2024-2025學(xué)年安徽省某中學(xué)高三五月模擬考試（二）數(shù)學(xué)試題試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年安徽省太和第一中學(xué)高三五月模擬考試（二）數(shù)學(xué)試題試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)beR+,數(shù)列｛q｝滿足q=2,an+1=a-a；,+b,〃eN*，則（）

A.對(duì)于任意。，都存在實(shí)數(shù)〃，使得恒成立

B.對(duì)于任意力，都存在實(shí)數(shù)使得恒成立

C.對(duì)于任意be（2-4a,+8）,都存在實(shí)數(shù)〃，使得見(jiàn),<“恒成立

D.對(duì)于任意be（0,2-4。），都存在實(shí)數(shù)"，使得。恒成立

2.已知向量機(jī)=（2cos2x,6）,n=（1,sin2x）,設(shè)函數(shù)=則下列關(guān)于函數(shù)y=/（%）的性質(zhì)的描述正確

的是（）

A.關(guān)于直線工=二對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于點(diǎn)（蕓,。］對(duì)稱(chēng)

C.周期為2?D.y=/（x）在］-g,oj上是增函數(shù)

3.已知｛4｝為等差數(shù)列，若。2=2%+1，。4=2%+7,則。5=（）

A.1B.2C.3D.6

4.已知函數(shù)/（%）=5也（0%+8）,其中切>0,其圖象關(guān)于直線x=?對(duì)稱(chēng)，對(duì)滿足|/（%）—/（々）|=2

的占，%，有上-%L=W，將函數(shù)/（X）的圖象向左平移段個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)g（x）的單

調(diào)遞減區(qū)間是（）

7171

71

A.k兀---，&7rH——?B.k/c,k兀*%[k€Z）

L62J

7乃75乃7?777r

C.k兀?---,K7lH-----（左eZ）D.K7l-\----，憶兀A-----（左eZ）

361212

一,x<0

5.已知函數(shù)/（%）=：，若函數(shù)/（?=/（尤）-丘在R上有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為（）

Inx八

---,x>0

、x

A.（0,—）B.（0,—）C.（-00,—）D.（―,—）

e2e2e2ee

6.已知全集。=11,函數(shù)y=ln（l—力的定義域?yàn)?，集合N=｛R尤2—為<0,，則下列結(jié)論正確的是

A.MN=NB.M〕?N）=0

C.MN=UD.

7.五名志愿者到三個(gè)不同的單位去進(jìn)行幫扶，每個(gè)單位至少一人，則甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為（）

213319

A.—B.—C.—D.—

525525

8.如圖1,《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問(wèn)題:今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？意思是:有

一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，問(wèn)折斷處離地面的高為（）

尺.

A.5.45B.4.55C.4.2D.5.8

9.將一張邊長(zhǎng)為12cm的紙片按如圖（1）所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)

有底的正四棱錐模型，如圖⑵放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖（3）所示，則正四棱錐的體積是（）

A.—V6cm3B.—V6c/n3C.--flcrrt'D.—yflcnv'

3333

10.已知等差數(shù)列｛4｝中，=7,《0+%=0,則〃3+。4=（）

A.20B.18C.16D.14

11.將函數(shù)/（X）=sin+圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再將圖像向左平移W個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)

y=g（x）的圖象，則函數(shù)y=g（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（）

12.以下三個(gè)命題：①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)，這樣

的抽樣是分層抽樣；②若兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1；③對(duì)分類(lèi)變量X與F的隨機(jī)

變量/的觀測(cè)值左來(lái)說(shuō)，左越小，判斷“x與y有關(guān)系”的把握越大；其中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

'y>0

13.若實(shí)數(shù)%。滿足不等式組<2x-y+320,則z=2y-x的最小值是一

x+y-l<0

14.已知雙曲線0-與=1（“>0,6>0）的左焦點(diǎn)為/（-6,0）,4、3為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，AF的中點(diǎn)

ab

為H,BE的中點(diǎn)為K,HK的中點(diǎn)為G,若|"K|=2|OG|,且直線A6的斜率為交，貝!J|A5|=,雙

4

曲線的離心率為.

15.為激發(fā)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作，敢于拼搏，不言放棄的精神，某校高三5個(gè)班進(jìn)行班級(jí)間的拔河比賽.每?jī)砂嘀g只比賽

1場(chǎng)，目前（一）班已賽了4場(chǎng)，（二）班已賽了3場(chǎng)，（三）班已賽了2場(chǎng)，（四）班已賽了1場(chǎng).則目前（五）班已

經(jīng)參加比賽的場(chǎng)次為.

16.在三棱錐A-BCD中，已知BC=CD=BD=屈AB=42AD=6，且平面ABD±平面BCD，則三棱錐A-BCD

外接球的表面積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）如圖所示,在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAD為正三角形，且面PAD±

面ABCD,及尸分別為棱鉆,尸C的中點(diǎn).

（1）求證：跳V/平面R4D；

（2）（文科）求三棱錐6-EFC的體積；

（理科）求二面角P—EC—。的正切值.

EB

18.(12分)已知函數(shù)〃x)=k-1].

(1)解不等式〃x)+/(x+4”8；

(2)若同<1,同<1,awO,求證：/(")〉同/(I；

19.(12分)已知在四棱錐尸—A5CD中，平面ABC。，/%=A5,在四邊形ABC。中，DALAB,AD//BC,

AB=AD=2BC=2,E為Qfi的中點(diǎn)，連接。E,尸為OE的中點(diǎn)，連接AF.

(1)求證：AF±PB.

(2)求二面角A—EC—。的余弦值.

20.(12分)已知拋物線E：y2=20x(p>0),焦點(diǎn)廠到準(zhǔn)線的距離為3,拋物線E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A(為，口)和8(必,

山)，其中X#X2且X1+X2=1.線段45的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線E的方程；

(2)求AA8C面積的最大值.

21.(12分)某公園有一塊邊長(zhǎng)為3百米的正三角形ABC空地，擬將它分割成面積相等的三個(gè)區(qū)域，用來(lái)種植三種花

卉.方案是：先建造一條直道OE將AABC分成面積之比為2:1的兩部分(點(diǎn)Z>,E分別在邊A5,AC±)；再取OE

的中點(diǎn)M,建造直道AM(如圖).設(shè)A。=x,DE=義,=%(單位：百米).

(D分別求為,為關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式;

(2)試確定點(diǎn)。的位置，使兩條直道的長(zhǎng)度之和最小，并求出最小值.

22.(10分)聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織對(duì)某地區(qū)最近10年的糧食需求量部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:

年份20102012201420162018

需求量（萬(wàn)噸）236246257276286

（1）由所給數(shù)據(jù)可知，年需求量與年份之間具有線性相關(guān)關(guān)系，我們以“年份一2014”為橫坐標(biāo)x,“需求量—257”為

縱坐標(biāo)V,請(qǐng)完成如下數(shù)據(jù)處理表格：

年份一20140

需求量一2570

（2）根據(jù)回歸直線方程》=%+6分析，2020年聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織計(jì)劃向該地區(qū)投放糧食300萬(wàn)噸，問(wèn)是否能夠滿足該

地區(qū)的糧食需求？

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（%,%）,（%,%），…，（七，%），其回歸直線夕=晟+6的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分

〃__

別為：3=弓-------,d=y-bJc.

*x；-nx

i=i

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

取。=6=1,可排除AB；由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列｛aj的單調(diào)情況，進(jìn)而得到要使只需生"2,由此

2a

可得到答案.

【詳解】

取0=6=1,all+l=a；,+l,數(shù)列｛a,J恒單調(diào)遞增，且不存在最大值，故排除AB選項(xiàng)；

由蛛網(wǎng)圖可知，ar?+人=%存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且%J-：1一處,」+&-4吆,

2a2a

因?yàn)楫?dāng)0＜4＜占時(shí)，數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增,則凡＜%;

當(dāng)xaqvx2時(shí)，數(shù)列｛a“｝單調(diào)遞減，則石＜/＜。］；

所以要使4＜M，只需要0＜4＜々，故+—%,化簡(jiǎn)得人＜2—4。且匕＞0.

2a

故選：D.

本題考查遞推數(shù)列的綜合運(yùn)用，考查邏輯推理能力，屬于難題.

2.D

【解析】

/(%)=2cos2%+石sin2%=cos2x+^sin2x+l=2sin(2x+令+當(dāng)％=合時(shí)，sin(2x+1=sin。w±1,.\f(x)

71

不關(guān)于直線％二一對(duì)稱(chēng)；

12

S77TT5萬(wàn)

當(dāng)％=——時(shí),2sin(2x+-)+1=1,???加)關(guān)于點(diǎn)6,1)對(duì)稱(chēng)；

12612T

/（X）得周期T=—=7l,

當(dāng)X￡(一;,0)時(shí),2%十二￡(一■￡,：■),?\/(%)在(---,0)上是增函數(shù).

36263

本題選擇D選項(xiàng).

3.B

【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出25.

【詳解】

:{an}為等差數(shù)列，a2=2a3+l,a4=2a3+7,

a1+d=2(a1+2d)+l

+3d—2+2d)+7

解得a「=-10,d=3,

a5=a1+4d=-10+11=1.

故選：B.

本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

根據(jù)已知得到函數(shù)/(%)兩個(gè)對(duì)稱(chēng)軸的距離也即是半周期，由此求得0的值，結(jié)合其對(duì)稱(chēng)軸，求得。的值，進(jìn)而求得

/(%)解析式.根據(jù)圖像變換的知識(shí)求得g(x)的解析式，再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法，求得g(x)的單調(diào)遞減區(qū)

間.

【詳解】

解：已知函數(shù)/(x)=sin(s:+e),其中其圖像關(guān)于直線x=￡對(duì)稱(chēng)，

對(duì)滿足|/(%)一=2的X]，%2，有N—工2、正=]■=].W，，口=2.

TTTTTT

再根據(jù)其圖像關(guān)于直線x=—對(duì)稱(chēng)，可得2x—+。=左"+—,keZ.

662

：.0=,：./(x)=sin.

將函數(shù)/(x)的圖像向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)=sin2x+￡+￡=cos2x的圖像

6v367

令2kjr<2x<2kji+7C，求得k7i<x<k7i-\—，

2

71

則函數(shù)g(M)的單調(diào)遞減區(qū)間是k7T,k7v+-,左eZ,

故選B.

本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)圖像變換，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于中

檔題.

5.B

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)，分當(dāng)x<0,x>Q,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為左的零點(diǎn)問(wèn)題，用數(shù)形結(jié)合的方法研究.

X

【詳解】

當(dāng)x<0時(shí)，==J_,令g(x)=q,g<x)=一_1->o,g(x)在xe(-ooQ)是增函數(shù)，%>0時(shí)，左=以立

XXXXX

有一個(gè)零點(diǎn)，

、“Inx人i\Inx\l-21nx

當(dāng)x>0時(shí)t，k=^~^=—,令h(x)=—,/z'(x)=---

XXXX

當(dāng)工￡(0,、石)時(shí)，〃(X)>0,/2(元)在(0,、/1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)工￡(血,+8)時(shí)，力(%)<0,二力(九)在(五,+00)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)X=時(shí)，/2(x)取得最大值,，

2e

因?yàn)镕⑶=/(x)-丘在R上有3個(gè)零點(diǎn),

所以當(dāng)x>0時(shí)，左=工^有2個(gè)零點(diǎn)，

X

如圖所示:

故選：B

本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于中檔題.

6.A

【解析】

求函數(shù)定義域得集合M,N后，再判斷.

【詳解】

由題意M={x|尤<1},?/={x|O<x<l},：.MN=N.

故選A.

本題考查集合的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是確定集合中的元素.確定集合的元素時(shí)要注意代表元形式，集合是函數(shù)的定義域,

還是函數(shù)的值域，是不等式的解集還是曲線上的點(diǎn)集，都由代表元決定.

7.D

【解析】

三個(gè)單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率，利用互為對(duì)立事件的概率和為1

即可解決.

【詳解】

yy笛A3

由題意，三個(gè)單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1；基本事件總數(shù)有丁3工名

=150種，若為第一種情況，且甲、乙兩人在同一個(gè)單位，共有&種情況；若為第二

種情況，且甲、乙兩人在同一個(gè)單位，共有&種，故甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率

為至=9,故甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為「=1-919

150252525

故選：D.

本題考查古典概型的概率公式的計(jì)算，涉及到排列與組合的應(yīng)用，在正面情況較多時(shí)，可以先求其對(duì)立事件，即甲、

乙兩人在同一個(gè)單位的概率，本題有一定難度.

8.B

【解析】

如圖，已知AC+AB=10,BC=3,AB2-AC2=BC2=9

A(AB+AC^AB-AC)=9,解得AB—AC=0.9,

AB+AC=10[AB=5A5

〈，解得<.

[AB-AC=0.9[AC=4.55

.,?折斷后的竹干高為4.55尺

故選B.

9.B

【解析】

設(shè)折成的四棱錐的底面邊長(zhǎng)為。，高為〃，則=故由題設(shè)可得』a+a=12x受na=4忘，所以

222

四棱錐的體積V=；(4&)2x44而笞尼而，應(yīng)選答案氏

10.A

【解析】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項(xiàng)與公差，進(jìn)而求得為+%即可?

【詳解】

,、[依=7,fa,+4J=7,[CL=15,

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d.由一得1、解得:c.所以

[60+%=。[6+9d+%+6d=0[d=-2

%+4=2al+5d—2x15+5x(—2)=20.

故選：A

本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到y(tǒng)=g(x)解析式，然后將四個(gè)選項(xiàng)代入逐一判斷即可.

【詳解】

解：〃x)=sin圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到sin

再將圖像向左平移［個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)=sin

g(x)=sin4萬(wàn)

故選：D

考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì)，基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

根據(jù)抽樣方式的特征，可判斷①；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可判斷②；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法和步驟，可判斷③.

【詳解】

①根據(jù)抽樣是間隔相同，且樣本間無(wú)明顯差異，故①應(yīng)是系統(tǒng)抽樣，即①為假命題；

②兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1;兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越弱，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近

于0；故②為真命題；

③對(duì)分類(lèi)變量x與y的隨機(jī)變量K?的觀測(cè)值上來(lái)說(shuō)，左越小，“x與F有關(guān)系”的把握程度越小，故③為假命題.

故選：c.

本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關(guān)系數(shù)、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-1

【解析】

作出可行域，如圖:

由z=2y—%得丫=!兀+工2,由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)八點(diǎn)時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值，A（1,0）

22

所以Zmin=/

故答案為-1

14.2^/3比

2

【解析】

設(shè)人（%,為），5（—%,—%），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得“，K坐標(biāo)，利用。H.OK=0可得到A點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程，

結(jié)合直線斜率可求得焉,需，進(jìn)而求得|人用；將A點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得進(jìn)而得到離心

率.

【詳解】

左焦點(diǎn)為尸卜6,0）,...雙曲線的半焦距。=逐.

設(shè)4（/，%），5（-%0，-%）':H"?！骸?，K”°2旦Tj

O_22

\HK\=2\OG\,:.OHLOK,即Q〃.OK=0，—生=0，即x；+y；=3,

44

又直線AB斜率為變，即&=交，.?.片=9，y；=L

4x0433

.?」AB|=j4x；+4y；=26,

22oi

-A在雙曲線上，，與—4=1,即0=1，

a2b-3a23b2

結(jié)合°2=1+^=3可解得：a=72，b=l,.?.離心率e=$=逅.

a2

故答案為：

2

本題考查直線與雙曲線的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到直線截雙曲線所得線段長(zhǎng)度的求解、雙曲線離心率的求解問(wèn)題；關(guān)鍵

是能夠通過(guò)設(shè)點(diǎn)的方式，結(jié)合直線斜率、垂直關(guān)系、點(diǎn)在雙曲線上來(lái)構(gòu)造方程組求得所需變量的值.

15.2

【解析】

根據(jù)比賽場(chǎng)次，分析，畫(huà)出圖象，計(jì)算結(jié)果.

【詳解】

本題考查推理，計(jì)數(shù)原理的圖形表示，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題型.

16.48兀

【解析】

取的中點(diǎn)口，設(shè)等邊三角形5CD的中心為。，連接AECF,Q4.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得

B0=C0=D0=：CF=2/,OF=B由等腰直角三角形的性質(zhì)，得A?，3D,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得"工

平面BCD,AF1OF,由勾股定理求得04=2退，可得。為三棱錐A-BCD外接球的球心，根據(jù)球體的表面積公

式可求得此外接球的表面積.

【詳解】

在等邊三角形5CD中，取3。的中點(diǎn)B，設(shè)等邊三角形5CD的中心為。，

連接AF,CF,6M.由5。=6,得B0=C0=D0=乙CF=26,OF=色，

3

由己知可得AABD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，A尸_L5。，

又由已知可得平面A3。，平面5CD,二，平面5CD,,

OA=yjOF2+AF2=273＞所以。4=03=OC=00=26，二。為三棱錐A—BCD外接球的球心，外接球半

徑R=0C=2G，

三棱錐A—BCD外接球的表面積為47rx(2百了=487r.

故答案為：48兀

A

本題考查三棱錐的外接球的表面積，關(guān)鍵在于根據(jù)三棱錐的面的關(guān)系、棱的關(guān)系和長(zhǎng)度求得外接球的球心的位置，球

的半徑，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（1）見(jiàn)解析（2）（文）也（理）巫

63

【解析】

（1）證明：取PD中點(diǎn)G,連結(jié)GF、AG,

：GF為△PDC的中位線，；.GF〃CD且'（［＞,

2

又AE〃CD且,CD,；.GF〃AE且GF=AE,

/.EFGA是平行四邊形，則EF〃AG,

又EF不在平面PAD內(nèi),AG在平面PAD內(nèi)，

；.EF〃面PAD；

（2）（文）解：取AD中點(diǎn)O,連結(jié)PO,

V?PADXffiABCD,APAD為正三角形，；下0_1面ABCD,且\3,

又PC為面ABCD斜線，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，；.F到面ABCD距離打）-

（理）連OB交CE于M,可得RtAEBC絲RtAOAB,

.*.ZMEB=ZAOB,則NMEB+NMBE=90。，即OMJ_EC.

連PM,又由（2）知PO_LEC,可得EC_L平面POM,則PM_LEC,

即NPMO是二面角P-EC-D的平面角，

在R3EBC中，1;1/*'：,111'

CE5

???(?;/<“；nxi,

5

.小，八v15

,,i*f"1/JI1-，

3

即二面角P-EC-D的正切值為寸田.

3

【方法點(diǎn)晴】

本題主要考查線面平行的判定定理、二面角的求法、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法:

①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與己知直線平行的直線，可利用幾何體的

特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性

質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.本題(1)是就是利用方法①證明的.

18.(1)(Y,—51[3,”)；⑵證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)分x<—3、-3<x<l>x>l三種情況解不等式/(x)+/(x+4”8,即可得出該不等式的解集；

(2)利用分析法可知，要證/(")〉1dH,即證四一l|>|a—4，只需證明版―可>0即可，因式分

解后，判斷差值符號(hào)即可，由此證明出所證不等式成立.

【詳解】

—2x—2,x<—3

(1)/(%)+/(%+4)=|x-l|+|x+3|=<4,-3<x<1

2x+2,x>1

當(dāng)、<一3時(shí)，由-2X—228,解得]?—5,止匕時(shí)工?—5；

當(dāng)—3<%<1時(shí)，/(x)28不成立；

當(dāng)%>1時(shí)，由2元+228,解得xN3,止匕時(shí)工N3.

綜上所述，不等式/(力44的解集為(田,-5]U[3,4W)；

(2)要證/(")〉同/[￡|,即證團(tuán)4，

因?yàn)閱?wèn)<1,同<1,所以，tz2<1,z?2<1，

222222222

/.|^Z?-1|_卜-可2=^ab-2ab+i^-^a-2ab+b^=ab-a+l-b

片僅2_1）_僅2_1）="_1）僅2—［）<0

所以，4.故所證不等式成立.

本題考查絕對(duì)值不等式的求解，同時(shí)也考查了利用分析法和作差法證明不等式，考查分類(lèi)討論思想以及推理能力，屬

于中等題.

19.（1）見(jiàn)解析；（2）上

7

【解析】

（1）連接AE,證明PBLAD,AELPB得到面ADE,得到證明.

（2）以%,AB，AD所在直線分別為x,V,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-盯z,〃=（1,—1,2）為平面AEC的法

向量，平面DEC的一個(gè)法向量為加=（3,1,2）,計(jì)算夾角得到答案.

【詳解】

（1）連接AE,在四邊形ABCD中，DA±AB,平面ABCD,

也匚面/180）,;.4￡）_1_叢，PAAB=A,.?.AZ）上面PAB，

又?PBu面PAB,:.PB±AD，

又；在直角三角形E4B中，PA=AB,E為PB的中點(diǎn)，.?.AELPB,ADcAE=A,二尸5,面ADE,AFcz

面ADE,:.AF±PB.

（2）以24,AB，AD所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

尸（2,0,0）,5（0,2,0）,￡（1,1,0）,C（0,2,l）,A（0,0,0）,D（0,0,2）,

n-AC=02y+z=0

設(shè)〃=（尤,y,z）為平面AEC的法向量，AC=（O,2,l）,AE=（l,l,0）,<U=o,令X=1,則y=T'

n-AE=0+J

z=2,n=（1,—1,2）,

同理可得平面DEC的一個(gè)法向量為m=（3,1,2）.

3—1+4V21

設(shè)向量機(jī)與〃的所成的角為凡COS0=

A/6XV147

由圖形知，二面角A—EC—。為銳二面角，所以余弦值為

7

本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

20.(1)y2=6x(2)”也.

3

【解析】

(1)根據(jù)拋物線定義，寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，列方程即可得解；

(2)根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)表示出|A8|和點(diǎn)到直線的距離，得出面積，利用均值不等式求解最大值.

【詳解】

(1)拋物線及y2=2px(.p>Q),焦點(diǎn)、F,0)到準(zhǔn)線x=-的距離為3,可得p=3,即有拋物線方程為儼=6叱

(2)設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(xo,yo),則玉,=生產(chǎn)=2,

…、，—%_6_3

%?——22~——

，kAB尤2_再__2L%+%%，

66

則線段AB的垂直平分線方程為丫-加=一2(x-2),①

可得x=5,y=0是①的一個(gè)解，所以A8的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)C為定點(diǎn)，

且點(diǎn)C(5,0),由①可得直線42的方程為y-yo=2(x-2),即》=%■(y-yo)+2②

%3

代入V=6x可得y2=2y。(y-yo)+12,BPy2-2yoy+2yo2=O③，

由題意》,”是方程③的兩個(gè)實(shí)根，且州分2,

所以△=1時(shí)-1(2yo2-12)=-lyo2+18>O,解得-26Vyo<26,

IABI=依-％)2+(%一％)2

=1+勺（4%2-4（2為2—12》=|^（9+%2乂12_%2）,

又C（5,0）到線段AB的距離h^\CM\=J（5-2）2+（0-力=或+城，

所以SAABC=5\AB\h=-，（9+%）（12一%2）,《9+%2

6柳+%2）（24-2y州9++出二苧,

當(dāng)且僅當(dāng)9+城=21-2y（）2,即州=±若，A（一厲,、后+近），B（匕空,逐—近）,

33

或A（吟竺，一百一血），B（/手，-非+出）時(shí)等號(hào)成立，

所以品ABC的最大值為此之.

3

此題考查根據(jù)焦點(diǎn)和準(zhǔn)線關(guān)系求拋物線方程，根據(jù)直線與拋物線位置關(guān)系求解三角形面積的最值，表示三角形的面積

關(guān)系常涉及韋達(dá)定理整體代入，拋物線中需要考慮設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的技巧，處理最值問(wèn)題常用函數(shù)單調(diào)性求解或均值不等式

求最值.

21.（1）%=,+：—6,%?2,3］』='；+當(dāng)+>L

（2）當(dāng)A￡>=?百米時(shí)，兩條直道的長(zhǎng)度之和取得最小值V6+—-百米.

I2）

【解析】

⑴由”=不“可解得止方法一再在A4DE中，利用余弦定理'可得,關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；在皿

和AAEM中，利用余弦定理，可得為關(guān)于%的函數(shù)關(guān)系式?方法二：在AADE中，可得OE=AE-AD，則有

DE=AE-2AEAD+AD^化簡(jiǎn)整理即得；同理AM=g（AD+AE）,化簡(jiǎn)整理即得?（2）由（1）和基本不等

式，計(jì)算即得.

【詳解】

解：（1）SMDE=-SMBC，AABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，又AD=%,

2以3。/

.-.-ADAEsin