人教版高中數(shù)學必修5教案

數(shù)學5第一章解三角形

章節(jié)總體設(shè)計

(-)課標要求

本章的中心內(nèi)容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實在解

三角形的應(yīng)用上。通過本章學習，學生應(yīng)當達到以下學習目標：

(1)通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些

簡單的三角形度量問題。

(2)能夠熟練運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的生

活實際問題。

(二)編寫意圖與特色

1.數(shù)學思想方法的重要性

數(shù)學思想方法的教學是中學數(shù)學教學中的重要組成部分，有利于學生加深數(shù)學知識的理解和

掌握。

本章重視與內(nèi)容密切相關(guān)的數(shù)學思想方法的教學，并且在提出問題、思考解決問題的策略等

方面對學生進行具體示范、引導。本章的兩個主要數(shù)學結(jié)論是正弦定理和余弦定理，它們都是

關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的結(jié)論。在初中，學生已經(jīng)學習了相關(guān)邊角關(guān)系的定性的知識，就是“在

任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角”，“如果已知兩個三角形的兩條對應(yīng)邊及其所夾的角

相等，那么這兩個三角形全”等。

教科書在引入正弦定理內(nèi)容時，讓學生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題：“在任意

三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個邊、角的關(guān)系準確量化的

表示呢？"，在引入余弦定理內(nèi)容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角，

根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕?/p>

度來研究這個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個

角的問題。”設(shè)置這些問題，都是為了加強數(shù)學思想方法的教學。

2.注意加強前后知識的聯(lián)系

加強與前后各章教學內(nèi)容的聯(lián)系，注意復習和應(yīng)用已學內(nèi)容，并為后續(xù)章節(jié)教學內(nèi)容做好準

備，能使整套教科書成為一個有機整體，提高教學效益，并有利于學生對于數(shù)學知識的學習和

鞏固。

本章內(nèi)容處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學習的三角形的邊與角的基本關(guān)系，已知三角形

的邊和角相等判定三角形全等的知識有著密切聯(lián)系。教科書在引入正弦定理內(nèi)容時，讓學生從

己有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題”在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)

系.我們是否能得到這個邊、角的關(guān)系準確量化的表示呢？"，在引入余弦定理內(nèi)容時，提出探究

性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大

小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個問題，也就是研究如何從已知的

兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題?！边@樣，從聯(lián)系的觀點，從新的角度

看過去的問題，使學生對于過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基

礎(chǔ)上，形成良好的知識結(jié)構(gòu)。

《課程標準》和教科書把“解三角形”這部分內(nèi)容安排在數(shù)學五的第一部分內(nèi)容，位置相對

靠后，在此內(nèi)容之前學生已經(jīng)學習了三角函數(shù)、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識聯(lián)系

密切的內(nèi)容，這使這部分內(nèi)容的處理有了比較多的工具，某些內(nèi)容可以處理得更加簡潔。比如

對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對于三角形進行討論，方法不夠

簡潔，教科書則用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力。

在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個思考

問題”勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三

邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？"，并進而指出，“從余弦定理以及余弦函

數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；

如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所

對的角是銳角.從上可知，余弦定理是勾股定理的推廣.”

3.重視加強意識和數(shù)學實踐能力

學數(shù)學的最終目的是應(yīng)用數(shù)學，而如今比較突出的兩個問題是，學生應(yīng)用數(shù)學的意識不強，

創(chuàng)造能力較弱。學生往往不能把實際問題抽象成數(shù)學問題，不能把所學的數(shù)學知識應(yīng)用到實際

問題中去，對所學數(shù)學知識的實際背景了解不多，雖然學生機械地模仿一些常見數(shù)學問題解法

的能力較強，但當面臨一種新的問題時卻辦法不多，對于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、

概括、猜想等發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的科學思維方法了解不夠。針對這些實際情況，本章重視從

實際問題出發(fā)，引入數(shù)學課題，最后把數(shù)學知識應(yīng)用于實際問題。

（三）教學內(nèi)容及課時安排建議

1.1正弦定理和余弦定理（約3課時）

1.2應(yīng)用舉例（約4課時）

1.3實習作業(yè)（約1課時）

（四）評價建議

1.要在本章的教學中，應(yīng)該根據(jù)教學實際，啟發(fā)學生不斷提出問題，研究問題。在對于正

弦定理和余弦定理的證明的探究過程中，應(yīng)該因勢利導，根據(jù)具體教學過程中學生思考問題的

方向來啟發(fā)學生得到自己對于定理的證明。如對于正弦定理，可以啟發(fā)得到有應(yīng)用向量方法的

證明，對于余弦定理則可以啟發(fā)得到三角方法和解析的方法。在應(yīng)用兩個定理解決有關(guān)的解三

角形和測量問題的過程中，一個問題也常常有多種不同的解決方案，應(yīng)該鼓勵學生提出自己的

解決辦法，并對于不同的方法進行必要的分析和比較。對于一些常見的測量問題甚至可以鼓勵

學生設(shè)計應(yīng)用的程序，得到在實際中可以直接應(yīng)用的算法。

2.適當安排一些實習作業(yè)，目的是讓學生進一步鞏固所學的知識，提高學生分析問題的解

決實際問題的能力、動手操作的能力以及用數(shù)學語言表達實習過程和實習結(jié)果能力，增強學生

應(yīng)用數(shù)學的意識和數(shù)學實踐能力。教師要注意對于學生實習作業(yè)的指導，包括對于實際測量問

題的選擇，及時糾正實際操作中的錯誤，解決測量中出現(xiàn)的一些問題。

第1課時

課題：§1.1.1正弦定理

?教學目標

知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；

會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

過程與方法：讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引

導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應(yīng)用的實踐操

作。

情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學生合情

推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的

聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

?教學重點

正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

?教學難點

已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。

?教學過程

I.課題導入

如圖1.1T,固定回ABC的邊CB及日B,使邊AC繞著頂點C轉(zhuǎn)動。

思考：回C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

顯然，邊AB的長度隨著其對角日C的大小的增大而增大。能否

用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？

H.講授新課

［探索研究］（圖1.1-1）

在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式

關(guān)系。如圖1.1-2,在Rt回ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義,

有叵1H.又區(qū)）

從而在直角三角形ABC中,

思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？

（由學生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1.1-3,當回ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD,根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義,

（圖1.1-3）

思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這

個問題。

（證法二）：過點A作回，/\

由向量的加法可得一□/\

，即日

同理，過點C作回，可得日

類似可推出，當日ABC是鈍角三角形時，以上關(guān)系式仍然成立。（由學生課后自己推導）

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

［理解定理］

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在

正數(shù)k使1-1,r^i,r=i；

（2）x］不等價于［x|,|x|*1

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如叵］；

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如［舌1。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

［例題分析］

例1.在1中，已知巨□,巨3,LZLJcm,解三角形。

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

EI；

根據(jù)正弦定理，

根據(jù)正弦定理,

評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。

例2.在日中，已知回cm,［H］cm,日解三角形(角度精確到可，邊長精確

到lcm)o

解：根據(jù)正弦定理，

因為回＜日＜a,所以日，或目

⑴當日時，

IX|

⑵當日時，

評述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。

m.課堂練習

第4頁練習第1(1)、2(1)題。

［補充練習］已知習ABC中，1,求國

(答案：1：2：3)

IV.課時小結(jié)(由學生歸納總結(jié))

(1)定理的表示形式：|

或r=n,,r-1日

(2)正弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

V.課后作業(yè)

第10頁［習題1.1］A組第1(1)、2(1)題。

教后記：

第2課時

課題：§1.1.2余弦定理

?教學目標

知識與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解

決兩類基本的解三角形問題。

過程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解

決兩類基本的解三角形問題

情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、

余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

?教學重點

余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用;

?教學難點

勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。

?教學過程

I.課題導入

如圖1.1-4,在回ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和岡3求邊c

n.講授新課

［探索研究］

聯(lián)系已經(jīng)學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？

用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。A

如圖1.1-5,設(shè)國，回，回，那么日，則0

［X］a/B

從而1-■（圖L1-5）

同理可證<===■

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的

余弦的積的兩倍。即?—■

思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三

邊求出一角？

（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

［理解定理］

從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形

中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？

（由學生總結(jié)）若回ABC中，C=S,則0,這時S

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

［例題分析］

例1.在回ABC中，已知日，三I，目，求b及A

⑴解：,/「X?

=Inu■COS3

=I^■

=3

目

求R可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

⑵解法一：,.,cos［■

:.目

解法二：?；sin「x|

又,:曰＞IX|

因＜「=】

a＜a,即回V日〈叵］

:,目

評述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。

例2.在回ABC中，已知r^i,r^i,r^i,解三角形

(見課本第7頁例4,可由學生通過閱讀進行理解)

解：由余弦定理的推論得：

cos目

L^l

cos

EKJ

IxI；

m.課堂練習

第8頁練習第1(1)、2(1)題。

［補充練習］在HABC中，若，求角A(答案：A=120m)

IV.課時小結(jié)

(1)余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

(2)余弦定理的應(yīng)用范圍：①.已知三邊求三角；②.已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

V.課后作業(yè)

①課后閱讀：課本第8頁［探究與發(fā)現(xiàn)］

②課時作業(yè)：第11頁［習題1.1］A組第3(1),4(1)題。

教后記：

第3課時

課題：§1.1.3解三角形的進一步討論

?教學目標

知識與技能：掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等

情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。

過程與方法：通過引導學生分析，解答三個典型例子，使學生學會綜合運用正、余弦定理，三

角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問題。

情感態(tài)度與價值觀：通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三角形的有關(guān)性質(zhì)和三角函

數(shù)的關(guān)系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉(zhuǎn)化的可能，從而從本質(zhì)上反映了事

物之間的內(nèi)在聯(lián)系。

?教學重點

在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；

三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。

?教學難點

正、余弦康理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運用。

?教學過程

I.課題導入

［創(chuàng)設(shè)情景］

思考：在wABC中，已知wi,wi,耳，解三角形。

(由學生閱讀課本第9頁解答過程)

從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件

下會出現(xiàn)無解的情形。下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題。

n.講授新課

［探索研究］

例1.在日ABC中，已知國，討論三角形解的情況

分析：先由I—I可進一步求出B；

則r^i

從而r^i

1.當A為鈍角或直角時，必須日才能有且只有一解；否則無解。

2.當A為銳角時，

味

H注

K包，那么只有一解；

目

界a

y，那么可以分下面三種情況來討論：

1\若

7,則有兩解；

2\若

ZJ

若0，則只有一解；

3X

J,則無解。

(以上解答過程詳見課本第9臼10頁)

評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A為銳角且

時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。

［隨堂練習1］

(1)在mABC中，已知目，日，口，試判斷此三角形的解的情況。

(2)在兇ABC中，若回，區(qū)］,㈢，則符合題意的b的值有個。

(3)在兇ABC中，0,0，日，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取

值范圍。

(答案：(1)有兩解；(2)0；(3)N1)

例2.在日ABC中，已知臼，臼，回，判斷四ABC的類型。

分析：由余弦定理可知

（注意：■"—"U）

解:匚三I,即WI,

］=u.0

［隨堂練習2］

(1)在回ABC中，已知1,判斷己ABC的類型。

(2)已知RABC滿足條件,判斷EABC的類型。

(答案：(1)■一■；(2)網(wǎng)ABC是等腰或直角三角形)

例3.在日ABC中，目，國，面積為目，求|x|的值

分析：可利用三角形面積定理「■以及正弦定理

[X】MIX■

解:由[X]得臼，

則1=三■=3,即回，

從而一|-]

m.課堂練習

(1)在網(wǎng)ABC中，若口，目，且此三角形的面積生],求角C

(2)在回ABC中，其三邊分別為a、b、c,且三角形的面積Ix|,求角c

(答案：(1)回或回；(2)3)

IV.課時小結(jié)

(1)在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形;

(2)三角形各種類型的判定方法；

(3)三角形面積定理的應(yīng)用。

V.課后作業(yè)

(1)在四ABC中，已知日，日，口，試判斷此三角形的解的情況。

(2)設(shè)x、x+Kx+2是鈍角三角形的三邊長，求實數(shù)x的取值范圍。

(3)在日ABC中，目，日，N1,判斷因ABC的形狀。

(4)三角形的兩邊分別為3cm,5cm,它們所夾的角的余弦為方程L^J的根，

求這個三角形的面積。

教后記：

第4課時

課題：§2.2解三角形應(yīng)用舉例

?教學目標

知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實際問題，

了解常用的測量相關(guān)術(shù)語

過程與方法：首先通過巧妙的設(shè)疑，順利地引導新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結(jié)合

學生的實際情況，采用“提出問題一一引發(fā)思考一一探索猜想一一總結(jié)規(guī)律一一反饋訓練”的

教學過程，根據(jù)大綱要求以及教學內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開例題，設(shè)計變式，同時通過多媒

體、圖形觀察等直觀演示，幫助學生掌握解法，能夠類比解決實際問題。對于例2這樣的開放

性題目要鼓勵學生討論，開放多種思路，引導學生發(fā)現(xiàn)問題并進行適當?shù)闹更c和矯正

情感態(tài)度與價值觀：激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,并體會數(shù)學的應(yīng)用價值；同時培養(yǎng)學生運用圖形、

數(shù)學符號表達題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學問題的能力

?教學重點

實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解

?教學難點

根據(jù)題意建立數(shù)學模型，畫出示意圖

?教學過程

I.課題導入

1、［復習舊知］

復習提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？

2、［設(shè)置情境］

請學生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不

可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩

者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存

在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角

三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為

沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介

紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學習正弦定理、余弦定理在科學實踐中

的重要應(yīng)用，首先研究如何測量距離。

II.講授新課

（1）解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的

條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學模型來求解

［例題講解］

（2）例1、如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側(cè)，

在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離是55m,MBAC=a,BACB=回。求A、B兩點的距

離（精確到0.1m）

圖1.2-1

啟發(fā)提問1：回ABC中，根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運用哪個定理比較適當？

啟發(fā)提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學生回答。

分析：這是一道關(guān)于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件

告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC

的對角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。

解：根據(jù)正弦定理，得

國二回

AB=

二日

=日

=3

-65.7（m）

答:A、B兩點間的距離為65.7米

變式練習：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東30m，

燈塔B在觀察站C南偏東60目，則A、B之間的距離為多少？

老師指導學生畫圖，建立數(shù)學模型。

解略：Sakm

例2、如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設(shè)計一種測量A、B兩點間距離的方法。

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構(gòu)造三

角形，所以需要確定C、D兩點。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另

兩邊的方法，分別求出AC和BC,再利用余弦定理可以計算出AB的距離。

---------------

圖1.2-2

解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D,測得CD=a,并且在C、D兩點分別測得網(wǎng)BCA=.

aACD=日，aCDB=a,aBDA=a,在因ADC和日BDC中，應(yīng)用正弦定理得

AC==國

BC==EKI

計算出AC和BC后，再在回ABC中，應(yīng)用余弦定理計算出AB兩點間的距離

AB=I=—=■

分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。

變式訓練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得網(wǎng)BCA=60弓，fciACD=303,網(wǎng)CDB=45目，網(wǎng)BDA

=600

略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20[3

評注：可見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過

程較繁復，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結(jié)合題目條件來選擇最

佳的計算方式。

學生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。

m.課堂練習

課本第13頁練習第1、2題

IV.課時小結(jié)

解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一

個解斜三角形的數(shù)學模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解

(4)檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解

V.課后作業(yè)

課本第19頁第1、2、3題

教后記：

第5課時

課題：§2.2解三角形應(yīng)用舉例

?教學目標

知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)底部不可到達的物體高

度測量的問題

過程與方法：本節(jié)課是解三角形應(yīng)用舉例的延伸。采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學生在溫故知新

中學會正確識圖、畫圖、想圖，幫助學生逐步構(gòu)建知識框架。通過3道例題的安排和練習的訓

練來鞏固深化解三角形實際問題的一般方法。教學形式要堅持引導一討論一歸納，目的不在于

讓學生記住結(jié)論，更多的要養(yǎng)成良好的研究、探索習慣。作業(yè)設(shè)計思考題，提供學生更廣闊的

思考空間

情感態(tài)度與價值觀：進一步培養(yǎng)學生學習數(shù)學、應(yīng)用數(shù)學的意識及觀察、歸納、類比、概括的

能力

?教學重點

結(jié)合實際測量工具，解決生活中的測量高度問題

?教學難點

能觀察較看雜的圖形，從中找到解決問題的關(guān)鍵條件

?教學過程

I.課題導入

提問：現(xiàn)實生活中，人們是怎樣測量底部不可到達的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機上

測量飛機下方山頂?shù)暮０胃叨饶兀拷裉煳覀兙蛠砉餐接戇@方面的問題

n.講授新課

［范例講解］

例3、AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設(shè)計一種測量建筑物高度AB

的方法。

圖1.2-4

分析：求AB長的關(guān)鍵是先求AE,在囚ACE中，如能求出C點到建筑物頂部A的距離CA,再測出

由C點觀察A的仰角，就可以計算出AE的長。

解：選擇一條水平基線HG,使H、G、B三點在同一條直線上。由在H、G兩點用測角儀器測得A

的仰角分別是回、目，CD=a,測角儀器的高是h,那么，在區(qū)ACD中，根據(jù)正弦定理可得

AC=國

AB=AE+h

=AC回+h

=叵］+h

例4、如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角回=54日，在塔底C處測得A處的俯

角區(qū)=50日。已知鐵塔BC部分的高為27.3m,求出山高CD（精確到1m）

圖1.2-5

師:根據(jù)已知條件,大家能設(shè)計出解題方案嗎？（給時間給學生討論思考）若在31ABD中求CD,

則關(guān)鍵需要求出哪條邊呢？

生：需求出BD邊。

師：那如何求BD邊呢？

生：可首先求出AB邊，再根據(jù)?BAD=?求得。

解：在13ABe中，回BCA=90目+回，網(wǎng)ABC=903-a,兇BAC=回-回，aBAD=回.根據(jù)正弦定理，

S=國

所以AB=目=0

解Rt日ABD中，得BD=ABsin岡BAD=回

將測量數(shù)據(jù)代入上式,得

BD=|]

=

^177(m)

CD=BD-BC%177-27.3=150(m)

答：山的高度約為150米.

師：有沒有別的解法呢？

生：若在囚ACD中求CD,可先求出AC。

師：分析得很好，請大家接著思考如何求出AC?

生：同理，在習ABC中，根據(jù)正弦定理求得。(解題過程略)

例5、如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時測得公路南側(cè)遠處一山頂D在東

偏南15習的方向上,行駛5km后到達B處,測得此山頂在東偏南25習的方向上,仰角為83,求此山

的高度CD.

師：欲求出CD,大家思考在哪個三角形中研究比較適合呢？

生：在日BCD中

師：在囚BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據(jù)條件，易計算出哪條邊的長？

生：BC邊

解：在回ABC中，aA=150,aC=25弓-15日=10目，根據(jù)正弦定理，

0=0.

BC=臼=回

-7.4524(km)

CD=BCatan日DBC心BC由tan81047(m)

答：山的高度約為1047米

in.課堂練習

課本第15頁練習第1、2、3題

IV.課時小結(jié)

利用正弦定理和余弦定理來解題時，要學會審題及根據(jù)題意畫方位凰要懂得從所給的背景

資料中進行加工、抽取主要因素，進行適當?shù)暮喕?/p>

V.課后作業(yè)

1,課本第19頁練習第6、7、8題

2、為測某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓的樓頂處測得塔頂A的仰角為30目，測得

塔基B的俯角為45m，則塔AB的高度為多少m?

答案：20+國(m)

教后記：

第6課時

課題：§2.2解三角形應(yīng)用舉例

?教學目標

知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)計算角度的實際問題

過程與方法：本節(jié)課是在學習了相關(guān)內(nèi)容后的第三節(jié)課，學生已經(jīng)對解法有了基本的了解，這

節(jié)課應(yīng)通過綜合訓練強化學生的相應(yīng)能力。除了安排課本上的例1,還針對性地選擇了既具典型

性有具啟發(fā)性的2道例題，強調(diào)知識的傳授更重能力的滲透。課堂中要充分體現(xiàn)學生的主體地

位，重過程，重討論，教師通過導疑、導思讓學生有效、積極、主動地參與到探究問題的過程

中來，逐步讓學生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。

情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，并在教學過程

中激發(fā)學生的探索精神。

?教學重點

能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點找到已知條件和所求角的關(guān)系

?教學難點

靈活運用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問題

?教學過程

I.課題導入

［創(chuàng)設(shè)情境］

提問：前面我們學習了如何測量距離和高度，這些實際上都可轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊和角求

其余邊的問題。然而在實際的航海生活中，人們又會遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確

保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測量問題。

U.講授新課

［范例講解］

例6、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75區(qū)的方向航行67.5nmile后到達海島B,然后從B

出發(fā),沿北偏東32習的方向航行54.0nmile后達到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達C,

此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離？(角度精確到0.1目，距離精確到0.Olnmile)

圖1.2-7

學生看圖思考并講述解題思路

教師根據(jù)學生的回答歸納分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對的角兇ABC,即可

用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角日CAB。

解：在日ABC中，aABC=1803-753+323=1373,根據(jù)余弦定理，

心113.15

根據(jù)正弦定理,

國=國

sin回CAB=[x]

=Ix|

-0.3255,

所以SCAB=19.03,

753-aCAB=56.03

答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1習的方向航行,需要航行113.15nmile

補充例1、在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為因，沿BE方向前進30m,至點C處測得

頂端A的仰角為2日，再繼續(xù)前進10回m至D點，測得頂端A的仰角為4田，求田的大小和建筑

物AE的高。

師：請大家根據(jù)題意畫出方位圖。

生：上臺板演方位圖（上圖）

教師先引導和鼓勵學生積極思考解題方法，讓學生動手練習，請三位同學用三種不同方法板演,

然后教師補充講評。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在回ACD中，

AC=BC=30,

AD=DC=10a,

aADC=1803-40,

日國=|X|o

因為sin4S=2sin2Scos2a

日cos2日=回，得20=30習

回a=153,

日在Rt^ADE中，AE=ADsin603=15

答：所求角因為15目，建筑物高度為15m

解法二：（設(shè)方程來求解）設(shè)