人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題22.5二次函數(shù)的應(yīng)用

典例精析

【典例1】某企業(yè)安排75名工人生產(chǎn)甲，乙兩種產(chǎn)品，每名工人每天可生產(chǎn)2件甲產(chǎn)品或1件乙產(chǎn)品，且

每名工人每天只能生產(chǎn)一種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品每件可獲利20元.根據(jù)市場(chǎng)需求，乙產(chǎn)品每天產(chǎn)量不少于5件，

當(dāng)乙產(chǎn)品每天生產(chǎn)5件時(shí)，每件可獲利150元，每增加1件，當(dāng)天平均每件利潤(rùn)減少2元，設(shè)每天安排x

(尤為不小于5的整數(shù))名工人生產(chǎn)乙產(chǎn)品.

(1)用含x的代數(shù)式表示：每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品的工人有名；每件乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)元；

(2)若每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的利潤(rùn)比生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤(rùn)多450元，求每件乙產(chǎn)品可獲得的利潤(rùn)；

(3)該企業(yè)在不增加工人數(shù)量的情況下，增加生產(chǎn)丙產(chǎn)品，要求每天甲，丙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量相等.已知每

名工人每天可生產(chǎn)1件丙產(chǎn)品，丙產(chǎn)品每件可獲利25元，該企業(yè)每天生產(chǎn)三種產(chǎn)品，且可獲得的總利潤(rùn)的

和最大時(shí)，請(qǐng)求出尤的值.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)題意列代數(shù)式即可；

(2)根據(jù)(1)中數(shù)據(jù)表示每天生產(chǎn)甲乙產(chǎn)品獲得利潤(rùn)，根據(jù)題意構(gòu)造方程即可；

(3)設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品機(jī)人，則生產(chǎn)丙產(chǎn)品人，則切=等，設(shè)生產(chǎn)三種產(chǎn)品每天可獲得的總利潤(rùn)的和為

卬元，根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

【解題過程】

解：(1)由已知，每天安排無(wú)人生產(chǎn)乙產(chǎn)品時(shí)，生產(chǎn)甲產(chǎn)品的有(75-x)人；

在乙每件150元獲利的基礎(chǔ)上，增加(尤-5)人,利潤(rùn)減少2(尤-5)元每件，則乙產(chǎn)品的每件利潤(rùn)為150

-2(%-5)=(160-2x)元.

故答案為：(75-x)；(160-2x)；

(2)由題意

20x2(75-x)=x(160-2x)+450,

-100x+1275=0,

解得xi=15,%2=85(不合題意，舍去)，

??x~~15,

???160-2%=130,

答：每件乙產(chǎn)品可獲得的利潤(rùn)是130元;

（3）設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品加人，則生產(chǎn)丙產(chǎn)品2根人，可獲得的總利潤(rùn)的和為w元,

m+2m+x=75,

根據(jù)題意得：

w=20x2m+25x2m+x(160-2x)

=90m+160x-22

=90x+160x-2/

=-2/+130x+2250,

.,.對(duì)稱軸為直線x=-J及八=32-,

??”為正整數(shù)，-2<0,

.?.%=32或%=33時(shí)w最大，

當(dāng)x=32時(shí)，機(jī)=與必不是整數(shù)，

當(dāng)％=33時(shí)，m=-g-=14,

:?％=33,

答：x的值為33.

學(xué)霸必刷＞]

1.（2022?鞍山）某超市購(gòu)進(jìn)一批水果，成本為8元/飯，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在未來(lái)10天的售價(jià)

m（元伙g）與時(shí)間第x天之間滿足函數(shù)關(guān)系式相=%+18（1金10,x為整數(shù)），又通過分析銷售情況，發(fā)

現(xiàn)每天銷售量y（飯）與時(shí)間第無(wú)天之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表是其中的三組對(duì)應(yīng)值.

時(shí)間第X天259

銷售量W依333026

（1）求y與尤的函數(shù)解析式；

（2）在這10天中，哪一天銷售這種水果的利潤(rùn)最大，最大銷售利潤(rùn)為多少元?

2.（2022?沙市區(qū)模擬）荊州某旅游公司在景區(qū)內(nèi)配置了50輛觀光車供游客租賃使用，假定每輛觀光車一

天內(nèi)最多只能出租一次，且每輛車的日租金x（元）是5的倍數(shù).發(fā)現(xiàn)每天的營(yíng)運(yùn)規(guī)律如下：當(dāng)無(wú)不超過100

元時(shí)，觀光車能全部租出；當(dāng)x超過100元時(shí)，每輛車的日租金每增加5元，租出去的觀光車就會(huì)減少1

輛.已知所有觀光車每天的管理費(fèi)是1100元.

（1）如果要使觀光車全部租出且每天的凈收入為正，則每輛車的日租金至少應(yīng)為多少元？（注：凈收入=

租車收入-管理費(fèi)）

（2）當(dāng)每輛車的日租金為多少元時(shí)，每天的凈收入最多？

3.（2022?朝陽(yáng)）某商店購(gòu)進(jìn)了一種消毒用品，進(jìn)價(jià)為每件8元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（件）

與每件售價(jià)x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系（其中8區(qū)15,且x為整數(shù)）.當(dāng)每件消毒用品售價(jià)為9元時(shí),

每天的銷售量為105件；當(dāng)每件消毒用品售價(jià)為11元時(shí)，每天的銷售量為95件.

（1）求y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤(rùn)，則每件消毒用品的售價(jià)為多少元？

（3）設(shè)該商店銷售這種消毒用品每天獲利w（元），當(dāng)每件消毒用品的售價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)

最大？最大利潤(rùn)是多少元？

4.（2022?九龍坡區(qū)自主招生）在臍橙豐收時(shí)，為了減少臍橙的庫(kù)存，某臍橙銷售公司決定開發(fā)市場(chǎng)增加銷

售點(diǎn)進(jìn)行銷售，經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn)，臍橙的每日銷售量y（依）與銷售單價(jià)元/依）滿足關(guān)系式：y=-100X+3000,

銷售單價(jià)不低于6元/依且不高于20元/飯.當(dāng)每日銷售量低于2000依時(shí)，該臍橙的成本價(jià)格為6元飯，當(dāng)

每日銷售量不低于2000依時(shí)，該臍橙的成本價(jià)格5元/原，設(shè)該公司銷售臍橙的日獲利為w（元）.

（1）求該公司銷售臍橙的日獲利w與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，銷售這種臍橙日獲利最大？最大利潤(rùn)為多少元？

5.（2022?鞍山二模）某科技公司生產(chǎn)一款精密零件，每個(gè)零件的成本為80元，當(dāng)每個(gè)零件售價(jià)為200元

時(shí)，每月可以售出1000個(gè)該款零件，若每個(gè)零件售價(jià)每降低5元，每月可以多售出100個(gè)零件，設(shè)每個(gè)零

件售價(jià)降低尤元，每月的銷售利潤(rùn)為w元.

（1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）為了更好地回饋社會(huì)，公司決定每銷售1個(gè)零件就捐款〃（0<?<6）元作為抗疫基金，當(dāng)40W爛60時(shí),

捐款后每月最大的銷售利潤(rùn)為135000元，求n的值.

6.（2022?南京模擬）某地實(shí)施產(chǎn)業(yè)扶貧種植某種水果，其成本經(jīng)過測(cè)算為20元/千克，投放市場(chǎng)后，經(jīng)過

市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在上市的一段時(shí)間內(nèi)的銷售單價(jià)p（元/千克）與時(shí)間t（天）之間的函數(shù)圖象如圖，

且其日銷售量y（千克）與時(shí)間，（天）的關(guān)系是：y=-2/+160.（0</<80,且/為整數(shù)）

（1）試求銷售單價(jià)°（元/千克）與時(shí)間，（天）之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）哪一天的銷售利潤(rùn)最大？最大日銷售利潤(rùn)為多少？

7.（2022?惠民縣一模）為落實(shí)“精準(zhǔn)扶貧”精神，市農(nóng)科院專家指導(dǎo)李大爺利用坡前空地種植優(yōu)質(zhì)草莓.根

據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，在草莓上市銷售的28天中，其銷售價(jià)格m（元/公斤）與第x天之間滿足爪=

2%+16（1<%<14）

一久+58（144W28）G為正整數(shù)）,銷售量〃（公斤）與第、天之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示?

（1）求銷售量〃與第x天之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）求草莓上市銷售第8天李大爺?shù)匿N售收入;

（3）求草莓上市銷售的第11天至14天這4天，每天的銷售收入y與第x天之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出這

4天當(dāng)中哪一天的銷售額最高？為多少元?

0I1028x

8.（2022?南陵縣自主招生）交通工程學(xué)理論把在單向道路上行駛的汽車看成連續(xù)的流體，并用流量、速度、

密度三個(gè)概念描述車流的基本特征，其中流量q（輛/小時(shí)）指單位時(shí)間內(nèi)通過道路指定斷面的車輛數(shù)；速

度v（千米/小時(shí)）指通過道路指定斷面的車輛速度，密度k（輛/千米）指通過道路指定斷面單位長(zhǎng)度內(nèi)的

車輛數(shù).為配合大數(shù)據(jù)治堵行動(dòng)，測(cè)得某路段流量q與速度v之間關(guān)系為〃=-2，+120口

（1）當(dāng)該路段的車流速度為多少時(shí)，流量達(dá)到最大？最大流量是多少？

（2）已知q,v,左滿足q=就.

①市交通運(yùn)行監(jiān)控平臺(tái)顯示，當(dāng)18W怯28該路段不會(huì)出現(xiàn)交通擁堵現(xiàn)象.試分析當(dāng)車流密度k在什么范圍

時(shí)，該路段不會(huì)出現(xiàn)交通擁堵現(xiàn)象；

②在理想狀態(tài)下，假設(shè)前后兩車車頭之間的距離d（米）均相等，當(dāng)d=25米時(shí)請(qǐng)求出此時(shí)的速度也

9.（2022?城廂區(qū)校級(jí)一模）為了防控新冠疫情，某市計(jì)劃在體育中考時(shí)增設(shè)考生進(jìn)入考點(diǎn)需進(jìn)行體溫檢測(cè)

的措施.防疫部門為了解學(xué)生錯(cuò)峰進(jìn)入考點(diǎn)進(jìn)行體溫檢測(cè)的情況，調(diào)查了一所學(xué)校某天上午考生進(jìn)入考點(diǎn)

的累計(jì)人數(shù)y（人）與時(shí)間x（分鐘）的變化情況，數(shù)據(jù)如下表：（表中9?15表示9〈止15）

時(shí)間X（分鐘）01234567899?15

人數(shù)y（人）0170320450560650720770800810810

（1）根據(jù)這15分鐘內(nèi)考生進(jìn)入考點(diǎn)的累計(jì)人數(shù)與時(shí)間的變化規(guī)律，利用初中所學(xué)函數(shù)知識(shí)求出y與x之間

的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果考生一進(jìn)考點(diǎn)就開始測(cè)量體溫，體溫檢測(cè)點(diǎn)有2個(gè)，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)每分鐘檢測(cè)20人，考生排隊(duì)測(cè)

量體溫，求排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)有多少人？全部考生都完成體溫檢測(cè)需要多少時(shí)間？

10.（2022?江岸區(qū)校級(jí)模擬）中考臨近，七一中學(xué)、七一華源中學(xué)食堂為提高全體初三學(xué)子伙食，精心購(gòu)

買4、2兩種食材共600依，A食材的價(jià)格為每千克5元，當(dāng)2食材購(gòu)買量不大于3004時(shí)，2食材的價(jià)格

為每千克9元，當(dāng)8食材購(gòu)買量大于300依時(shí)，每增加10口，8食材的價(jià)格降低0.1元.設(shè)購(gòu)買8種食材

xkg（x為10的整數(shù)倍）.

（1）若x<300,購(gòu)買A、8兩種食材共花了3800元，求A、2兩種食材各多少千克？

（2）若尤>300,且購(gòu)買A食材的數(shù)量不少于8食材數(shù)量的一半，求購(gòu)買A種食材多少千克時(shí)，購(gòu)買的總

費(fèi)用最少，最少總費(fèi)用是多少元？

（3）若購(gòu)買A食材不超過mkg（m<250）,購(gòu)買B食材超過300依，商家獲得的最大銷售額為4000元，

求m的值.

11.（2022?洪山區(qū)模擬）某超市銷售A、2兩種玩具，每個(gè)A型玩具的進(jìn)價(jià)比每個(gè)2型玩具的進(jìn)價(jià)高2元,

若用600元進(jìn)A型玩具的數(shù)量與用500元進(jìn)B型玩具的數(shù)量相同.

（1）求A、8兩種玩具每個(gè)進(jìn)價(jià)是多少元？

（2）超市某天共購(gòu)進(jìn)A、8兩種玩具共50個(gè)，當(dāng)天全部銷售完.銷售A型玩具的價(jià)格y（單位：元/個(gè)）與

銷售量x（單位：個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系是：y=-2x+80；銷售8型玩具日獲利機(jī)（單位：元）與銷售量”（單

位：個(gè)）之間的關(guān)系為：m=\6n-260.

①若該超市銷售這50個(gè)玩具日獲利共300元，問B型玩具的銷售單價(jià)是多少元？

②該超市購(gòu)進(jìn)的50個(gè)玩具中，8型玩具的數(shù)量不少于A型玩具數(shù)量的數(shù)量的4倍，超市想盡快售完，決定

每個(gè)A型玩具降價(jià)。（0<a<6）元銷售，8型玩具的銷售情況不變，若超市銷售這50個(gè)玩具日獲利的最大

值為820元，直接寫出a的值.

12.（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，學(xué)校要用一段長(zhǎng)為36米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形花圃，墻

長(zhǎng)為16米.

（1）若矩形A8CD的面積為144平方米，求矩形的邊的長(zhǎng).

（2）要想使花圃的面積最大、A8邊的長(zhǎng)應(yīng)為多少米？最大面積為多少平方米？

AD

花圃

Br

13.（2022春?宿豫區(qū)期中）如圖，正常水位時(shí)，拋物線形拱橋下的水面寬A8為20m此時(shí)拱橋的最高點(diǎn)

到水面的距離為4m.

（1）把拱橋看作一個(gè)二次函數(shù)的圖象，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）當(dāng)水面寬10/77時(shí)，達(dá)到警戒水位，如果水位以02m/h的速度持續(xù)上漲，那么達(dá)到警戒水位后，再過

多長(zhǎng)時(shí)間此橋孔將被淹沒？

AB

14.（2022?寧夏）2022北京冬奧會(huì)自由式滑雪空中技巧比賽中，某運(yùn)動(dòng)員比賽過程的空中剪影近似看作一

條拋物線，跳臺(tái)高度為4米，以起跳點(diǎn)正下方跳臺(tái)底端。為原點(diǎn)，水平方向?yàn)闄M軸，豎直方向?yàn)榭v軸,

建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系.已知拋物線最高點(diǎn)8的坐標(biāo)為（4,12）,著陸坡頂端C與落地點(diǎn)。的距

CE3

離為2.5米，若斜坡CD的坡度i=3：4（即丁=-）.

DE4

求：（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（3）起跳點(diǎn)A與著陸坡頂端C之間的水平距離OC的長(zhǎng).（精確到0.1米）

（參考數(shù)據(jù)：V3-1.73）

15.（2022?欽州一模）跳繩是大家喜愛的一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)，當(dāng)繩子甩到最高處時(shí)，其形狀視為拋物線.如圖

是甲，乙兩人將繩子甩到最高處時(shí)的示意圖，已知兩人拿繩子的手離地面的高度都為bn,并且相距4m,

現(xiàn)以兩人的站立點(diǎn)所在的直線為x軸，過甲拿繩子的手作x軸的垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)

系，且繩子所對(duì)應(yīng)的拋物線解析式為y=—2/+bx+c.

（1）求繩子所對(duì)應(yīng)的拋物線解析式（不要求寫自變量的取值范圍）；

（2）身高1.70機(jī)的小明，能否站在繩子的正下方，讓繩子通過他的頭頂？

（3）身高1.64機(jī)的小軍，站在繩子的下方，設(shè)他距離甲拿繩子的手為確保繩子能通過他的頭頂，請(qǐng)求

出s的取值范圍.

16.（2022?環(huán)江縣模擬）如圖1是一座拋物線型拱橋Ci側(cè)面示意圖.水面寬與橋面長(zhǎng)均為24w，

點(diǎn)E在C￡）上，DE=6m,測(cè)得橋面到橋拱的距離EF為1.5%以橋拱頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，橋面為x軸建立平面

直角坐標(biāo)系.

圖1圖2

（1）求橋拱頂部。離水面的距離；

（2）如圖2,在（1）的條件下，橋面上方有3根高度均為4"?的支柱CG,OH,DI,過相鄰兩根支柱頂端

的鋼纜是形狀相同的拋物線C2,C3,其最低點(diǎn)與橋面C。的距離均為1九求拱橋拋物線Ci與鋼纜拋物線

C2的豎距離的最小值.

17.（2022春?江夏區(qū)校級(jí)月考）某公園要修建一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管OA長(zhǎng)

2.25m.在水管的頂端安裝一個(gè)噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1相處達(dá)到最高，

高度為3m.

（1）建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，求拋物線（第一象限部分）的解析式；

（2）不考慮其它因素，水池的直徑至少要多少米才能使噴出的水流不落到池外？

（3）實(shí)際施工時(shí)，經(jīng)測(cè)量，水池的最大半徑只有2.5相，在不改變噴出的拋物線形水柱形狀的情況下，且噴

出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1相處達(dá)到最高，需對(duì)水管的長(zhǎng)度進(jìn)行調(diào)整，求調(diào)整后水管的最

18.(2022?承德二模)如圖1,在建筑工人臨時(shí)宿舍外，有兩根相距10米的立柱AB,垂直于水平地面

上，在AB,CD間拉起一根晾衣繩，由于繩子本身的重力，使繩子無(wú)法繃直，其形狀可近似看成拋物線y=

17

京2+bx+c,已知繩子最低點(diǎn)距離地面1米.以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線2。為無(wú)軸，直線A8為y軸建立平面

直角坐標(biāo)系.

(1)求立柱A2的長(zhǎng)度；

(2)一段時(shí)間后，繩子被抻長(zhǎng)，下垂更多，為了防止衣服碰到地面，在線段8。之間與AB相距4米的地

方加上一根立柱撐起繩子，這時(shí)立柱左側(cè)的拋物線目的最低點(diǎn)相對(duì)點(diǎn)A下降了1米，距立柱也是

1米，如圖2所示，求的長(zhǎng)；

(3)若加在線段3。之間的立柱的長(zhǎng)度是2.4米，并通過調(diào)整的位置，使拋物線H的開口大小與

拋物線y=右/+1的開口大小相同，頂點(diǎn)距離地面1.92米.求與CD的最近距離.

瞇

D*Dx

19.（2022?路南區(qū)二模）如圖是某同學(xué)正在設(shè)計(jì)的一動(dòng)畫示意圖，x軸上依次有A,O,N三個(gè)點(diǎn)，且AO

=2,在ON上方有五個(gè)臺(tái)階乃?乃（各拐角均為90°）,每個(gè)臺(tái)階的高、寬分別是1和1.5,臺(tái)階乃到尤

軸距離OK=10.從點(diǎn)A處向右上方沿拋物線L：y=-f+4x+12發(fā)出一個(gè)帶光的點(diǎn)P.

（1）寫出拋物線乙與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；

（2）通過計(jì)算說(shuō)明點(diǎn)P會(huì)落在哪個(gè)臺(tái)階上；

（3）當(dāng)點(diǎn)P落到臺(tái)階上后立即彈起，又形成了另一條與L形狀相同的拋物線C,且最大高度為11,求C

的解析式，并說(shuō)明其對(duì)稱軸是否與臺(tái)階必有交點(diǎn).

O

20.（2022?順平縣二模）如圖，某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10米跳臺(tái)跳水訓(xùn)練，水面邊緣點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-邑-

10）.運(yùn)動(dòng)員（將運(yùn)動(dòng)員看成一點(diǎn)）在空中運(yùn)動(dòng)的路線是經(jīng)過原點(diǎn)。的拋物線.在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，運(yùn)

動(dòng)員在空中最高處A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,-）,正常情況下，運(yùn)動(dòng)員在距水面高度5米以前，必須完成規(guī)定的

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翻騰、打開動(dòng)作，并調(diào)整好入水姿勢(shì)，否則就會(huì)失誤.運(yùn)動(dòng)員入水后，運(yùn)動(dòng)路線為另一條拋物線.

（1）求運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)拋物線的解析式并求出入水處B