寧波市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

寧波市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，若（），則n的值為（）A.15 B.14C.13 D.123．已知橢圓的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，若橢圓C上存在一點(diǎn)A，滿足，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.4．橢圓：與雙曲線：的離心率之積為2，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.5．已知橢圓的長軸長，短軸長，焦距長成等比數(shù)列，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.6．已知等比數(shù)列的公比為q，且，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．若點(diǎn)在橢圓的外部，則的取值范圍為（）A. B.C. D.8．若等軸雙曲線C過點(diǎn)，則雙曲線C的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為（）A.1 B.C. D.29．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10．圓的圓心到直線的距離為2，則（）A. B.C. D.211．圓與直線的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.不能確定12．我國古代數(shù)學(xué)論著中有如下敘述：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈二百五十四．”思如下：一座7層塔共掛了254盞燈，且相鄰兩層下一層所掛燈數(shù)是上一層所掛燈數(shù)的2倍．下列結(jié)論不正確的是（）A.底層塔共掛了128盞燈B.頂層塔共掛了2盞燈C.最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)比最上面3層塔所掛燈的總盞數(shù)多200D.最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)是最上面3層塔所掛燈的總盞數(shù)的16倍二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是________14．設(shè)，分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓C上一點(diǎn)且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為___________15．已知，，且與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是___.16．中國古代《易經(jīng)》一書中記載，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，如圖，一位古人在從右到左依次排列的紅繩子上打結(jié)，滿三進(jìn)一，用來記錄每年進(jìn)的錢數(shù).由圖可得，這位古人一年的收入的錢數(shù)為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線與曲線C相交于兩點(diǎn)，，請問點(diǎn)P能否為線段的中點(diǎn)，并說明理由.18．（12分）已知圓（1）若一直線被圓C所截得的弦的中點(diǎn)為，求該直線的方程；（2）設(shè)直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，把的面積S表示為m的函數(shù)，并求S的最大值19．（12分）如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn).（1）試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求證：直線面.20．（12分）已知橢圓的長軸長與短軸長之比為2,、分別為其左、右焦點(diǎn)．請從下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件,完成下面的問題:①過點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓E相切;②過且垂直于x軸的直線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P,且的面積為．(只能從①②中選擇一個(gè)作為已知)（1）求橢圓E的方程;（2）過點(diǎn)的直線l與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),與直線交于H點(diǎn),若,．證明:為定值21．（12分）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，橢圓C上的點(diǎn)與其右焦點(diǎn)F的最短距離為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PA與QB的斜率分別為，，且，那么直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，請說明理由.22．（10分）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，為拋物線C上一點(diǎn)，且（1）求拋物線C的方程：（2）若以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與C的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線交拋物線C于D，E兩點(diǎn)，若，證明直線DE過定點(diǎn)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的，，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值，再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】由題可知：對(duì)任意的，，都有恒成立，故可得對(duì)任意的，；又，則，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，則當(dāng)時(shí)，,.對(duì)任意的，，即，恒成立.也即，不妨令，則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.故，則只需.故選：B.2、B【解析】由已知條件列方程組求出，再由列方程求n的值【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由，，得，解得，因?yàn)?，所以，即，解得或（舍去），故選：B3、C【解析】根據(jù)題意可知當(dāng)A為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，即可滿足橢圓C上存在一點(diǎn)A，使得，由此可得，解此不等式可得答案.【詳解】由橢圓的對(duì)稱性可知，當(dāng)A為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，故只需即可滿足題意，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則只需,即有，所以，解得，故選：C4、C【解析】先求出橢圓的離心率，再由題意得出雙曲線的離心率，根據(jù)離心率即可求出漸近線斜率得解.【詳解】橢圓：的離心率為，則，依題意，雙曲線；的離心率為，而，于是得，解得：，所以雙曲線的漸近線方程為故選：C5、A【解析】由題意，，結(jié)合，求解即可【詳解】∵橢圓的長軸長，短軸長，焦距長成等比數(shù)列∴∴又∵∴∴，即∴e=又在橢圓e＞0∴e=故選：A6、B【解析】利用充分條件和必要條件的定義結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)分析判斷【詳解】當(dāng)時(shí)，則，則數(shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)是遞增數(shù)列時(shí)，，因?yàn)椋?，則可得，所以“”是“是遞增數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B7、B【解析】根據(jù)題中條件，得到，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的外部，所以，即，解得或.故選：B.8、A【解析】先求出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，再求頂點(diǎn)到其漸近線的距離.【詳解】設(shè)等軸雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故上頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離為.故選：A9、B【解析】求出的等價(jià)條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】，因“”“”且“”“”，因此，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.10、B【解析】配方求出圓心坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，∴，解得故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)到直線距離公式，屬于基礎(chǔ)題11、B【解析】用圓心到直線的距離與半徑的大小判斷【詳解】解：圓的圓心到直線的距離，等于圓的半徑，所以圓與直線相切，故選：B12、C【解析】由題設(shè)易知是公比為2的等比數(shù)列，應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求，結(jié)合各選項(xiàng)的描述及等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式判斷正誤即可.【詳解】從上往下記每層塔所掛燈的盞數(shù)為，則數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，解得，所以頂層塔共掛了2盞燈，B正確；底層塔共掛了盞燈，A正確最上面3層塔所掛燈總盞數(shù)為14，最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)為224，C不正確，D正確故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】由基本不等式及正實(shí)數(shù)、滿足，可得的最大值.【詳解】由基本不等式，可得正實(shí)數(shù)、滿足，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為，故答案為：4.14、【解析】先計(jì)算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的橫坐標(biāo)為，代入橢圓C：求出.【詳解】橢圓C：,所以.因?yàn)镸在橢圓上,.因?yàn)镸在第一象限,故.為等腰三角形,則,所以,由余弦定理可得.過M作MA⊥x軸于A,則所以,即M的橫坐標(biāo)為.因?yàn)镸為橢圓C：上一點(diǎn)且在第一象限，所以，解得：所以M的坐標(biāo)為.故答案為：15、∪【解析】根據(jù)題意得出且與不共線，然后根據(jù)向量數(shù)量積的定義及向量共線的條件求出x的取值范圍.【詳解】∵與的夾角為鈍角，且與不共線，即，且，解得，且，∴x的取值范圍是∪.故答案為：∪.16、25【解析】將原問題轉(zhuǎn)化為三進(jìn)制計(jì)算，即可求解【詳解】解：由題意可得，從左到右的數(shù)字依次為221，即古人一年的收入的錢數(shù)為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）不能，理由見解析.【解析】（1）利用題中距離之比列出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的方程即可求解；（2）先假設(shè)點(diǎn)P能為線段的中點(diǎn)，再利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，最后聯(lián)立直線與曲線進(jìn)行檢驗(yàn)即可.【小問1詳解】解：動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是則等式兩邊平方可得：化簡得曲線C的方程為：【小問2詳解】解：點(diǎn)不能為線段的中點(diǎn)，理由如下：由（1）知，曲線C的方程為：過點(diǎn)的直線斜率為，，因?yàn)檫^點(diǎn)的直線與曲線C相交于兩點(diǎn)，所以，兩式作差并化簡得：①當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，則，②將②代入①可得：此時(shí)過點(diǎn)的直線方程為：將直線方程與曲線C方程聯(lián)立得：，，無解與過點(diǎn)的直線與曲線C相交于兩點(diǎn)矛盾所以點(diǎn)不能為線段的中點(diǎn)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：當(dāng)圓錐曲線中涉及中點(diǎn)和斜率的問題時(shí)，常用點(diǎn)差法進(jìn)行求解.18、（1）（2），最大值為.【解析】（1）利用垂徑定理求出斜率，即可求出直線的方程；（2）利用幾何法表示出弦長與d的關(guān)系，利用基本不等式求出的面積S的最大值【小問1詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：.則.設(shè)所求的直線為m.由圓的幾何性質(zhì)可知：，所以，所以所求的直線為：，即.【小問2詳解】設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則，且，所以因?yàn)橹本€與圓C交于A，B兩點(diǎn)，所以,解得：且.而的面積：因?yàn)樗裕ㄆ渲袝r(shí)等號(hào)成立）.所以S的最大值為.19、（1）平面AEC，理由見解析（2）證明見解析【解析】（1）以線面平行的判定定理去證明直線與平面平行即可；（2）以線面垂直的判定定理去證明直線面即可.【小問1詳解】連接BD，設(shè)，連接OE.在中，O、E分別是BD、的中點(diǎn)，則.因?yàn)橹本€OE在平面AEC上，而直線不在平面AEC上，根據(jù)直線與平面平行的判定定理，得到直線平面AEC.【小問2詳解】正方體中，故，又，故同理故，又，故又根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，得直線平面.20、（1）（2）證明見解析【解析】(1)選①:直線與橢圓聯(lián)立,利用判別式為0求解;選②:利用通徑公式即可(2)用直線參數(shù)方程的幾何意義求解【小問1詳解】選①:由題知,過點(diǎn)且斜率為1的直線方程為聯(lián)立,得由,得所以橢圓的方程為選②:由題知,所以由,得所以橢圓的方程為【小問2詳解】證明:設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))設(shè)A,B,H對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,顯然將代入橢圓,得即.所以將代入直線,得由,得,所以由,得,所以所以所以為定值【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：直線的參數(shù)方程作為一種工具，要充分發(fā)揮它的作用，參數(shù)的幾何意義并不局限于加絕對(duì)值表示距離，還要注意方向性.請考生在22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分21、（1）（2）恒過點(diǎn)【解析】（1）設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到，再根據(jù)的取值范圍，得到，再根據(jù)離心率求出、，最后根據(jù)，求出，即可得解；（2）設(shè)、，表示出、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由，即可得到，再根據(jù)，即可得到，從而得到，再將、代入計(jì)算可得；【小問1詳解】解：設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，又，所以、，因?yàn)?，所以，所以橢圓方程為；【小問2詳解】解：設(shè)、，依題意可得、，所以、，聯(lián)立得，則即，所以、，因?yàn)?，所以，即，由得，即，所以，?/p>