考點(diǎn)06 相似三角形（原卷版）

考點(diǎn)六相似三角形知識(shí)點(diǎn)整合一、比例的相關(guān)概念及性質(zhì)1．線段的比兩條線段的比是兩條線段的長度之比．2．比例中項(xiàng)如果eq\f(a,b)=eq\f(b,c)，即b2=ac，我們就把b叫做a，c的比例中項(xiàng)．3．比例的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容性質(zhì)1=?ad=bc（a，b，c，d≠0）．性質(zhì)2如果=，那么．性質(zhì)3如果==…=（b+d+…+n≠0），則=（不唯一）．4.黃金分割如果點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段，使，那么點(diǎn)C叫做線段AC的黃金分割點(diǎn)，AC是BC與AB的比例中項(xiàng)，AC與AB的比叫做黃金比．二、相似三角形的判定及性質(zhì)1．定義對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比．2．性質(zhì)（1）相似三角形的對應(yīng)角相等；（2）相似三角形的對應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；（3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方．3．判定（1）有兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；學(xué)_科網(wǎng)（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；（3）三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似；（4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：（1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定（1）；（2）條件中若有一對等角，可再找一對等角[用判定（1）]或再找夾邊成比例[用判定（2）]；（3）條件中若有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等；（4）條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應(yīng)成比例；（5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個(gè)底角相等，也可找底和腰對應(yīng)成比例．三、相似多邊形1．定義2．性質(zhì)（1）相似多邊形的對應(yīng)邊成比例；（2）相似多邊形的對應(yīng)角相等；（3）相似多邊形周長的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方．四、位似圖形1．定義如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比．2．性質(zhì)（1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或–k；（2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．3．找位似中心的方法將兩個(gè)圖形的各組對應(yīng)點(diǎn)連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即是位似中心．4．畫位似圖形的步驟（1）確定位似中心；（2）確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；（3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；（4）作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；（5）按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對應(yīng)點(diǎn)．考向一比例線段及其性質(zhì)1．比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)．兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)．2．對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．3．判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．典例引領(lǐng)1．若

，則．2．如圖，已知直線分別交直線于點(diǎn)A、B、C，交直線交于點(diǎn)D、E、F，且，，則．3．如圖，在矩形中，E，F(xiàn)分別為邊的中點(diǎn)，分別與交于點(diǎn)P，Q．若，，則的長為．4．若，則．5．如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)都在橫線上，若線段，則線段的長為．6．已知，則．7．小薛同學(xué)在學(xué)習(xí)了浙教版九年級(jí)上冊“4.1

.3比例線段”課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是一個(gè)逐步特殊化的過程，請?jiān)跈M線上填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過程．變式拓展8．已知，且，則的值為．9．已知a，b，c為非零實(shí)數(shù)，且滿足，則一次函數(shù)的圖像一定經(jīng)過象限．10．如圖，，它們依次交直線于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若，則的值是．11．若，則的值為．12．若，則的值為．13．如圖，在中，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，則．14．如圖，在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接并延長交于點(diǎn)，若，，則的長為．15．如圖，直線．若則的長為．考向二相似三角形1．相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；②相似三角形的周長的比等于相似比；相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的面積的比等于相似比的平方．由三角形的面積公式和相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．2．相似三角形的判定：①平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；②三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；③兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；④兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．典例引領(lǐng)1．如圖，已知：在矩形中，，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)沿方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，E，F(xiàn)兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，連接，，交于點(diǎn)G交于點(diǎn)M，連接．

(1)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒時(shí)，求證：；(2)求證：．2．如圖，在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，垂足為．

(1)求證：；(2)若，，求的長；(3)連接，求證：．3．如圖，在四邊形中，，對角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，，．(1)求證：；(2)求證：；(3)點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，若，畫出圖形，直接寫出與滿足的數(shù)量關(guān)系．4．如圖，和是有公共頂點(diǎn)的直角三角形，，點(diǎn)為射線，的交點(diǎn)．(1)如圖1，若和是等腰三角形，求證：；(2)如圖2，若，問：（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由．(3)在（1）的條件下，，，若把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，請直接寫出的長度．5．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，在中，，，D為的中點(diǎn)．以為一邊作正方形．點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合，則與的數(shù)量關(guān)系為______；（2）【拓展研究】在（1）的條件下，如果正方形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連接，，．與的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生變化？請僅就圖②的情形給出證明；（3）【問題解決】當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)到B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，求線段的長．6．如圖，已知，求證：．變式拓展7．如圖，中，于點(diǎn)E，點(diǎn)F在的延長線上，且，連接，．

(1)求證：四邊形是矩形：(2)若，，，求的值．8．如圖，在四邊形中，點(diǎn)，分別在，上，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，，．(1)證明：；(2)若，，，求的長度．9．如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E在上，．(1)求證：；(2)若，求的長．10．如圖，在中，是邊上的高．(1)求證：；(2)若，求的長．11．如圖，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)．求證：．12．已知：四邊形為矩形，，點(diǎn)F是延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)C重合）．連接交于點(diǎn)G．(1)如圖一，當(dāng)點(diǎn)G為的中點(diǎn)時(shí)，可證，完成下面的證明過程：證明：∵四邊形為矩形，∴_____，∴__