人教版高中數(shù)學(xué)必修5教案

數(shù)學(xué)5第一章解三角形

章節(jié)總體設(shè)計(jì)

(-)課標(biāo)要求

本章的中心內(nèi)容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實(shí)在解

三角形的應(yīng)用上。通過本章學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)達(dá)到以下學(xué)習(xí)目標(biāo)：

(1)通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些

簡(jiǎn)單的三角形度量問題。

(2)能夠熟練運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的生

活實(shí)際問題。

(二)編寫意圖與特色

1.數(shù)學(xué)思想方法的重要性

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，有利于學(xué)生加深數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和

掌握。

本章重視與內(nèi)容密切相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，并且在提出問題、思考解決問題的策略等

方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行具體示范、引導(dǎo)。本章的兩個(gè)主要數(shù)學(xué)結(jié)論是正弦定理和余弦定理，它們都是

關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的結(jié)論。在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)邊角關(guān)系的定性的知識(shí)，就是“在

任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”，“如果已知兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊及其所夾的角

相等，那么這兩個(gè)三角形全”等。

教科書在引入正弦定理內(nèi)容時(shí)，讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā)，提出探究性問題：“在任意

三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個(gè)邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的

表示呢？"，在引入余弦定理內(nèi)容時(shí)，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角，

根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕?/p>

度來研究這個(gè)問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)

角的問題。”設(shè)置這些問題，都是為了加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。

2.注意加強(qiáng)前后知識(shí)的聯(lián)系

加強(qiáng)與前后各章教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，注意復(fù)習(xí)和應(yīng)用已學(xué)內(nèi)容，并為后續(xù)章節(jié)教學(xué)內(nèi)容做好準(zhǔn)

備，能使整套教科書成為一個(gè)有機(jī)整體，提高教學(xué)效益，并有利于學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和

鞏固。

本章內(nèi)容處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊與角的基本關(guān)系，已知三角形

的邊和角相等判定三角形全等的知識(shí)有著密切聯(lián)系。教科書在引入正弦定理內(nèi)容時(shí)，讓學(xué)生從

己有的幾何知識(shí)出發(fā)，提出探究性問題”在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)

系.我們是否能得到這個(gè)邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢？"，在引入余弦定理內(nèi)容時(shí)，提出探究

性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大

小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個(gè)問題，也就是研究如何從已知的

兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問題?！边@樣，從聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度

看過去的問題，使學(xué)生對(duì)于過去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基

礎(chǔ)上，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》和教科書把“解三角形”這部分內(nèi)容安排在數(shù)學(xué)五的第一部分內(nèi)容，位置相對(duì)

靠后，在此內(nèi)容之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識(shí)聯(lián)系

密切的內(nèi)容，這使這部分內(nèi)容的處理有了比較多的工具，某些內(nèi)容可以處理得更加簡(jiǎn)潔。比如

對(duì)于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對(duì)于三角形進(jìn)行討論，方法不夠

簡(jiǎn)潔，教科書則用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力。

在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個(gè)思考

問題”勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三

邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？"，并進(jìn)而指出，“從余弦定理以及余弦函

數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角；

如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所

對(duì)的角是銳角.從上可知，余弦定理是勾股定理的推廣.”

3.重視加強(qiáng)意識(shí)和數(shù)學(xué)實(shí)踐能力

學(xué)數(shù)學(xué)的最終目的是應(yīng)用數(shù)學(xué)，而如今比較突出的兩個(gè)問題是，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)不強(qiáng)，

創(chuàng)造能力較弱。學(xué)生往往不能把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，不能把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際

問題中去，對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際背景了解不多，雖然學(xué)生機(jī)械地模仿一些常見數(shù)學(xué)問題解法

的能力較強(qiáng)，但當(dāng)面臨一種新的問題時(shí)卻辦法不多，對(duì)于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、

概括、猜想等發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的科學(xué)思維方法了解不夠。針對(duì)這些實(shí)際情況，本章重視從

實(shí)際問題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題，最后把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題。

（三）教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)安排建議

1.1正弦定理和余弦定理（約3課時(shí)）

1.2應(yīng)用舉例（約4課時(shí)）

1.3實(shí)習(xí)作業(yè)（約1課時(shí)）

（四）評(píng)價(jià)建議

1.要在本章的教學(xué)中，應(yīng)該根據(jù)教學(xué)實(shí)際，啟發(fā)學(xué)生不斷提出問題，研究問題。在對(duì)于正

弦定理和余弦定理的證明的探究過程中，應(yīng)該因勢(shì)利導(dǎo)，根據(jù)具體教學(xué)過程中學(xué)生思考問題的

方向來啟發(fā)學(xué)生得到自己對(duì)于定理的證明。如對(duì)于正弦定理，可以啟發(fā)得到有應(yīng)用向量方法的

證明，對(duì)于余弦定理則可以啟發(fā)得到三角方法和解析的方法。在應(yīng)用兩個(gè)定理解決有關(guān)的解三

角形和測(cè)量問題的過程中，一個(gè)問題也常常有多種不同的解決方案，應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生提出自己的

解決辦法，并對(duì)于不同的方法進(jìn)行必要的分析和比較。對(duì)于一些常見的測(cè)量問題甚至可以鼓勵(lì)

學(xué)生設(shè)計(jì)應(yīng)用的程序，得到在實(shí)際中可以直接應(yīng)用的算法。

2.適當(dāng)安排一些實(shí)習(xí)作業(yè)，目的是讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)，提高學(xué)生分析問題的解

決實(shí)際問題的能力、動(dòng)手操作的能力以及用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)習(xí)過程和實(shí)習(xí)結(jié)果能力，增強(qiáng)學(xué)生

應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和數(shù)學(xué)實(shí)踐能力。教師要注意對(duì)于學(xué)生實(shí)習(xí)作業(yè)的指導(dǎo)，包括對(duì)于實(shí)際測(cè)量問

題的選擇，及時(shí)糾正實(shí)際操作中的錯(cuò)誤，解決測(cè)量中出現(xiàn)的一些問題。

第1課時(shí)

課題：§1.1.1正弦定理

?教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；

會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

過程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引

導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操

作。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情

推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的

聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

?教學(xué)重點(diǎn)

正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

?教學(xué)難點(diǎn)

已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

?教學(xué)過程

I.課題導(dǎo)入

如圖1.1T,固定回ABC的邊CB及日B,使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)。

思考：回C的大小與它的對(duì)邊AB的長(zhǎng)度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

顯然，邊AB的長(zhǎng)度隨著其對(duì)角日C的大小的增大而增大。能否

用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來？

H.講授新課

［探索研究］（圖1.1-1）

在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式

關(guān)系。如圖1.1-2,在Rt回ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義,

有叵1H.又區(qū)）

從而在直角三角形ABC中,

思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？

（由學(xué)生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1.1-3,當(dāng)回ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD,根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義,

（圖1.1-3）

思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長(zhǎng)問題，從而可以考慮用向量來研究這

個(gè)問題。

（證法二）：過點(diǎn)A作回，/\

由向量的加法可得一□/\

，即日

同理，過點(diǎn)C作回，可得日

類似可推出，當(dāng)日ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

［理解定理］

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在

正數(shù)k使1-1,r^i,r=i；

（2）x］不等價(jià)于［x|,|x|*1

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如叵］；

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如［舌1。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

［例題分析］

例1.在1中，已知巨□,巨3,LZLJcm,解三角形。

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

EI；

根據(jù)正弦定理，

根據(jù)正弦定理,

評(píng)述：對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。

例2.在日中，已知回cm,［H］cm,日解三角形(角度精確到可，邊長(zhǎng)精確

到lcm)o

解：根據(jù)正弦定理，

因?yàn)榛兀既眨糰,所以日，或目

⑴當(dāng)日時(shí)，

IX|

⑵當(dāng)日時(shí)，

評(píng)述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。

m.課堂練習(xí)

第4頁練習(xí)第1(1)、2(1)題。

［補(bǔ)充練習(xí)］已知習(xí)ABC中，1,求國

(答案：1：2：3)

IV.課時(shí)小結(jié)(由學(xué)生歸納總結(jié))

(1)定理的表示形式：|

或r=n,,r-1日

(2)正弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。

V.課后作業(yè)

第10頁［習(xí)題1.1］A組第1(1)、2(1)題。

教后記：

第2課時(shí)

課題：§1.1.2余弦定理

?教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解

決兩類基本的解三角形問題。

過程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解

決兩類基本的解三角形問題

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；通過三角函數(shù)、

余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

?教學(xué)重點(diǎn)

余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用;

?教學(xué)難點(diǎn)

勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。

?教學(xué)過程

I.課題導(dǎo)入

如圖1.1-4,在回ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和岡3求邊c

n.講授新課

［探索研究］

聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)和方法，可用什么途徑來解決這個(gè)問題？

用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。

由于涉及邊長(zhǎng)問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。A

如圖1.1-5,設(shè)國，回，回，那么日，則0

［X］a/B

從而1-■（圖L1-5）

同理可證<===■

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的

余弦的積的兩倍。即?—■

思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三

邊求出一角？

（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

［理解定理］

從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形

中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？

（由學(xué)生總結(jié)）若回ABC中，C=S,則0,這時(shí)S

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

［例題分析］

例1.在回ABC中，已知日，三I，目，求b及A

⑴解：,/「X?

=Inu■COS3

=I^■

=3

目

求R可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

⑵解法一：,.,cos［■

:.目

解法二：?；sin「x|

又,:曰＞IX|

因＜「=】

a＜a,即回V日〈叵］

:,目

評(píng)述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。

例2.在回ABC中，已知r^i,r^i,r^i,解三角形

(見課本第7頁例4,可由學(xué)生通過閱讀進(jìn)行理解)

解：由余弦定理的推論得：

cos目

L^l

cos

EKJ

IxI；

m.課堂練習(xí)

第8頁練習(xí)第1(1)、2(1)題。

［補(bǔ)充練習(xí)］在HABC中，若，求角A(答案：A=120m)

IV.課時(shí)小結(jié)

(1)余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

(2)余弦定理的應(yīng)用范圍：①.已知三邊求三角；②.已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

V.課后作業(yè)

①課后閱讀：課本第8頁［探究與發(fā)現(xiàn)］

②課時(shí)作業(yè)：第11頁［習(xí)題1.1］A組第3(1),4(1)題。

教后記：

第3課時(shí)

課題：§1.1.3解三角形的進(jìn)一步討論

?教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無解等

情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。

過程與方法：通過引導(dǎo)學(xué)生分析，解答三個(gè)典型例子，使學(xué)生學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用正、余弦定理，三

角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問題。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過正、余弦定理，在解三角形問題時(shí)溝通了三角形的有關(guān)性質(zhì)和三角函

數(shù)的關(guān)系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉(zhuǎn)化的可能，從而從本質(zhì)上反映了事

物之間的內(nèi)在聯(lián)系。

?教學(xué)重點(diǎn)

在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無解等情形；

三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。

?教學(xué)難點(diǎn)

正、余弦康理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。

?教學(xué)過程

I.課題導(dǎo)入

［創(chuàng)設(shè)情景］

思考：在wABC中，已知wi,wi,耳，解三角形。

(由學(xué)生閱讀課本第9頁解答過程)

從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，在某些條件

下會(huì)出現(xiàn)無解的情形。下面進(jìn)一步來研究這種情形下解三角形的問題。

n.講授新課

［探索研究］

例1.在日ABC中，已知國，討論三角形解的情況

分析：先由I—I可進(jìn)一步求出B；

則r^i

從而r^i

1.當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，必須日才能有且只有一解；否則無解。

2.當(dāng)A為銳角時(shí)，

味

H注

K包，那么只有一解；

目

界a

y，那么可以分下面三種情況來討論：

1\若

7,則有兩解；

2\若

ZJ

若0，則只有一解；

3X

J,則無解。

(以上解答過程詳見課本第9臼10頁)

評(píng)述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，只有當(dāng)A為銳角且

時(shí)，有兩解；其它情況時(shí)則只有一解或無解。

［隨堂練習(xí)1］

(1)在mABC中，已知目，日，口，試判斷此三角形的解的情況。

(2)在兇ABC中，若回，區(qū)］,㈢，則符合題意的b的值有個(gè)。

(3)在兇ABC中，0,0，日，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取

值范圍。

(答案：(1)有兩解；(2)0；(3)N1)

例2.在日ABC中，已知臼，臼，回，判斷四ABC的類型。

分析：由余弦定理可知

（注意：■"—"U）

解:匚三I,即WI,

］=u.0

［隨堂練習(xí)2］

(1)在回ABC中，已知1,判斷己ABC的類型。

(2)已知RABC滿足條件,判斷EABC的類型。

(答案：(1)■一■；(2)網(wǎng)ABC是等腰或直角三角形)

例3.在日ABC中，目，國，面積為目，求|x|的值

分析：可利用三角形面積定理「■以及正弦定理

[X】MIX■

解:由[X]得臼，

則1=三■=3,即回，

從而一|-]

m.課堂練習(xí)

(1)在網(wǎng)ABC中，若口，目，且此三角形的面積生],求角C

(2)在回ABC中，其三邊分別為a、b、c,且三角形的面積Ix|,求角c

(答案：(1)回或回；(2)3)

IV.課時(shí)小結(jié)

(1)在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無解等情形;

(2)三角形各種類型的判定方法；

(3)三角形面積定理的應(yīng)用。

V.課后作業(yè)

(1)在四ABC中，已知日，日，口，試判斷此三角形的解的情況。

(2)設(shè)x、x+Kx+2是鈍角三角形的三邊長(zhǎng)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。

(3)在日ABC中，目，日，N1,判斷因ABC的形狀。

(4)三角形的兩邊分別為3cm,5cm,它們所夾的角的余弦為方程L^J的根，

求這個(gè)三角形的面積。

教后記：

第4課時(shí)

課題：§2.2解三角形應(yīng)用舉例

?教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問題，

了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語

過程與方法：首先通過巧妙的設(shè)疑，順利地引導(dǎo)新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結(jié)合

學(xué)生的實(shí)際情況，采用“提出問題一一引發(fā)思考一一探索猜想一一總結(jié)規(guī)律一一反饋訓(xùn)練”的

教學(xué)過程，根據(jù)大綱要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開例題，設(shè)計(jì)變式，同時(shí)通過多媒

體、圖形觀察等直觀演示，幫助學(xué)生掌握解法，能夠類比解決實(shí)際問題。對(duì)于例2這樣的開放

性題目要鼓勵(lì)學(xué)生討論，開放多種思路，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹更c(diǎn)和矯正

情感態(tài)度與價(jià)值觀：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、

數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力

?教學(xué)重點(diǎn)

實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問題的解

?教學(xué)難點(diǎn)

根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖

?教學(xué)過程

I.課題導(dǎo)入

1、［復(fù)習(xí)舊知］

復(fù)習(xí)提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？

2、［設(shè)置情境］

請(qǐng)學(xué)生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個(gè)問題，“遙不

可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩

者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對(duì)于未知的距離、高度等，存

在著許多可供選擇的測(cè)量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角

三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測(cè)量問題的真實(shí)背景下，某些方法會(huì)不能實(shí)施。如因?yàn)?/p>

沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測(cè)量，所以，有些方法會(huì)有局限性。于是上面介

紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實(shí)踐中

的重要應(yīng)用，首先研究如何測(cè)量距離。

II.講授新課

（1）解決實(shí)際測(cè)量問題的過程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問題里的

條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解

［例題講解］

（2）例1、如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，

在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離是55m,MBAC=a,BACB=回。求A、B兩點(diǎn)的距

離（精確到0.1m）

圖1.2-1

啟發(fā)提問1：回ABC中，根據(jù)已知的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較適當(dāng)？

啟發(fā)提問2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請(qǐng)學(xué)生回答。

分析：這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問題，題目條件

告訴了邊AB的對(duì)角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出AC

的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。

解：根據(jù)正弦定理，得

國二回

AB=

二日

=日

=3

-65.7（m）

答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米

變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東30m，

燈塔B在觀察站C南偏東60目，則A、B之間的距離為多少？

老師指導(dǎo)學(xué)生畫圖，建立數(shù)學(xué)模型。

解略：Sakm

例2、如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的方法。

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問題。首先需要構(gòu)造三

角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn)。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可求出另

兩邊的方法，分別求出AC和BC,再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離。

---------------

圖1.2-2

解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D,測(cè)得CD=a,并且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得網(wǎng)BCA=.

aACD=日，aCDB=a,aBDA=a,在因ADC和日BDC中，應(yīng)用正弦定理得

AC==國

BC==EKI

計(jì)算出AC和BC后，再在回ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離

AB=I=—=■

分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對(duì)不同方法進(jìn)行對(duì)比、分析。

變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測(cè)得網(wǎng)BCA=60弓，fciACD=303,網(wǎng)CDB=45目，網(wǎng)BDA

=600

略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20[3

評(píng)注：可見，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過

程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選擇最

佳的計(jì)算方式。

學(xué)生閱讀課本4頁，了解測(cè)量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。

m.課堂練習(xí)

課本第13頁練習(xí)第1、2題

IV.課時(shí)小結(jié)

解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一

個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解

(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解

V.課后作業(yè)

課本第19頁第1、2、3題

教后記：

第5課時(shí)

課題：§2.2解三角形應(yīng)用舉例

?教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高

度測(cè)量的問題

過程與方法：本節(jié)課是解三角形應(yīng)用舉例的延伸。采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學(xué)生在溫故知新

中學(xué)會(huì)正確識(shí)圖、畫圖、想圖，幫助學(xué)生逐步構(gòu)建知識(shí)框架。通過3道例題的安排和練習(xí)的訓(xùn)

練來鞏固深化解三角形實(shí)際問題的一般方法。教學(xué)形式要堅(jiān)持引導(dǎo)一討論一歸納，目的不在于

讓學(xué)生記住結(jié)論，更多的要養(yǎng)成良好的研究、探索習(xí)慣。作業(yè)設(shè)計(jì)思考題，提供學(xué)生更廣闊的

思考空間

情感態(tài)度與價(jià)值觀：進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)及觀察、歸納、類比、概括的

能力

?教學(xué)重點(diǎn)

結(jié)合實(shí)際測(cè)量工具，解決生活中的測(cè)量高度問題

?教學(xué)難點(diǎn)

能觀察較看雜的圖形，從中找到解決問題的關(guān)鍵條件

?教學(xué)過程

I.課題導(dǎo)入

提問：現(xiàn)實(shí)生活中，人們是怎樣測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機(jī)上

測(cè)量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨饶?？今天我們就來共同探討這方面的問題

n.講授新課

［范例講解］

例3、AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB

的方法。

圖1.2-4

分析：求AB長(zhǎng)的關(guān)鍵是先求AE,在囚ACE中，如能求出C點(diǎn)到建筑物頂部A的距離CA,再測(cè)出

由C點(diǎn)觀察A的仰角，就可以計(jì)算出AE的長(zhǎng)。

解：選擇一條水平基線HG,使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線上。由在H、G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A

的仰角分別是回、目，CD=a,測(cè)角儀器的高是h,那么，在區(qū)ACD中，根據(jù)正弦定理可得

AC=國

AB=AE+h

=AC回+h

=叵］+h

例4、如圖，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角回=54日，在塔底C處測(cè)得A處的俯

角區(qū)=50日。已知鐵塔BC部分的高為27.3m,求出山高CD（精確到1m）

圖1.2-5

師:根據(jù)已知條件,大家能設(shè)計(jì)出解題方案嗎？（給時(shí)間給學(xué)生討論思考）若在31ABD中求CD,

則關(guān)鍵需要求出哪條邊呢？

生：需求出BD邊。

師：那如何求BD邊呢？

生：可首先求出AB邊，再根據(jù)?BAD=?求得。

解：在13ABe中，回BCA=90目+回，網(wǎng)ABC=903-a,兇BAC=回-回，aBAD=回.根據(jù)正弦定理，

S=國

所以AB=目=0

解Rt日ABD中，得BD=ABsin岡BAD=回

將測(cè)量數(shù)據(jù)代入上式,得

BD=|]

=

^177(m)

CD=BD-BC%177-27.3=150(m)

答：山的高度約為150米.

師：有沒有別的解法呢？

生：若在囚ACD中求CD,可先求出AC。

師：分析得很好，請(qǐng)大家接著思考如何求出AC?

生：同理，在習(xí)ABC中，根據(jù)正弦定理求得。(解題過程略)

例5、如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東

偏南15習(xí)的方向上,行駛5km后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在東偏南25習(xí)的方向上,仰角為83,求此山

的高度CD.

師：欲求出CD,大家思考在哪個(gè)三角形中研究比較適合呢？

生：在日BCD中

師：在囚BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據(jù)條件，易計(jì)算出哪條邊的長(zhǎng)？

生：BC邊

解：在回ABC中，aA=150,aC=25弓-15日=10目，根據(jù)正弦定理，

0=0.

BC=臼=回

-7.4524(km)

CD=BCatan日DBC心BC由tan81047(m)

答：山的高度約為1047米

in.課堂練習(xí)

課本第15頁練習(xí)第1、2、3題

IV.課時(shí)小結(jié)

利用正弦定理和余弦定理來解題時(shí)，要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意畫方位凰要懂得從所給的背景

資料中進(jìn)行加工、抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化。

V.課后作業(yè)

1,課本第19頁練習(xí)第6、7、8題

2、為測(cè)某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓的樓頂處測(cè)得塔頂A的仰角為30目，測(cè)得

塔基B的俯角為45m，則塔AB的高度為多少m?

答案：20+國(m)

教后記：

第6課時(shí)

課題：§2.2解三角形應(yīng)用舉例

?教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問題

過程與方法：本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了相關(guān)內(nèi)容后的第三節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)對(duì)解法有了基本的了解，這

節(jié)課應(yīng)通過綜合訓(xùn)練強(qiáng)化學(xué)生的相應(yīng)能力。除了安排課本上的例1,還針對(duì)性地選擇了既具典型

性有具啟發(fā)性的2道例題，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的傳授更重能力的滲透。課堂中要充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地

位，重過程，重討論，教師通過導(dǎo)疑、導(dǎo)思讓學(xué)生有效、積極、主動(dòng)地參與到探究問題的過程

中來，逐步讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生提出問題、正確分析問題、獨(dú)立解決問題的能力，并在教學(xué)過程

中激發(fā)學(xué)生的探索精神。

?教學(xué)重點(diǎn)

能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點(diǎn)找到已知條件和所求角的關(guān)系

?教學(xué)難點(diǎn)

靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問題

?教學(xué)過程

I.課題導(dǎo)入

［創(chuàng)設(shè)情境］

提問：前面我們學(xué)習(xí)了如何測(cè)量距離和高度，這些實(shí)際上都可轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊和角求

其余邊的問題。然而在實(shí)際的航海生活中，人們又會(huì)遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確

保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測(cè)量問題。

U.講授新課

［范例講解］

例6、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75區(qū)的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B,然后從B

出發(fā),沿北偏東32習(xí)的方向航行54.0nmile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,

此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離？(角度精確到0.1目，距離精確到0.Olnmile)

圖1.2-7

學(xué)生看圖思考并講述解題思路

教師根據(jù)學(xué)生的回答歸納分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對(duì)的角兇ABC,即可

用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角日CAB。

解：在日ABC中，aABC=1803-753+323=1373,根據(jù)余弦定理，

心113.15

根據(jù)正弦定理,

國=國

sin回CAB=[x]

=Ix|

-0.3255,

所以SCAB=19.03,

753-aCAB=56.03

答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1習(xí)的方向航行,需要航行113.15nmile

補(bǔ)充例1、在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為因，沿BE方向前進(jìn)30m,至點(diǎn)C處測(cè)得

頂端A的仰角為2日，再繼續(xù)前進(jìn)10回m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4田，求田的大小和建筑

物AE的高。

師：請(qǐng)大家根據(jù)題意畫出方位圖。

生：上臺(tái)板演方位圖（上圖）

教師先引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生積極思考解題方法，讓學(xué)生動(dòng)手練習(xí)，請(qǐng)三位同學(xué)用三種不同方法板演,

然后教師補(bǔ)充講評(píng)。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在回ACD中，

AC=BC=30,

AD=DC=10a,

aADC=1803-40,

日國=|X|o

因?yàn)閟in4S=2sin2Scos2a

日cos2日=回，得20=30習(xí)

回a=153,

日在Rt^ADE中，AE=ADsin603=15

答：所求角因?yàn)?5目，建筑物高度為15m

解法二：（設(shè)方程來求解）設(shè)