2025年高考數(shù)學總復習 29 第四章 第一節(jié) 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)考試要求：1．了解任意角的概念和弧度制．2．能進行弧度與角度的互化．3．理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．自查自測知識點一角的概念的推廣1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”.(1)小于90?的角是銳角．()×提示：－30?角不是銳角．(2)第四象限的角一定是負角．()×提示：280?角是第四象限角，但它不是負角．(3)60?角與600?角是終邊相同的角．()×提示：600?－60?＝540?不是360?的倍數(shù)．(4)將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角為60?.()√提示：分針轉(zhuǎn)一周為60分鐘，轉(zhuǎn)過的角度為－360?，將分針撥慢是逆時針旋轉(zhuǎn)，撥慢10分鐘轉(zhuǎn)過的角為360?×16＝2．(教材改編題)已知0?≤α＜360?，且α與600?角終邊相同，則α＝________，它是第________象限角．240?三解析：因為600?＝360?＋240?，所以240?角與600?角終邊相同，且0?≤240?＜360?，故α＝240?，它是第三象限角．核心回扣1．角的定義：角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形．2．分類：3．終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360?，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．自查自測知識點二弧度制1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)一個角的度數(shù)對應(yīng)唯一一個弧度數(shù)．(√)(2)1弧度的角大于1度的角．(√)(3)角α弧度數(shù)的大小與所取圓的半徑大小有關(guān)．(×)(4)把72?化成弧度為3π7.(×2.下列與9π4的終邊相同的角的表達式中正確的是(A．2kπ＋45?(k∈Z) B．k·360?＋9π4(k∈ZC．k·360?－315?(k∈Z) D．kπ＋5π4(k∈ZC解析：終邊相同的角的表達式中不能同時出現(xiàn)角度和弧度，故應(yīng)為π4＋2kπ或k·360?＋45?(k∈Z)，因此C3．半徑為2，圓心角為π6的扇形的面積是π3解析：由已知得S扇＝12×π6×核心回扣1.定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1rad.2．α的弧度數(shù)公式：|α|＝lr(弧長用l表示，半徑用r表示)3．角度與弧度的換算：(1)1?＝π180rad(2)1rad＝(180π)?≈4．弧長公式：弧長l＝|α|r．5．扇形面積公式：S＝12lr＝12|α|r注意點：(1)把弧度作為單位表示角時，“弧度”兩字可以省略不寫，但把度(?)作為單位表示角時，度(?)就一定不能省略．(2)角度制與弧度制可利用180?＝πrad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制必須一致，不可混用．自查自測知識點三任意角的三角函數(shù)1．已知角α的終邊過點P(－1，2)，則sinα＝()A．5C．－55 D．－B解析：因為|OP|＝－12+22＝5(O為坐標原點)，所以sinα2．(教材改編題)若sinα＜0，且tanα＞0，則α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角C解析：由sinα＜0知α的終邊在第三、第四象限或y軸的非正半軸上；由tanα＞0知α的終邊在第一或第三象限，故α是第三象限角．故選C．3．在平面直角坐標系中，角α與角β的始邊均與x軸的非負半軸重合，它們的終邊關(guān)于x軸對稱．若sinα＝15，則sinβ＝－15解析：設(shè)角α的終邊與單位圓相交于點P(x，y)，則角β的終邊與單位圓相交于點Q(x，－y)．由題意知y＝sinα＝15，所以sinβ＝－y＝－核心回扣1．定義：任意角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則y＝sinα，x＝cosα，yx＝tanα(x≠0)2．定義的推廣：P(x，y)是角α的終邊上異于頂點的任意一點，設(shè)點P到原點O的距離為r，則sinα＝y(tǒng)r，cosα＝xr，tanα＝y(tǒng)x(x3．三角函數(shù)值在各個象限內(nèi)的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如圖．4．若角α，β的終邊關(guān)于x軸對稱，則sinα＝－sinβ，cosα＝cosβ；若角α，β的終邊關(guān)于y軸對稱，則sinα＝sinβ，cosα＝－cosβ.【常用結(jié)論】1．象限角2．軸線角應(yīng)用1若α是第二象限角，則－α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角C解析：因為α是第二象限角，可得π2＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，所以－π－2kπ<－α<－π2－2kπ，k∈Z，此時－應(yīng)用2在平面直角坐標系中，如果角α與角β的終邊互相垂直，那么角α與角β的關(guān)系式為()A．β＝α＋90? B．β＝α±90?C．β＝α＋90?＋k·360?(k∈Z) D．β＝α±90?＋k·360?(k∈Z)D解析：因為角α與角β的終邊互相垂直，所以β＝α±90?＋k·360?(k∈Z)．象限角及終邊相同的角1．與240?角終邊相同的角的集合是()A．αα=kπC．αα=kD解析：因為240?＝4π3，所以與240?角終邊相同的角的集合是α2．(多選題)下列說法正確的是()A．時鐘經(jīng)過兩個小時，時針轉(zhuǎn)過的角是60?B．鈍角大于銳角C．三角形的內(nèi)角必是第一或第二象限角D．若α是第二象限角，則α2BD解析：對于A，時鐘經(jīng)過兩個小時，時針轉(zhuǎn)過的角是－60?，故錯誤．對于B，鈍角一定大于銳角，顯然正確．對于C，若三角形的內(nèi)角為90?，則是終邊在y軸正半軸上的角，故錯誤．對于D，因為角α的終邊在第二象限，所以2kπ＋π2＜α＜2kπ＋π，k∈Z，所以kπ＋π4＜α2＜kπ＋π2，k∈Z，當k＝2n，n∈Z時，2nπ＋π4＜α2＜2nπ＋π2，n∈Z，得α2是第一象限角；當k＝2n＋1，n∈Z時，(2n＋1)π＋π4＜α2＜(2n＋3．若角α的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在直線y＝－3x上，則角α的取值集合是()A．αα=2kC．αα=kπD解析：因為直線y＝－3x的傾斜角是2π3，tanα＝－3，所以終邊落在直線y＝－3x上的角α的取值集合為αα=kπ－4．若α＝45?＋k·180?(k∈Z)，則α的終邊在()A．第二或第三象限 B．第一或第三象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限B解析：當k為奇數(shù)時，記k＝2n＋1(n∈Z)，則α＝225?＋n·360?(n∈Z)，此時α為第三象限角；當k為偶數(shù)時，記k＝2n(n∈Z)，則α＝45?＋n·360?(n∈Z)，此時α為第一象限角．故α的終邊在第一或第三象限．1．判斷象限角的方法作出已知角并根據(jù)象限角的定義判斷該角是第幾象限角或?qū)⒁阎腔癁閗·360?＋α(0?≤α<360?，k∈Z)的形式，由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．2．確定kα，αk(k∈N*)(方法一)先寫出kα或αk的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或α(方法二)數(shù)形結(jié)合求αk的終邊位置：將各象限角平均分成k等份，從x軸正半軸開始，逆時針循環(huán)寫出1，2，3，4，…，k，α為αk3．求終邊在某直線上的角的方法在平面直角坐標系中畫出該直線，按逆時針方向?qū)懗鯷0，2π)內(nèi)的角，再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件的角的集合并化簡．提醒：確定角的終邊位置時易忽視角的終邊與坐標軸重合的情況．扇形的弧長、面積公式【例1】(1)(2024·日照模擬)我國北宋時期科技史上的杰作《夢溪筆談》收錄了計算扇形弧長的近似計算公式：＝弦＋2×矢2徑，公式中“弦”是指扇形中圓弧所對弦的長，“矢”是指圓弧所在圓的半徑與圓心到弦的距離之差，“徑”是指圓弧所在圓的直徑．如圖，已知扇形的面積為4π3，扇形中圓弧所在圓O的半徑為2A．3＋2 B．3C．43+12 D．C解析：設(shè)扇形的圓心角為α，由扇形面積公式可知12×22×α＝4π3，所以α＝如圖，取AB的中點C，連接OC，交AB于點D，則OC⊥AB.易知∠OAD＝π6，則OD＝2sinπ6＝所以CD＝2－1＝1，AD＝2cosπ6＝3，AB＝2AD＝23所以扇形弧長的近似值為＝弦＋2×矢2徑＝AB＋2(2)一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l.已知α＝π3，R＝10cm解：由已知得α＝π3，R＝10cm所以S扇形＝12α·R2＝12×π3×102＝[變式1]若本例(2)條件不變，求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積．解：l＝αR＝π3×10＝10π3S弓形＝S扇形－S三角形＝12lR－12R2sinπ3＝12×10π3×10－12×102[變式2]若本例(2)已知條件改為“扇形周長為20cm”，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？解：由已知得l＋2R＝20，則l＝20－2R(0＜R＜10)，所以S扇形＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋所以當R＝5cm時，S扇形取得最大值，最大值為25cm2，此時l＝10cm，α＝2rad.應(yīng)用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決，有時也利用基本不等式及導數(shù)求最值．(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．1．已知扇形的弧長是4cm，面積是2cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A．1 B．2C．4 D．1或4C解析：因為扇形的弧長為4cm，面積為2cm2，設(shè)扇形所在圓的半徑為r，所以扇形的面積為12×4×r＝2，解得r＝1，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為41＝4.故選2．玉雕在我國歷史悠久，擁有深厚的文化底蘊，數(shù)千年來始終以其獨特的內(nèi)涵與魅力深深吸引著世人．某扇形玉雕壁畫尺寸(單位：cm)如圖所示，則該玉雕壁畫的扇面面積約為()A．1600cm2 B．3200cm2C．3350cm2 D．4800cm2D解析：易知該扇形玉雕壁畫可看作由一個大扇形剪去一個小扇形得到．設(shè)大、小扇形所在圓的半徑分別為r1，r2，相同的圓心角為θ，則θ＝160r1＝80r2，得r1＝又因為r1－r2＝40，所以r1＝80，r2＝40，該扇形玉雕壁畫面積S＝12×160×r1－12×80×r2＝12×160×80－12×80×40＝3．已知扇形AOB的周長為8.(1)若這個扇形的面積為3，求圓心角的大??；(2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB.解：(1)設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為α.由題意可得2r+l=所以α＝lr＝23或α＝l(2)因為2r＋l＝8，所以S扇形＝12lr＝14l·2r≤14l+當且僅當2r＝l，即α＝lr＝2時，扇形面積取得最大值4所以r＝2，所以弦長AB＝2sin1×2＝4sin1.三角函數(shù)的定義及應(yīng)用考向1三角函數(shù)的定義【例2】(1)已知角α的終邊經(jīng)過點P(－2，4)，則sinα－cosα的值為()A．355 B．C．15 D．－A解析：因為角α的終邊經(jīng)過點P(－2，4)，所以sinα＝4－22+42＝255，cosα＝－2－22(2)已知角α的終邊經(jīng)過點P(－8m，－6sin30?)，且cosα＝－45，則m的值為(A．－12 B．－C．1C解析：由題意得點P(－8m，－3)，|OP|＝64m所以cosα＝－8m64m2+9＝[變式]本例(1)中條件改為“終邊落在直線3x＋y＝0上”，求sinα，cosα，tanα的值．解：直線3x＋y＝0，即y＝－3x，經(jīng)過第二、四象限，在第二象限取直線上的點Q(－1，3)，則|OQ|＝－12+32＝2，所以sinα＝32，cosα＝－12在第四象限取直線上的點G(1，－3)，則|OG|＝12+－所以sinα＝－32，cosα＝12，tanα＝－三角函數(shù)的定義主要應(yīng)用于兩方面利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點P的坐標，可以求出角α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值，也可以求出點P的坐標．考向2判斷三角函數(shù)值的符號【例3】(1)若sinαcosα＞0，cosαtanα＜0，則α的終邊落在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限C解析：由sinαcosα＞0，得α的終邊落在第一或第三象限，由cosαtanα＝cosα·sinαcosα＝sinα＜0，得α的終邊落在第三或第四象限．綜上所述，α(2)(2024·東營模擬)若θ為第二象限角，則下列結(jié)論一定成立的是()A．sinθ2＞0 B．cosθ2C．tanθ2＞0 D．sinθ2cosθC解析：因為θ為第二象限角，所以π2＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z則π4＋kπ＜θ2＜π2＋kπ，k∈Z，所以θ2為第一或第三象限角，則利用角所在的象限判定角的三角函數(shù)值的符號時，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況．1．(多選題)在平面直角坐標系中，角α的頂點在原點O，以x軸的非負半軸為始邊，終邊經(jīng)過點P(1，m)(m<0)，則下列各式的值恒大于0的是()A．sinαtanα B．C．sinαcosα D．sinα＋cosαAB解析：由題意知sinα<0，cosα>0，tanα<0，則sinαtanα>0，故A正確；cosα－sinα>0，故B正確；sinαcosα<0，故C錯誤；sinα＋cosα的符號不確定，故D錯誤2．已知α是第二象限角，P(x，5)為其終邊上一點，且cosα＝2x4，則x等于(A．3 B．±3C．－2 D．－3D解析：由三角函數(shù)的定義得cosα＝xx2+5＝2x4，解得x＝±3.又點P(x，5)課時質(zhì)量評價(二十一)1．把－1125?化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是()A．－π4－6π B．7π4C．－π4－8π D．7π4D解析：－1125?＝－1440?＋315?＝－8π＋7π42．已知角θ的終邊經(jīng)過點(2a＋1，a－2)，且cosθ＝35，則實數(shù)a的值是(A．－2 B．2C．－2或211 D．B解析：由題設(shè)可知2a+12a+12+a－22所以4a2+4a+15a2+5＝925，則11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a3．點P從(1，0)出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動2π3弧長到達Q點，則點Q的坐標為(A．－12，3C．－12，－A解析：由三角函數(shù)的定義可知點Q的坐標(x，y)滿足x＝cos2π3＝－12，y＝sin2π3所以點Q的坐標為－14．(2024·惠州模擬)如果點P(2sinθ，sinθ·cosθ)位于第四象限，那么角θ所在的象限為()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限B解析：因為點P(2sinθ，sinθcosθ)位于第四象限，所以2sinθ>05．(多選題)已知扇形的周長是6cm，面積是2cm2，則下列說法中正確的有A．扇形的半徑為2cmB．扇形的半徑為1cmC．圓心角的弧度數(shù)是1D．圓心角的弧度數(shù)是2ABC解析：設(shè)扇形的半徑為rcm，圓心角的弧度數(shù)為α，則由題意得2r+αr=所以圓心角的弧度數(shù)是4或1，扇形的半徑是1cm或2cm.6．已知角α的始邊與x軸的正半軸重合，頂點在坐標原點，角α終邊上的一點P到原點的距離為2.若α＝π4，則點P的坐標為(1，1)解析：設(shè)點P的坐標為(x，y)，則由三角函數(shù)的定義得sinπ故點P的坐標為(1，1)．7．若圓弧長度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)是________.2解析：設(shè)圓的半徑為r，則圓內(nèi)接正方形的對角線長為2r，所以正方形邊長為2r，所以該圓弧的圓心角的弧度數(shù)是2rr＝8．設(shè)角α的終邊為射線OP，射線OP1與OP關(guān)于y軸對稱，射線OP2與OP1關(guān)于直線y＝－x對稱，則以射線OP2為終邊的角的集合是____________________.{β|β＝k·360?＋90?＋α，k∈Z}解析：依題意，以射線OP1為終邊的角γ＝k1·360?＋180?－α，k1∈Z，從而以射線OP2為終邊的角β＝－(k1·360?＋180?－α)＋k2·360?－90?＝(k2－k1)·360?＋90?＋α＝k·360?＋90?＋α(k1，k2，k∈Z)．9．“數(shù)摺聚清風，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出入懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以有“懷袖雅物”的別號．如圖，當折扇所在扇形的圓心角為2π3時，折扇的外觀看上去是比較美觀的，則此時折扇所在扇形的弦長AB與弧長AB之比為332π解析：設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，如圖，取AB的中點D，連接由題意知圓心角α為2π3，則∠BOD＝π所以弦長AB＝2AD＝2rsinπ3＝3r又弧長AB＝2π3r，所以弦長AB與弧長AB之比為3r2π10．已知1sinα＝－1sinα，且(1)試判斷角α所在的象限；(2)若角α的終邊上一點M35，m，且|OM|＝1(O為坐標原點)，求m的值及解：(1)由1sinα＝－1sin由lg(cosα)有意義，可知cosα>0，所以角α在第四象限．(2)因為|OM|＝1，所以352＋m2＝1，解得m＝±又角α為第四象限角，故m<0，從而m＝－45，sinα＝mOM＝－4511．(數(shù)學與文化)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，卷一《方田》中有如下兩個問題：[三三]今有宛田，下周三十步，徑十六步．問為田幾何？[三四]又有宛田，下周九十九步，徑五十一步．問為田幾何？翻譯為：[三三]現(xiàn)有扇形田，弧長30步，直徑長16步．問這塊田面積是多少？[三四]又有一扇形田，弧長99步，直徑長51步．問這塊田面積是多少？則下列說法正確的是()A．問題[三三]中扇形的面積為240平方步B．問題[三四]中扇形的面積為5049C．問題[三三]中扇形的面積為60平方步D．問題[三四]中扇形的面積為5049B解析：依題意，問題[三三]中扇形的面積為12lr＝12×30×162＝120(平方步)，問題[三四]中扇形的面積為12lr＝12×99×51212．已知角α的頂點在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上一點M的坐標為sin3π4，cosA．π4 B．C．5π4 D．D解析：角α的終邊上一點M的坐標為sin3π4，cos3π4，即M22，－22，故點M在第四象限，且13．(數(shù)學與文化)(2024·常州模擬)趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家，約公元222年，趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形．如圖所示的是一張弦圖，已知大正方形的面積為100，小正方形的面積為20，若直角三角形中較小的銳角為α，則sinαcosα的值為________.25解析：設(shè)直角三角形的短直角邊長為x，一個直角三角形的面積為100－20因為小正方形的面積為20，則邊長為25，大正方形的面積為100，則邊長為10.所以直角三角形的面積為12·x(x＋25)＝20，解得x＝25(x＝－45舍去)所以直角三角形的長直角邊為45.故sinα＝55，cosα＝255，即sinαcosα14．若角α的終邊落在直線y＝3x上，角β的終邊與單位圓交于點12，m，且sinαcosβ＜0，則cosα·si