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第一章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)1.已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},則A∩B=()A.{3} B.{5} C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7}解析集合A,B的公共元素為3,5,故A∩B={3,5}.答案C2.已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},則A∩B=()A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}解析由題意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.答案C3.設x∈R,則“x3>8”是“|x|>2”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析由x3>8,所以x>2?|x|>2;當|x|>2時,則x>2或x<-2,不能得到x3>8,比如x=-3.所以“x3>8”是“|x|>2”的充分不必要條件.答案A4.已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},則集合?U(A∪B)=()A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}解析∵U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},∴A∪B={x|x≤0,或x≥1},∴?U(A∪B)={x|0<x<1}.答案D5.已知M,N都是U的子集,則圖中的陰影部分表示()A.M∪N B.?U(M∪N)C.(?UM)∩N D.?U(M∩N)解析圖中的陰影部分為M∪N的補集.答案B6.(2024邢臺高一檢測)若{1,2}?A?{1,2,3,4,5},則滿意條件的集合A的個數是()A.6 B.7 C.8 D.9解析∵{1,2}?A?{1,2,3,4,5},∴集合A中必需含有1,2兩個元素,因此滿意條件的集合A為{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共8個.答案C7.設全集U是實數集R,M={x|x>2或x<-2},N={x|x≥3或x<1}都是U的子集,則圖中陰影部分所表示的集合是()A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤2}C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2}解析∵圖中陰影部分表示:x∈N且x?M,∴x∈N∩?UM.∴?UM={x|-2≤x≤2},∴N∩?UM={x|-2≤x<1}.故選A.答案A8.設集合A={x|a-1<x<a+1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若A∩B=?,則實數a的取值范圍是()A.[0,6] B.(-∞,2]∪[4,+∞)C.(-∞,0]∪[6,+∞) D.[2,4]解析∵A={x|a-1<x<a+1,x∈R},∴A≠?.又A∩B=?,如圖可知a+1≤1或a-1≥5.故a≤0或a≥6,即a的取值范圍為(-∞,0]∪[6,+∞).答案C二、多項選擇題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分)9.設全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3},則()A.A∩B={0,1} B.?UB={4}C.A∪B={0,1,3,4} D.集合A的真子集個數為8解析因為A={0,1,4},B={0,1,3},所以A∩B={0,1},A∪B={0,1,3,4},選項A,C都正確;又全集U={0,1,2,3,4},所以?UB={2,4},選項B錯誤;集合A={0,1,4}的真子集有7個,所以選項D錯誤.答案AC10.已知集合A={2,3},B={x|mx-6=0},若B?A,則實數m可以是()A.3或2 B.1 C.0 D.-1解析當m=0時,方程mx-6=0無解,B=?,滿意B?A;當m≠0時,B=6m,因為B?A,所以6m=2或6m=3,解得m=3或m=2答案AC11.(2024通化高一檢測)下列命題的否定中,是全稱量詞命題且為真命題的有()A.?x∈R,x2-x+14<B.全部的正方形都是矩形C.?x∈R,x2+2x+2≤0D.至少有一個實數x,使x3+1=0解析由條件可知,原命題為存在量詞命題且為假命題,所以解除B,D;又因為x2-x+14=x-122≥0,x2+2x+2=(x+1)2+1>答案AC12.下列說法正確的是()A.“a≠0”是“a2+a≠0”的必要不充分條件B.若命題p:某班全部男生都愛踢足球,則p:某班至少有一個女生愛踢足球C.“隨意菱形的對角線肯定相等”的否定是“菱形的對角線肯定不相等”D.“k>4,b<5”是“一次函數y=(k-4)x+b-5的圖像交y軸于負半軸,交x軸于正半軸”的充要條件解析對于A,“a2+a≠0”?“a≠-1且a≠0”,“a≠0”“a≠-1且a≠0”,“a≠-1且a≠0”?“a≠0”,所以“a≠0”是“a2+a≠0”的必要不充分條件是正確的;對于B,若命題p:某班全部男生都愛踢足球,則p:某班至少有一個男生不愛踢足球,所以原說法是錯誤的;對于C,“隨意菱形的對角線肯定相等”的否定是“存在菱形,其對角線不相等”,所以選項C中的說法是錯誤的;對于D,當k>4,b<5時,函數y=(k-4)x+b-5的圖像如圖所示,明顯交y軸于負半軸,交x軸于正半軸.當一次函數y=(k-4)x+b-5的圖像交y軸于負半軸,交x軸于正半軸時,即x=0,y=b-5<0,所以b<5.當y=0時,x=5-bk-4>0,因為b<5,所以k>4答案AD三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.若U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,2,3},B={5,6,7},則?UA=,(?UA)∩(?UB)=.
解析?UA={4,5,6,7,8},(?UA)∩(?UB)={4,5,6,7,8}∩{1,2,3,4,8}={4,8}.答案{4,5,6,7,8}{4,8}14.命題“?x∈[0,+∞),x2+x≥0”的否定是.
答案?x∈[0,+∞),x2+x<015.已知全集U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若?UA={1,2},則實數m=.
解析∵?UA={1,2},∴A={0,3},∴0,3是關于x的方程x2+mx=0的兩個根,∴m=-3.答案-316.一名法官在審理一起珠寶盜竊案時,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下.甲說:“罪犯在乙、丙、丁三人之中.”乙說:“我沒有作案,是丙偷的.”丙說:“甲、乙兩人中有一人是小偷.”丁說:“乙說的是事實.”經過調查核實,四人中有兩人說的是真話,另外兩人說的是假話,且這四人中只有一人是罪犯,由此可推斷罪犯是.
解析四人供詞中,乙、丁看法一樣,或同真或同假.若同真,即是丙偷的,而四人中有兩人說的是真話,即此時甲、丙說的是假話,即乙、丙、丁沒偷,沖突;若同假,即不是丙偷的,則甲、丙說的是真話,可知犯罪的是乙,符合題意.答案乙四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)(2024東莞高一檢測)已知全集U為R,集合A={x|0<x≤2},B={x|-2<x+1<2},求:(1)A∩B;(2)(?UA)∩(?UB).解B={x|-3<x<1},(1)因為A={x|0<x≤2},所以A∩B={x|0<x<1}.(2)?UA={x|x≤0或x>2},?UB={x|x≤-3或x≥1},所以(?UA)∩(?UB)={x|x≤-3或x>2}.18.(12分)已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}.(1)求A∪B,(?RA)∩B;(2)若A∩C≠?,求a的取值范圍.解(1)因為A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},所以A∪B={x|2≤x<10}.因為A={x|2≤x<7},所以?RA={x|x<2或x≥7},則(?RA)∩B={x|7≤x<10}.(2)因為A={x|2≤x<7},C={x|x<a},且A∩C≠?,所以a>2,所以a的取值范圍是(2,+∞).19.(12分)(2024盤錦高一檢測)已知p:實數x滿意a<x<4a(其中a>0),q:實數x滿意2<x≤5.(1)若a=1,且p與q都為真命題,求實數x的取值范圍.(2)若p是q的必要不充分條件,求實數a的取值范圍.解(1)若a=1,p為真,p:1<x<4,q為真,q:2<x≤5.∵p,q都為真命題,∴x的取值范圍為(2,4).(2)設A={x|a<x<4a,a>0},B={x|2<x≤5}.∵p是q的必要不充分條件,∴B?A,∴a≤2,4a>5,綜上所述,a的范圍為5420.(12分)設全集U=R,集合A={x|-5<x<4},集合B={x|x<-6或x>1},集合C={x|x-m<0},若C?(A∩B)且C?(?UA)∩(?UB),求實數m的取值范圍.解因為A={x|-5<x<4},B={x|x<-6或x>1},所以A∩B={x|1<x<4},?UA={x|x≤-5或x≥4},?UB={x|-6≤x≤1},所以(?UA)∩(?UB)={x|-6≤x≤-5}.又C={x|x<m},當C?(A∩B)時,m≥4,當C?(?UA)∩(?UB)時,m>-5.所以實數m的取值范圍為[4,+∞).21.(12分)已知m>0,p:-2≤x≤6,q:2-m≤x≤2+m.(1)已知p是q成立的必要不充分條件,求實數m的取值范圍;(2)若q是p成立的充分不必要條件,求實數m的取值范圍.解(1)∵p是q成立的必要不充分條件,∴q?p且pq,則[2-m,2+m]是[-2,6]的真子集,有2-m<2+m,2又當m=4時,[2-m,2+m]=[-2,6],不合題意,舍去,∴m的取值范圍是(0,4).(2)∵q是p成立的充分不必要條件,∴q?p且pq,則(-∞,2-m)∪(2+m,+∞)是(-∞,-2)∪(6,+∞)的真子集,則2-m<2+m,又當m=4時,兩集合相等,不合題意,舍去,∴m的取值范圍是(4,+∞).22.(12分)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}.(1)若A是空集,求a的取值范圍;(2)若A中只有一個元素,求a的值,并把這個元素寫出來;(3)若A中至多有一個元素,求a的取值范圍.解
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