01第一章 集合與常用邏輯用語（含答案解析）

第一章集合與常用邏輯用語目錄TOC\o"1-2"\h\u知識(shí)梳理 1考點(diǎn)精講精練 3考點(diǎn)一：集合的含義與表示 3考點(diǎn)二：集合間的基本關(guān)系 5考點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算 6考點(diǎn)四：充分條件與必要條件 9考點(diǎn)五：全稱量詞與存在量詞 11集合與常用邏輯用語實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練 131、元素與集合（1）集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性.（2）元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，數(shù)學(xué)符號(hào)分別記為：和.（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.（4）常見數(shù)集和數(shù)學(xué)符號(hào)數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)或①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；②互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.集合應(yīng)滿足.③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合和是同一個(gè)集合.④列舉法把集合的元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“”括起來表示集合的方法叫做列舉法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.2、集合間的基本關(guān)系（1）子集（subset）：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合、，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時(shí)，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.（4）空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本運(yùn)算（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作，即．（2）并集：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱為與的并集，記作，即．（3）補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對(duì)于全集的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合的補(bǔ)集，記作，即．4、充分條件、必要條件與充要條件的概念（1）若，則是的充分條件，是的必要條件；（2）若且，則是的充分不必要條件；（3）若且，則是的必要不充分條件；（4）若，則是的充要條件；（5）若且，則是的既不充分也不必要條件.5、全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞短語“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“”表示.（2）存在量詞短語“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“”表示.（3）全稱量詞命題及其否定①全稱量詞命題：對(duì)中的任意一個(gè)，有成立；數(shù)學(xué)語言：.②全稱量詞命題的否定：.（4）存在量詞命題及其否定①存在量詞命題：存在中的元素，有成立；數(shù)學(xué)語言：.②存在量詞命題的否定：.考點(diǎn)一：集合的含義與表示真題講解例題1．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）給出下列關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】是有理數(shù)，是無理數(shù)，均為實(shí)數(shù)，①正確，②錯(cuò)誤；，為自然數(shù)及有理數(shù)，③④正確.故選：C.例題2．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（

）A．所有直角三角形 B．拋物線上的所有點(diǎn)C．某中學(xué)高一年級(jí)開設(shè)的所有課程 D．充分接近的所有實(shí)數(shù)【答案】D【詳解】A，B，C中的對(duì)象具備互異性、無序性、確定性，而D中的對(duì)象不具備確定性．故選：D．例題3．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）若不等式3-2x<0的解集為M,則下列結(jié)論正確的是

()A．0∈M,2∈M B．0?M,2∈MC．0∈M,2?M D．0?M,2?M【答案】B【詳解】當(dāng)x=0時(shí),3-2x=3>0,所以0不屬于M,即0?M;當(dāng)x=2時(shí),3-2x=-1<0,所以2屬于M,即2∈M.選B點(diǎn)睛：集合與元素的關(guān)系：若a屬于集合A，記作a∈A；若b不屬于集合A，記作b?A.例題4．（2023·上海·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）“notebooks”中的字母構(gòu)成一個(gè)集合，該集合中的元素個(gè)數(shù)是【答案】7【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性，“notebooks”中的不同字母為“n，o，t，e，b，k，s”，共7個(gè)，故該集合中的元素個(gè)數(shù)是7；故答案為：7.真題演練1．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）給出下列關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】是有理數(shù)，是無理數(shù)，均為實(shí)數(shù)，①正確，②錯(cuò)誤；，為自然數(shù)及有理數(shù)，③④正確.故選：C.2．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（

）A．所有直角三角形 B．拋物線上的所有點(diǎn)C．某中學(xué)高一年級(jí)開設(shè)的所有課程 D．充分接近的所有實(shí)數(shù)【答案】D【詳解】A，B，C中的對(duì)象具備互異性、無序性、確定性，而D中的對(duì)象不具備確定性．故選：D．3．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）若不等式3-2x<0的解集為M,則下列結(jié)論正確的是

()A．0∈M,2∈M B．0?M,2∈MC．0∈M,2?M D．0?M,2?M【答案】B【詳解】當(dāng)x=0時(shí),3-2x=3>0,所以0不屬于M,即0?M;當(dāng)x=2時(shí),3-2x=-1<0,所以2屬于M,即2∈M.選B點(diǎn)睛：集合與元素的關(guān)系：若a屬于集合A，記作a∈A；若b不屬于集合A，記作b?A.4．（2023·上?！じ呷y(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）“notebooks”中的字母構(gòu)成一個(gè)集合，該集合中的元素個(gè)數(shù)是【答案】7【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性，“notebooks”中的不同字母為“n，o，t，e，b，k，s”，共7個(gè)，故該集合中的元素個(gè)數(shù)是7；故答案為：7.考點(diǎn)二：集合間的基本關(guān)系真題講解例題1．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）下列集合中，結(jié)果是空集的是(

)A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}【答案】D【詳解】A選項(xiàng)：，不是空集；B選項(xiàng)：{x|x>6或x<1}，不是空集；C選項(xiàng)：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D選項(xiàng)：不存在既大于6又小于1的數(shù)，即：{x|x>6且x<1}=.故選：D例題2．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知集合N＝{1,3,5}，則集合N的真子集個(gè)數(shù)為()A．5 B．6C．7 D．8【答案】C【詳解】集合N＝{1,3,5}，則集合N的子集個(gè)數(shù).除去集合N本身，還有8-1=7個(gè).故選C.例題3．（2023·上海·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知{第一象限角}，{銳角}，{小于的角}，那么A、B、C的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：第一象限角，；銳角，小于的角，，；“小于的角”里邊有“第一象限角”，從而．故選：．真題演練1．（2023·全國(guó)·高一學(xué)業(yè)考試）已知集合，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】A【詳解】解：由題意得：，其真子集有：，，，，，，，共7個(gè)．故選：A．2．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）若集合，，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題知：，，所以.故選：C3．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知集合，，則下列式子正確的是A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)榧希赃xC.考點(diǎn)三：集合的基本運(yùn)算真題講解例題1．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由集合，，得.故選：C.例題2．（2023春·天津南開·高一學(xué)業(yè)考試）設(shè)全集，集合，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，可得，再由以及補(bǔ)集概念可知.故選：D例題3．（2023春·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知全集為U，，則其圖象為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【詳解】全集為U，，則有，選項(xiàng)BCD不符合題意，選項(xiàng)A符合題意.故選：A例題4．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）對(duì)于兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合和，我們把集合記作.若集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】，則，則中元素的個(gè)數(shù)為故選：C例題5．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知集合，集合，且，則，．【答案】1【詳解】由可得；由可得∵，∴是方程的根，則，可得∵，∴，則．故答案為：，1真題演練1．（2023春·浙江·高二學(xué)業(yè)考試）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，，于是.故選：C2．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，，.故選：C.3．（2023春·浙江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知全集，集合，，則（

）A．{2，4} B．{6，8，10} C．{6，8} D．{2，4，6，8，10}【答案】C【詳解】因?yàn)槿?，集合，所以，因?yàn)椋?，故選：C4．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）設(shè)全集，，，則集合為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)槿芍?，，；由知，，，則集合，故選：C.5．（2023春·海南·高一統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B考點(diǎn)四：充分條件與必要條件真題講解例題1．（2023春·天津南開·高一學(xué)業(yè)考試）對(duì)于實(shí)數(shù)，“”是“”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】，但，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A例題2．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）設(shè)，則“”是“”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】或，則，，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B．例題3．（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】∵，則，或.∴當(dāng)時(shí)，命題成立，反之，當(dāng)時(shí)，不一定成立.所以“”是“”的充分不必要條件.故選；A.例題4．（2023·全國(guó)·高一學(xué)業(yè)考試）已知集合，．(1)若a＝1，求；(2)給出以下兩個(gè)條件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要條件．在以上兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到橫線處，求解下列問題：若_____________，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，集合，因?yàn)?，所以；?）若選擇①，則由A∪B＝B，得．當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)，符合題意；當(dāng)時(shí)，即，解得，所以，解得：；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．若選擇②，則由““是“”的充分不必要條件，得A?B．當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)A?B，符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得，所以且等號(hào)不同時(shí)取，解得；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．真題演練1．（2023·湖南衡陽·高二校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）使不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是，是的必要不充分條件，是的非充分非必要條件，是的充分必要條件.故選：A2．（2023春·安徽馬鞍山·高二安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由得或,則“”是“”的必要不充分條件,故選：B.3．（2023春·浙江金華·高二學(xué)業(yè)考試）若：；：，則是成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由不能推出，例如，但必有，所以：是：的必要不充分條件.故選：B.考點(diǎn)五：全稱量詞與存在量詞真題講解例題1．（2023·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知命題，，則命題的為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【詳解】已知命題，，則命的為,.故選:A.例題2．（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)命題，，則為（

）A．， B．，C．， D．，或【答案】D【詳解】根據(jù)命題的否定得任意變存在，結(jié)論相反，故為，或，故選：D.例題3．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）命題“”的否定為.【答案】【詳解】因?yàn)樘胤Q命題的否定為全稱命題，所以“”的否定為“”，故答案為：.例題4．（2023·安徽·高二馬鞍山二中?？紝W(xué)業(yè)考試）命題“，”為假命題，則的取值范圍為.【答案】.【詳解】因?yàn)槊}“，”為假命題，所以命題“，”為真命題，即時(shí)，恒成立，令，，所以當(dāng)?shù)淖钚≈禐?，所以，即的取值范圍為，故答案為?真題演練1．（2023春·天津南開·高一學(xué)業(yè)考試）已知命題：，，則命題的否定為（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】B【詳解】命題的否定為，.故選：B2．（2023·山西太原·高二太原師范學(xué)院附屬中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）命題“，”的否定為（

）A． B．C．， D．，【答案】B【詳解】命題“，”為特稱量詞命題，其否定為：.故選：B3．（2023·湖南衡陽·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【詳解】由特稱命題的否定知：原命題的否定為，.故選：D.4．（2023春·河北·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)a的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】若命題“”是假命題，則命題“”是真命題，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：A.5．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）若命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】因?yàn)槊}“，”是假命題，所以命題“”是真命題，所以，解得，所以實(shí)數(shù)m的最小值為1.故選：B.集合與常用邏輯用語實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練1．（2023·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】即集合與集合的公共元素組成的集合，依題意可得.故選：B2．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】,故選：D3．（2023春·河北·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【詳解】命題“，”為特稱量詞命題，其否定為：“，”.故選：C4．（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C.5．（2023春·湖南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【詳解】由題意得“，”的否定是，，故選：B6．（2023秋·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【詳解】若，則，又因?yàn)椋?，即，若，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7．（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)，集合，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)榛?，，又因?yàn)椋瑒t.故選：C.8．（2023·安徽·高二馬鞍山二中?？紝W(xué)業(yè)考試）若集合，集合，則圖中陰影部分表示（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，或.陰影部分表示.故選：A9．（2023春·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)榧?，，所以，故選：C10．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知是實(shí)數(shù)集，集合，，則陰影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】已知是實(shí)數(shù)集，集合，，則，陰影部分表示的集合是.故選：B.11．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)集合，．若，則

(

)A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵集合，，

∴是方程的解，即

∴

∴，故選C二、填空題12．（2023·上?！じ呷y(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知集合，，則