2024-2025學(xué)年湖南省常德市某中學(xué)高三（上）第一次段考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年湖南省常德市臨澧一中高三(上)第一次段考

皿「，、憶\__IX、/A

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.命題“三久0〉0,靖。一1<尤0"的否定是()

A.Vx>0,ex—1>xB.Vx<0,ex-1>x

C.Vx>0,ex—1>xD.Vx<0,ex-1>x

2.已知全集U=R,集合力=設(shè)eZ|巖W0},B={x\x>2),則4nC(jB=()

A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{x|-1<x<2}D.{x|-1<x<2]

3.若函數(shù)h(x)="久-2a久2一2在[i,2]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

11

A.(-co,1]B.(-co,dc.(-00,1)D.(-00,7)

4.函數(shù)/(%)=":也/1的部分圖象大致為()

5.函數(shù)/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，且/(1+%)若％€[0,1],f(x)=2X,財(cái)^(2023)=()

A.4B.2C.1D.0

6.已知函數(shù)/(%)=q<1，若V%1，e[0,2],W%2，都有△"止垣1)>0成立，貝I]a的

12%ax,l<x<2%2-%1

取值范圍為()

A.(0,2]B.(—8,1]C.(0刀D.(0,+oo)

7.若命題：a3a,bER,使得a-cosb<b-cosa”為假命題，貝Ua,b的大小關(guān)系為()

A.a<bB.a>bC.a<bD.a>b

8.若正實(shí)數(shù)%o是方程e%+1=aln^ax-1)的根，則e%。一ax0=()

A.-1B.1C.2D.-2

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知。>0,力>0且。+5=2,則下列不等式恒成立的是()

A.Cf2+b2的最小值為28—+，的最小值為3+2，2

ab

C.M的最大值為1D.五+/F的最小值為2

10.給出下列命題，其中正確的命題有()

A.函數(shù)/(%)=%-3+1083%的零點(diǎn)所在區(qū)間為(2,3)；

B.若關(guān)于％的方程弓)"-m=0有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,1］；

C.函數(shù)y=log2/與函數(shù)y=21og2%是相同的函數(shù)；

D.若函數(shù)/⑶滿(mǎn)足/⑺+/(l-x)=2,則f4)+扃)+-+磕+磕=9

11.關(guān)于函數(shù)/。)=：+2伍3下列判斷正確的是()

人.刀=2是/(久)的極大值點(diǎn)

B.函數(shù)y=/(%)-%有且只有1個(gè)零點(diǎn)

C.對(duì)k>1不等式/(%)<for在［1,+8)上恒成立

D.對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)%1，%2，且%1>%2，若f(%l)=f(%2)，則％1+久2>1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數(shù)f(x)=［藝。+?;<久<1',若/(/(0))=4a,則實(shí)數(shù)a=.

13.已知命題p：|x-a|<4,命題q：(%-1)(2-x)>0,若p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是.

14.設(shè)定義在。上的函數(shù)y=%(久)在點(diǎn)PQo,%(%)))處的切線方程為八y=9(X)，當(dāng)萬(wàn)力無(wú)。時(shí)，若.?蕓⑺>

?2

。在。內(nèi)恒成立，則稱(chēng)P點(diǎn)為函數(shù)y=%(?的”類(lèi)對(duì)稱(chēng)中心點(diǎn)”,則函數(shù)/(%)=樂(lè)+"久的”類(lèi)對(duì)稱(chēng)中心

點(diǎn)”的坐標(biāo)是.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知AABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,△ABC的面積為

1

-a(csinC+bsinB—asinA).

(1)求力；

(2)若a=2,且ATIBC的周長(zhǎng)為5,設(shè)。為邊BC中點(diǎn)，求2D.

16.(本小題12分)

已知等差數(shù)列｛每｝滿(mǎn)足的+a2=10,a4-a3=2.

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)等比數(shù)列｛垢｝滿(mǎn)足⑦=a3,b3=a7,設(shè)％=5an-bn,數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為無(wú),求無(wú)的最大值.

17.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P—4BCD中，平面PABJ_平面4BCD,PA1AB,AB//CD,且AB=2C。=24。=2BC=

2AP=2.

(1)證明：平面P4C1平面PBC；

⑵求平面24。與平面P8C夾角的正弦值.

18.(本小題12分)

已知M為圓/+V=9上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN垂直x軸，垂足為N,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，AOMN的重心為G.

(1)求點(diǎn)G的軌跡方程；

(2)記(1)中的軌跡為曲線C,直線/與曲線C相交于4、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q(0,l),若點(diǎn)H(質(zhì),0)恰好是AAB。的垂

心，求直線I的方程.

19.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(x)=—ax,aER.

(1)討論函數(shù)9(久)=W(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/O)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x2>

①求a的取值范圍；

②證明:ag+不)？>4.

參考答案

l.c

2.X

3.B

4.0

5.B

6.C

l.B

S.A

9.AC

10.ABD

ll.BCD

12.2

13.[-2,5]

14.?|)

11

15.解：(1)依題意，-a(csinf+bsinB-asinZ)=2absinC,

所以csinC+bsinB-asinX=bsinC,

由正弦定理可得，c2+Z）2—a2=be,

由余弦定理，c2+b2—a2=2bccosA,解得cos/=

因?yàn)閍G（o,兀），所以a=~

(2)依題意，b+c=5—Q=3,

因?yàn)閏?+b2—be=(b+c)2—3bc=a2,解得be=|,

因?yàn)槎?|(X5+ZC),

25

b2+c2+bc_(b+c)2—beo

所以而2=^(AB+Acy3一,_11

444-6

所以2D=等

o

16.解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,則1=-4一的=2,

又+%=10，2al+d=2al+2=10,得的=4,

???a九=4+2(n-1)=2九+2；

(2)設(shè)等比數(shù)列｛0｝的公比為q,

,**/?2=。3=8,Z?3=。7=16,?*?Q—2,

n1n+1

??.bi=4,bn=4-2-=2.

n+1

cn=5an—bn=10(n+1)—2,

則S九=10[2+3+…+(?i+1)]—(22+23+...+2n+1)

=10x(2+：+l)"-2=-2n+2+5n2+15n+4.

2"1后—2

n+1n+1

cn+1-cn=[10+10(n+1)-2n+2]-(10+lOn-2)=10-2,

當(dāng)兀<2時(shí)，cn+1-cn>0,5單調(diào)遞增，當(dāng)n>3時(shí)，cn+1-cn<0,小單調(diào)遞減，

26

且q=20-2=16>0,C4=50-25=50-32=18〉0,c5=60-2=60-64<0,

二當(dāng)n<4時(shí),%>0,當(dāng)>5時(shí),cn<0,

2

.?.當(dāng)n=4時(shí)，S”有最大值且最大值為S4=-24+2+5x4+15x4+4=80.

17.解：(1)證明：由題意可知力B=2CD=240=2BC=2,貝UNABC=60。，

因?yàn)锽C=1,AB=2,所以NACB=90。，AC1BC,

因?yàn)槠矫鍼4B1平面力BCD,平面PABn平面2BCD=AB,且PA1AB,PAu平面P4B,

所以PA1平面4BCD,

因?yàn)锽Cu平面力BCD,所以P218C,

且ACnPA=4AC,P4u平面PAC,

所以BCJ_平面PAC,

又BCu平面PBC,

所以平面PAC1平面PBC.

(2)如圖，以力為原點(diǎn)，AP-荏分別為x軸，y軸正方向，過(guò)4點(diǎn)且垂直于平面4PB的直線為z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，

D

則2(0,0,0),P(l,0,0)，B(0,2,0),。(0力，苧)，C(0,|,苧),

所以存=(1,0,0)，彳萬(wàn)=(。［,苧)，麗=(一1,2,0)，元=(0,一尖子)，

設(shè)平面24。的法向量可=(%y,z),

Cn^?~AP=x=0

則｛一一>y<3z'

后.40=*等=0

令z=.l,得元=(0,71,-1),

設(shè)平面PBC的法向量荻=(m,n,p),

(n^?麗=-m+2九=0

則無(wú).瓦"=-升等=o'

令p=l,得五=(2，^,門(mén),1)，

設(shè)平面PAD與平面PBC的夾角為8,

21

-----

2X44

所以平面PAD與平面PBC夾角的正弦值為，1一cos?。

18.解：(1)設(shè)G(x,y),M(x0,y0),則N(x0,O),

(x-^o

3

因G為AOMN的重心，故有：v,解得％0=3，y0=3y,

代入將+據(jù)=9,化簡(jiǎn)得t+y2=1,

又%°yo。。，故%yWO,

所以G的軌跡方程為《+y2=l(xy^0).

(2)因“為的垂心，故有力B_LHQ,AH1BQ,

故可設(shè)直線/的方程為y=V-3x+m(mH1),

與7+y2=1聯(lián)立消去y得：13/+8yf3mx+4m2—4=0,

4

A=208—16m2>0=/712V13,

設(shè)4(比1，%)，B(x,y)>則4+工2=-8片/*62=

22

由4H1BQ,得1,

=%2(%1—V-3)+(V-3%i+m)(7-3%2+m—1)=0,

2

=>4%I%2+V-3(m-1)(/+x2)+m—m=0,

=>4(4m2—4)—247n(m—1)+13(m2—m)=0,

=5m2+11m-16=0,

解得根=1(舍去)或巾=一蔡(滿(mǎn)足4>0)

故直線/的方程為y=y/~3x-y.

19.解：(1)???%>0,g(X)=21nx+1—ax2,g'(x)=|—2ax=21,

①若aW0,g'(x)>0,g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

②若a>0,g'Q)=0,%=￥，g(x)在(0,y)上單調(diào)遞增，在(