沒有不做功的力-馬德堡半球實驗、舉重運動消耗的卡路里及輻射壓公式

沒有不做功的力--馬德堡半球實驗、舉重運動消耗的卡路里及輻射壓公式管克英北京交通大學理學院，數(shù)學系Email：keying.guan@Abstract:

Thispaperpointsoutthatthecombinationofthelawofconservationofenergyandthelawofconservationofmomentumimpliesanimportantlawthatisoftenignoredbecauseitisnotobviouswhenitcomesto"staticforce"problems,thatis,thereisnoforcethatdoesnotdowork.Thislawcanbepreciselyexpressedasforceisequivalenttopower,thatis,everynewtonofforceactingonmaterialisequivalenttooutputting1wattofpower.ThislawisreflectednotonlyintheMagdeburghemisphereexperiment,butalsointhecaloriesconsumedbyweightlifters,andalsointheplasticdeformation,heatgeneration,fatigue,andfracturedegreeoftheextruded(orstreched)materialperunittime.Ignoringthisrulewillresultinmisjudgmentofpracticalproblems.Forexample,manypeoplemistakenlybelievethatapersonwhoisstandingandcarryingaweightisnotdoingworkwhenheisnotpushingtheweighthigherfurther,etc.,soheconsumesthesameamountofphysicalenergyasifhewerenotcarryingtheweight.SuchmisjudgmentsaremoreseriouslyreflectedintheMaxwell-Bartoliradiationpressureformula(includingKr?nig'spressureformulaforidealgas)withreflectioncoefficientsinmodernphysicalsciencetheories.Thisformulaerroneouslypredictsthattheradiationpressureonthesurfaceofthestronglyreflectivematerialwithasmallabilitytoreceiveradiationisgreaterthantheradiationpressureonthesurfaceoftheweaklyreflectivematerialwithalargeabilitytoreceiveradiation.ThispredictionbothcontradictstheexperimentalfactsoftheCrookesradiometerandgrosslyunderestimatesCrookes'scientificcontributions.Usingtheaboverules,thispapernotonlygivesthemechanicalestimationofthecaloriesconsumedbyweightliftersinaweightliftingactivity,butalsofurther,comprehensivelyusesthemethodsofthermodynamicsandstatisticalphysicsandtheprecisesolutionoftheelasticcollisionoftwoparticles,givestheelectromagneticradiationbeamTheformulaforlightpressureandidealairflowpressure,where

<Sincident>

isthepoweroftheincidentflowthroughaunitarea,

Rreflection

isthereflectioncoefficientoftheilluminatedobject,sistheunittime(1second),andmistheunitlength(1meter).摘要：本文指出能量守恒與動量守恒定律的結合蘊含著一個在涉及“靜力”問題時，往往因表現(xiàn)不明顯而被忽略，卻真實存在的重要規(guī)律，即沒有不做功的力。此規(guī)律可精確表達為，力等價于功率，即這種等價性可以精確地表示為，作用在物質上的每牛頓力相當于輸出1瓦特的功率。此規(guī)律既體現(xiàn)在馬德堡半球實驗上，也體現(xiàn)在舉重運動員消耗的卡路里上，還反應在受擠壓（或拉抻）的物質材料在單位時間的塑性變形、發(fā)熱、疲勞、斷裂的程度等諸多方面。忽略了這個規(guī)律則造成對實際問題的誤判。例如，很多人錯誤地認為，正在站立負重的人，在沒有進一步推動重物向上等動作時，沒有做功，因此他消耗的體能與不負重一樣。這類誤判更嚴重地反應在現(xiàn)代物理科學理論中含反射系數(shù)的Maxwell-Bartoli輻射壓公式(包括

Kr?nig的理想氣壓公式)上。此公式錯誤地預測：接收輻射能力小的強反光物質表面受到的輻射壓大于接收輻射能力大的弱反光物質表面受到的輻射壓。此預測既與Crookes輻射計的實驗事實相悖，也嚴重低估了Crookes的科學貢獻。本文利用上述規(guī)律，既給出了對舉重運動員一次舉重活動中消耗卡路里的力學估計，還進一步，綜合運用熱力學與統(tǒng)計物理的方法和兩個粒子彈性碰撞的精確解，給出了關于電磁輻射束壓強與理想氣流束的壓強公式，其中

<Sincident>

是入射流通過單位面積的功率，Rreflection，是被照物體的反射系數(shù)系數(shù)，s是單位時間(1秒)，m是單位長度(1米)。I

對Maxwell-Bartoli輻射壓理論與Crookes輻射計實驗的再思辨雖然（Crookes)輻射計的設計很簡單，但它的發(fā)現(xiàn)導致了物理學家試圖充分解釋其運動的起源的，史詩般的50年歷史。

該設備吸引了當時一些最著名的科學家的興趣，并引發(fā)熱烈的科學爭論。

事實上，它很好地說明了物理問題的解決方案往往比它們最初看起來更棘手！(英語原文：Thoughtheradiometerissimpleindesign,itsdiscoveryresultedinanepic50yearhistoryofphysicistsattemptingtoadequatelyexplaintheoriginofitsmotion.Thedevicewouldattracttheinterestofsomeofthemostfamousscientistsofitstime,andprovokelivelyscientificarguments.Itis,infact,agoodillustrationofhowthesolutionofproblemsinphysicscanoftenbetrickierthantheyfirstappeartobe!）以上摘自博客網站

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的博文

Crookesandthepuzzleofhis

radiometer作者從2021年4月開始關注太陽帆的理論到目前討論Maxwell-Bartoli光壓公式的研討過程中，逐漸意識到問題涉及到物理學的基礎，涉及到19世紀以來許多我們崇敬的頂級物理學家的研究結果，關系重大必須慎重再慎重。物理學是以試驗事實為第一性的科學，又是以嚴格邏輯推理為基礎的科學。按照這個原則，作者在不斷反思已發(fā)布的相關博文,推敲哪些有所偏頗，哪些確有道理需要堅持，哪些需要進一步研究澄清。作者在以前的數(shù)篇相關博文中曾多次介紹了人類對光與光壓認識的歷史，指出了19世紀中后期的重要進展，即英國物理學家

JamesClerkMaxwell于1865年建立了電磁場運動方程[1]，并且推導出電磁輻射的能量密度的表達式等，使得電磁輻射可以被看成實際的物質，特別，他還給出了一種計算光壓的理論[2]。人類直接觀測到陽光可推動物體運動的現(xiàn)象是1873年

Crookes輻射計的光壓實驗[3]。實驗的結果是：當陽光落在輻射計時，輻射計的葉片被轉動，黑色表面顯然較反光面更容易被光推動。最初JamesClerkMaxwell引用了他的論文，接受了Crookes的解釋。Maxwell起初似乎很高興看到他的電磁學理論預言了輻射壓力的影響。但這個實驗結果以及Crookes的解釋顯然與流行的看法或理論相矛盾。流行的看法認為反光鏡面受到的壓力是不反射光的黑體面受到的壓力的二倍。作者研究了

Crookes的論文，注意到其系列論文的第三部分中明確指出（見文獻[3]第350頁）：Lightfallsontheblackandwhitesurfacesofaradiometer,orothersimilarinstrument.Thatwhichfallsonthewhitesurfaceisnearlyallreflectedbackagain.Werethesurfaceperfectlywhitetheforcewhichwentintothebulbwouldbereflectedoutagain;theincidentraywouldcontaininitselfacertainamountofpotentialwork;butastheemergentbeamwouldcomeoutwithnolossofintensity,noworkcouldhavebeendoneonthereflectingsurface.....Butinthecaseoflightfallingonthelampblackedsurfacetheresultisverydifferent.Here,practically,thewholeofthelightisquenchedbythelampblack.Forceispouredintothebulb,butnonecomesout.What,then,becomesofit'?Itischangedintomotion,andbecomesevidentinthestrongrepulsionwhichisexertedontheblacksurface.中文譯文為光落在輻射計或其他類似儀器的黑白表面上。

落在白色表面上的幾乎全部再次反射回來。

如果表面完全是白色的，那么進入燈泡的所有力都會再次反射出去；

入射光線本身包含一定數(shù)量的潛在功；

但是由于出射光束的強度沒有損失，因此無法在反射面上做任何功......

但在光落在被油煙熏黑的表面上的情況下，結果就大不相同了。

在這里，實際上，整個光都被油煙熄滅了。

力被注入燈泡，但沒有一個出來。

那么，它會變成什么？

它變成了運動，并在施加在黑色表面上的強烈排斥力中變得明顯。根據(jù)最近對彈性碰撞理論的研究，作者認為，Crookes的上述解釋雖然沒有經過更深刻的理論論證，但顯然是極有道理的，他的解釋兼顧了動量守恒與能量守恒原理。他的解釋本應被學術界重視并深入研究，但學術界卻普遍嚴重地忽略了他提出的能量守恒約束，片面地僅根據(jù)動量守恒認為反射面因受到更大的動量作用從而會受到更大的壓強。為澄清此問題，作者進一步研究了140多年前Maxwell對太陽光壓的計算過程與依據(jù)，研究了以后由P.Lebedew給出的更現(xiàn)代的計算公式，即Maxwell-Bartoli公式[4]

（1）公式右方的

S

表示電磁輻射（或光）束每秒正面通過被照射物每平方米的能量（簡稱能量通量，等同于通過每平方米的功率)，c

為光速，

R

是被照射物對輻射的反射系數(shù)。Maxwell的最初計算沒有考慮到反射系數(shù)（即設

R=0），所以他給出的計算值為每平方米0.00000041公斤重。當將反射系數(shù)R=1時，根據(jù)該式計算的太陽光壓值就是每平米0.0000008公斤重。這是學術界普遍認為反射面會受到更大壓強并依此以否定Crookes解釋的主要理論依據(jù)。其實使用(1)式計算出來的太陽光壓非常小，似乎難以推動Crookes輻射計的葉片轉動。學術界不得不尋找一系列復雜理論用于解釋輻射計的葉片轉動，例如英文Wikipedia關于CrookesRadiometer的介紹

/wiki/Crookes_radiometer;又如著名的博客網站

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中的值得一讀的博文

Crookesandthepuzzleofhis

radiometer這些趣味的文章(包括1924年AlbertEinstein的探索[5])介紹了大量試圖用其它物理作用解釋Crookes輻射計葉片轉動的探索。從這兩篇文章不難看出，迄今關于

Crookes輻射計葉片轉動機制不是來自光壓的解釋實在過于復雜，而且這些解釋均難以說明為何在激光束照射下輻射計葉片轉動的迅速響應（參考作者的博文

輻射理論上的“光壓”不是牛頓力學中的“壓強”）。為什么Maxwell-Bartoli公式計算的光壓會那么小，該公式到底是如可推導出來的？對此疑問，作者最初查閱到英文Wikipedia對該式的一個現(xiàn)代推導（/wiki/Radiation_pressure）方式，基本思路是利用與熱力學相同的思路將電磁波看成連續(xù)介質，使用了Poynting矢量<S>

（電磁場傳播的功率密度）作為基本量導出的。下面是2022年2月9日，作者從該網頁直接拷貝下的此公式的推導原文AccordingtoMaxwell'stheoryofelectromagnetism,anelectromagneticwavecarriesmomentum,whichwillbetransferredtoanopaquesurfaceitstrikes.Theenergyflux(irradiance)ofaplanewaveiscalculatedusingthe

\o"Poyntingvector"Poyntingvector

,whosemagnitudewedenoteby

S.

S

dividedbythe

\o"Speedoflight"speedoflight

isthedensityofthelinearmomentumperunitarea(pressure)oftheelectromagneticfield.So,dimensionally,thePoyntingvectoris

S=power/area=rateofdoingwork/area=ΔF/ΔtΔx/area,whichisthespeedoflight,

c=Δx/Δt,timespressure,ΔF/area.Thatpressureisexperiencedasradiationpressureonthesurface:where

ispressure(usuallyin

\o"Pascals"Pascals),

istheincident

\o"Irradiance"irradiance

(usuallyinW/m2)and

isthe

\o"Speedoflight"speedoflight

invacuum.Here,

1/c

≈

3.34

N/GW.譯成中文就是:

根據(jù)麥克斯韋的電磁學理論，電磁波攜帶動量，該動量將轉移到它所撞擊的不透明表面。平面波的能量通量（輻照度）使用坡印廷矢量

，我們用S表示其大小。S除以光速是電磁場每單位面積（壓強）的線性動量密度。所以，在量綱上，坡印廷向量是

S=功率/面積=所作做功的(比)率/面積

=

ΔF/ΔtΔx/面積，即光速，c=Δx/Δt，乘以壓力，ΔF/面積。該壓強表現(xiàn)為表面上的輻射壓：

（2）其中P是壓強（通常以帕斯卡為單位），

是入射輻照度（通常以W/m2為單位），c是真空中的光速。這里，

1/c

≈

3.34

N/GW。注：以上公式（2）的編號是由本博文作者為進一步引用而加上的。以上維基百科的推導是作者見到的對輻射壓最現(xiàn)代、最清楚的推導，完全符合Maxwell給出的計算，也應該是迄今最權威的。維基百科的推導顯然將其中的力

F

視為對已做光速運動物質的一種“作用力”，而不是對普通物質的作用力，因為普通物質的運動速度v=

Δx/Δt

絕不可能達到光速。由于光束一定以光速傳播，所以這個光束對光自身的“作用力”毫無意義。事實上電磁場理論中坡印廷矢量是用在對電磁場自身傳播中的能量與動量的守恒關系的描述，并沒有涉及到與其它物質的相互作用力。了解到維基百科的推導后，作者即意識到這種推導是不合理的，考慮到此時壓力作用的對象應該是普通物質，推導中使用的

Δx/△t

應該是被作用物體的速度，絕對不是光速。經過反復推敲，根據(jù)量綱分析，發(fā)現(xiàn)如果采用以米-千克-秒制（MKS）為基礎的國際單位制(SI)，力的單位為牛頓（Nˊ），功率的單位為瓦特（W），那么輻射強度（即功率）<S>用每平方米的瓦特數(shù)度量、輻射對普通物質的作用的壓強

p

使用每平方米的牛頓數(shù)度量，合理的光壓應該是

（3）(參考作者的博文（1）：輻射理論上的“光壓”不是牛頓力學中的“壓強”，

和博文（2）：

地面上標準太陽光壓是1310帕--再論"光壓"

），并將此壓強稱為“當量壓強”。根據(jù)現(xiàn)代測量的太陽常數(shù)作者計算出太陽光輻射到地面的功率密度折合成的當量壓強為1310帕，大約是地面氣壓的百分之一。由于其重要性，本文將在第II節(jié)對以上用到的力與功率的關系作更詳細的描述。作者還從Maxwell[6]

與Bartoli[7]

的原著中發(fā)現(xiàn)，其實那個時代人們已經知道如何將太陽光的輻射強度換算成當量壓強，而且當時計算出的數(shù)值與作者得到的一致。更有趣的是兩位學者恰恰使用了該當量壓強的值，卻將其除以無量綱的光速（叁億）得到了（2）式的值。Maxwell在其原著中對此解釋為這是光在“單位體積中的能量密度”。本文將指出這是對力與功率關系的錯誤理解。所以，作者認為Maxwell-Bartoli公式將作用力

F

所乘的因子Δx/△t錯誤地解釋成光速

c，這就造成公式中出現(xiàn)了光速這個大分母，使得由此計算出的光壓很小。作者還曾在博文中指出，只有當被照射物體吸收了照射到它的陽光的全部能量（相當于沒有反射或散射），并將之全部轉化為動能，公式（3）才可能是正確的。但是由于實際的被照物體存在反射不可能將陽光全部轉化成動能，該式給出的光壓只是理論上的，實際上遠達不到。作者還注意到，上述維基百科的同一詞條解釋中的確考慮到反射作用，下面是有關內容的直接拷貝：Theabovetreatmentforanincidentwaveaccountsfortheradiationpressureexperiencedbyablack(totallyabsorbing)body.Ifthewaveis

\o"Specularlyreflected"specularlyreflected,thentherecoilduetothereflectedwavewillfurthercontributetotheradiationpressure.Inthecaseofaperfectreflector,thispressurewillbeidenticaltothepressurecausedbytheincidentwave:thus

doubling

thenetradiationpressureonthesurface:Forapartiallyreflectivesurface,thesecondtermmustbemultipliedbythereflectivity(alsoknownasreflectioncoefficientofintensity),sothattheincreaseislessthandouble.Fora

\o"Diffusereflection"diffuselyreflective

surface,thedetailsofthereflectionandgeometrymustbetakenintoaccount,againresultinginanincreasednetradiationpressureoflessthandouble.其中文的意思是：上述對入射波的處理說明了黑色（完全吸收）物體所承受的輻射壓力。如果波被鏡面反射，那么反射波引起的反沖將進一步增加輻射壓力。在完美反射器的情況下，該壓力將與入射波引起的壓力相同：從而使表面上的凈輻射壓力加倍：

（4）對于部分反射的表面，第二項必須乘以反射率（也稱為強度反射系數(shù)），這樣增加的幅度小于兩倍。對于漫反射表面，必須考慮反射和幾何形狀的細節(jié)，再次導致凈輻射壓力增加不到兩倍。注：公式（4）的編號也是為了引用，由本博文作者自己加上的。由此可以看出維基百科的上述結果與Maxwell-Bartoli公式(1)是完全相符的。(4)式意味著反射作用對受壓物體提供了更大的壓強。根據(jù)能量守恒此時被壓物體不可能收到任何能量。作者認為該式完全違背了壓力與受壓物體接收的能量、功率間的科學關系。II.

推動力、靜力及力的測量對上述問題，作者認為必須深入研究力的嚴格定義與測量問題。眾所周知：經典力學中，作用到物體的力有兩種：一種是（推或拉）動力，另一種是"靜力"。此處“靜力”這個詞被畫上引號是因為這個概念往往造成它不能做功的錯覺。本節(jié)先略去這個深層次問題的討論，暫時按照通常的理解使用此概念以解決力的測量問題。其實人類很早就對力和能量等概念有了相當?shù)恼J識，知道力可劃分成靜力和推(拉)動力，知道了力是有強度與方向的矢量，可以進行合成與分解，知道了重力并利用重力的大小發(fā)明了天平和杠桿秤用以對力的強度做度量，知道了水和液體的壓強和阿基米德浮力定律，知道要用力推動一個物體就需要消耗能量，人們利用杠桿、滑輪、風帆等制作了很多有用、方便、省力的工具與機械。這些形成了人類早期有相當深度的力學知識。隨著歷史的發(fā)展，從文藝復興起，人類的認識水平有了質的飛躍，數(shù)學上創(chuàng)建了微積分理論，天文學由太陽系的地心說改進到日心說，在精密測量數(shù)據(jù)基礎上，開普勒提出了行星運動的三個定律，為萬有引力的研究打下了堅實的基礎，伽利略提出了質量的概念并研究了重力下的自由落體運動。特別是牛頓（

Sir

IsaacNewton），作為微積分理論的創(chuàng)始人之一，創(chuàng)建了牛頓力學三定律以及萬有引力定律。牛頓，利用微分這一數(shù)學思想與工具，通過力學第二定律給出了力的精確定義

(5)這種力表現(xiàn)在受力作用的物體必須產生運動的變化，是一種推動力。（5）式也將質量、動量的概念以及與力的關系精確化。經牛頓、萊布尼茲（GottfriedWilhelmLeibniz）、拉格朗日（Joseph-LouisLagrange）、歐拉（

LeonhardEuler）、直到19世紀的哈密頓（

SirWilliamRowanHamilton）等一系列數(shù)學、力學與物理學家的努力，力學已發(fā)展到現(xiàn)代分析力學的階段。到了20世紀，為解釋光速c不變的問題，理論物理學家愛因斯坦(AlbertEinstein)提出了革命性的時空觀，發(fā)展出狹義相對論與廣義相對論，對高速粒子的運動力學及萬有引力都給出了新的理論與解釋。其中，

狹義相對論將牛頓力（5）修正為

（6）特別，他發(fā)現(xiàn)了物質質量m與能量E的等價關系

(7)直接按照（5）或（6）式測量宏觀物體所受到的推動力一般較困難，需要測量受力作用的物體質量、運動速度及加速度等物理量。因此，實際的測量往往要通過使用重力秤或彈簧秤對相應"靜力"的測量。這是由于一般認為推動力與靜力可以相互轉化，當平衡的物體失去某個支撐靜力的支撐，物體就會失衡被另一部分的（原）靜力推動，那部分的靜力立即變成對物體的推動力。相反，被某個推動力推動的物體也可能在某時間段受到另一個與推動力相反的力作用，當兩個力的強度相同時，物體由運動狀態(tài)變成靜止狀態(tài)，此時兩個力形成一對相互平衡的靜力。由于靜力與推動力可以相互轉換，它們自然地采用同樣的度量標準。這也是人們通過靜力測量推動力的依據(jù)。事實上，著名的萬有引力常數(shù)即是通過扭秤的平衡靜力測量得到的。必須指出：當測量不是很大的力時，人們經常要建立一個幾乎不受該力影響的具有巨大靜止質量的剛性穩(wěn)定平臺。通常使用固定在地球堅硬地面上的剛體近似地當作這種穩(wěn)定平臺。利用這種測量平臺對通常的測量是有效的。但是仔細追究會發(fā)現(xiàn)這種平臺對相關的力的測量帶來一些更深層次的問題。為不使目前的討論過分復雜，下面的討論也先暫時忽略這個重要問題。在測量光束或氣流對物體造成的壓力時，一般將感應器（如彈簧秤，水銀氣壓計，或更現(xiàn)代的壓力傳感器）固定安放在上述的靜止不動的測量平臺上，感應器的感應面（如彈簧秤面，水銀計的與待測氣體接觸的水銀面）始終保持著與射束垂直的方向，而且在沒有受到壓力時處于靜止狀態(tài)。從開始測試時感應面即被壓力推動開始沿壓力方向運動，同時感應面隨即接受感應器提供的可調整大小的反向支撐力，該支撐力一般是由彈性物質或高度可變化的水銀柱自動連續(xù)提供的。當反向支撐力調整到感應面成為靜止不動的狀態(tài)，此時支撐力與感應面受到的壓力強度相同方向相反。壓力感應器設有對支撐力的精確度量標準（如水銀柱的高度，或彈簧秤的刻度等）。這樣即可測出感應器的支撐力的強度，并由此得知射束壓力的大小。從測量開始，感應面（的物質）一定要經歷一段時間的由受壓運動到被支撐力平衡的運動過程。如果感應面在開始接受壓力時始終不動，測量儀器則不可能測量出壓力的大小。人類感知到氣壓變化的機制也是如此。當氣壓一直穩(wěn)定時，氣壓的感覺器官相對靜止，人們感覺不到氣壓的存在。不失一般性，假設傳感器的反應面所受的反向彈力是彈簧秤提供的，壓力與彈簧提供的彈力強度相等時彈簧必然變形到相應的程度。由此產生的一個趣味而且值得深思的事實是，如果停止光照，或終止氣流，使感應面受到的壓力突然消失，感應面物質會立即被彈簧反彈。為保持平衡狀態(tài)，使感應面不被反彈，射束必須維持原有的入射強度，即持續(xù)地提供恒定的能量輸入強度（即功率），而且如果射束提供的功率小彈簧的變形就會減小，反之，射束提供的功率大彈簧的變形會增大。因此，這種由射束提供的壓強力一定與射束的強度（功率）直接相關!其實，分析力學早已對力與功（能量）及功率之間的關系給出了確切的描述。根據(jù)以“米-千克-秒”制（MKS）為基礎的國籍單位制(

InternationalSystemofUnits或SI

)，以1牛頓(N)的力推動物體前進1米所做的功(Work)等于1焦耳(J)，即

（8）而每秒鐘恒定的1牛頓力所作的功，即功率(Power)，為1瓦特(W),即

（9）由以上兩式可立即得到

(10)(10)表明每1牛頓的力作用在物質上，相當于輸出1瓦特的功率。此式給出了力與其提供功率之間的定量比率關系。重要的是這個關系不依賴力是否在一段時間內保持恒定，它隨時存在，不依賴被做用物體的即時運動速度。所以（10）式表明力與功率的內在普適關系。其實，歷史上著名的馬德堡半球實驗恰如其分地說明了上述關系。讓兩組馬匹分別拉著被抽真空的對合兩個半球每一半，當每組馬匹提供的馬力(Horsepower)剛大于對合的兩半球受到的空氣壓力時，兩個半球即會被拉開。這個馬力(即功率)的臨界值恰恰對應于所說的空氣壓力。這也意味著，如果不把對合的兩個半球抽真空，而是要維持兩個半球對合得與抽成真空時一樣緊的程度，這就需要對每個半球提供與空氣壓力一樣強大的其它力或馬力。趣味的是，日語和漢語中都將英語單詞“horsepower"翻譯為“馬力”而不是“馬（的）功率”，這的確是個相當智慧的翻譯。不知最初的翻譯者是否真正意識到了力與功率的上述密不可分的關系。愛因斯坦給出的密不可分的質能關系(7)內在地表明質量與能量兩個抽象概念描述的是同一個物理學與力學對象。因此力與功率的密不可分關系(10)也內在地表明力與功率兩個抽象概念描述的是同一個物理學與力學對象。當然此對象不同于質能關系描述的對象。簡而言之：質量等價于能量，力等價于功率！(8)、(9)和(10)式也表明，對于固定不變的力，其對物體作功的大小與其作用的時間成正比。此事實往往被人們在研究“靜力”時忽視！III.

“靜力”和舉重運動員做的功，早期的力學，人們只是通過物體的宏觀運動，利用公式(9)顯示功的意義。隨著認識的深入，特別是本杰明·湯普森（BenjaminThompson）1779年在德國慕尼黑的軍火庫中觀察到了將大炮鉆孔時產生的摩擦熱[8]，該實驗啟發(fā)了JamesPrescottJoule在1840年代的研究，隨后，JuliusRobertvonMayer1842年在德國的主要物理學雜志[9]，JamesPrescottJoule于1843年在英國主要的物理學雜志[10]上相互獨立地獨立提出熱能與功等價的理論。這些研究使學術界認識到功與能量是本質相同的物理量，同樣的功既可以表現(xiàn)為宏觀物體的動能、彈性位能、引力位能，也可表現(xiàn)為用力推動物體運動克服摩檫力時在相互摩擦物體之間產生的熱能，還體現(xiàn)在受“靜力”力擠壓(或拉抻)物質的緩慢塑性形變和物質內部結構微妙變化的相關能量。這些研究也使得現(xiàn)代力學研究幾乎深入到物理學的各個方面，除分析力學，還包括熱力學、統(tǒng)計力學(亦稱統(tǒng)計物理)、電動力學、結構力學和量子力學等，也深入到量子場理論描述基本粒子間的強相互作用力和弱相互作用力。除此，力學還涉及到描述化學反應中的化學動力學、...等更廣泛的研究鄰域，以致學術界出現(xiàn)了“一般力學”的概念。既然力與力的作用那么普遍地存在，物質或物態(tài)的變化必然是永恒存在的。所以，當給定的力作用到同一物體時不一定完全表現(xiàn)在該物體的力學宏觀動能，而是在不同條件下會以不同形式體現(xiàn)出來。以上述的壓力與彈簧秤達到平衡的過程為例，在壓力與彈性力沒有達到平衡時，壓力會使被壓物體與彈簧表現(xiàn)出明顯的宏觀運動與形變，但當壓力與彈性力平衡時，被壓物體與彈簧似乎形成了宏觀靜止的狀態(tài)，壓力與彈性支撐力都成了“靜力”。如果觀察“靜力”的時間短，測量不細致，靜力對被擠壓物質（包括彈簧及支撐平臺）帶來的影響往往被忽略，造成靜力不做功的誤判。所以，“靜力”并不真正的“靜”。因為馬德堡半球實驗中對合的兩半球受到的空氣壓力也是“靜力”，該力形成了對對合的兩個半球的擠壓力，并且用同樣的功率對兩個半球做功，對半球帶來變化！因此，為長期保存馬德堡半球，不可以將兩個半球對合并將內部的空氣抽凈。其實，愛因斯坦的質能等價公式（7）已對擠壓帶來的影響給出了極大的物理解釋空間。相對于被靜力作用的彈簧及支撐平臺的巨大質量，有限時間內擠壓力輸入的能量

ΔE

對彈簧及支撐平臺帶來的質量變化

Δm

極其微小,因為根據(jù)（7）式，

(11)這么小的質量變化對彈簧及支撐平臺整體性質的影響很小。類似，短時間內氣壓對抽真空的(銅制的質量大而且堅固的)對合馬德堡半球的影響也很小。然而，忽略靜力所做的功往往會在現(xiàn)實中造成嚴重的問題。例如，對舉重運動員在舉起杠鈴保持一段平穩(wěn)不動的時間內是否在做功的判斷上，不少人根據(jù)靜力學認為，保持平衡的這段時間運動員沒有做功，或主觀認為做的功很少。這其實大大地委屈了運動員。其實拔河運動也存在類似的問題。研究如下問題：如果將100公斤重的杠鈴，用力使杠鈴在3秒時間內離開地面并舉到2米高的位置（這里不考慮使用抓舉、挺舉或其它動作方式)，之后再使其穩(wěn)定在2米高的位置達到3秒鐘,

運動員至少要消耗多少卡路里的能量？作者從未在文獻中查到過令人信服的答案或計算方法，而且據(jù)悉這是存在爭議的問題。如果僅根據(jù)通常的物理知識，杠鈴從地面升到2米高的位置，杠鈴的重力位能相當于提高了468.6卡路里(因為這是簡單力學計算，本文略去)。如果上述問題的答案就是如此，這顯然委屈了舉重運動員。

事實上，根據(jù)力與功率的關系，僅為了支撐100公斤重(即9800牛頓)的杠鈴在6秒時間內不落地，運動員每秒需要消耗234.3卡路里（即980焦耳）的能量。而且在上述6秒鐘內必須使杠鈴上升到2米高的位置，這需要運動員多消耗468.6卡路里的能量。因此，運動員在這6秒鐘的動作中消耗的能量為1874.4(=6x234.3+468.6)卡路里

（12）這個卡路里數(shù)稍大于普通人維持基本生活一天應消耗的卡路里數(shù)。以上的計算完全基于力學的考慮，與是否使用人力無關。但相信該算法有助于運動醫(yī)學、健康學的研究，也有助于使用人力負重的部門的合理安排。無疑，使用結構強度高的無生命物體（如石柱、鋼柱或木柱等）也可以支撐那個杠鈴近似地穩(wěn)定在離地的給定高度，并保持一定較長的時間。在支撐的過程中，杠鈴與支撐物分別會對對方施力，消耗相應的能量，使對方發(fā)生相應的變化。由于支撐物（包括地面）與杠鈴均有很強的結構，而且由于它們都是無生命的物質，它們短時間內的受擠壓的變化是無法及時明顯表達，也是無法自身恢復的。但是經過更長的時間，這類變化會明顯地顯示出來，例如相關物質材料的損毀與塑性變形造成的支撐高度降低，這特別體現(xiàn)在較大的固體表面的星體演化上，即使不存在外界輻射和大氣流的腐蝕作用，演化的結果也是星體越來越圓。作者相信，上述的計算方法也有助于材料科學、建筑學的研究。IV.

基于彈性碰撞的壓強公式根據(jù)力與功率的關系，現(xiàn)在可以清楚地看到：在科學理論上,Maxwell-Bartoli輻射壓公式(1)

出現(xiàn)根本性錯誤的原因，恰好就是公式推導者沒有正確認識到輻射壓力與輻射功率的等價關系。認識到上述錯誤的原因，本文將給出合理的輻射壓公式Maxwell-Bartoli輻射壓公式也可用統(tǒng)計物理的方式導出，該方式最早體現(xiàn)在

Kr?nig

理想氣壓公式推導上[11]，該式推導不是使用熱力學的方法，而是利用統(tǒng)計力學的思想，將氣流束看成是由巨量分子組成，將射束對物體的壓強形成歸結到氣流的分子與被壓物體表面物質的彈性碰撞。具體內容將放在本文的附錄【I】。無論使用熱力學方法或使用統(tǒng)計力學方法，作者認為這都是合理的，而且體現(xiàn)了上述公式推導者的智慧。因此，在重新推導公式時要充分綜合利用這些方法，以使得導出的公式更合理、公式適應的條件更清楚。假設平行射束是由密度為常數(shù)并以常速流動的連續(xù)介質構成，當射束垂直地照射到一個原靜止的由普通物質構成表面光滑、厚度與密度均勻的薄板時。射束照射到板面時，射束的質點立即與版面的被照射點的物質產生彈性碰撞，而且假設散射角均為

π（即與入射方向相反）。當反射發(fā)生時，被照射面的同一側同時存在入射流與反射流（即散射流)，兩種流方向相反。另一方面，根據(jù)射束是由稀疏的粒子組成，入射流與散射流互不干擾。進一步假設入射流通過單位面積的功率密度（即能量通量）為

<Sincident>，反射流通過單位面積的功率密度為

<Sreflection>。根據(jù)彈性碰撞的性質，被照物體一定吸取入射流的部分能量，入射的功率密度應大于反射流的功率密度。根據(jù)能量守恒定律，可以得到被壓物體吸收的功率

<Sabsorption>

，即

（13）將射束的功率反射系數(shù)

Rreflection

定義為

（14）再根據(jù)壓力與功率的等價關系式(1),

由(13)和(14)式可以立即得到較合理的射束的壓強公式

（15）這里指出(15)式既適合輻射束也適合理想氣流束。按統(tǒng)計物理的的觀點，電磁輻射束的物質由巨量同向運動的光子構成，理想氣流束由巨量同向運動的分子構成。嚴格地說,

(15)式在定性方面對壓強的描述是正確的。例如該式可以正確解釋Crookes輻射計在光線照射下葉片轉動的方向。但在定量上則存在一系列問題。存在的問題首先表現(xiàn)在該式中的反射系數(shù)的定義與計算。這是因為實際的物質表面由大量相聯(lián)系的分子體系構成，即使再光滑，沒有任何精確的理論能保證對入射粒子的反射角全部是

π。實際上對入射束的反射是不同程度的漫反射(diffusereflection)(參考作者的博文：“漫反射”應該用“自發(fā)輻射”取代)。據(jù)悉準確測量入射束的功率已經是相當困難，這種“漫反射”流的功率顯然不能準確理論計算，其準確測量更是困難。盡管如此,作者相信從兩個粒子彈性碰撞的共性仍可對這里的射束對普通物質表面的彈性反射系數(shù)的估計提供一些重要依據(jù)。例如，如果射束不是垂直射到物體表面，散射角必定小于

π,

此時的散射系數(shù)要大于垂直入射時的散射系數(shù)，因此受到的壓強要小。如下的普通半杯式風速計與封口的半杯式風速計對比試驗可以證實這一估計。因為根據(jù)上述的估計，可以斷定凸半球面的反射系數(shù)最大，封口的半杯平面的反射系數(shù)居中，凹半杯的反射系數(shù)最小(讀者可思考其原因），所以在同樣強度的風作用下，不封口的風速計的轉速高于封口的風速計的轉速，而且這兩者的旋轉方向一致。圖1.半杯式風速計圖2.封口的半杯式風速計作者的實驗視頻/v_show/id_XNTg3NTc0MTg0MA==.html?spm=file.app.5~5!2~5~5!3~5!2~5~5~A注：由于以上視頻帶有較長廣告，主要部分卻難打開，所以再附上放到y(tǒng)outube的同一視頻/watch?v=emPPATb1u24操作帆船者一般都有這樣的經驗，如果風力太猛了，將被風吹成凹形的帆面拉平就會使船受到的風力適當減小。這個經驗的道理與上例相同。又如，兩個粒子彈性碰撞共性指出如果比值

r

或

ro

越大，入射粒子1的能量散(反)射系數(shù)越小，其中

r=m1/m2,

m1

和

m2

分別是入射粒子1與原靜止的被撞粒子2的靜止質量，而

ro

=E1b/(m2c2)，E1b

則是當入射粒子1為光子時光子的入射能量。此共性可見于作者的以下博文：博文（3)：兩質點完全彈性碰撞后的反射系數(shù)及相關的動量與能量分配--再論太陽帆不應使用全反光材料

2021-11-27博文(4)：Relativisticelasticcollisionoftwoparticlesin2D

2022-02-04注：博文（4）發(fā)布后，因感覺到其重要性，經反復推敲與對照后發(fā)現(xiàn)了不少文字的筆誤以及將計算機導出的原公式手動化簡成博文中的公式時的輸入錯誤。除了在該博文的評論中自己已指出的外，還發(fā)現(xiàn)該文的公式（36）式右端存在嚴重的輸入錯誤，其正確的形式應該為

（修正的博文（4）的（36）式）由于該文的數(shù)值計算與作圖都是利用正確公式進行的，所以這些筆誤并不影響該文的主要內容。作者對這些筆誤已作了修正。鑒于該博文的重要性，本文將修正稿作為附件[1]，附在文后。）因此對于氣流射束而言，這意味著其分子的質量越大，反射系數(shù)

Rreflection

越小，在相同的入射強度下這種氣流的壓強也越高。對于光束而言，這意味著入射光子的波長越小，反射系數(shù)

Rreflection

越小，在相同的入射強度下這種光束的壓強也越高。這可以通過同樣強度不同顏色的激光照射Crookes輻射計實驗證實這一判斷(希望有條件的讀者用實驗證實)。由于在定量上，(15)式存在問題，作者不建議使用該式算出的數(shù)據(jù)當作嚴格的物理量。由于

Maxwell-Bartoli公式與

Kr?nig

的理想氣體壓強公式存在同樣的問題，特別Lebedew等的光壓實驗中不包含對反(散)射的能量做過測量，作者嚴重質疑他們的實驗的有效性。Lebedew的實驗只是證明了光壓的存在，其實光壓的存在早已被Crookes的實驗證實。關于

Kr?nig

的理想氣體壓強公式的問題，作者指出，現(xiàn)代有關的學者已認識到不能用實驗證明該公式。例如本文所附的中南大學的網上ppt教材wKh2D2AC-qmAFe3oADU6ABE思考題LjPg084.ppt其中第27頁有如下的思考題(2)與答案

這個問題與答案反映了該教材編者的嚴肅科學態(tài)度。這個問題也給作者帶來思考：既然該公式無法實驗檢驗，而且在定量與定性都存在問題，那么公式中的相關無法實驗觀測的微觀量是如何得到的？相關的微觀物理常數(shù)是否是利用壓強公式通過壓強測量值反推導出來的？若真如此，作者希望物理學界需要認真對待此問題了！V

彈性碰撞與非彈性碰撞(15)式給出的壓強公式是在射束與被壓物體的相互作用是純彈性碰撞的假設下導出的，這意味著碰撞后被壓物體吸收的能量全部轉化為動能。因此，這個壓強應該是通過彈性碰撞被壓物體所能獲得的最大壓強。如果射束與被壓物體的相互作用不完全是彈性的，會出現(xiàn)非常復雜的現(xiàn)象。例如，被光子撞擊的粒子是容易被激發(fā)的原子，被撞擊后成為激發(fā)態(tài)，或產生光電效應。又如入射的普通粒子束撞擊到一個普通物體，被撞擊時會發(fā)聲、會分裂成多體、會震動、升溫。雖然此時能量守恒與動量守恒定律仍然發(fā)揮作用，但具體分析起來就會復雜到難以想象的程度。只要看一看前面提到的博文（4）的求解即可體會到其難度。無論如何，如過碰撞中非彈性碰撞成分起重要作用，（15）式會失效，相關的討論超出本博文的范圍。至此本博文主要部分已結束，下面是附錄。附錄【1】

Maxwell-Bartoli公式與

Kr?nig

的理想氣體壓強公式的關系出于慎重，反復思考

Maxwell-Bartoli

公式的合理方面，作者注意到“單位體積中的能量”

這個詞更早出現(xiàn)在統(tǒng)計物理學中關于理想氣體壓強的論述中。著名的奧地利物理學家

LudwigEduardBoltzmann

1884

年在

AnnalenderPhysikundChemie,Band22,Heft2,No.6

發(fā)表的重要著作

AbleitungdesStefanschenGesetzesbetreffenddieAbh?ngigkeitderW?rmestrahlungvonderTemperaturausderelectromagnetischenLichttheorie[12]

中的第一頁的內容為：

其中論述部分的中文為：麥克斯韋從他的電磁光理論中推導出一束光或輻射熱在垂直入射的情況下必須對單位面積施加壓力，它等于以太體積單位所包含的能量作為光運動的結果。讓絕對空曠的空間被絕對溫度

t

的熱輻射不可滲透的墻壁包圍；如果我們用

ψ(t)

表示以太體積單位中包含的熱輻射結果的能量，我們必須考慮并非所有熱射線都垂直于受壓壁。最容易將空間視為一個立方體，其邊平行于三個直角坐標軸，類似于

Kr?nig

3)

應用于氣體理論的觀察模式。如果假設三分之一的熱輻射平行于三個坐標軸之一傳播，則獲得最符合平均狀態(tài)的結果。那么只有總射流的三分之一會對每個側表面產生擠壓作用，壁面單位上的壓力將根據(jù)麥克斯韋定律：

（#）；這個公式也可以通過考慮以下內容找到。如果光線垂直落在受壓表面上并被它吸收，則麥克斯韋的結果為真。----------1)

Stephan，Wien.Ber.79.p.391.1879.2)MaxwellA.TreatiseonElectricityandMagnetism.Oxford,ClarendonPressvol.IIArtkel792.p.

391.1873.3)Kr?nig，GrundzugederTheoriederGase.

BerlinbeiA.W.Hain.Pogg.Ann.99.p.315.1856.

其中

（#）

式用現(xiàn)代統(tǒng)計物理學較熟悉的符號可表示為

(16)u

為單位體積（如每l立方米）中的能量，

p

為體積表面（每平方米）受到的壓強。如果該體積的能量計中射向體積的特定方向，而不是均勻分布到三維空間的所有方向，那個方向所受到的壓強自然是

（1）式的三倍，也就是

(17)(17）式正體現(xiàn)了

Maxwell

的思想。按照

Bolzmann

的介紹，公式

（#）首次出現(xiàn)在1856年

A.Kr?nig

的論文[7]。

作者在該論文找到了公式的推導過程它是用德文敘述，而且使用當時的符號表示的。幸好，該式已是現(xiàn)代熱力學與統(tǒng)計物理學中關于理想氣體壓強的基本公式，普遍使用的推導思路與過程與原文基本相，可以在許多教科書中找到。例如，中文Wikipedia：

/wiki/分子運動論

（

也可參考原英文

Wilipedia：

/wiki/Kinetic_theory_of_gases）該詞條既介紹了人類研究氣壓的發(fā)展歷史，也介紹了公式（6）的推導過程。詞條對發(fā)展歷史的介紹如下：人類早在公元前5世紀就開始思考物質的結構問題。\o"古希臘"古希臘時期著名的樸素唯物主義哲學家\o"德謨克利特"德謨克利特就提出，物質是由不可分的\o"原子"原子構成的。這種思想在數(shù)個世紀都深刻的影響著人們的世界觀。17世紀\o"科學革命"科學革命以來，自然科學得到了突飛猛進的進步，特別是熱力學的突破性發(fā)展，使人們重新思考物質的結構問題。\o"皮埃爾·伽桑狄"皮埃爾·伽桑狄、\o"羅伯特·胡克"羅伯特·胡克、\o"伯努利"伯努利等科學家的研究表明，物質的\o"液體"液體、\o"固體"固體、\o"氣體"氣體三種狀態(tài)的轉變是因為分子之間作用的結果，特別是氣體的壓力源于氣體分子與器壁碰撞，從而導出了\o"玻意耳-馬略特定律"玻意耳-馬略特定律。1738年，\o"丹尼爾·伯努利"丹尼爾·伯努利發(fā)表著作《流體力學》，為氣體動力論的基礎。在這一著作中，伯努利提出，氣體是由大量向各個方向運動的分子組成的，分子對表面的碰撞就是氣壓的成因，熱就是分子運動的動能。但是，伯努利的觀點并沒有被立即接受，部分原因是，\o"能量守恒定律"能量守恒定律當時還沒有建立，分子之間為彈性碰撞也不是那么顯而易見。1744年\o"羅蒙諾索夫"羅蒙諾索夫第一次明確提出熱現(xiàn)象是分子無規(guī)則運動的表現(xiàn)，并把\o"機械能守恒定律"機械能守恒定律應用到了分子運動的熱現(xiàn)象中。1856年，奧古斯特·克羅尼格

（即

AugustKr?nig）

提出了一個簡單的氣體動力論，他只考慮了分子的平動。[2]

1857年，\o"魯?shù)婪颉た藙谛匏?克勞修斯提出一個更復雜的氣體動力論，除了分子的平動，他還考慮了分子的轉動和振動。他還引入了\o"平均自由程"平均自由程的概念。[3]1859年，\o"詹姆斯·克拉克·麥克斯韋"麥克斯韋在克勞修斯工作的基礎上，提出了分子麥克斯韋速度分布率。這是物理學史上第一個統(tǒng)計定律。[4]

1871年，\o"路德維?！げ柶澛?玻爾茲曼推廣了麥克斯韋的工作，提出了\o"麥克斯韋–玻爾茲曼分布"麥克斯韋–玻爾茲曼分布。[5]:36-37直到20世紀初，很多物理學家仍然認為原子只是假想，并非實在的。直到1905年愛因斯坦[6]和1906年馬利安·斯莫魯霍夫斯基[7]關于\o"布朗運動"布朗運動的論文發(fā)表之后，物理學家才放棄此想法。他們的論文給出了分子動力論的準確預言。該詞條對公式（6）的推導介紹如下注：該詞條中引用的參考文獻并沒有在本文的參考文獻中對應給