專題03 尺規(guī)作圖與一般作圖問題（解析版）

專題03尺規(guī)作圖與一般作圖問題目錄熱點題型歸納 1題型01作一條線段等于已知線段 1題型02作一個角等于已知角 6題型03作一個角的平分線 8題型04作一條線段的垂直平分線 11題型05過一點作已知直線的垂線 14中考練場 17 題型01作一條線段等于已知線段【解題策略】類型圖示步驟作圖依據(jù)作一條線段等于已知線段OAP（1）畫射線OP（2）在射線OP上截取OA=a圓上的點到圓心的距離等于半徑【典例分析】例1.（2023·廣東模擬）如圖，已知∠MAN，點B在射線AM上．(1)尺規(guī)作圖：①在AN上取一點C，使BC=BA；②作∠MBC的平分線BD.(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)在(1)的條件下，求證：BD//AN．【答案】(1)解：①如圖，點C為所作；

②如圖，BD為所作；

(2)證明：∵AB=BC，

∴∠A=∠BCA，

∵BD平分∠MBC，

∴∠MBD=∠CBD，

∵∠MBC=∠A+∠BCA，

即∠MBD+∠CBD=∠A+∠BCA，

∴∠MBD=∠A，

∴BD//AN．

【解析】本題考查了作一條線段等于已知線段，作一個角的角平分線，平行線的判定．

(1)①以B點為圓心，BA為半徑畫弧交AN于C點；

②利用基本作圖作BD平分∠MBC即可；

(2)先利用等腰三角形的性質(zhì)得∠A=∠BCA，再利用角平分線的定義得到∠MBD=∠CBD，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠MBD=∠A，最后利用平行線的判定得到結論．例2.（2023·全國）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°．

(1)在斜邊AC上求作線段AO，使AO=BC，連接OB；(要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母)

(2)若OB=2，求AB的長．【答案】解：(1)所作線段AO如圖所示：

(2)∵∠A=30°，∠ABC=90°，

∴AC=2BC，

∵AO=BC，

∴AC=2AO，

∴OC=AO，即點O為AC的中點，

∵OB=2，

∴AC=2OB=4，

∴BC=2，

∴AB=AC【解析】(1)以A為圓心，BC長為半徑畫弧，交AC于點O，則問題可求解；

(2)根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)可得AC=2BC，則有OC=AO，進而問題可求解．

本題主要考查了含30度直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理及勾股定理，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理及勾股定理是解題的關鍵．【變式演練】1.（2023·江蘇模擬）如圖，P為∠AOB外一點，用兩種不同的方法過點P作直線l交OA，OB于點M，N，使得PM=MN.(要求：用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明)【答案】解：如圖1，連接OP，作∠QPD=∠PON，PD交OA于D點，再作∠ODN=∠POD交OB于N點，則過PN的直線為l，直線所以直線l為所作；如圖2，連接OP，作∠QPD=∠PON，PD交OA于D點，再在OB上截取ON=PD，則過PN的直線為l，直線l交OA所以直線l為所作．

【解析】如圖1，連接OP，作∠QPD=∠PON，PD交OA于D點，再作∠ODN=∠POD交OB于N點，于是可證明四邊形OPDN為平行四邊形，連接PN交如圖2，連接OP，作∠QPD=∠PON，PD交OA于D點，再在OB上截取ON=PD，則可證明四邊形OPDN為平行四邊形，連接PN交OA于本題考查了作圖?復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．2.（2024·云南模擬）有這樣一個作圖題目：畫一個平行四邊形ABCD，使AB=3cm，BC=2cm，AC=4cm．

下面是小紅同學設計的尺規(guī)作圖過程．

作法：如圖，

①作線段AB=3cm，

②以A為圓心，4cm為半徑作弧，以B為圓心，2cm為半徑作弧，兩弧交于點C；

③再以C為圓心，3cm為半徑作弧，以A為圓心，2cm為半徑作弧，兩弧交于點D；

④連結AD，BC，CD．

所以四邊形ABCD即為所求作平行四邊形．

根據(jù)小紅設計的尺規(guī)作圖過程．

(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成下列證明．

證明：

∵以A為圓心，4cm為半徑作弧，以B為圓心，2cm為半徑作弧，兩弧交于點C，

∴BC=______cm，AC=______cm．

∵以C為圓心，3cm為半徑作弧，以A為圓心，2cm為半徑作弧，兩弧交于點D，

∴CD=3cm.AD=2cm．

又∵AB=3cm，

∴AB=CD，AD=______．

∴四邊形ABCD是平行四邊形(______)(填推理依據(jù))．【答案】(1)解：四邊形ABCD即為所求．

(2)2

4

BC

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

【解析】解：(1)見答案；

(2)∵以A為圓心，4cm為半徑作弧，以B為圓心，2cm為半徑作弧，兩弧交于點C，

∴BC=2cm，AC=4cm．

∵以C為圓心，3cm為半徑作弧，以A為圓心，2cm為半徑作弧，兩弧交于點D，

∴CD=3cm.AD=2cm．

又∵AB=3cm，

∴AB=CD，AD=BC．

∴四邊形ABCD是平行四邊形(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)．

故答案為：2，4，BC，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．

(1)根據(jù)要求畫出圖形即可．

(2)根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形證明即可．

本題考查作圖?復雜作圖，平行四邊形的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．題型02作一個角等于已知角【解題策略】類型圖示步驟作圖依據(jù)作一個角等于已知角以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C,D畫一條射線PO，以點P為圓心，OC長為半徑畫弧，交PO于點C′以P為圓心，CD長為半徑畫弧，與第（2）步中所畫的弧相交于點D′過點P、P畫射線PB′，則∠B′PO=∠BOC三邊分別相等的兩個三角形全等；全等三角形的對應角相等；兩點確定一條直線【典例分析】例1.（2023·廣東模擬）作圖與計算．(1)已知：如圖，∠α，∠AOB．求作：以OA為一邊，在∠AOB的內(nèi)部作∠AOC=∠α(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；(2)過點O分別引射線OA，OB，OC，且∠AOB=65°，∠BOC=30°，求∠AOC的度數(shù)．【答案】解：(1)如圖所示，∠AOC即為所求．(2)當OC在∠AOB的內(nèi)部時，∠AOC=∠AOB?∠BOC=65°?30°=35°；

當OC在∠AOB的外部時，∠AOC=∠AOB+∠BOC=65°+30°=95°.

綜上，∠AOC的度數(shù)為35°或95°．

【解析】解：(1)如圖所示，∠AOC即為所求．(2)當OC在∠AOB的內(nèi)部時，∠AOC=∠AOB?∠BOC=65°?30°=35°；

當OC在∠AOB的外部時，∠AOC=∠AOB+∠BOC=65°+30°=95°.

綜上，∠AOC的度數(shù)為35°或95°．【變式演練】1.（2023·福建模擬）如圖，點M在∠AOB的邊OB上．

(1)過點M畫線段MC⊥AO，垂足是C；

(2)過點C作∠ACF=∠O.(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡)【答案】解：(1)如圖，MC為所作；

(2)如圖，∠ACF為所作．

【解析】(1)利用基本作圖(過一點作已知直線的垂線)作CM⊥OA于C；

(2)利用基本作圖(作一個角等于已知角)作∠ACF=∠O．

本題考查了基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線．題型03作一個角的平分線【解題策略】類型圖示步驟作圖依據(jù)作一個角的平分線步驟：1.以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點N、M；2.分別以點M、N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，相交于點P；3.畫射線OP,OP即為所求角平分線三邊分別相等的兩個三角形全等；全等三角形的對應角相等；兩點確定一條直線【典例分析】例1.（2023·河南）如圖，△ABC中，點D在邊AC上，且AD=AB．

(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出∠A的平分線(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)若(1)中所作的角平分線與邊BC交于點E，連接DE.求證：DE=BE．【答案】(1)解：如圖所示，即為所求，

(2)證明：∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠DAE，

在△BAE和△DAE中

AB=AD∠BAE=∠DAEAE=AE,

∴△BAE≌△DAE(SAS)，

∴DE=BE【解析】(1)利用角平分線的作圖步驟作圖即可；

(2)證明△BAE≌△DAE(SAS)，即可得出結論．

本題考查了尺規(guī)作圖的基本作圖平分已知角的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．【變式演練】1..（2023·寧夏模擬）如圖，AE/?/BF，AC平分∠BAE，且交BF于點C．(1)作∠ABF的平分線交AE于點D(尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法)；(2)根據(jù)(1)中作圖，連接CD，求證：四邊形ABCD是菱形．【答案】(1)解：如圖，BD即為∠ABF的平分線；

(2)證明：∵AE//BF，∴∠DAC=∠ACB．∵AC平分∠BAE，∴∠DAC=∠BAC，∴∠ACB=∠BAC，∴AB=BC．同理可證，AB=AD，∴AD=BC．又∵AD//BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形．

【解析】本題考查了尺規(guī)作圖、菱形的判定、平行線的性質(zhì)，解決本題的關鍵是掌握菱形的判定定理．

(1)根據(jù)角平分線的作法即可作∠ABF的平分線BD；

(2)根據(jù)菱形的判定定理：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可判斷四邊形ABCD是菱形．2.（2023·廣東模擬）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．

(1)用尺規(guī)作∠ABC的平分線交AC于點D(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)在(1)的前提下，若AD=10，求CD的長度．【答案】解：(1)如圖所示：

BD即為所求作的圖形．

(2)如圖，作DE⊥AB于點E，

∵∠C=90°，∴DC⊥BC，

∵BD平分∠CBA，

∴DC=DE，

∵Rt△ADE中，∠A=30°，AD=10，

∴DE=12AD=5，

∴CD=5．

答：CD的長度為5【解析】(1)用尺規(guī)作∠ABC的平分線交AC于點D即可；

(2)在(1)的前提下，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和30度角所對直角邊等于斜邊一半，AD=10，即可求CD的長度．

本題考查了作圖?基本作圖、角平分線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形，解決本題的關鍵是利用角平分線的性質(zhì)．題型04作一條線段的垂直平分線【解題策略】類型圖示步驟作圖依據(jù)4.作一條垂直平分線1.分別以點A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點；2.作直線CD，CD為所求直線到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；兩點確定一條直線【典例分析】例1．（2023·陜西）如圖，已知銳角△ABC，∠B=48°.請用尺規(guī)作圖法，在△ABC內(nèi)部求作一點P，使PB=PC，且∠PBC=24°.(保留作圖痕跡，不寫作法)

【答案】解：如圖，點P即為所求．

【解析】先作∠ABC的平分線BD，再作BC的垂直平分線l，直線l交BD于P點，則P點滿足條件．

本題考查了作圖?復雜作圖，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【變式演練】1.（2023·廣西模擬）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形．(1)尺規(guī)作圖；作對角線AC的垂直平分線MN(保留作圖痕跡)；(2)若直線MN分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點，求證：四邊形AFCE是菱形．【答案】(1)解：如圖，直線MN即為所求；

(2)證明：設AC與EF交于點O，

由作圖可知，EF垂直平分線段AC，

∴OA=OC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AE//CF，

∴∠OAE=∠OCF，

在△AOE和△COF中

∵∠OAE=∠OCFOA=OC∠AOE=∠COF

∴△AOE≌△COF(ASA)，

∴AE=CF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

∵AC⊥EF，

∴四邊形AFCE【解析】本題考查作圖?基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是理解題意，正確尋找全等三角形解決問題．

(1)根據(jù)要求作出圖形；

(2)根據(jù)對角線垂直的平行四邊形是菱形證明即可．2.（2023·寧夏模擬）如圖，AD是△ABC的角平分線．

(1)作線段AD的垂直平分線EF，分別交AB、AC于點E、F；(用直尺和圓規(guī)作圖，標明字母，保留作圖痕跡，不寫作法．)(2)連接DE、DF，求證：四邊形AEDF是菱形．【答案】解：(1)如圖，直線EF即為所求．

(2)∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠AOE=∠AOF=90°，AO=AO，

∴△AOE≌△AOF(ASA)，

∴AE=AF，

∵EF垂直平分線段AD，

∴EA=ED，F(xiàn)A=FD，

∴EA=ED=DF=AF，

∴四邊形AEDF是菱形．

【解析】本題考查作圖?基本作圖，線段的垂直平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．

(1)利用尺規(guī)作線段AD的垂直平分線即可．

(2)利用三角形全等的判定和性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)，再根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可證明．題型05過一點作已知直線的垂線【解題策略】類型圖示步驟作圖依據(jù)5.過一個點作已知直線的垂線點在直線上以O為圓心，適當長為半徑畫弧，交直線于點A、B兩點；分別以點A、B為圓心，大于AB的長為半徑，在AB兩側(cè)作弧，兩弧分別交于點P、C；作直線PC，直線PC即為所求作的垂線等腰三角形“三線合一”；兩點確定一條直線點在直線外在直線另一側(cè)去點M；以點P為圓心，PM長為半徑畫弧，交直線l于點A、B兩點；分別以點A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點Q；作直線PQ，直線PQ即為所求作的垂線【典例分析】例1．（2023·湖北模擬）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點．⑴過點E作CD的垂線，垂足為點O，交BC于點F(尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法)；⑵根據(jù)(1)中作圖，連接DF，若AC=BC，求證：四邊形DECF是菱形．【答案】解：(1)如圖，

EF即為所求．

(2)∵AC=BC，D是AB的中點，

∴∠ACD=∠BCD，CD⊥AB．

∵E是AC的中點

∴DE/?/BC，DE=AE=CE．

∴∠DEF=∠EFC．

∵EF⊥CD，DE=CE，

∴∠DEF=∠CEF．

∴∠EFC=∠CEF．

∴CE=CF．

∴DE=CF．

∴四邊形DECF是平行四邊形．

∴四邊形DECF是菱形．

【解析】本題主要考查的是尺規(guī)作圖，菱形的判定，難度適中；

(1)先以E點為圓心，以適當長度為半徑畫弧，與CD交于兩點，再分別以交點為圓心，適當長度為半徑畫弧，連接交點和E點，即可；

(2)先證四邊形DECF是平行四邊形，再證菱形；【變式演練】1.（2023·福建模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=22.5°.以點C為圓心，CA為半徑作圓，延長BA交⊙C于點D．

(1)請在圖中作出點C關于直線BD的對稱點C1；(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下，連接C1D，證明：直線C1D與【答案】(1)解：過點C作BD的垂線，交BD于點E，再以點E為圓心，CE的長為半徑畫弧，交CE的延長線于點C1．

如圖，點C1即為所求．

(2)證明：連接CD，

∵點C與點C1關于直線BD的對稱，

即BD為線段CC1的垂直平分線，

∴CD=C1D，DE⊥CC1，

∴△CDC1為等腰三角形，

∴∠CDE=∠C1DE，

∵AB=AC，∠B=22.5°，

∴∠ACB=∠B=22.5°，

∴∠CAD=∠B+∠ACB=45°，

在⊙C中，CA=CD，

∴∠ADC=∠CAD=45°，

∴∠CDE=∠C1DE=45°【解析】(1)過點C作BD的垂線，交BD于點E，再以點E為圓心，CE的長為半徑畫弧，交CE的延長線于點C1．

(2)連接CD，由(1)可得，BD為線段CC1的垂直平分線，進而可得∠CDE=∠C1DE，由∠CAD=∠B+∠ACB=45°，則∠ADC=45°，即可得1.（2023·廣東）在所給的圖形中，根據(jù)以下步驟完成作圖：

(1)尺規(guī)作圖：在線段AD的延長線上截取DE=AD；

(2)連接BE，交線段CD于點F；

(3)作射線AF，交線段BC的延長線于點G．

【答案】解：(1)如圖，DE為所作；

(2)如圖；

(3)如圖，射線AF為所作．

【解析】本題考查了尺規(guī)作圖?基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．也考查了直線、射線和線段的畫法．

(1)(2)(3)根據(jù)題中的幾何語言畫出對應的幾何圖形即可．

2.（2022·陜西）如圖，已知△ABC，AC>AB，∠C=45°.請用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點P，使∠PBC=45°.(保留作圖痕跡．不寫作法)

【答案】解：如圖，∠PBC即為所求．

【解析】本題考查作圖?復雜作圖，熟練掌握作一個角等于已知角的作圖步驟作圖即可．

根據(jù)作一個角等于已知角的作圖步驟作圖，作∠PBC=∠C即可．3.（2021·四川）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．

(1)尺規(guī)作圖：不寫作法，保留作圖痕跡．

①作∠ACB的平分線，交斜邊AB于點D；

②過點D作BC的垂線，垂足為點E．

(2)在(1)作出的圖形中，求DE的長．【答案】解：(1)如圖，DE為所作；

(2)∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD=12∠ACB=45°，

∵DE⊥BC，

∴△CDE為等腰直角三角形，

∴DE=CE，

∵DE/?/AC，

∴△BDE∽△BAC，

∴DEAC=BEBC【解析】本題考查了作圖?復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．

(1)利用基本作圖，先畫出CD平分∠ACB，然后作DE⊥BC于E；

(2)利用CD平分∠ACB得到∠BCD=45°，再判斷△CDE為等腰直角三角形，所以DE=CE，然后證明△BDE∽△BAC，從而利用相似比計算出DE．4.（2021·山東）如圖，已知△ABC.求作：⊙O，使它經(jīng)過點B和點C，并且圓心O在∠A的平分線上．

【答案】解：根據(jù)題意可知，先作∠A的平分線AM，再作線段BC的垂直平分線GH，AM，GH相交于點O，以點O為圓心，OB為半徑，作⊙O，如圖所示：

【解析】此題主要考查了復雜作圖，正確掌握角平分線和垂直平分線的作法是解題關鍵．作出∠A的平分線和線段BC的垂直平分線，找到它們的交點，即為圓心O，再以OB為半徑畫出⊙O即可．5.（2020·福建）如圖△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D，求作∠ABC的平分線，分別交AD，AC于P，Q兩點；并證明AP=AQ。(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)

【答案】解：BQ就是所求的∠ABC的平分線，P、Q就是所求作的點．

證明：∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴∠BPD+∠PBD=90°．

∵∠BAC=90°，

∴∠AQP+∠ABQ=90°．

∵∠ABQ=∠PBD，

∴∠BPD=∠AQP．

∵∠BPD=∠APQ，

∴∠APQ=∠AQP，

∴AP=AQ．

【解析】本題考查的是作圖?基本作圖，熟知角平分線的作法和性質(zhì)是解答此題的關鍵.根據(jù)角平分線的性質(zhì)作出BQ即可.先根據(jù)垂直的定義得出∠ADB=90°，故∠BPD+∠PBD=90°.再根據(jù)余角的定義得出∠AQP+∠ABQ=90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ABQ=∠PBD，再由∠BPD=∠APQ可知∠APQ=∠AQP，據(jù)此可得出結論．6.（2019·江蘇）如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8．

(1)用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)

(2)若(1)中所作的垂直平分線交BC于點D，求BD的長．

【答案】解：(1)如圖直線MN即為所求．

(2)∵MN垂直平分線段AB，

∴DA=DB，設DA=DB=x，

在Rt△ACD中，∵AD2=AC2+CD2，

∴x2【解析】本題考查作圖?基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識，正確做出圖形是解題的關鍵．

(1)分別以A，B為圓心，大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，作直線MN即可．

(2)設AD=BD=x，在7.（2020·廣東