活用隱圓的五種定義妙解壓軸題（五大題型）（解析版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新教材新高考）

重難點(diǎn)突破02活用隱圓的五種定義妙解壓軸題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：隱圓的第一定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)...................................2

題型二：隱圓的第二定義：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值.............................5

題型三：隱圓的第三定義：到兩定點(diǎn)的夾角為90。....................................8

題型四：隱圓的第四定義：邊與對(duì)角為定值、對(duì)角互補(bǔ)'數(shù)量積定值....................10

題型五：隱圓的第五定義：到兩定點(diǎn)距離之比為定值................................12

03過(guò)關(guān)測(cè)試....................................................................17

方法技巧與總結(jié)

活用隱圓的五種定義來(lái)妙解壓軸題，關(guān)鍵在于理解和運(yùn)用圓的五種基本性質(zhì)。這五種定義包括：到定

點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)（定義圓）、到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值、到兩定點(diǎn)的夾角為90。、邊與對(duì)角為定值且

對(duì)角互補(bǔ)、到兩定點(diǎn)距離之比為定值。

解題時(shí)，首先要識(shí)別題目中的關(guān)鍵條件，看是否符合隱圓的某一定義。一旦確定，就可以利用圓的性

質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題，如利用直徑所對(duì)的圓周角是直角、同弦所對(duì)的圓周角相等或互補(bǔ)等性質(zhì)。通過(guò)逆用這些性

質(zhì)，可以找到隱形圓，進(jìn)而利用圓的幾何特征求解。這種方法能有效轉(zhuǎn)化復(fù)雜問(wèn)題，使解題過(guò)程更加清晰

明了。

題型一：隱圓的第一定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)

【典例1-1】已知是單位向量，ab=O,若向量。滿(mǎn)足|c-a+b|=l,則|c-61的取值范圍是（）

A.rV2-l,^+l]B.[1,^+1]C.[0,2]D.[V5-1.V5+1]

【答案】D

【解析】單位向量6滿(mǎn)足。力=0，即作OA=a,OB=b,以射線(xiàn)。4,分別作為x、y軸非負(fù)

半軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖,

。=(1,0),6=(0,1),設(shè)c=(x,y),則c-a+)=(x-l,y+l),由|"一。+5|=1得：(x-1)2+(y+l)2=1,

x=l+cos6

令.(0＜。＜2兀)，即c=(1+cos。,一1+sin。)，

y=-l+sin，

.1

.夕二禰

Ic-b\=J(1+cos6)2+(-2+sin9辛=^6-2(2sin0-cosO')=?-2加sin(O-0)>其中銳角。滿(mǎn)足<

2

COS(p=—f=

因此，當(dāng)sin(6?-0)=-l時(shí)，111ax=，6+2?=J+1，當(dāng)sin(6?—0)=1時(shí)，\(:-%=5瓦店=布-1，

所以lc-6的取值范圍是-1，百+1].

故選：D

【典例1-2】已知單位向量。與向量心=(0,2)垂直，若向量c滿(mǎn)足,+8+W=l,則|c|的取值范圍為()

A.[1,75-1]B.C.[A/5-1,A/5+1]D.

【答案】C

【解析】由題意不妨設(shè)°=(1,0),設(shè)c=(x,y),貝Ua+b+c=(l,o)+(o,2)+(x,y)=(l+x,2+y).

v|?+Z?+c|=l,.-.(1+x)2+(2+y)2=1,即表示圓心為(一1,一2),半徑為1的圓，設(shè)圓心為尸，

|OP|=7(-l)2+(-2)2=75.

2

?君=乒了表示圓P上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，75-1<|C|=7^+/?A/5+1，#1的取值范圍為

|^A/5—1,-\/5+1],

故選：C.

【變式1-1]如果圓(了-。)2+口-4=8上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為拉，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(—3,3)B.(—1.1)

C.(-3,1)D.(-3,-l)U(l,3)

【答案】D

【解析】問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為圓。：5-4+('-4=8和圓&:尤2+〉2=2相交，

兩圓圓心距d=J(a-Of+(a-0J=>/2IaL

由&-"|00/<氏+「得20_&<偽.|<2應(yīng)+應(yīng),

解得l<|a|<3,即“e(-3,-1)51,3).

故選：D

【變式1-2】設(shè)meR,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)x+2+m(y-7)=0和過(guò)定點(diǎn)8的動(dòng)直線(xiàn)的-y-加+3=0交于點(diǎn)

P(x,y),貝ij|PA|+|P3|的取值范圍是()

A.[A/5,2A/5]B.[A/W,4A/5]C.[264柄]D.〔5,5亞]

【答案】D

【解析】由題意可知，動(dòng)直線(xiàn)x+2+m(y-7)=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)4(-2,7),

動(dòng)直線(xiàn)mx-y-m+3=0即加(x—l)—y+3=0,經(jīng)過(guò)定點(diǎn)3(1,3),

〃iw0時(shí)，動(dòng)直線(xiàn)x+2+機(jī)(y_7)=0和動(dòng)直線(xiàn)如_y_機(jī)+3=0的斜率之積為始終垂直,

根=0時(shí)，也垂直，所以?xún)芍本€(xiàn)始終垂直，

又尸是兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，.?.EOPB,，|/<+|P8|2=|AB|2=25.

設(shè)=則1PH=5sin，，|P@=5cos，，

由|網(wǎng)20且歸口》0,可得0)1

.?.|PA|+|PB|=5(sin6?+cos6?)=5V2sin6?+^,

八兀713%

。右嗚，0~\-----G

444

故選:D.

【變式1-3】設(shè)meR,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)x+%y=。和過(guò)定點(diǎn)8的動(dòng)直線(xiàn)〃a-y-相+3=0交于點(diǎn)尸(x,y),

則|以卜|尸理的最大值是()

A.4B.10C.5D.而

【答案】C

【解析】由題意可知，動(dòng)直線(xiàn)x+畋=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)40，。)，

動(dòng)直線(xiàn)〃江-〉-"7+3=。即m(x-l)-y+3=0,經(jīng)過(guò)定點(diǎn)3(1,3),

因?yàn)閘x：”一〃zxl=0,所以動(dòng)直線(xiàn)尤+my=0和動(dòng)直線(xiàn)〃u-y-m+3=0始終垂直，

P又是兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，

則有E4LPB,.'.\PAf+\PB\1=\ABf=10,

故1PAi?|PB區(qū)約"尸叫=5(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB\=75時(shí)取“=”),

2

故選：C.

【變式1-4】設(shè)過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)x+my=。和過(guò)定點(diǎn)8的動(dòng)直線(xiàn)〃4->-根+3=0交于點(diǎn)尸(x,y),

貝力尸4『十|尸例2的值為()

A.5B.10C.叵D.V17

2

【答案】B

【解析】由題意，動(dòng)直線(xiàn)尤+妝=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,0),則4(0,。)，

動(dòng)直線(xiàn)"ix-y-"7+3=0變形得機(jī)(x-l)+(3-y)=0,則云(1,3),

\x+my=Q(nr-3m3-〃？)

由V°c得尸I-―r,~―7,

[mjc-y-m+3=OIm+1m+1J

m2-3m?(3-mm2-3m?_3

.-.|PA|2+|PB|2

m2+1)vm2+1m2+1m+1

_m4-6m3+m2+9-6m+m2+9m2+6m+1+m4+6m3+m2

(m2+1)2

10m4+20m2+10°

=---------------Z------=10

(m2+1)

故選：B.

題型二：隱圓的第二定義：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值

【典例2-1】在平面直角坐標(biāo)系x0y中，尸(2,2),Q(T,0)為兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)/在直線(xiàn)x=-l上，動(dòng)點(diǎn)N滿(mǎn)

足NO2+NQ2=16,則\PM+PN\的最小值為一.

【答案】5

【解析】設(shè)點(diǎn)N(尤,y),由NC)2+NQ2=16得：x2+/+(x+4)2+y2=16,

即/+/+4x=0,即(x+2>+/=4,

；.N在以。。為直徑的圓上，不妨設(shè)N(2cos"2,2sin。)，,

則PM=(-3,m-2),PN=(2cosO-4,2sin6?-2),

PM+PN=(2cos0-1,2sm0+m-4),

PM+PN|2=(2cos9-7)2+(2sin，+—4/=trr—Sm+69+4[(>n-4)sin0—1cos0}

=(〃z—4>+53+浦⑺-4y+49sin(6—0),其中。為輔助角，

令如-裁+49=t,sin(0-<p)=a,貝5|127,-1<?<1.

:]PM+PN\2=t2+4+4at,

令f(t)=t2+4+4at=(t+2a￥+4-4a2,t>l,—1<fl<1,

???/⑺在[7,+8)上單調(diào)遞增,

故當(dāng)/^=7時(shí)，/?)取得最小值53+28。，

再令g(辦=53+28。,-1<a<1,

顯然g(a)在［T,I上單調(diào)遞增，

故。=-1時(shí)，g(a)取得最小值53-28=25,

綜上，當(dāng)f=7,a=-l時(shí)，|PA/+PN/取得最小值25.

故|PM+PN|的最小值為5,

故答案為：5.

【典例2-2】(2024.江蘇鹽城.三模)己知A,8,C,。四點(diǎn)共面，BC=2,AB2+AC2=2Q,CD=3CA，則

I2。I的最大值為一.

【答案】10

【解析】設(shè)AC=M,由題意可得：DC=3m,AB=,

「AC2+BC2-AB2m2-8

則:

“'2ACxBC2m

m+2>^20-m1

ABC構(gòu)成三角形，貝U：(I.-----解得：2<m<4,

由余弦定理：

BD=VfiC2+CD2-2BCxCDxcosC=j4+9m2-2x2x3mx=152+3療,

V2m

當(dāng)機(jī)=4時(shí)，取得最大值為io.

【變式2-1】已知圓C:(x+l)2+(y—2)=l,點(diǎn)A(—I,o),8。,0).設(shè)尸是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，令d=+四『,

則d的最小值為—.

【答案】14-46

222

【解析】設(shè)P(%,%)，|PA「=(X°+1)2+%2,|P5|=(x0-l)+y0,

2222

|PA|+|PB|=(X0-1)+%2+&+1)+y。2=x；_2%+1+y02+X；+2x°+1+y°2=2x；+2y『+2

=2(/2+%2)+2,

當(dāng)|。尸|取得最小值時(shí)，+1尸即2取得最小值，

由圓C:(x+l)2+(y-2)2=l,則圓心C(—l,2),半徑r=l,

易知1nhi=|0。|一「=5/1^-1=近一1,則d1nm=2(石一1『+2=14-4君.

故答案為：14-45石.

【變式2-2】已知圓C:(x+iy+(y—2)2=4,點(diǎn)人(一2,0),82,0).設(shè)p是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，令

1=+\PBf,貝ijd的最小值為

【答案】26-8^

【解析】

由已知C(—1,2),r=2,

2

設(shè)POofo)，|FA|=J(Xo+2『+y；,|PB|=A/(X0-2)+^,

22

所以d=|"「+1尸砰=(%+2)+y；+&一2)+y；=2(片+y；)+8,

因?yàn)閨OP|=Jx；+y：,所以當(dāng)|0P|取得最小值時(shí)，d取得最小值，

由IOP|的最小值為|0C|-r=^(-1)2+22-2=正一2,

所以d的最小值為2(君-2『+8=26-8后.

故答案為：26-875.

【變式2-3］正方形ABC。與點(diǎn)p在同一平面內(nèi)，已知該正方形的邊長(zhǎng)為1,M|PA|2+|PB|2=|PC|2,則

|尸。|的取值范圍為.

【答案】［2-72,2+72］

【解析】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，

則A(O,O),B(1,O),C(1,1),D(O,1),

設(shè)點(diǎn)尸(x,y),則由|R4「+|PB『=|pq2,

Wx2+y2+(x-l)2+y2=(JC-1)2+(j-l)2,

整理得V+(y+l)2=2,

即點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)M(o,-i)為圓心，血為半徑的圓，

圓心M到點(diǎn)D的距離為|￡陷=2,所以|PD1mhi=2-夜,|PD1mx=2+忘，

所以的取值范圍是［2-a,2+0］

故答案為：［2-72,2+72］.

題型三：隱圓的第三定義：到兩定點(diǎn)的夾角為90°

【典例3-1】已知向量0,b，c滿(mǎn)足什=4,慟=2/，.與匕的夾角為(a-c).僅-c)=0,則代的最

大值為.

【答案】V10+V2

【解析】設(shè)OA=a，OB=b，oc=c，

以。4所在的直線(xiàn)為無(wú)軸，。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

因?yàn)閱?wèn)=4,忖=20,〃與匕的夾角為

所以4(4,0),3(2,2),設(shè)C(x,y),

即。4=a=(4,0),OB=b=(2,i),OC=c=(x,y),

所以a—c=(4—x,-y),b—c=(2—x,2—,

因?yàn)?。一<?)一僅_<?)=0,所以x2_6x+8+y2_2y=0,即(x—3)2+(y_1)2=2,

圓心坐標(biāo)為0(3,1),半徑r=&，同表示點(diǎn)C到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離即為圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，

因?yàn)閳A心0(3,1)到原點(diǎn)的距離為］=序了=而，所以="r=M+@

故答案為：Vio+72.

【典例3-2】已知向量a力為單位向量，且“2=。，若C滿(mǎn)足(。-c”6-c)=0,則|c|的最大值是

【答案】V2

【解析】向量。,6為單位向量，且a/=0,

不妨設(shè)&=0,0)，6=(0,1),令d=(x,y),

則a—c=Z?-c=(-x,l-y),

(a-c)-^-cj=-x(l-x)-y(l-y)=0即/+/-x-y=0,它表示以為圓心，為半徑的圓，

可知同=yjx2+y2=7(x-O)2+(y-O)2表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離，故其最大值是2廠(chǎng)=0.

故答案為：V2.

【變式3-1】已知點(diǎn)A(—m,0)，若圓Ud+V—6x—8y+24=0上存在點(diǎn)P,使得

PA±PBJ則實(shí)數(shù)〃z的最大值是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】圓C：%2+y2—6x—8y+24=0即為：(x—3)?+(y—4)?=1,

其圓心為(3,4),半徑為1,

設(shè)A3的中點(diǎn)為M,

因?yàn)辄c(diǎn)A(-m,0)??

所以M(0,0),

以AB為直徑的圓的方程為：％2+y2=m2,

|CM|=V32+42-5-

若圓C:Y+y2—6x—8y+24=0上存在點(diǎn)尸，使得巴4,QB，

則圓C與圓”有公共點(diǎn)，即同―1歸5?同+1，

解得4W帆<6>

所以實(shí)數(shù)機(jī)的最大值是6.

故選：C

【變式3-2】已知圓C：(彳-1)2+&+3)2=10和點(diǎn)/(5,。，若圓C上存在兩點(diǎn)A,3使得例，版,則實(shí)

數(shù)f的取值范圍是—.

【答案】-54tW-1

【解析】圓C：(尤-l)2+(y+3)2=10,貝伴徑為何，C(l,-3),

如上圖，對(duì)于直線(xiàn)尤=5上任意一點(diǎn)M(5J),

當(dāng)AM,8”均為圓的切線(xiàn)時(shí)/WB最大，

由題意，MA±"即/AMB=90時(shí)，此時(shí)M為滿(mǎn)足題設(shè)條件的臨界點(diǎn),

此時(shí)有回=sin/AMC>—.

\CM\2

\AC\72回、拒

當(dāng)Af在臨界點(diǎn)之間移動(dòng)時(shí)，有二2一，即/2?虧，

\CM\2+?+3、)2

即有：(t+3)244,解得：

故答案為：-5<r<-l.

題型四：隱圓的第四定義：邊與對(duì)角為定值、對(duì)角互補(bǔ)、數(shù)量積定值

【典例4-1】已知友人』是平面向量，同=1,若非零向量。與e的夾角為不向量。滿(mǎn)足

b2-4b-e+3=Q，則|”可的最小值是.

【答案】73-1/-1+V3

【解析】設(shè)。=(x,y),e=(l,0),6=W，〃)，則由〈a,e〉=g得K=向冏cos^,x=；+/,可得>=±石了,

由Z?2_4e.A+3=0得根？+〃2—4加+3=0,(加一2)2+/=1，

因此，|a-Z?|=^(x-m)2+(y-n)2表示圓(m-2)2+H2=1上的點(diǎn)到直線(xiàn)y=±JL上的點(diǎn)(%,y)的距離;

故其最小值為圓心(2,0)到直線(xiàn)y=土氐的距離［=乎=退減去半徑1,即6.

故答案為：A/3-I

【典例4-2】設(shè)向量a,6,c滿(mǎn)足。=。=2,〃.6=一2，(a-c,6-c)=60。，則卜|的最大值等于()

A.4B.2C.也D.1

【答案】A

C

因?yàn)閍="=2,a-b=-2,所以cosa,6=

如圖所以，^OA=a,OB=b,OC=c,貝qC4=a-c,C8=6-e,ZAO8=120。.

所以NACB=60。，所以NAO3+NACB=180。，所以A,0,8,C四點(diǎn)共圓.

不妨設(shè)為圓M,因?yàn)锳2=6-所以AB=ci1-la-b+b1=12.

所以=2退，由正弦定理可得V49B的外接圓即圓M的直徑為2R=.網(wǎng)=4.

sinZAOB

所以當(dāng)|。4為圓M的直徑時(shí)，，取得最大值4.

故選：A.

【變式4-1］（2024.天津.一模）如圖，梯形ABCD中，ABCD,A3=2,CO=4,3C=AD=0,￡1和尸分別為

4D與BC的中點(diǎn)，對(duì)于常數(shù)4,在梯形ABCD的四條邊上恰好有8個(gè)不同的點(diǎn)尸，使得=2成立，

則實(shí)數(shù)4的取值范圍是

4B

1一'

5__9_511

4，~20“一了

￡119_j_

45J20，-4

【答案】D

【解析】以8的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),C￡）所在的直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則

A(-1,2),5(1,2),C(2,0),0(-2,0)，E

當(dāng)尸在邊CD上時(shí)，設(shè)P（X,0），MG（0,2），則2=PE-PP=X2—

當(dāng)尸在邊CB上時(shí)，設(shè)尸（蒼4—2x）,xe（l,2），則；l=PE.PF=x2—（+（3—2x?=5/—12x+彳e

當(dāng)P在邊AB上時(shí)，設(shè)P（x,2），We（0,l），則4==

當(dāng)尸在邊AD上時(shí)，設(shè)夕（%,2%+4）,4￡（一2,-1），貝U

2=PE-PF=x2--+（3-2x）2=5x2-12x+—ef--,--1

4I）4I204j

綜上所述，實(shí)數(shù)4的取值范圍是［-"?］］-2,-；］=（-2,-；］.故選D.

144）（204）<204）

【變式4-2］（2024?廣東廣州.一模）在平面四邊形ABC。中，連接對(duì)角線(xiàn)3。，己知CD=9,BD=16,

4

^BDC=90°,sinA=,，則對(duì)角線(xiàn)AC的最大值為.

【答案】27

4

【解析】畫(huà)出圖像如下圖所示，由于sinA=M、BD=16為定值，故A在以3。為弦的圓上運(yùn)動(dòng)，由正弦定

理得2火=彳=2。，火=1。，故圓心的坐標(biāo)為（8,-6）,AC的最大值即為CA的值，也即是CO+R的值，由兩

5

點(diǎn)間的距離公式有CO+R=782+152+10=27.

題型五：隱圓的第五定義：到兩定點(diǎn)距離之比為定值

【典例5-1】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)及動(dòng)點(diǎn)尸，若言=2（幾>。

r/X.

且2wl）,則點(diǎn)尸的軌跡是圓.后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱(chēng)為阿波羅尼斯圓（簡(jiǎn)稱(chēng)“阿氏

圓”）.在平面直角坐標(biāo)系中，已知。（0,0）及（。,0）,直線(xiàn)4：區(qū)-y+k+3=o,直線(xiàn)4h+外+3左+1=0,

若尸為//的交點(diǎn)，則;Q「。|+:1|尸。|的最小值為()

A.叵B.6-3A/2C.9-372D.

2

【答案】A

【解析】當(dāng)左=o時(shí)，4：y=3，：x=T，此時(shí)4平2,交點(diǎn)為尸(-1,3).

當(dāng)左片0時(shí)，由4:-一y+左+3=0,斜率為左,

由:x+ky+3k+1=0,—,(_L,

k

綜上，4U.

又4:%(x+l)-y+3=0,，直線(xiàn)4恒過(guò)E(-l,3),

4：x+1+%(y+3)=0,..?直線(xiàn)4恒過(guò)F(-l,-3),

若P為44的交點(diǎn)，則PE,PF,設(shè)點(diǎn)P(x,y),

所以點(diǎn)尸的軌跡是以ER為直徑的圓，除去尸點(diǎn)，

則圓心為EF的中點(diǎn)C(-l,0),圓的半徑為r=網(wǎng)=3,

2

故尸的軌跡方程為(x+1)2+/=9(yw-3),

即f+/+2%=8(yw—3),貝lj有y2——%2—2x+8.

又。(O,O),Q(O,a),易知O、Q在該圓內(nèi)，

又由題意可知圓C上一點(diǎn)4(2,0)滿(mǎn)足wa=2,取。(8,0),

則由4=6,滿(mǎn)足/萬(wàn)=3.

PDiiii

下面證明任意一點(diǎn)P(x，y)都滿(mǎn)足記=3,即1Pq=3幟@,

31Poi=^9(x2+y2)=^9(%2-X2-2X+8)=j9(-2x+8),

又|PD|=J(尤-8j+y2=J(x-8)2-Y-2x+8=J-18尤+72=,9(-2x+8),

:.3\PO\=\PD\.

所以31Pq+因=附+閘>|D<2|,

X|DQ|=J(8-0)2+(0-V2)2=A/66,

所以||P0|+J叫2字’

如圖，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)，且尸位于。，。之間時(shí)，等號(hào)成立

即?||尸。|+m尸。|最小值為手.

故選：A.

【典例5-2】（2024?江西贛州?模擬預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱(chēng)為

亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線(xiàn)有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的

是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A,B的距離之比為“幾＞0,4-1）,那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿

氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓O：V+y2=l、點(diǎn)和點(diǎn)M為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，則

21MAi-的最大值為（）

A.-B.姮C.-D.也

2222

【答案】B

【解析】設(shè)知?江令21AMi=|MC|,則■=g，

由題知圓V+y2=l是關(guān)于點(diǎn)A、C的阿波羅尼斯圓，且2=；，

2

設(shè)點(diǎn)c（s〃），則也竺［=x+1+/

惘口?。▁-mj2

2m+42nm2+n2-1

整理得：x2+y2+-----XH-----y二---------

333

2m+4蘇+〃2—11「

比較兩方程可得:~二0，。,-------------=1,gRpnm=-2〃=0,點(diǎn)C（—2,0）,

3T3

21MAi-|加冽=|"。-|4"1的值最大，最大為忸q=當(dāng)

當(dāng)點(diǎn)M位于圖中的位置時(shí),

故選：B.

【變式5-1］（2024.湖南.模擬預(yù)測(cè)）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面

內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,8的距離之比為定值％（2^1）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，

稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系My中，A（T,l）,B（-4,4）,若點(diǎn)尸是滿(mǎn)足2=g的

阿氏圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)。為拋物線(xiàn)C:y2=i6x上的動(dòng)點(diǎn)，。在直線(xiàn)x=T上的射影為R,則

|P8|+2|PQ|+2|QR|的最小值為()

A.4A/5B.875D.2病

【答案】D

【解析】設(shè)尸（x,y）,

PA]J(x+4『+(yT)2

1

則

2

化簡(jiǎn)整理得（X+4『+/=4,

所以點(diǎn)尸的軌跡為以（T,0）為圓心2為半徑的圓,

拋物線(xiàn)C:/=16x的焦點(diǎn)F（4,0）,準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=T,

則|PB|+2|PQ|+2|QR|=2|PA|+2|PQ|+2|QP|

=2(|^4|+|Pei+ieF|)>2|AF|=2V65,

當(dāng)且僅當(dāng)A，P，Q，B（只。兩點(diǎn)在A(yíng)/兩點(diǎn)中間）四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào),

所以1PBi+21PQ|+21QR|的最小值為2相.

【變式5-2】阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱(chēng)為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，

他對(duì)圓錐曲線(xiàn)有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線(xiàn)》一書(shū)中，阿波羅尼斯圓

是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A,3的距離之比為“2＞。,4=1),那么點(diǎn)河的軌

跡就是阿波羅尼斯圓.如動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A(|,o13(5,0)的距離之比為g時(shí)的阿波羅尼斯圓為

x2+y2=9.下面，我們來(lái)研究與此相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題：已知圓。：無(wú)2+產(chǎn)=4上的動(dòng)點(diǎn)”和定點(diǎn)4(-1,0),

3(1,1),則21M4|+河網(wǎng)的最小值為()

A.2+A/TOB.后C.726D.729

【答案】C

因此21MAi+1=||+1MB閆BN|="(-4-=屆,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M是線(xiàn)段BN與圓。的交點(diǎn)時(shí)取

等號(hào)，

所以21M4|+|MS|的最小值為四.

故選：c

【變式5-3]（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱(chēng)為亞歷山

大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，8的距離之比為定值〃彳>0,且2*1）的點(diǎn)的

PA1

軌跡是圓，此圓被稱(chēng)為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，A（-2,0）,8（4,0）,點(diǎn)？滿(mǎn)足=設(shè)點(diǎn)

rDZ

尸的軌跡為曲線(xiàn)C,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.C的方程為（了+力+y=16

B.當(dāng)A,3,P三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，則=尸O

C.在C上存在點(diǎn)使得|MO|=2|〃A|

D.若。（2,2）,則|即+2|尸力的最小值為46

【答案】C

空」#+2y+/

；，化簡(jiǎn)得（尤+）故正確;

【解析】設(shè)P（x,y）,由4?+/=16,A

PB千小一盯+J

OA\1\PA

當(dāng)A民尸三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，=-=所以尸O是ZAP5的角平分線(xiàn)，所以NAPO=N/PO,故B正

（JD\2rD

確;

設(shè)M（x,y）,則存了了=2河以下，化簡(jiǎn)得（x+$2+y2=T，因?yàn)镴（一4+§2+（0-0>=g<4-g,

所以C上不存在點(diǎn)使得|/O|=2|M4],故C錯(cuò)

誤；

因?yàn)?篇=；,所以|尸固=2|以|,所以|「同+2|尸。=2|斜+2「。自2|4。=46，當(dāng)且僅當(dāng)尸在線(xiàn)段AD上

時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.

故選：C.

0

//過(guò)關(guān)測(cè)試,\

1.阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對(duì)圓錐曲線(xiàn)有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成

果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)。P的距離之比附=2（2>0"x1）,那么點(diǎn)M的軌跡就是阿

波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為/+丁=1,定點(diǎn)。為x軸上一點(diǎn)，尸，;，0

且4=2,若點(diǎn)3（1,1）,則21Mpi+|MB|的最小值為（）

A.76B.V7C.710D.而

【答案】C

【解析】設(shè)。（。,。），M（x,y）,所以=+,

\22

之二二2

因?yàn)楸?幾且4=2,所以

+/

2

整理可得V+V+1±^苫=勺二，

33

又動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是爐+y2=1,

3=o

3

所以2、，解得。=-2,

a-11

-------=1

I3

所以。（一2,0）,又M9=2|MP|,

所以21Mpi+|MB卜因?yàn)?（1,1）,

所以2|〃P|+|MB帕勺最小值為忸@=J0+2）2+（1—0）2=如.

故選：c.

2.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱(chēng)為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐

曲線(xiàn)有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果在他的代表作《圓錐曲線(xiàn)》一書(shū)，阿波羅尼斯圓是他的研究成果

之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)A、8的距離之比為4（2>0,彳力1）,那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波

羅尼斯圓.若已知圓。必+y=1和點(diǎn)4（-3,0；點(diǎn)8（4,2）,M為圓。上的動(dòng)點(diǎn)，則2M的最小

值為（）

A.2而B(niǎo).2A/10

C.底D.737

【答案】B

【解析】令21M4|=M。，則給=:，所以JC+2J+y_1,

11的一"〃?）2+（匕.-2

整理士+9+也±3x+?y=,得根=一2,〃=0,點(diǎn)M位于圖中M1、知2的位置時(shí),

333一

2|幽+|人倒=|MC|+W碼的值最小可得答案.設(shè)M（x,y）,令21M4|=|"C|,則普=；，

由題知圓/+9=1是關(guān)于點(diǎn)A、C的阿波羅尼斯圓，=

設(shè)點(diǎn)c（雙小，則畫(huà)引+y整理得:

陽(yáng)。^（x-m）2+（y-n）2?

22

22m+4Inm+n-1

,H----------x-\-----y=

333

2H7+49nm2+n2-1

比較兩方程可得：3產(chǎn)=0,y=0,1,

3

即加=—2,〃=0,點(diǎn)C（—2,0）,

當(dāng)點(diǎn)M位于圖中Mi、"2的位置時(shí)，

2|A￡4|+|MB|=|MC|+|MB|的值最小，最小為2M.

故選：B.

）

A.[A/5-1,A/5+1]B.[1,75+1]C.[5,6]D.[4,6]

【答案】D

【解析】??4）是單位向量，.?.W=W=L

,■|C-3Z?-46/|=1

?|c-3b—4a1=c-2c,（36+4a）+9b+24。1b+16a~=1且ci-b-0-

??.2八四+甸=J+24,又中人+同=J(36+4Q『=5,

.-.|c|+24=2x5x|c|cos0(。是"與3。+4〃的夾角).

又一1<COS0<1,

.-.24<|C|2+24<10|C|,

.-.|C|2-10|C|+24<0.

根據(jù)一元二次不等式的解法，

解得4<卜區(qū)6.

故選：D.

4.如果圓C:(x-m)2+(y-m)2=16上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2,則實(shí)數(shù)，”的取值范圍是().

A.卜3夜,3夜)B.(-叵吟

C.(-3A/2,V2)D.卜3應(yīng),-夜)(夜,3夜)

【答案】D

【解析】如果圓C:(xr〃)2+(y-〃z)2=16上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2

則圓C：(元—機(jī))~+(y—=16和圓O:Y+丁=4相交，

又圓+(y-〃z)2=16的圓心為C(m,"2),半徑為耳=4

兩圓圓心距|CO|=^(m-0)2+(m-0)'=A/2\m\)

由卜一2|<<q+2得4—2<-\/2|w|<4+2,

解得及<帆<3啦，即加e(-3A/2,-V2)U(四,3行).

故選：D.

5.設(shè)mwR,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)〃z"y=。和過(guò)定點(diǎn)8的動(dòng)直線(xiàn)x+/y-4m-3=。交于點(diǎn)p,貝北24|+|「卻

的取值范圍是()

A,[62百]B.[2A/5,5]

C.[5,50]D.[5,10]

【答案】C

【解析】由已知可得動(dòng)直線(xiàn)niX-y=Q經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0,0),

動(dòng)直線(xiàn)x+陽(yáng)-47TL3=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)3(3,4),

且兩條直線(xiàn)互相垂直，且相交于點(diǎn)尸，

所以2_LPB,即|巳4「+|尸8「=|4邦=25,

由基本不等式可得|「加*+1盟丫v2仍4卡「呼卜

即25<(|PA|+|PB|)2<50,可得54|到+|尸3歸50,

故選：C.

6.設(shè)，"eR,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)X+沖+機(jī)=0和過(guò)定點(diǎn)8的動(dòng)直線(xiàn)3-y-%+2=0交于點(diǎn)尸(x,y),則

IR4I+I尸8|的取值范圍是()

A.[括,2石]B.[A/W,2A/5]C.[9,4逃]D.[26,4逐]

【答案】B

【解析】由題意可知，動(dòng)直線(xiàn)無(wú)+沖+機(jī)=。經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0,T),

動(dòng)直線(xiàn)小一丫-〃7+2=。，即m(x-l)-y+2=0,經(jīng)過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)8(1,2),

「動(dòng)直線(xiàn)x+沖+相=0和動(dòng)直線(xiàn)如-丁-相+2=0的斜率之積為一1,始終垂直，

尸又是兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，

PAVPB,日產(chǎn)+1PB\2=\AB|2=10.

設(shè)/A3P=6,貝lJ|H4|=a3sin(9,|PB|=JIUcosP,

由|PA|..O且|尸可得9e[0,-]

2

.[PA|+|PB\=^s/lOCsin0+cos0)=2百sin(。+—),

。e[0,—],

2

4717T3〃"

444

.,萬(wàn)冗、IT

sin(9H—)G[—，1」,

42

.?.2&sin(6?+?)e而，2后,

故選：B.

7.設(shè)向量a,b,c滿(mǎn)足：|a|=|6|=l,a.b=~,^a-c,b-c)=60°,貝lj|c|的最大值為()

A.2B.73C.也D.1

【答案】A

【解析】由題意可得|a|=|b|=l,a-b=^-,.?.lxlxcos(a,/?)=-；,

設(shè)。4=〃,OB=b,OC=c?則cA=〃一△，CB=b—c，

又（Q-己Z?-d）=60。，/.ZACB+ZAOB=60°+120°=180°,

二.A、。、B、。四點(diǎn)共圓，

當(dāng)最大時(shí)，有|c|=|ocj=2H,R為該圓的半徑，

由AB?=（〃—]）2=/十/一2〃.人=3,所以,|AB|=^3

在，A03中，由正弦定理可得2R=A'=1_=2,

sinZAOBsin120°

當(dāng)且僅當(dāng)OC是ZAO3的平分線(xiàn)時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)?的最大值為圓的直徑大小為2.

8.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262年至前190年）與歐幾里得、阿基

TM

米德齊名，著有《圓錐曲線(xiàn)論》八卷.平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)M,N及動(dòng)點(diǎn)P,若布=4（九>0且2W1）,則點(diǎn)

T的軌跡是圓.后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱(chēng)為阿波羅尼斯圓.點(diǎn)P為圓A：（x-l）2+y2=4上一

動(dòng)點(diǎn)，0為圓B：（尤-3>+（y_4）2=l上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C（—3,0）,則|尸。+|尸。|+|尸理的最小值為一.

【答案】9

【解析】由P為圓A：（x-l）2+y2=4上一動(dòng)點(diǎn)，得A（l,0）,|"|=2,

由。為圓B：（x-3）2+（y-4）2=1上一動(dòng)點(diǎn)，得3（3,4）,忸0=1,

又仙。|=1,恒。=4.

AOAP1

因?yàn)閊=二方=不，^ACP=ZACP,所以443644PO,

AC/

于是|尸C|=2|尸0.

當(dāng)P,。,8共線(xiàn)且|P0<|依|時(shí)|「0+|尸理取得最小值，即\PQ>[+\PB\>2\PB\-1.

所以|PC|+|尸@+|尸31221Pol+2|尸耳-1N2|0耳一1=27（3-0）2+（4-0）2-1=9,

當(dāng)O,P,B共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立.

故答案為：9.

9.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線(xiàn)論》中有一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：在平面上給定兩點(diǎn)4

B,動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足以|=川國(guó)|（其中2是正常數(shù)，且XR1）,則尸的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓稱(chēng)之為“阿波羅尼

斯圓現(xiàn)已知兩定點(diǎn)"（TO）、N（2,l）,P是圓O:/+y2=3上的動(dòng)點(diǎn)，則61PMi+|PN|的最小值為

【答案】V26

【解析】如圖，在無(wú)軸上取點(diǎn)S（-3,0）,

POS,.?.附=兩尸閭,

.?.6pM+|PN|=|PS|+|PN閆SN|（當(dāng)且僅當(dāng)尸為SN與圓。交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)），

.?.（用PM|+|PN|）=|SN|=J（—3—2）2+（0-1）2=而

故答案為：A/26.

10.（2024.高三.吉林通化?期末）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262-190年），與歐幾里得、阿基米德

并稱(chēng)古希臘三大數(shù)學(xué)家；他的著作《圓錐曲線(xiàn)論》是古代數(shù)學(xué)光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)網(wǎng)絡(luò)

殆盡，幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，2的距離之比為定值彳（彳21）的點(diǎn)的軌跡

是圓后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓.比如在平面直角坐標(biāo)系

中，4（0,1）、5（0,4）,則點(diǎn)尸滿(mǎn)足彳=；所得尸點(diǎn)軌跡就是阿氏圓；已知點(diǎn)C（-2,4）,。為拋物線(xiàn)V=8x

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。在直線(xiàn)x=—2上的射影為小M為曲線(xiàn)（尤+2），/=4上的動(dòng)點(diǎn)，則；陽(yáng)。+|。川+|0叫

的最小值為.貝||同。+|。叫+|。叫的最小值為

【答案】V17；4小