2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬考試卷01新人教版

2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬考01（人教版）滿分140分時(shí)間120分鐘學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題（每題3分，共30分）1．（2024·廣西南寧三中初二開(kāi)學(xué)考試）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和6，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A．11 B．16 C．17 D．16或17【答案】D【解析】試題分析：由等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是5和6，可以分狀況探討其邊長(zhǎng)為5，5，6或者5，6，6，均滿意三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊的條件，所以此等腰三角形的周長(zhǎng)為5+5+6=16或5+6+6=17.故選項(xiàng)D正確.考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系；分狀況探討的數(shù)學(xué)思想2．（2024·湖北初二期中）如圖，平分,,,于,,則∠ACP=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】如圖，作PT⊥AN于T．由Rt△PTC≌Rt△PDB（HL），推出∠PCT=∠PBD，只要求出∠PBD即可解決問(wèn)題；【詳解】解：如圖，作PT⊥AN于T．

∵PA平分∠MAN，PT⊥AN，PD⊥AM，

∴PT=PD，∠PTC=∠PDB=90°，

∵PC=PB，

∴Rt△PTC≌Rt△PDB（HL），

∴∠PCT=∠PBD，

∵∠PBD=90°-50°=40°，

∴∠PCT=40°，

∴∠ACP=180°-40°=140°，

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理等學(xué)問(wèn)，解題的關(guān)鍵是敏捷運(yùn)用所學(xué)學(xué)問(wèn)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．3．（2024·山東初一期末）如圖，在中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC，AC于D、E兩點(diǎn)，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DC，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAC=∠C，依據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BDA的度數(shù)，計(jì)算出結(jié)果．【詳解】解：∵DE是AC的垂直平分線，

∴DA=DC，

∴∠DAC=∠C，

∵∠B=60°，∠BAD=70°，

∴∠BDA=50°，

∴∠DAC=∠BDA=25°，

∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=70°+25°=95°

故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)的學(xué)問(wèn)，駕馭線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．4．（2024·四川初一期中）如圖，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，OG⊥CD，∠CDO＝50°，則下列結(jié)論：①OG⊥AB；②OF平分∠BOD；③∠AOE＝65°；④∠GOE＝∠DOF，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解析】【分析】由平行線的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義，再結(jié)合垂直的定義，可分別求得∠AOE、∠GOE、∠DOF、∠BOD，可判定結(jié)論，得出正確答案．由CD∥AB，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得∠BOD的度數(shù)，∠AOE的度數(shù)；又由OF⊥OE，即可求得∠BOF的度數(shù)，得到OF平分∠BOD；又由OG⊥CD，即可求得∠GOE與∠DOF的度數(shù)．【詳解】解：

∵AB∥CD，OG⊥CD，

∴OG⊥AB；故①正確；

∵AB∥CD，

∴∠BOD=∠CDO=50°，

∴∠AOD=180°-50°=130°，

又OE平分∠AOD，

∴∠AOE=∠AOD=65°，

故③正確；∵OG⊥CD，

∴∠GOA=∠DGO=90°，

∴∠GOD=40°，∠GOE=90°-∠AOE=25°，

∴∠EOG+∠GOD=65°，

又OE⊥OF，∴∠FOE=90°

∴∠DOF=25°，

∴∠BOF=∠DOF，

∴OF平分∠BOD，∠GOE=∠DOF，故②④正確；

∴正確的結(jié)論有4個(gè)，

故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)、垂線的定義以及角平分線的定義．此題難度適中，留意駕馭數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．5．（2024·南寧市第八中學(xué)初三）如圖，AB為的直徑，BC為的切線，弦AD∥OC，直線CD交的BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BD．下列結(jié)論：①CD是的切線；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【解析】【分析】由切線的性質(zhì)得，首先連接，易證得，然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，求得，即可證得直線是的切線，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，依據(jù)線段垂直平分線的判定定理得到即，故②正確；依據(jù)余角的性質(zhì)得到，等量代換得到，依據(jù)相像三角形的判定定理得到，故③正確；依據(jù)相像三角形的性質(zhì)得到，于是得到，故④正確．【詳解】解：連結(jié)．為的直徑，為的切線，，，，．又，，．在和中，，，．又點(diǎn)在上，是的切線；故①正確，，，，垂直平分，即，故②正確；為的直徑，為的切線，，，，，，，，，故③正確；，，，，，，故④正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相像三角形的判定與性質(zhì)，留意駕馭協(xié)助線的作法，留意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解答此題的關(guān)鍵．6．在△ABC中,∠A、∠B的外角分別是120°、150°,則∠C=()A．120°B．150°C．60°D．90°【答案】D【解析】【分析】已知∠A、∠B的外角分別是120°、150°，即可求得∠A=60°，∠B=30°，再由三角形的內(nèi)角和定理求∠C的度數(shù)即可.【詳解】∵∠A、∠B的外角分別是120°、150°，∴∠A=60°，∠B=30°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-30°=90°.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角與三角形的內(nèi)角和定理，求得∠A=60°、∠B=30°是解決本題的關(guān)鍵.7．（2024·全國(guó)初一課時(shí)練習(xí)）等腰三角形、直角三角形、等邊三角形、銳角三角形、鈍角三角形和等腰直角三角形中，肯定是軸對(duì)稱圖形的有（）A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．2個(gè)【答案】A【解析】等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形都是軸對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形的有3個(gè).故選：A.8．（2024·重慶初二期末）已知∠AOB=30°，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，P1與P關(guān)于OB對(duì)稱，P2與P關(guān)于OA對(duì)稱，則P1，O，P2三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰三角形【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，作出相應(yīng)的圖形，然后對(duì)相應(yīng)的角進(jìn)行標(biāo)記；本題先證明P1，O，P2三點(diǎn)構(gòu)成的三角形中，然后證邊，得到P1，O，P2三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為等腰三角形，又因?yàn)樵摰妊切斡幸粋€(gè)角為，故得證P1，O，P2三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等邊三角形?！驹斀狻咳鐖D所示，依據(jù)題意，作出相應(yīng)的圖形，可知：∵P和點(diǎn)關(guān)于OB對(duì)稱，p和關(guān)于OA對(duì)稱∴可得,（垂線段的性質(zhì)）∴為等腰三角形∵∴等腰為等邊三角形.故本題選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查垂線段的性質(zhì)和定理，以及等邊三角形的證明方法（有一個(gè)角為的等腰三角形為等邊三角形）.9．（2024·全國(guó)初三單元測(cè)試）若點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，兩點(diǎn)的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出m，n的值，進(jìn)而求出P，Q兩點(diǎn)的距離．【詳解】∵點(diǎn)P(1,?n),Q(m,3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴m=?1，n=3，故點(diǎn)P(1,?3),Q(?1,3)則P，Q兩點(diǎn)的距離為：=2.故答案選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是嫻熟的駕馭關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì).10．（2024·四川初二期中）若一個(gè)正n邊形的一個(gè)外角為45°，則n等于（）A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】試題分析：依據(jù)多邊形的外角和是360°，正多邊形的每個(gè)外角都等=45°，即可求得多邊形得到邊數(shù)360÷45=8，所以是八邊形．故選B．考點(diǎn)：多邊形內(nèi)角與外角二、填空題（每題3分，共30分）11．（2024·湖北初二期中）如圖，已知的六個(gè)元素，則下列甲、乙、丙三個(gè)三角形中和全等的圖形是______.【答案】乙丙.【解析】【分析】甲不符合三角形全等的推斷方法，乙可運(yùn)用SAS判定全等，丙可運(yùn)用AAS證明兩個(gè)三角形全等．【詳解】由圖形可知，甲有一邊一角，不能推斷兩三角形全等，乙有兩邊及其夾角，能推斷兩三角形全等，丙得出兩角及其一角對(duì)邊，能推斷兩三角形全等，依據(jù)全等三角形的判定得，乙丙正確.故答案為：乙丙.【點(diǎn)睛】此題考查三角形全等的判定方法，解題關(guān)鍵在于駕馭判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．12．（2024·河南初二月考）如圖，AB∥CD，AE=AF，CE交AB于點(diǎn)F，∠C=110°，則∠A=°．【答案】40【解析】依據(jù)平行線的性質(zhì)得∠C=∠EFB=110°，再利用鄰補(bǔ)角的定義得∠AFE=180°﹣110°=70°，由AE=AF，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠E=∠AFE=70°，然后依據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算∠A．解：∵AB∥CD，∴∠C=∠EFB=110°，∴∠AFE=180°﹣110°=70°，∵AE=AF，∴∠E=∠AFE=70°，∴∠A=180°﹣∠E﹣∠AFE=40°．故答案為40．13．（2024·鎮(zhèn)江市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校初二月考）（1）假如，，，那么_______．（2）如圖，，請(qǐng)依據(jù)圖中供應(yīng)的信息，寫(xiě)出_______．【答案】60°20【解析】【分析】（1）由，依據(jù)對(duì)應(yīng)角相等即可得出；（2）由，依據(jù)對(duì)應(yīng)邊相等即可得出；【詳解】（1）∵∴=60°；（2）∵∴=20故答案為：（1）60°；（2）20．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，找到對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．14．一個(gè)多邊形每個(gè)內(nèi)角的大小都是其相鄰?fù)饨谴笮〉?倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_____________．【答案】6【解析】【分析】【詳解】【考點(diǎn)】多邊形的外角和公式、多邊形的一個(gè)內(nèi)角與其相鄰?fù)饨堑年P(guān)系．【分析】先依據(jù)多邊形的一個(gè)內(nèi)角與其相鄰?fù)饨腔パa(bǔ)以及一個(gè)多邊形每個(gè)內(nèi)角的大小都是其相鄰?fù)饨谴笮〉?倍，求出多邊形的每一個(gè)外角都等于．再依據(jù)多邊形的外角和等于360°，可以求出多邊形的邊數(shù)是．【解答】解：∵多邊形的一個(gè)內(nèi)角與其相鄰?fù)饨腔パa(bǔ)以及一個(gè)多邊形每個(gè)內(nèi)角的大小都是其相鄰?fù)饨谴笮〉?倍，∴多邊形的每一個(gè)外角都等于，多邊形的外角和等于360°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是故答案為：6．15.（2024·杭州啟正中學(xué)初二月考）△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，BD：BC＝2：3，△ABC的面積為12，則△ABD的面積是_______．【答案】8【解析】試題分析：∵BD：BC=2：3，△ABC的面積為12，∴△ABD的面積=12×=8．故答案為：8．考點(diǎn)：三角形的面積16．在中，，則BC邊上的中線AD的取值范圍___________.【答案】1＜AD＜5．【解析】【分析】延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得DE=AD，可證△ABD≌△CDE，可得AB=CE，AD=DE，在△ACE中，依據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求得AE的取值范圍，即可解題．【詳解】解：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得DE=AD，∵在△ABD和△CDE中，，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴AB=CE，AD=DE∵△ACE中，AC-AB＜AE＜AC+AB，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ABD≌△CDE是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在△ABC中，DE、FG分別是邊AB、AC的垂直平分線，則∠B______∠1，∠C______∠2；若∠BAC=126°，則∠EAG=______度.【答案】==72°【解析】【分析】先依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得出AE=BE，AG=CG，故∠1=∠B，∠2=∠C，由三角形內(nèi)角和定理可知，∠B+∠C+∠BAC=∠B+∠C+126°=180°，故∠B+∠C=54°，由于∠1+∠2+∠B+∠C+∠EAG=180°，即2（∠B+∠C）+∠EAG=180°，再把∠B+∠C=54°代入即可求解．【詳解】解：∵DE、FG分別是邊AB、AC的垂直平分線，∴AE=BE，AG=CG，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠B+∠C+∠BAC=∠B+∠C+126°=180°，∴∠B+∠C=180°-126°=54°，∵∠1+∠2+∠B+∠C+∠EAG=180°，即2（∠B+∠C）+∠EAG=180°，∴∠EAG=180°-2×54°=72°．故答案為72°．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記學(xué)問(wèn)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，AD是的中線，，、E、F分別是垂足，已知，則DE與DF長(zhǎng)度之比為_(kāi)_______.【答案】2【解析】【分析】依據(jù)三角形中線的性質(zhì)可得，然后利用三角形面積公式分別表示出兩個(gè)三角形的面積，結(jié)合可求出DE與DF長(zhǎng)度之比.【詳解】解：∵AD是的中線，∴，∵，，∴，∵，∴，∴DE與DF長(zhǎng)度之比為2，故答案為2.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，熟知三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分是解題關(guān)鍵.19．（2024·江蘇初二期中）如圖，在△ABC中，∠C=26°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，假如DE垂直平分BC，那么∠A=_____°．【答案】102°【解析】【分析】由垂直平分線的性質(zhì)可得∠C=∠DBC=26°，由BD平分∠ABC可得∠DBC=∠ABD=26°，最終在三角形ABC中利用內(nèi)角和180°可求出∠A.【詳解】∵DE垂直平分BC，∴DB=DC，∴∠C=∠DBC=26°又∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=26°，∴∠C=∠DBC=∠ABD=26°在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠A=180°-3∠C=102°.故答案為102.【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線和角平分線的性質(zhì)，嫻熟駕馭性質(zhì)得出角度關(guān)系是解題的關(guān)鍵.20．（2024·江西初二期末）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若是軸對(duì)稱圖形，則的度數(shù)為_(kāi)_________【答案】15°或30°或75°或120°【解析】【分析】當(dāng)△PAD是等腰三角形時(shí)，是軸對(duì)稱圖形．分四種情形分別求解即可．【詳解】如圖，當(dāng)△PAD是等腰三角形時(shí)，是軸對(duì)稱圖形．∵AD是等邊三角形BC邊長(zhǎng)的高，∴∠BAD=∠CAD=30°,當(dāng)AP＝AD時(shí)，∠P1AD=∠P1AB+∠BAD=120°+30°=150°∴∠AP1D＝==15°，∠AP3D＝==75°．當(dāng)PA＝PD時(shí)，可得∠AP2D＝==120°．當(dāng)DA＝DP時(shí)，可得∠AP4D＝∠P4AD=30°，綜上所述，滿意條件的∠APD的值為120°或75°或30°或15°．故答案為15°或30°或75°或120°．【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是依據(jù)題意分狀況探討.三、解答題（共80分）21．（2024·陜西初三）如圖，△ABC中AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，過(guò)B作BE∥AC交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：AC＝BE．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD，再平行線的性質(zhì)得∠C=∠DBE，最終證明△ADC≌△EDB便可得結(jié)論．【詳解】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，∴BD＝CD，又∵BE∥AC，∴∠C＝∠DBE，在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（ASA），∴AC＝BE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵在證明三角形全等．22．（2024·重慶市試驗(yàn)學(xué)校初二期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，DC與AB交于點(diǎn)O，且∠BDC＝∠BAC．（1）求證：∠ABD＝∠ACD；（2）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥CD于M，求證：BD+DM＝CM．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；（2）在CM上截取CE＝BD，連接AE，由SAS證明△ABD≌△ACE得出AD＝AE，由等腰三角形的性質(zhì)得出DM＝EM，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠BDC＝∠BAC，∠BOD＝∠AOC，∴∠ABD＝∠ACD；（2）證明：在CM上截取CE＝BD，連接AE，如圖所示：在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∵AM⊥CD，∴DM＝EM，∴BD+DM＝CE+EM＝CM．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等學(xué)問(wèn)；嫻熟駕馭等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．23．（2024·山東初一期末）如圖，已知A、E、F、C在一條直線上，BE∥DF，BE＝DF，AF＝CE．(1)圖中有幾對(duì)全等三角形？(2)推斷AD與BC的位置關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)圖中3對(duì)全等三角形；(2)結(jié)論：AD∥BC，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)全等三角形的判定方法即可得出；（2）證明△ABE≌△CDF，得出四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出平行關(guān)系.【詳解】(1)圖中全等三角形有△ABE≌△CDF，△BAC≌△DCA，△BCE≌△ADF．(2)結(jié)論：AD∥BC．理由：∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠AFD，∴∠AEB＝∠DFC，∵AF＝CE，∴AE＝CF，∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF，∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定方法.24．（2024·河北初二期中）如圖1，AB=12，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=8。點(diǎn)P在線段AB上以每秒2個(gè)單位的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由B點(diǎn)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)。它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).

（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t=2時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由，并推斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；（2）如圖2，將圖1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB=∠DBA=60°”，其他條件不變。設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒x個(gè)單位，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x,t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！敬鸢浮浚?）△ACP與△BPQ全等，PC⊥PQ，理由見(jiàn)解析；（2）存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等，，【解析】【分析】（1）利用HL證得Rt△PAC≌Rt△QBP，得出∠APC=∠PQB，進(jìn)一步得出∠PQB+∠QPB=∠APC+∠QPB=90°，得出結(jié)論即可；（2）由△ACP≌△BQP，分兩種狀況：①AC=BQ，AP=BP，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可．【詳解】（1）解：△ACP與△BPQ全等，PC⊥PQ，理由如下：當(dāng)t=2時(shí)，AP=BQ=2×2=4，BP=AB-AP=12-4=8=AC，∵AC⊥AB，BD⊥AB，

∴∠PAB=∠PBQ=90°，在Rt△PAC和Rt△QBP中，，∴Rt△PAC≌Rt△QBP，∴∠APC=∠PQB，∵∠PQB+∠QPB=90°，∴∠APC+∠QPB=90°，即PC⊥PQ.（2）解：存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等，理由如下：若△ACP≌△BQP，則AC=BQ，AP=BP，即,解得；若△ACP≌△BPQ，則AC=BP，AP=BO，即,解得.【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于駕馭判定定理.25．（2024·重慶初二期末）已知中，，，點(diǎn)、分別是軸和軸上的一動(dòng)點(diǎn)．(1)如圖，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，交軸于，平分，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，求點(diǎn)的坐標(biāo).(3)如圖，分別以、為直角邊在第三、四象限作等腰直角和等腰直角，交軸于，若，求.【答案】（1）B（0，-4）；（2）D（，0）；（3）12.【解析】【分析】（1）作CM⊥y軸于M，則CM=4，求出∠ABC=∠AOB=90°，∠CBM=∠BAO，證△BCM≌△ABO，即可得出結(jié)論；（2）作CM⊥y軸于M，利用AAS得到△CMB≌△BOA，得到B和C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求BC的解析式，與x軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)D，即可求出點(diǎn)D坐標(biāo)；（3）作EN⊥y軸于N，求出∠NBE=∠BAO，證△ABO≌△BEN，推出S△ABO=S△BEN，OB=NE=BF，證△BFM≌△NEM，推出BM=NM，依據(jù)三角形面積公式得出S△NEM=S△BEM=S△BEN=S△ABO，即可得出答案．【詳解】解：（1）如圖，作CM⊥y軸于M，則CM=4，∵∠ABC=∠AOB=90°，∴∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CBM=∠BAO，在△BCM和△ABO中，∴△BCM≌△ABO（AAS），∴OB=CM=4，∴B（0，-4）；（2）如圖，作CM⊥y軸于M，∵∠CBO+∠OBA=∠CBA=90°，∠OBA+∠BAO=90°，∴∠CBM=∠BAO，在△CMB和△BOA中，∴△CMB≌△BOA（AAS），∴CM=BO，AO=BM，∵點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為，A（，0），∴MO=，OA=BM=，∴CM=BO=BM-MO=2，∴C（-2，），B（0，-2），設(shè)BC的解析式為y=kx+b，則，解得：∴當(dāng)y=0時(shí)，代入，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）；（3）如圖，作EN⊥y軸于N，∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，∴∠NBE=∠BAO，在△ABO和△BEN中，∴△ABO≌△BEN（AAS），∴S△ABO=S△BEN，OB=NE=BF，∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，∴在△BFM