2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 78 第九章 第四節(jié) 列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

第四節(jié)列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)考試要求：1．通過(guò)實(shí)例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義．2．通過(guò)實(shí)例，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用．自查自測(cè)知識(shí)點(diǎn)列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)1．判斷下列說(shuō)法的正誤，正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”．(1)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個(gè)分類(lèi)變量的頻數(shù)．(√)(2)分類(lèi)變量A和B的獨(dú)立性檢驗(yàn)無(wú)關(guān)，即兩個(gè)分類(lèi)變量互不影響．(√)(3)χ2的大小是判斷事件A和B是否相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量．(√)(4)在2×2列聯(lián)表中，若|ad－bc|越小，則說(shuō)明兩個(gè)分類(lèi)變量之間關(guān)系越強(qiáng)．(√)2．(教材改編題)如下2×2列聯(lián)表中a，b的值分別為()xy合計(jì)y1y2x1a835x2113445合計(jì)b4280A．27，38 B．28，38C．27，37 D．28，37A解析：a＝35－8＝27，b＝a＋11＝27＋11＝38.3.已知P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥10.828)＝0.001.在檢驗(yàn)喜歡某項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別是否有關(guān)的過(guò)程中，某研究員搜集數(shù)據(jù)并計(jì)算得到χ2＝7.235，則根據(jù)小概率值α＝________的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷喜歡該項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．0.01解析：因?yàn)?.635<7.235<10.828，所以由檢驗(yàn)規(guī)則可知，根據(jù)小概率值α＝0.01的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷喜歡該項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．核心回扣1.分類(lèi)變量為了表述方便，我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類(lèi)隨機(jī)變量稱(chēng)為分類(lèi)變量．分類(lèi)變量的取值可以用實(shí)數(shù)表示．2.列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)關(guān)于分類(lèi)變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表：XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d(2)計(jì)算隨機(jī)變量χ2＝nad－bc2a+bc+da+下表為5個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8283.應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題的幾個(gè)步驟(1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨(dú)立，并給出在問(wèn)題中的解釋?zhuān)?2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計(jì)算χ2的值，并與臨界值xα比較．(3)根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論．(4)在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要通過(guò)比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．列聯(lián)表與χ2的計(jì)算1．為了研究某地動(dòng)物受核輻射后對(duì)身體健康的影響，專(zhuān)家隨機(jī)選取了110只羊進(jìn)行了檢測(cè)，并將有關(guān)數(shù)據(jù)整理為2×2列聯(lián)表．單位：只身體輻射程度合計(jì)高度輻射輕微輻射健康30A50不健康B1060合計(jì)CDE則A，B，C，D的值依次為()A．20，80，30，50 B．20，50，80，30C．20，50，80，110 D．20，80，110，50B解析：30＋A＝50，所以A＝20，B＋10＝60，所以B＝50，所以C＝30＋B＝30＋50＝80，D＝A＋10＝20＋10＝30.2．兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y，其2×2列聯(lián)表如表所示，對(duì)同一樣本，以下數(shù)據(jù)能說(shuō)明X與Y有關(guān)聯(lián)的可能性最大的一組為()XY合計(jì)y1y2x1369x2m8m＋8合計(jì)m＋314m＋17A．m＝3 B．m＝4C．m＝5 D．m＝6D解析：由給定的2×2列聯(lián)表，對(duì)于A，m＝3，χ2的預(yù)測(cè)值k1＝20×對(duì)于B，m＝4，χ2的預(yù)測(cè)值k2＝21×3×對(duì)于C，m＝5，χ2的預(yù)測(cè)值k3＝22×對(duì)于D，m＝6，χ2的預(yù)測(cè)值k4＝23×顯然k4＞k1＞k3＞k2，因此選項(xiàng)D中數(shù)據(jù)求得χ2的值最大，說(shuō)明X與Y有關(guān)聯(lián)的可能性最大．關(guān)于列聯(lián)表及χ2的計(jì)算(1)2×2列聯(lián)表在計(jì)算數(shù)據(jù)時(shí)要準(zhǔn)確無(wú)誤，關(guān)鍵是對(duì)涉及的變量分清類(lèi)別．(2)計(jì)算χ2時(shí)遵循先化簡(jiǎn)后計(jì)算的原則，充分的約分可以簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)的運(yùn)算．列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)【例1】某公司為了拓展業(yè)務(wù)，對(duì)該公司某款手機(jī)的潛在客戶(hù)進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取國(guó)內(nèi)外潛在用戶(hù)代表各100名，調(diào)查用戶(hù)對(duì)是否使用該手機(jī)的態(tài)度，得到如圖所示的等高堆積條形圖．由等高堆積條形圖得到的數(shù)據(jù)，根據(jù)小概率值α＝0.005的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為持樂(lè)觀態(tài)度和國(guó)內(nèi)外差異有關(guān)？解：由題意得2×2列聯(lián)表如下：?jiǎn)挝唬好響B(tài)度合計(jì)樂(lè)觀不樂(lè)觀國(guó)內(nèi)6040100國(guó)外4060100合計(jì)100100200零假設(shè)為H0：持樂(lè)觀態(tài)度和國(guó)內(nèi)外差異無(wú)關(guān)．依表中數(shù)據(jù)計(jì)算得χ2＝200×60×60－40×40根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為持樂(lè)觀態(tài)度和國(guó)內(nèi)外差異有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表．(2)根據(jù)公式χ2＝nad(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷．甲、乙兩城市之間的長(zhǎng)途客車(chē)均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)．為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車(chē)的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城市之間的500個(gè)班次的長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)情況，得到下面列聯(lián)表：?jiǎn)挝唬簜€(gè)公司準(zhǔn)點(diǎn)情況準(zhǔn)點(diǎn)班未準(zhǔn)點(diǎn)班A24020B21030根據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為甲、乙兩城市之間的長(zhǎng)途客車(chē)是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車(chē)所屬公司有關(guān)？解：列聯(lián)表如下：?jiǎn)挝唬簜€(gè)公司準(zhǔn)點(diǎn)情況合計(jì)準(zhǔn)點(diǎn)班次未準(zhǔn)點(diǎn)班次A24020260B21030240合計(jì)45050500零假設(shè)為H0：甲、乙兩城市之間的長(zhǎng)途客車(chē)是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車(chē)所屬公司無(wú)關(guān)．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得到χ2＝500×240×30－210根據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為甲、乙兩城市之間的長(zhǎng)途客車(chē)是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車(chē)所屬公司有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.1.獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用【例2】某人工智能公司想要了解其開(kāi)發(fā)的語(yǔ)言模型準(zhǔn)確率的達(dá)標(biāo)(準(zhǔn)確率不低于80%則認(rèn)為達(dá)標(biāo))情況與使用的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集大小是否有關(guān)聯(lián)，該公司隨機(jī)選取了大型數(shù)據(jù)集和小型數(shù)據(jù)集各50個(gè)，并記錄了使用這些數(shù)據(jù)集訓(xùn)練的語(yǔ)言模型在測(cè)試數(shù)據(jù)集上的準(zhǔn)確率，根據(jù)小型數(shù)據(jù)集的準(zhǔn)確率數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖(各組區(qū)間分別為[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100])．(1)求a的值，并完成下面的2×2列聯(lián)表；單位：個(gè)準(zhǔn)確率數(shù)據(jù)集合計(jì)大型數(shù)據(jù)集小型數(shù)據(jù)集達(dá)標(biāo)30不達(dá)標(biāo)合計(jì)(2)根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為語(yǔ)言模型準(zhǔn)確率是否達(dá)標(biāo)與使用的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集大小有關(guān)聯(lián)？解：(1)由10×(0.010＋0.025＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.035.準(zhǔn)確率不低于80%的小型數(shù)據(jù)集有50×(0.2＋0.1)＝15(個(gè))，由此可得2×2列聯(lián)表如下：?jiǎn)挝唬簜€(gè)準(zhǔn)確率數(shù)據(jù)集合計(jì)大型數(shù)據(jù)集小型數(shù)據(jù)集達(dá)標(biāo)301545不達(dá)標(biāo)203555合計(jì)5050100(2)零假設(shè)為H0：語(yǔ)言模型準(zhǔn)確率是否達(dá)標(biāo)與使用的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集大小無(wú)關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到χ2＝100×30×35－20×15根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為語(yǔ)言模型準(zhǔn)確率是否達(dá)標(biāo)與使用的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集大小有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的考查，往往與概率和抽樣統(tǒng)計(jì)圖等一起考查，這類(lèi)問(wèn)題的求解可以按各小題及提問(wèn)的順序，一步步進(jìn)行下去，是比較容易解答的．單純考查獨(dú)立性檢驗(yàn)往往用小題的形式，而且χ2的公式一般會(huì)在原題中給出．以“智聯(lián)世界，生成未來(lái)”為主題的2023世界人工智能大會(huì)在中國(guó)上海舉行，人工智能的發(fā)展為許多領(lǐng)域帶來(lái)了巨大的便利，但同時(shí)也伴隨著一些潛在的安全隱患．為了調(diào)查不同年齡階段的人對(duì)人工智能所持的態(tài)度，某機(jī)構(gòu)從所在地區(qū)隨機(jī)調(diào)查了100人，所得結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：年齡/歲[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]頻數(shù)2416152520支持2013121510完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為所持態(tài)度與年齡有關(guān)．單位：人態(tài)度年齡合計(jì)50歲以上(含50歲)50歲以下支持不支持合計(jì)解：根據(jù)題意，可得2×2列聯(lián)表如下：?jiǎn)挝唬喝藨B(tài)度年齡合計(jì)50歲以上(含50歲)50歲以下支持254570不支持201030合計(jì)4555100χ2＝100×25因?yàn)?.129>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為對(duì)人工智能所持態(tài)度與年齡有關(guān)．課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(六十)1．某機(jī)構(gòu)為調(diào)查網(wǎng)游愛(ài)好者是否有性別差異，通過(guò)調(diào)研數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得知在500名男生中有200名網(wǎng)游愛(ài)好者，在400名女生中有50名網(wǎng)游愛(ài)好者．若要確定愛(ài)好網(wǎng)游是否與性別有關(guān)時(shí)，用下列最適合的統(tǒng)計(jì)方法是()A．均值 B．方差C．獨(dú)立性檢驗(yàn) D．回歸分析C解析：由題意可知，“愛(ài)好網(wǎng)游”與“性別”是兩類(lèi)變量，其是否有關(guān)，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷．2．為了解某大學(xué)的學(xué)生喜歡體育鍛煉是否與性別有關(guān)，某機(jī)構(gòu)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法在校園內(nèi)調(diào)查了120名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：?jiǎn)挝唬好w育鍛煉性別合計(jì)男女喜歡ab73不喜歡c25合計(jì)74則a－b－c等于()A．7 B．8C．9 D．10C解析：根據(jù)題意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，補(bǔ)充完整2×2列聯(lián)表為：?jiǎn)挝唬好w育鍛煉性別合計(jì)男女喜歡522173不喜歡222547合計(jì)7446120所以a－b－c＝52－21－22＝9.3．根據(jù)分類(lèi)變量X與Y的抽樣數(shù)據(jù)，計(jì)算得到χ2＝7.505，依據(jù)α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)(x0.01＝6.635)，結(jié)論為()A．變量X與Y不獨(dú)立B．變量X與Y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率超過(guò)0.01C．變量X與Y獨(dú)立D．變量X與Y獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01A解析：依據(jù)α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)(x0.01＝6.635)，χ2＝7.505＞6.635＝x0.01，所以變量X與Y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01，故A正確．4．觀察下列各圖，其中兩個(gè)分類(lèi)變量X，Y之間關(guān)系最強(qiáng)的是()D解析：觀察等高堆積條形圖易知D選項(xiàng)的兩個(gè)分類(lèi)變量之間關(guān)系最強(qiáng)．5．已知兩個(gè)分類(lèi)變量X，Y的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，通過(guò)隨機(jī)調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，再整理成如下的2×2列聯(lián)表：XYy1y2x110mx2n30若樣本容量為75，且m＜n，則當(dāng)判斷X與Y有關(guān)系的把握最小時(shí)，a的值為()A．5 B．10C．15 D．17C解析：在兩個(gè)分類(lèi)變量的列聯(lián)表中，當(dāng)|ad－bc|的值越小時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)的可能性越?。顋10×30－mn|＝0，得mn＝10×30＝300.又因?yàn)闃颖救萘繛?5，所以m＋n＋40＝75，則n＝35－m，所以mn＝m(35－m)＝300，化簡(jiǎn)得m2－35m＋300＝0，解得m1＝15，m2＝20.又因?yàn)閙＜n，所以m＝15.6．(多選題)(數(shù)學(xué)與文化)千百年來(lái)，我國(guó)勞動(dòng)人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結(jié)了豐富的“看云識(shí)天氣”的經(jīng)驗(yàn)，并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語(yǔ)，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了某地區(qū)100天的日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯(lián)表，并計(jì)算得到χ2≈19.05，則下列小波對(duì)該地區(qū)天氣的判斷正確的是()日落云里走夜晚天氣下雨未下雨出現(xiàn)255未出現(xiàn)2545A．夜晚下雨的概率約為1B．未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為5C．依據(jù)α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關(guān)D．依據(jù)α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，若出現(xiàn)“日落云里走”，則認(rèn)為夜晚一定會(huì)下雨ABC解析：對(duì)于A，根據(jù)列聯(lián)表可知，100天中有50天夜晚下雨，50天夜晚未下雨，因此夜晚下雨的概率約為50100＝12對(duì)于B，未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為2525+45＝對(duì)于C，χ2≈19.05＞7.879＝x0.005，因此依據(jù)α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關(guān)，C正確；對(duì)于D，依據(jù)α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷“日落云里走，雨在半夜后”的說(shuō)法犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005，但不代表出現(xiàn)“日落云里走”就一定會(huì)下雨，D錯(cuò)誤．7．(多選題)有甲、乙兩個(gè)班級(jí)共計(jì)105人進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)，得到如下所示的列聯(lián)表．分類(lèi)優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)甲班10b乙班c30已知從105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為27，則下列說(shuō)法中正確的是(A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為20，b的值為45C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”BC解析：由題意，從105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為27所以成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為105×27＝30，非優(yōu)秀的人數(shù)為105－30＝75所以c＝30－10＝20，b＝75－30＝45，則χ2＝105×10×30若按95%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”．8．有兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y，根據(jù)其中一組觀測(cè)數(shù)據(jù)得到如下的2×2列聯(lián)表：XY合計(jì)y1y2x1a15－a15x220－a30＋a50合計(jì)204565其中a，15－a均為大于5的整數(shù)，則a＝________時(shí)，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“X和Y之間有關(guān)系”．9解析：由題意可知χ2≥6.635，則65×a又由a＞5且15－a＞5，a∈N，得5＜a＜10.綜上得a＝9.9．(能力創(chuàng)新)為了解不同年齡段居民的主要閱讀方式，某校興趣小組在全市隨機(jī)調(diào)查了200名居民，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這200人中通過(guò)電子閱讀與紙質(zhì)閱讀的人數(shù)之比為3∶1，將這200人按年齡分組，其中統(tǒng)計(jì)通過(guò)電子閱讀的居民得到的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求a的值及通過(guò)電子閱讀的居民的平均年齡；(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)(2)把年齡在[15，45)的居民稱(chēng)為青年組，年齡在[45，65]的居民稱(chēng)為中老年組，若選出的200人中通過(guò)紙質(zhì)閱讀的中老年有3