2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 68 課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(六十八)

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(六十八)1．為慶祝中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，某校團(tuán)委組織團(tuán)員參加知識(shí)競(jìng)賽．根據(jù)成績(jī)(單位：分)制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)計(jì)算x的值；(2)采用按比例分層隨機(jī)抽樣的方法從成績(jī)?cè)赱80，90)，[90，100]的兩組中共抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取3人，記X為這3人中成績(jī)落在[80，90)的人數(shù)，求X的分布列和期望．解：(1)由題圖可知0.005×10＋0.010×10＋0.015×10＋10x＋0.040×10＝1，所以x＝0.030.(2)由題可知，7人中成績(jī)?cè)赱80，90)，[90，100]的人數(shù)分別為3，4，所以X的所有可能取值為0，1，2，3，則P(X＝0)＝C43C73＝435，P(X＝1)＝C31C42C73＝1835，P(X＝2)＝所以X的分布列為X0123P418121所以E(X)＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×12．(2024·深圳模擬)某縣城為活躍經(jīng)濟(jì)，特舉辦傳統(tǒng)文化民俗節(jié)，小張弄了一個(gè)套小白兔的攤位，設(shè)xi表示第i天的平均氣溫，yi表示第i天參與活動(dòng)的人數(shù)，i＝1，2，…，20，根據(jù)統(tǒng)計(jì)，計(jì)算得到如下一些統(tǒng)計(jì)量的值：∑10i=1(xi－x)2＝80，∑10i=1(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，用相關(guān)系數(shù)r判斷是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系；(精確到0.01)(2)現(xiàn)有兩個(gè)家庭參與套圈，A家庭3位成員每輪每人套住小白兔的概率都為310，B家庭3位成員每輪每人套住小白兔的概率分別為13，14，1附：相關(guān)系數(shù)r＝∑n解：(1)由題意可知，r＝∑20i=1(xi－故可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．(2)設(shè)A家庭中套中小白兔的人數(shù)為X1，則X1～B3，310，所以E(X1)＝3×3設(shè)A家庭的盈利為X2元，則X2＝40X1－60，所以E(X2)＝40E(X1)－60＝－24.設(shè)B家庭中套中小白兔的人數(shù)為Y1，則Y1的所有可能取值為0，1，2，3，P(Y1＝0)＝23×3P(Y1＝1)＝13×3P(Y1＝2)＝13×1P(Y1＝3)＝13×1所以E(Y1)＝0×512＋1×3172＋2×536＋3×1設(shè)B家庭的盈利為Y2元，則Y2＝40Y1－60，所以E(Y2)＝40E(Y1)－60＝40×34－60＝－因?yàn)椋?4>－30，所以B家庭的損失較大．3．(2024·廣東一模)某單位進(jìn)行招聘面試，已知參加面試的N名學(xué)生全都來(lái)自A，B，C三所學(xué)校，其中來(lái)自A校的學(xué)生人數(shù)為n(n>1)．該單位要求所有面試人員面試前到場(chǎng)，并隨機(jī)給每人安排一個(gè)面試號(hào)碼k(k＝1，2，3，…，N)，按面試號(hào)碼k由小到大依次進(jìn)行面試，每人面試時(shí)長(zhǎng)5分鐘，面試完成后自行離場(chǎng)．(1)求面試號(hào)碼為2的學(xué)生來(lái)自A校的概率．(2)若N＝40，n＝10，且B，C兩所學(xué)校參加面試的學(xué)生人數(shù)比為1∶2，求A校參加面試的學(xué)生先于其他兩校學(xué)生完成面試(A校所有參加面試的學(xué)生完成面試后，B，C兩校都還有學(xué)生未完成面試)的概率．(3)記隨機(jī)變量X表示最后一名A校學(xué)生完成面試所用的時(shí)長(zhǎng)(從第1名學(xué)生開始面試到最后一名A校學(xué)生完成面試所用的時(shí)間)，E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，證明：E(X)＝5n解：(1)記“面試號(hào)碼為2的學(xué)生來(lái)自A?！睘槭录嗀，將A校n名學(xué)生面試號(hào)碼的安排情況作為樣本空間，則樣本點(diǎn)總數(shù)為CN事件A表示A校有1名學(xué)生的面試號(hào)碼為2，其他n－1名學(xué)生的面試號(hào)碼在剩余N－1個(gè)面試號(hào)碼中隨機(jī)安排，則事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)為CN故P(A)＝CN-1n－(2)設(shè)B校參加面試的學(xué)生有x名，由題意得x40－10－x＝所以B校參加面試的學(xué)生有10名，C校參加面試的學(xué)生有20名．記“最后面試的學(xué)生來(lái)自B?！睘槭录﨎，“最后面試的學(xué)生來(lái)自C?！睘槭录﨏，顯然事件B，C互斥．記“A校參加面試的學(xué)生先于其他兩校學(xué)生完成面試”為事件D，則D＝BD＋CD．當(dāng)事件B發(fā)生時(shí)，只需考慮A，C兩所學(xué)校所有參加面試的學(xué)生中最后面試的那位來(lái)自C校，則P(BD)＝P(B)P(D|B)＝1040×20當(dāng)事件C發(fā)生時(shí)，只需考慮A，B兩所學(xué)校所有參加面試的學(xué)生中最后面試的那位來(lái)自B校，則P(CD)＝P(C)P(D|C)＝2040×10所以P(D)＝P(BD)＋P(CD)＝16+1(3)由題知隨機(jī)變量X的取值為5n，5(n＋1)，…，5N,則隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝5k)＝Ck-1n-1CNn，所以隨機(jī)變量X的期望E(X)＝∑＝5CNn∑Nk＝5nCNn(Cnn＋Cn＝5nCNn(Cn+1n+1＋Cn＝N！n！N－所以E(X)＝5n4．(2024·福州模擬)某網(wǎng)紅店推出A，B兩種不同風(fēng)味的飲品．為了研究消費(fèi)者性別和飲品偏好的關(guān)聯(lián)性，店主調(diào)查了首次到店的消費(fèi)者，整理得到如下列聯(lián)表：?jiǎn)挝唬喝诵詣e種類合計(jì)A飲品B飲品女6040100男4060100合計(jì)100100200(1)請(qǐng)畫出等高堆積條形圖，并依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷首次到店消費(fèi)者的性別與飲品風(fēng)味偏好是否有關(guān)聯(lián)．如果結(jié)論是性別與飲品風(fēng)味偏好有關(guān)聯(lián)，請(qǐng)解釋它們之間如何相互影響．(2)店主進(jìn)一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)：女性消費(fèi)者若前一次選擇A飲品，則下一次選擇A，B兩種飲品的概率分別為13，23；若前一次選擇B飲品，則下一次選擇A，B兩種飲品的概率分別為23，解：(1)對(duì)于A飲品：女性消費(fèi)者的頻率為60100＝0.6，男性消費(fèi)者的頻率為40100＝對(duì)于B飲品：女性消費(fèi)者的頻率為40100＝0.4，男性消費(fèi)者的頻率為60100＝可得等高堆積條形圖，如下圖所示．零假設(shè)為H0：首次到店消費(fèi)者的性別與飲品風(fēng)味偏好無(wú)關(guān)．由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得χ2＝200×60×60－40所以根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為首次到店消費(fèi)者的性別與飲品風(fēng)味偏好有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.可知首次到店消費(fèi)者中女性消費(fèi)者更青睞于A飲品，男性消費(fèi)者更青睞于B飲品．(2)由題意可知，女性消費(fèi)者第一次選擇A，B兩種飲品的概率分別為60100＝35，設(shè)前三次選擇A飲品的次數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，3，因?yàn)镻(X＝0)＝25×1P(X＝1)＝35×2P(X＝2)＝35×1P(X＝3)＝35×1所以X