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2025屆廣西貴港市港南中學(xué)三文科班高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直線:過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與其中一條漸近線平行,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,則()A. B. C. D.3.若a>b>0,0<c<1,則A.logac<logbc B.logca<logcb C.a(chǎn)c<bc D.ca>cb4.已知函數(shù)若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,則雙曲線的離心率為()A. B. C.3 D.46.已知,,若,則向量在向量方向的投影為()A. B. C. D.7.在中,,,,點(diǎn)滿足,則等于()A.10 B.9 C.8 D.78.函數(shù)在的圖象大致為A. B.C. D.9.“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù),它所有的真因子(即除了自身以外的約數(shù))的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28,進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)完全數(shù)”分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個(gè),另一組3個(gè),則6和28不在同一組的概率為()A. B. C. D.10.已知定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,設(shè),則()A. B. C. D.11.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(,)對(duì)應(yīng)向量(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),設(shè),以射線Ox為始邊,OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為,則,法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理:,,則,由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式:,已知,則()A. B.4 C. D.1612.函數(shù)的大致圖象是A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若,則的取值范圍是__14.已知數(shù)列滿足對(duì)任意,,則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.15.已知變量x,y滿足約束條件x-y≤0x+2y≤34x-y≥-6,則16.若正實(shí)數(shù)x,y,滿足x+2y=5,則x2三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,點(diǎn)、分別為,的中點(diǎn),且平面平面.(1)求證:平面.(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)如圖,已知三棱柱中,與是全等的等邊三角形.(1)求證:;(2)若,求二面角的余弦值.19.(12分)已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)證明:.20.(12分)隨著科技的發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購(gòu)是非常方便的購(gòu)物方式,為了了解網(wǎng)購(gòu)在我市的普及情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購(gòu)的調(diào)查問(wèn)卷,并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男女各100人進(jìn)行分析,從而得到表(單位:人)經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)偶爾或不用網(wǎng)購(gòu)合計(jì)男性50100女性70100合計(jì)(1)完成上表,并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購(gòu)與性別有關(guān)?(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人,再?gòu)倪@10人中隨機(jī)選取3人贈(zèng)送優(yōu)惠券,求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的概率;②將頻率視為概率,從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取10人贈(zèng)送禮品,記其中經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.參考公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)在銳角中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知.(1)求的值;(2)當(dāng),且時(shí),求的面積.22.(10分)已知數(shù)列中,,前項(xiàng)和為,若對(duì)任意的,均有(是常數(shù),且)成立,則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”.(1)若數(shù)列為“數(shù)列”,求數(shù)列的前項(xiàng)和;(2)若數(shù)列為“數(shù)列”,且為整數(shù),試問(wèn):是否存在數(shù)列,使得對(duì)任意,成立?如果存在,求出這樣數(shù)列的的所有可能值,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)直線:過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),得,又和其中一條漸近線平行,得到,再求雙曲線方程.【詳解】因?yàn)橹本€:過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),所以,所以,又和其中一條漸近線平行,所以,所以,,所以雙曲線方程為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列是等比數(shù)列,求得其通項(xiàng)公式,由此求得.【詳解】由于,所以數(shù)列是等比數(shù)列,其首項(xiàng)為,第二項(xiàng)為,所以公比為.所以,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的證明,考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】試題分析:對(duì)于選項(xiàng)A,,,,而,所以,但不能確定的正負(fù),所以它們的大小不能確定;對(duì)于選項(xiàng)B,,,兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)改變不等號(hào)方向,所以選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到,所以C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,利用在上為減函數(shù)易得,所以D錯(cuò)誤.所以本題選B.【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較;若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.4、D【解析】
由恒成立,等價(jià)于的圖像在的圖像的上方,然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖像,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解答案.【詳解】因?yàn)橛珊愠闪?,分別作出及的圖象,由圖知,當(dāng)時(shí),不符合題意,只須考慮的情形,當(dāng)與圖象相切于時(shí),由導(dǎo)數(shù)幾何意義,此時(shí),故.故選:D【點(diǎn)睛】此題考查的是函數(shù)中恒成立問(wèn)題,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,屬于難題.5、A【解析】
根據(jù)題意,由拋物線的方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo),由此可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo),由雙曲線的幾何性質(zhì)可得,解可得,由離心率公式計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,拋物線的焦點(diǎn)為,則雙曲線的焦點(diǎn)也為,即,則有,解可得,雙曲線的離心率.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,關(guān)鍵是求出拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6、B【解析】
由,,,再由向量在向量方向的投影為化簡(jiǎn)運(yùn)算即可【詳解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題7、D【解析】
利用已知條件,表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積.【詳解】在中,,,,點(diǎn)滿足,可得則==【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算,關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量.8、A【解析】
因?yàn)?,所以排除C、D.當(dāng)從負(fù)方向趨近于0時(shí),,可得.故選A.9、C【解析】
先求出五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個(gè),另一組3個(gè)的基本事件總數(shù)為,再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù),根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解:根據(jù)題意,將五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個(gè),另一組3個(gè),則基本事件總數(shù)為,則6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù),∴6和28不在同一組的概率.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的求法,涉及實(shí)際問(wèn)題中組合數(shù)的應(yīng)用.10、B【解析】
根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì),可判斷關(guān)系;由時(shí),,求得導(dǎo)函數(shù),并構(gòu)造函數(shù),由進(jìn)而判斷函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性,即可比較大小.【詳解】為定義在上的偶函數(shù),所以所以;當(dāng)時(shí),,則,令則,當(dāng)時(shí),,則在時(shí)單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以,即,則在時(shí)單調(diào)遞增,而,所以,綜上可知,即,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,由導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,根據(jù)單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.11、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式:,直接求解即可.【詳解】,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的新定義題目、同時(shí)考查了復(fù)數(shù)模的求法,解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理,將復(fù)數(shù)化為棣莫弗定理形式,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及函數(shù)值的符號(hào)即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù),可排除B選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,可排除D選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即,可排除C選項(xiàng),故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷,函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì),即可求出的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,所以,故的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì),已知分段函數(shù)解析式求參數(shù)范圍,還涉及對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,由此求得的通項(xiàng)公式.【詳解】由題,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題.15、-5【解析】
畫(huà)出x,y滿足的可行域,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x-2y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),z最小,求解即可。【詳解】畫(huà)出x,y滿足的可行域,由x+2y=34x-y=-6解得A-1,2,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x-2y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A【點(diǎn)睛】本題考查的是線性規(guī)劃問(wèn)題,解決線性規(guī)劃問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化,即數(shù)形結(jié)合思想。需要注意的是:一,準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域;二,畫(huà)目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí),要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較,避免出錯(cuò);三,一般情況下,目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得。16、8【解析】
分析:將題中的式子進(jìn)行整理,將x+1當(dāng)做一個(gè)整體,之后應(yīng)用已知兩個(gè)正數(shù)的整式形式和為定值,求分式形式和的最值的問(wèn)題的求解方法,即可求得結(jié)果.詳解:x2-3x+1+2點(diǎn)睛:該題屬于應(yīng)用基本不等式求最值的問(wèn)題,解決該題的關(guān)鍵是需要對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn),轉(zhuǎn)化,利用整體思維,最后注意此類(lèi)問(wèn)題的求解方法-------相乘,即可得結(jié)果.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)首先可得,再面面垂直的性質(zhì)可得平面,即可得到,再由,即可得到線面垂直;(2)過(guò)點(diǎn)做平面的垂線,以為原點(diǎn),分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求出線面角;【詳解】解:(1)∵,點(diǎn)為的中點(diǎn),∴,又∵平面平面,平面平面,平面,∴平面,又平面,∴,又∵,分別為,的中點(diǎn),∴,∴,又平面,平面,,∴平面.(2)過(guò)點(diǎn)做平面的垂線,以為原點(diǎn),分別以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,∵,∴,,,,∴,,,設(shè)平面的法向量為,由,得,令,得,∴,∴直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定,面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,利用空間向量法求線面角,屬于中檔題.18、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)取BC的中點(diǎn)O,則,由是等邊三角形,得,從而得到平面,由此能證明(2)以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求得二面角的余弦值,得到結(jié)果.【詳解】(1)取BC的中點(diǎn)O,連接,,由于與是等邊三角形,所以有,,且,所以平面,平面,所以.(2)設(shè),是全等的等邊三角形,所以,又,由余弦定理可得,在中,有,所以以,,所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,令,則,又平面的一個(gè)法向量為,所以二面角的余弦值為,即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用線面垂直證明線性垂直,利用向量法求二面角的余弦值,屬于中檔題目.19、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)先求得導(dǎo)函數(shù),根據(jù)兩個(gè)極值點(diǎn)可知有兩個(gè)不等實(shí)根,構(gòu)造函數(shù),求得;討論和兩種情況,即可確定零點(diǎn)的情況,即可由零點(diǎn)的情況確定的取值范圍;(2)根據(jù)極值點(diǎn)定義可知,,代入不等式化簡(jiǎn)變形后可知只需證明;構(gòu)造函數(shù),并求得,進(jìn)而判斷的單調(diào)區(qū)間,由題意可知,并設(shè),構(gòu)造函數(shù),并求得,即可判斷在內(nèi)的單調(diào)性和最值,進(jìn)而可得,即可由函數(shù)性質(zhì)得,進(jìn)而由單調(diào)性證明,即證明,從而證明原不等式成立.【詳解】(1)函數(shù)則,因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn),,所以有兩個(gè)不等實(shí)根.設(shè),所以.①當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,至多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意.②當(dāng)時(shí),令得,0減極小值增所以,即.又因?yàn)?,,所以在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn),符合題意,綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)證明:由題意知,,所以,.要證明,只需證明,只需證明.因?yàn)?,,所?設(shè),則,所以在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).因?yàn)椋环猎O(shè),設(shè),,則,當(dāng)時(shí),,,所以,所以在上是增函數(shù),所以,所以,即.因?yàn)?,所以,所?因?yàn)椋?,且在上是減函數(shù),所以,即,所以原命題成立,得證.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn),由導(dǎo)數(shù)證明不等式,構(gòu)造函數(shù)法的綜合應(yīng)用,極值點(diǎn)偏移證明不等式成立的應(yīng)用,是高考的常考點(diǎn)和熱點(diǎn),屬于難題.20、(Ⅰ)詳見(jiàn)解析;(Ⅱ)①;②數(shù)學(xué)期望為6,方差為2.4.【解析】
(1)完成列聯(lián)表,由列聯(lián)表,得,由此能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購(gòu)與性別有關(guān).(2)①由題意所抽取的10名女市民中,經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的有人,偶爾或不用網(wǎng)購(gòu)的有人,由此能選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的概率.②由列聯(lián)表可知,抽到經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的市民的頻率為:,由題意,由此能求出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.【詳解】解:(1)完成列聯(lián)表(單位:人):經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)偶爾或不用網(wǎng)購(gòu)合計(jì)男性5050100女性7030100合計(jì)12080200由列聯(lián)表,得:,∴能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為我市市民網(wǎng)購(gòu)與性別有關(guān).(2)①由題意所抽取的10名女市民中,經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的有人,偶爾或不用網(wǎng)購(gòu)的有人,∴選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的概率為:.②由列聯(lián)表可知,抽到經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的市民的頻率為:,將頻率視為概率,∴從我市市民中任意抽取一人,恰好抽到經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)市民的概率為0.6,由題意,∴隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,方差D(X)=.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用,考查概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法,考查古典概型、二項(xiàng)分布等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.21、(1);(2)【解析】
(1)利用二倍角公式求解即可,注意隱含條件.(2)利用(1)中的結(jié)論,結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)的關(guān)系易得的值,又由求出的值,最后由正弦定理求出的值,根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得出.【詳解】(1)由已知可得,所以,因?yàn)?/p>
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