2025年高考數學總復習 48 第六章 第五節(jié) 空間向量及其運算

第五節(jié)空間向量及其運算考試要求：1．了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示．2．掌握空間向量的線性運算及其坐標表示．3．掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能用向量的數量積判斷向量的共線和垂直．自查自測知識點一空間向量的有關概念、定理1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)空間中模相等的兩個向量方向相同或相反．(×)(2)空間中所有的單位向量的模都相等．(√)(3)空間任意三個向量都可構成空間的一個基底．(×)(4)空間向量a，b，c，若a∥b，b∥c，則a∥c.(×)(5)空間中任意兩個非零向量都共面．(√)2．(教材改編題)如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AC與BD的交點為點M.設AB＝a，AD＝b，AAA．－12a+12b＋cC．－12a－12b－c C解析：C1M＝C13．在空間四點O，A，B，C中，若{OA，OB，OC}是空間的一個基底，則O，A，B，C四點________.(填“共面”或不共面解析：若四點共面，則OA，核心回扣1．空間向量的有關概念名稱概念零向量長度(模)為0的向量單位向量長度(模)為1的向量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共面向量平行于同一個的向量2．空間向量的有關定理及推論名稱語言描述共線向量定理對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc推論設O，A，B，C是不共面的四點，則對平面ABC內任一點P，都存在唯一的三個有序實數x，y，z，使OP＝，且x＋y＋z＝1自查自測知識點二兩個非零空間向量的數量積如圖，若四面體ABCD的每條棱長都等于2，E，F(xiàn)分別為棱AB，AD的中點，則BC－EF＝______，EF與AC390?解析：因為EF＝12BD，BD·BC＝所以BC－EF2＝BC－12BD2＝BC2－BC所以BC－EF＝因為EF＝所以AC·EF＝12所以〈EF，AC核心回扣數量積及其性質(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b?a·b＝0；(3)|a|2＝a2，|a|＝a·(4)cos〈a，b〉＝a·注意點：(1)a·b＝b·c?a＝c；(2)(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．自查自測知識點三空間向量運算的坐標表示1．(多選題)已知空間向量a＝(－2，－1，1)，b＝(3，4，5)，則下列結論正確的是()A．(2a＋b)∥a B．5|a|＝3C．a⊥(5a＋6b) D．a與b夾角的余弦值為3BC解析：因為2a＋b＝(－1，2，7)，a＝(－2，－1，1)，而－1－2≠2－1≠71，故A不正確；因為a＝6，b＝52，所以5|a|＝3b，故B正確；因為a·(5a＋6b)＝5a2＋6a·b＝5×(4＋1＋1)＋6×(－6－4＋5)＝0，故C正確；又因為a·b＝－5，所以cos2．如圖，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，E為PB的中點，cos〈DP，AE〉＝33.若以DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則點(1，1，1)解析：由已知得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)．設P(0，0，a)(a＞0)，則E1，所以DP＝(0，0，a)，AE＝－1，1，a因為cos〈DP，AE〉＝33解得a＝2(負值舍去)，所以E(1，1，1)．核心回扣設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．名稱向量表示坐標表示數量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模aa夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a【常用結論】1．三點共線：在平面中A，B，C三點共線?OA＝xOB+yOC(其中x＋2．四點共面：在空間中P，A，B，C四點共面?OP＝xOA+yOB+zOC(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點．若x＝y(tǒng)＝應用在下列條件中，一定能使空間中的四點M，A，B，C共面的是()A．OMB．OMC．MA+2D．OM+OAC解析：根據共面向量定理，對于OM＝xOA+yOB+zOC，若A，B，C，M共面，則x＋y＋z選項C可化為MA＝－2MB－MC，所以M，空間向量的線性運算1．在空間四邊形ABCD中，AB＝(－3，5，2)，CD＝(－7，－1，－4)，點E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點，則EF的坐標為()A．(2，3，3) B．(－2，－3，－3)C．(5，－2，1) D．(－5，2，－1)B解析：因為點E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點，設O為坐標原點，所以EF＝OF－所以EF＝12OA+OD－12OB+OC＝12BA+CD＝12×(－4，－2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點F是側面CDD1C1的中心．若AF＝xAD+yAB+zAA1A．12 B．C．32 D．B解析：AF＝AD+DF＝AD+12DD1+DC＝AD+12AA1+3．(2024·濱州模擬)已知空間向量a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1)，則a－b＋2c＝________.(－4，3，3)解析：因為a＝(1，2，3)，b＝(3，－1，2)，c＝(－1，0，1)，所以a－b＋2c＝(1，2，3)－(3，－1，2)＋2(－1，0，1)＝(－4，3，3)．空間向量線性運算的解題策略(1)用已知向量來表示未知向量，結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵．(2)將已知向量與所求向量轉化到三角形或平行四邊形中，利用三角形法則、平行四邊形法則、多邊形法則把所求向量用已知向量表示出來．(3)空間向量的坐標運算類似平面向量的坐標運算．共線向量定理、共面向量定理及其應用【例1】(1)空間向量a＝(2，2，－1)的一個單位向量的坐標是________.23，23，所以a的一個單位向量的坐標是aa＝13(2，2，－(2)已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足OM＝①判斷MA，②判斷點M是否在平面ABC內．解：①由題意知OA+OB+OC＝3OM，即MA＝BM+CM②因為OM＝13OA+OB+OC所以M，A，B，C四點共面，從而點M在平面ABC內．[變式]本例(1)若改為：“與空間向量a＝(2，2，－1)共線的單位向量的坐標”，結果如何？解：|a|＝4+4+所以與a共線的單位向量的坐標為±aa＝±13(2，2，－1)＝231．共線、共面向量定理的應用(1)向量共線可以用來判斷直線平行、三點共線．(2)向量共面可以用來判斷直線與平面平行、四點共面．(3)根據向量共線和向量共面求參數取值．2．證明四點P，M，A，B共面的方法(1)MP＝(2)對空間內任意一點O，OP＝(3)對空間內任意一點O，OP＝xOM+yOA+z(4)PM∥AB或PA∥MB或PB∥AM.1．(2024·湛江模擬)已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，則()A．x＝13，y＝1 B．x＝12，y＝C．x＝2，y＝－14 D．x＝1，y＝－B解析：a＋2b＝(1＋2x，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)．由題意得1+2x2－x＝43＝4－y－2y－22．如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1為平行四邊形，E為棱AB的中點，AF＝13AD，AG＝2GA1，213解析：由題可設AM＝λAC因為AC1＝AB因為M，E，F(xiàn)，G四點共面，所以2λ＋3λ＋32λ＝1，解得λ＝2空間向量的數量積及其應用考向1空間向量數量積的運算【例2】(1)已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則AE·AF的值為(A．1 B．1C．14 D．C解析：此空間四邊形及其對角線構成的幾何體為正四面體，棱長為1，如圖．因為點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，所以AE＝所以AE＝12|AB(2)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在正方體的12條棱上(包括頂點)運動，則AC·BP[－4，4]解析：以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，AC＝(－2，2，0)，點P在正方體的12條棱上運動，設P(x，y，z)，則BP＝(x－2，y－2，z)，所以AC·BP＝4－2x＋2y－4＝2y－2因為0≤x≤2，0≤y≤2，當x＝2，y＝0時，AC·BP取得最小值－當x＝0，y＝2時，AC·BP取得最大值所以AC·BP的取值范圍是[－4空間向量的數量積運算有兩條途徑，一是根據數量積的定義，利用模與夾角直接計算；二是利用坐標運算．考向2空間向量數量積的應用【例3】(1)已知a＝(5，3，1)，b＝－2，t，－25，若5215，+∞解析：由題意得a·b>0且a解得t>5215，且t≠－65.故實數t的取值范圍為(2)已知A(－1，2，1)，B(－1，5，4)，C(1，3，4)．①求〈AB，②求AC在AB上的投影向量．解：①因為A(－1，2，1)，B(－1，5，4)，C(1，3，4)，所以AB＝(0，3，3)，BC＝(2，－2，0)．因為AB·BC＝0×2＋3×(－2)＋3×0＝－6，AB＝32，BC所以cos〈AB，BC〉＝AB·BCAB②因為AC＝(2，1，3)，AB＝(0，3，3)，所以AC·AB＝2×0＋1×3＋3×3因為AB＝32，AC＝所以cos〈AC，AB〉＝所以AC在AB上的投影向量為ACcos〈AC，AB〉ABAB＝14×2[變式]若將本例(1)中“銳角”改為“鈍角”，求實數t的取值范圍．解：由題意得a·b<0且a，b不共線，所以－解得t<5215，且t≠－6故實數t的取值范圍為－∞空間向量數量積的應用求夾角設向量a，b所成的角為θ，則cosθ＝a·求長度距離運用公式|a|2＝a·a，可使線段長度的計算問題轉化為向量數量積的計算問題1．(2024·青島模擬)已知向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)．若(2a－b)·b＝1，則x＝()A．－3 B．3C．－1 D．6B解析：2a－b＝(2，2，2x)－(－2，2，3)＝(4，0，2x－3)．因為(2a－b)·b＝1，所以－8＋3(2x－3)＝1，解得x＝3.2．如圖，已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120?.(1)求線段AC1的長；(2)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；(3)求證：AA1⊥BD.(1)解：設AB＝a，則|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120?＝－1.因為AC1＝AB+AD+AA所以AC12＝|a＋b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋4＋0－2－2＝2所以AC1＝2，即線段AC1的長為2(2)解：由(1)可得AC1＝a+b所以AC1·A1D＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋|b|2－|c|2＝0＋1＋1－A1D＝|b－c|＝b－c2設異面直線AC1與A1D所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈AC1〉即異面直線AC1與A1D所成角的余弦值為147(3)證明：由(1)可得AA1＝c，BD＝b－a，所以AA1·BD＝c·(b－a)＝c·b－c·a即AA1·BD＝0，所以AA1課時質量評價(三十六)1．已知點O，A，B，C為空間不共面的四點，且向量a＝OA+OB+OC，向量b＝OA+OB－OC，A．OA B．OBC．OC D．OA或OBC解析：因為OC＝12OA+OB+OC－1所以OC與a，b不能構成空間的一個基底．2．(2024·臺州模擬)若向量a＝(1，1，2)，b＝(2，x，y)，且a∥b，則|b|＝()A．2 B．22C．6 D．26D解析：由題意，得21＝x1＝y(tǒng)2，解得x＝2，y＝4，故b＝(2，2，4)3．(多選題)已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點，AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1)．下列結論正確的有()A．AP⊥ABB．AP⊥ADC．AP是平面ABCD的一個法向量D．AP∥BDABC解析：對于A，AB·AP＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以AP⊥AB，即AP⊥AB，故A對于B，AP·AD＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，所以AP⊥AD，即AP⊥AD，故B對于C，由AP⊥AB，且AP⊥AD，得出AP是平面ABCD的一個法向量，故C正確；對于D，由AP是平面ABCD的法向量，得出AP⊥BD，故D錯誤．4．設向量a＝(3，5，2)，b＝(－2，1，3)，向量ma＋nb與x軸垂直時，實數m與n滿足()A．3m＝2n B．3m＝nC．m＝2n D．m＝nA解析：ma＋nb＝(3m－2n，5m＋n，2m＋3n)，取x軸的方向向量為e＝(1，0，0)．因為向量ma＋nb與x軸垂直，所以3m－2n＝0，解得3m＝2n.5．如圖，在一個120?的二面角的棱上有A，B兩點，線段AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且均與棱AB垂直．若AB＝2，AC＝1，BD＝2，則CD的長為()A．2 B．3C．23 D．4B解析：因為CA⊥AB，BD⊥AB，二面角大小為所以CA·AB＝0，BD·AB＝0，CA·BD因為CD＝所以CD2＝CA2+AB2+BD2+2CA·AB+2所以CD＝3.6．已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，則向量a與b的夾角為________.π6解析：因為a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1，1，2)所以cos〈a，b〉＝a·又因為〈a，b〉∈[0，π]，所以向量a與b的夾角為π67．(2024·西安模擬)在空間四邊形ABCD中，AC與BD是四邊形的兩條對角線，M，N分別為線段AB，CD上的點，且滿足AM＝23AB，DN＝34DC，點G在線段MN上，且滿足MG＝3GN1112解析：如圖，連接MN，AN，AG由于MG＝3GN，故AG－整理得4AG＝3所以AG＝故x＝16所以x＋y＋z＝11128．已知空間向量a＝(1，0，1)，b＝(2，－1，2)，則向量a在向量b上的投影向量的坐標是________.89，－49，89解析：因為空間向量a＝(1，0，1)，b＝(2，－1，2)，所以a·b＝4，b＝4+1+4＝3，所以向量a9．在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是DD1，DB的中點，G在棱CD上，且CG＝13CD，H是C1G的中點．(1)求證：EF⊥B1C；(2)求cos〈EF，C(3)求FH的長．(1)證明：如圖，以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，E(0，0，1)，F(xiàn)(1，1，0)，C(0，2，0)，C1所以EF＝(1，1，－1)，B1C＝(－2，0，－所以EF·B1C＝1×(－2)＋1×0＋(－1)×(－2)＝0，所以EF⊥B1C，故(2)解：因為C1G＝0，因為EF＝(1，1，－1)，所以EF＝3，EF·C1G＝1×0+所以cos〈EF，C1(3)解：因為H是C1G的中點，所以H0，又因為F(1，1，0)，所以HF＝所以HF＝12+－2310．(多選題)(2024·沈陽模擬)已知空間中三點A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，則()A．AB與AC是共線向量B．與向量AB方向相同的單位向量的坐標是2C．AB與BC夾角的余弦值是55D．BC在AB上的投影向量的模為5BD解析：由已知得AB＝(2，1，0)，AC＝(－1，2，1)，BC＝(－3，1，1)，且－12≠因此AB與AC不共線，故A錯誤；AB＝5，所以與向量AB方向相同的單位向量坐標是15(2，1，0)＝255，AB·BC＝－5，BC＝11，cos〈AB，BC〉＝ABBC在AB上的投影向量的模是BC·ABAB＝11．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120?，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A．32 B．C．105 D．C解析：如圖，由題意知，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，CC1⊥平面ABC.因為BC?平面ABC，AB?平面ABC，所以BB1⊥BC，CC1⊥AB.因為AB1所以AB1·BC1因為AB1＝5所以cos〈AB1，BC1〉＝AB1·BC1AB12．如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，動點P，Q分別在線段C1D，AC上，則線段PQ長度的最小值是()A．23 B．C．23 D．C解析：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系(圖略)，則D(0，0，0)，C1(0