積，需已知，和，與的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使計(jì)算準(zhǔn)確．題型六：空間向量的投影向量例16．（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，向量在向量上的投影向量是，向量在平面上的投影向量是．

【答案】；.【解析】空（1）法一：在正方體中，易知，，向量與向量夾角為45°，，，所以向量在向量上的投影向量是．法二：設(shè)，如圖，由正方體的性質(zhì)得，，，向量在向量上的投影向量是．空（2）如圖，連接AC，交BD于點(diǎn)O，易知，線面垂直性質(zhì)有，由，平面，則平面，所以在平面上的投影向量就是，易知．故答案為：；例17．（2024·全國·高二專題練習(xí)）四棱錐中，底面，底面是矩形，則在向量上的投影向量為.【答案】【解析】四棱錐，底面是矩形，則，即，且，由底面，底面，則，由，面，則面，又面，則，故向量在向量上的投影向量為，所以向量在向量上的投影向量為.故答案為：例18．（2024·廣東佛山·高二佛山市高明區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知平面ABC，，，則向量在向量上的投影向量是

.

【答案】【解析】在中，由余弦定理得，，而平面ABC，，故，，在中，，即，得故向量在向量上的投影向量是故答案為：變式12．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知，為空間單位向量，，則在方向上投影的模為．【答案】【解析】由題意可知，在方向上投影的模為故答案為：.變式13．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為1，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則向量在向量方向上的投影數(shù)量的取值范圍為．【答案】【解析】由已知E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以向量在向量方向上投影?shù)量為，又，，，所以向量在向量方向上投影的數(shù)量的取值范圍為故答案為：變式14．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在正六棱柱中，，則向量分別在，方向上的投影向量為；向量在方向上的投影數(shù)量為．【答案】，【解析】根據(jù)正六棱柱的性質(zhì)，知，，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以向量在，方向上的投影向量分別為，．向量在方向上的投影數(shù)量為．故答案為：，；.【方法技巧與總結(jié)】利用空間向量的數(shù)量積的幾何意義求兩個(gè)向量的數(shù)量積時(shí)，準(zhǔn)確探尋某一向量在平面（或直線）上的投影向量是解題的關(guān)鍵所在．題型七：共面向量例19．（2024·北京·高二北京鐵路二中?？迹┮阎强臻g兩個(gè)不共線的向量，，那么必有（

）A．共線 B．共線C．共面 D．不共面【答案】C【解析】若共線，則，又，則共線，與條件矛盾，故A錯(cuò)誤；同理若共線，則，又，則共線，與條件矛盾，故B錯(cuò)誤；根據(jù)空間向量的共面定理可知共面，即C正確，D錯(cuò)誤.故選：C例20．（2024·浙江·高二校聯(lián)考）在下列條件中，點(diǎn)與點(diǎn)，，一定共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】若點(diǎn)與點(diǎn)，，共面，則共面，從而存在實(shí)數(shù)使得，即，，，而AD選項(xiàng)都不滿足，故AD錯(cuò)誤；對B，由，可得，因?yàn)?，所以B錯(cuò)誤；對C，可得，化簡可得，滿足，故選：C例21．（2024·湖北黃岡·高二校聯(lián)考）對空間任意一點(diǎn)和不共線三點(diǎn)，，，能得到，，，四點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A選項(xiàng)：，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)：，故B正確；C選項(xiàng)：，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)：，故D錯(cuò).故選：B.【方法技巧與總結(jié)】若與不共線且同在平面內(nèi)，則與，共面的意義是在內(nèi)或．題型八：共面向量定理例22．（2024·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)階段練習(xí)）如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的重心．求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．

【解析】如圖，分別連接PE，PF，PG，PH并延長交AB，BC，CD，AD于點(diǎn)M，N，Q，R，連接EG，MQ，EF，EH．由于E，F(xiàn)，G，H分別是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R分別為所在邊的中點(diǎn)，即，，且；所以順次連接M，N，Q，R所得的四邊形為平行四邊形，且有，，，．由于四邊形MNQR為平行四邊形，可得．由于三個(gè)向量有公共點(diǎn)E，根據(jù)空間向量的共面定理可得向量共面；所以四點(diǎn)共面.例23．（2024·河北滄州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，四面體中，G，H分別是的重心，設(shè)，點(diǎn)D，M，N分別為BC，AB，OB的中點(diǎn)．(1)試用向量表示向量；(2)試用空間向量的方法證明MNGH四點(diǎn)共面．【解析】（1）因?yàn)?，而，又D為的中點(diǎn)，所以，所以．（2）因?yàn)椋?，所以，，所以．所以四點(diǎn)共面．例24．（2024·山東濟(jì)寧·高二校考階段練習(xí)）如圖所示，在平行六面體中，E、F分別在和上，且，．(1)證明四點(diǎn)共面；(2)若，求的值．【解析】（1）證明：在平行六面體中，，，∵，所以共面，且A為公共點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面；（2），，∴，∵，∴，∴．變式15．（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，在長方體中，為的中點(diǎn)，，且，求證：四點(diǎn)共面．【解析】設(shè)，則，為的中點(diǎn)，，又，，，為共面向量，又三向量有相同的起點(diǎn)，四點(diǎn)共面．變式16．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知正三棱錐的側(cè)棱長為，過其底面中心作動(dòng)平面交線段于點(diǎn)，分別交的延長線于點(diǎn)，求的值．【解析】是等邊三角形，是的重心，如圖，延長交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，，故，設(shè)，則，四點(diǎn)共面，，即，又，，，，．【方法技巧與總結(jié)】如果兩個(gè)向量，不共線，則向量與向量，共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組，使．在判斷空間的三個(gè)向量共面時(shí)，注意“兩個(gè)向量，不共線”的要求．題型九：空間四點(diǎn)共面的條件例25．（2024·四川宜賓·高二四川省宜賓市第一中學(xué)校校聯(lián)考）在四面體中，空間的一個(gè)點(diǎn)滿足，若四點(diǎn)共面，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，，所以，解得.故選：B.例26．（2024·河南信陽·高二統(tǒng)考）已知，，不共面，，則（

）A．，，A，B，C，M四點(diǎn)共面 B．，，A，B，C，M四點(diǎn)不共面C．，，A，B，C，P四點(diǎn)共面 D．，，A，B，C，四點(diǎn)共面【答案】A【解析】，，，A，B，C，M四點(diǎn)共面.故選:A.例27．（2024·安徽合肥·高二合肥一中校聯(lián)考）已知，，，為空間中不共面的四點(diǎn)，且，若，，，四點(diǎn)共面，則函數(shù)的最小值是（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，，四點(diǎn)共面，所以存在，使得，故,整理得，又，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，且最小值為.故選:D.變式17．（2024·遼寧大連·高二大連八中?？迹┮阎?，，三點(diǎn)不共線，對空間任意一點(diǎn)，若，則可以得到結(jié)論是四點(diǎn)（

）A．共面 B．不一定共面C．無法判斷是否共面 D．不共面【答案】A【解析】,則，所以，則，故四點(diǎn)共面.故選：A【方法技巧與總結(jié)】（1）若已知點(diǎn)在平面內(nèi)，則有或，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．（2）證明三個(gè)向量共面（或四點(diǎn)共面），需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個(gè)向量用另外兩個(gè)不共線的向量來表示．題型十：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度例28．（2024·河南焦作·高二統(tǒng)考）如圖，在三棱柱中，側(cè)面與側(cè)面都是菱形，，.記.

(1)用表示，并證明；(2)若為棱的中點(diǎn)，求線段的長.【解析】（1）由題設(shè)，，，所以，由側(cè)面與側(cè)面都是菱形且，，所以，故.（2）由題設(shè)，，所以，所以.例29．（2024·浙江·高二校聯(lián)考）如圖，正四面體（四個(gè)面都是正三角形）OABC的棱長為1，M是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，點(diǎn)P滿足．(1)用向量，，表示；(2)求．【解析】（1）因?yàn)镸是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，點(diǎn)P滿足．所以．（2）因?yàn)樗拿骟wOABC是正四面體，則，，，所以．例30．（2024·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在棱長為4的正方體中，，設(shè)，，.(1)試用，，表示；(2)求的長.【解析】（1）依題意可得（2）依題意可得，所以，所以，即.變式18．（2024·浙江紹興·高二紹興一中?？迹┤庵校?，．設(shè)，，．(1)試用表示向量；(2)若，，求的長．【解析】（1）由，則，由，則，由圖形知．（2）由題設(shè)條件：，同理可得，則，∴.變式19．（2024·福建廈門·高二?？迹┤鐖D所示，平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都為2，且兩兩夾角為，與的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，，，.

(1)用，，表示，；(2)求的長度.【解析】（1），.（2）由（1）知∴∴，即的長度為.變式20．（2024·福建福州·高二校聯(lián)考）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱的長為4，且與的夾角都等于60°，是的中點(diǎn)，設(shè)，，.(1)用基底表示向量；(2)求的長.【解析】（1）由題意得;（2）由已知，得，，，,，,所以,所以的長為.【方法技巧與總結(jié)】空間向量求模的運(yùn)算要注意公式的準(zhǔn)確應(yīng)用．向量的模就是表示向量的有向線段的長度，因此求線段長度的總是可用向量求解．題型十一：利用空間向量的數(shù)量積證垂直例31．（2024·吉林長春·高二統(tǒng)考）已知空間四邊形中，，且分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，用向量方法證明．【解析】設(shè)，由題意得，，，因?yàn)椋?，又，所以，所?例32．（2024·山西太原·高二統(tǒng)考）如圖，四面體OABC各棱的棱長都是1，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，記．

(1)用向量表示向量；(2)利用向量法證明：．【解析】（1）連接，則（2），所以，所以.例33．（2024·河南鄭州·高二校考階段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，，設(shè)，，

(1)用，，表示出，并求線段的長度；(2)求直線與夾角的余弦值；(3)用向量法證明直線平面；【解析】（1）由題圖可知：，所以.（2）由題圖可知：,所以，由（1）可知，，所以，所以，所以直線與夾角的余弦值為.（3）由題圖可知：，，又由（1）可知，所以，，所以，，又因?yàn)槠矫妫?，所以直線平面.變式21．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）在四面體中，，．證明：．【解析】因?yàn)?，，設(shè)，所以所以，即.變式22．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都為a，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)．證明：．

【解析】證明：由題意可知，，且向量，，兩兩的夾角均為，連接AN，則，∴，∴，即．【方法技巧與總結(jié)】立體幾何中有關(guān)判斷線線垂直問題，通?？梢赞D(zhuǎn)化為求向量的數(shù)量積為零．一、單選題1．（2024·山東棗莊·高二棗莊市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方體中，點(diǎn)M是上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，若N為AM與平面的交點(diǎn)，則t＝（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在正方體中，由點(diǎn)M是上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，得，于是，由N為AM與平面的交點(diǎn)，得點(diǎn)共面，則，所以.故選：C2．（2024·北京西城·高二統(tǒng)考）空間四邊形中，（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)向量的加法、減法法則，得.故選：A.3．（2024·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若空間中四點(diǎn)滿足，則（

）A． B．3 C． D．【答案】A【解析】∵，,即,則.故選：A.4．（2024·湖南·高二嘉禾縣第一中學(xué)校聯(lián)考）如圖，一塊礦石晶體的形狀為四棱柱，底面是正方形，，，且，則向量的模長為（

）A． B．34 C．52 D．【答案】D【解析】由，又底面是正方形，，且，所以，故.故選：D5．（2024·海南·高二校聯(lián)考）已知點(diǎn)為平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，為對角線，的交點(diǎn)，，，，，，則線段的長為（

）A． B． C．23 D．47【答案】B【解析】如圖，因?yàn)闉閷蔷€，的交點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，，，，，所以，，，所以，即，所?故選：B6．（2024·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考）如圖，二面角的度數(shù)為，其棱上有兩點(diǎn)、，線段、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，，則線段的長為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，，，，，則，因?yàn)椋?，，因此?故選：D.7．（2024·福建莆田·高二莆田第五中學(xué)校考階段練習(xí)）已知空間向量，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，故選：D.8．（2024·福建福州·高二?？迹┤鐖D：在平行六面體中，為的交點(diǎn)．若，則向量（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?所以.故選：B.二、多選題9．（2024·廣東惠州·高二惠州市惠陽區(qū)崇雅實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列命題不正確的是（

）A．若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有=B．“”是“共線”的充要條件C．若共線，則與所在直線平行D．對空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若(其中x、y、z∈R)，則P、A、B、C四點(diǎn)共面【答案】BCD【解析】對A，四點(diǎn)恰好圍成一封閉圖形，根據(jù)向量的多邊形法則可知，正確；對B，根據(jù)向量的三角不等式等號成立條件可知，同向時(shí)，應(yīng)有，即必要性不成立，錯(cuò)誤；對C，根據(jù)共線向量的定義可知，所在直線可能重合，錯(cuò)誤；對D，根據(jù)空間向量基本定理的推論可知，需滿足x+y+z=1，才有P、A、B、C四點(diǎn)共面，錯(cuò)誤．故選：BCD．10．（2024·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中校考）在正方體中，下列結(jié)論中正確的是（

）A．四邊形的面積為 B．與的夾角為C． D．【答案】AC【解析】A選項(xiàng)：由正方體可知平面，所以，所以四邊形為矩形，，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：由正方體可知，所以與的夾角即為與的夾角，又，所以，所以與的夾角為，B選