2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：數(shù)列的遞推關(guān)系與通項-專項訓(xùn)練【含答案】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-數(shù)列的遞推關(guān)系與通項-專項訓(xùn)練

一、基本技能練

1.已知數(shù)列｛m｝的首項ai=2,其前n項和為Sn,若Sn+l=2Sn+l,則07=.

2.已知數(shù)列｛m｝的前〃項和為的，ai=l,Sn=n2an(n^),則數(shù)列｛或｝的通項公式

為.

3.已知正項數(shù)列｛a〃｝胸足=2,a”+i=q￡,則.

4.數(shù)列｛外｝的首項ai=2,且a”+i=3麗+2(〃?N*),令氏=log3(a”+l),則bn=

5.在數(shù)列｛?。?，bi=-l,5+1=菰工，〃GN*,則通項公式及=.

6.在數(shù)列｛。〃｝中，ai=l,=1+ln3(九三2),則數(shù)列｛麗｝的通項a”二—.

7.已知數(shù)列｛a"｝滿足:<71=1,42=3,斯+2=麗+1+2詼.某同學(xué)已經(jīng)證明了數(shù)列

｛詼+1—2詞和數(shù)歹!]｛詼+1+如｝都是等比數(shù)歹!],則數(shù)列｛板｝的通項公式是an=

=

8.已知數(shù)列｛a”｝,｛況｝胸足ai=5，斯+瓦=1,bn+i,~~則62023=_________.

L1dn

9.已知數(shù)列｛m｝的前n項和S”滿足2S〃一w“=3〃(〃GN*),且53=15,則5io=

10.已知數(shù)列｛a〃｝滿足的+1=2麗一〃+1(〃?N*),m=3,則數(shù)列｛服｝的通項公式為

11.數(shù)列｛圓｝滿足a〃+i=3a”+2"+i,<71=—1,則數(shù)列｛斯｝的刖〃項和S”=.

12.已知在數(shù)列｛如｝中,ai=l,公=2,an+i=2an+3an-i,則｛如｝的通項公式為

二,創(chuàng)新拓展練

13.(多選)已知數(shù)列｛或｝滿足m=l,壽+1=不普一(〃?N*),則下列結(jié)論正確的是

/十3Q，n

A4+31為等比數(shù)列

[UnJ

8.｛外｝的通項公式為外=/與

C.｛斯｝為遞增數(shù)列

n+2

D.；的前n項和Tn=2-3n-4

[Cln]

14.（多選）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法.商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀,

后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有

6個球，……，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列｛斯｝,則（）

A.Q4=12B.Q〃+I=。及+〃+1

C.6/IOO=5050D.2Q〃+I?。及+2

15.（多選）已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…，其中

第一項是2。，接下來的兩項是2。，21，再接下來的三項是2。，21，22,依次類推，

第九項記為或，數(shù)列｛飆｝的前幾項和為S”則（）

A.<760=16B.Sis=128

C.a七型=2『iD.SI^+k=2k-k-l

22

7。一2

16.已知數(shù)歹U｛外｝滿足ai=3,?！?1=1^方，則該數(shù)列的通項公式4'=1.

參考答案與解析

一'基本技能練

1.答案96

解析因?yàn)??+1=2Sn~\~19

所以S=2S仆1+1（〃三2）,

兩式相減得cin+1=2斯（〃三2）,

又因?yàn)閍i=2,S2=ai+。2=2〃1+1,

得42=3,

所以數(shù)列｛斯｝從第二項開始成等比數(shù)列,

2,n=1,

因此其通項公式為Z=<

32〃一2,九22,

所以47=3X25=96.

2

2.答案(〃+1)(心*)

解析由的="2aH可得，

當(dāng)〃22時，Sn-i=(n~l)2a?-i,

則?！?Sn—Sn-1=dn—(H—1)%八_1,

即("-1)〃“=(〃-1)2斯_1,

Clnn-1

故‘

Cln—1n~\-1'

dnCln-\Cln—2〃3〃2n~\n~2n~32

所以?！?

Cln-1dn-2Cln-3須嚴(yán)=〃+l—1?…4學(xué)1=〃5+1),

2

當(dāng)n=l時，tzi=l滿足an=n(n+1)-

故數(shù)列｛飆｝的通項公式為

2_*

a=一//、,〃￡N.

nn（〃十1）

3.答案22L”（〃GN*）

解析將?！?1=4￡兩邊取以2為底的對數(shù)得Iog2??+1=1log2a?

...數(shù)列｛log2Z｝是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，

(lyi—1

故log2a"=ixgj=21"，

2n

即an=2^(〃?N*).

4.答案n(neN*)

解析由。"+1=3或+2(咒?]\")可知。"+1+1=3(。"+1),

又a1=2,知dn+1W0,

所以數(shù)歹1｛詼+1｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，

因此如+1=十3"一1=3",

故b”=log3(a“+l)=〃.

5.答案3匕(〃?N*)

A

解析由a+1=4人且Z?l=-1.

3仇十2

一12

易知瓦W0,得—=v~+3.

bn+\On

因此六十3=283)，/+3=2，

故/+31是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，于是?3=2.2"r,

可得用=2“，,nGN*.

6.答案(l+ln3>2G—33(〃WN*)

解析由。〃=2斯—i+ln3得

即+ln3=2(。九一1+ln3),

貝1]｛z+ln3｝是以l+ln3為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以a〃+ln3=(l+ln3)?2"一'

因此z=(l+ln3)?2『i—In3(〃￡N*).

n+1nx

7rA-2—(—1)~

7.答案-----3-----------(〃QN*)

角軍析因?yàn)??！?2=。九+1+2Q〃，

所以當(dāng)n=l時，Q3=O2+2QI=5.

令及=。〃+1—2?！?則｛瓦｝為等比數(shù)列.

又bi=Q2-2ai=1,岳=。3—2。2=—1,

所以等比數(shù)列｛況｝的公比q=^=-l,

所以況=(—ILI

即。〃+1——2。〃=(——1)〃—1.①

令Cn=an+l+an9則｛品｝為等比數(shù)列，

CI=“2+QI=4,02=03+02=8,

所以等比數(shù)列｛c〃｝的公比qi=，=2,

所以c〃=4X2"-1=2"+1

即。7+1+的2=2"+1.②

2"+i—(―1)廠1

聯(lián)立①②，解得詼=

3

2023

.答案

82024

解析因?yàn)槿?瓦=1,況+尸廣

所以]—斯+1=(1——)(1+一)

1_____帆

Cln+l~

11+斯1+4〃'

Cln+1

所以數(shù)歹是等差數(shù)列，其公差為1,首項為;=2,

[ClnjCl\

所以工=2+(〃-1)*l=n+l,

]

所以

n~\~1'

所以bn=幾十],

2

所以歷。23=然0:23.

9.答案120

解析當(dāng)n=1時，251—QI=3,

解得〃i=3.

又2Sn—nan=3n,①

當(dāng)時，

2Sn-i—(n—l)an-i=3(n—1),②

所以①一②得

(n——(n—2)為=3,③

當(dāng)nN3時，(n—2)a〃—2—(n—3)"一1=3,④

所以④一③得

(n——(n-2)t/n=(n-2)。〃—2—(n-3)。-i,

可得2a“-1=a”+a〃-2,

所以數(shù)列｛劣｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d

因?yàn)閍i=3,S3=3ai+3d=9+3d=15,

解得d=2,

,10X9

故LL5io=lOX3+^—X2=120.

10.答案a“=2"+〃(〃GN*)

解析??！?1=2?！ā猲~\~1,

/?an+i—(n+l)=2(a〃一n),

.斯+i-(-+1)_

??2,

an-n

數(shù)歹Hz—〃｝是以ai—1=2為首項，2為公比的等比數(shù)歹L

*??cin—"=2,2n1=2",

???z=2〃+〃(〃￡N*).

11.答案號―2"+2+|(〃?N*)

角星析:a〃+i=3a〃+2"+i,

.dn+l3an..

—2n+1=方+1

,,?得+2=1住+2),

數(shù)歹僧+21是以段+2=|為首項，|為公比的等比數(shù)歹,

n

?遂+2=|x13|.

2

nn+l

：.an=3-2,

3一3〃+iA一2〃+23〃+i5

.,.5=(31+32+-+3n)-(22+23+-+2n+1)=--z——z-=-z—2n+2+^

n1JJ.z/乙

(〃GN*).

3n—(—1)n

12.答案以=二——(〃GN*)

解析?+i=2?！?3Q〃-i,

??Cln+l+。九=3(。幾+。及-1)9

???｛斯+1+詼｝是以及+。1=3為首項,3為公比的等比數(shù)列,

?'??！?1+?！?3X3〃i=3".①

又an+i—3an——(an—3?！币?),

:.｛斯+i—3an｝是以(22—3al=-1為首項，―1為公比的等比數(shù)列，

"+i—3?！?(—1)X(一1尸=(—1)〃，②

由①一②得4z=3〃一(一1)〃，

3」(-1)?

???an=-----4-------伽金N)

二、創(chuàng)新拓展練

13.答案ABD

l、/12+3?！?,

角牛析因?yàn)?"=7+3,

a九+1an

所以」一+3=2七+3),

Cln+1\ClnJ

又工+3=4W0,

a\

所以1:+3；是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，

yClnJ

所以￡+3=4X2"1,則<2"=2：+1_3,

所以｛板｝為遞減數(shù)列，

23

工的前n項和4=(22—3)+(23—3)H-----|_(2?+1—3)=2+24-----卜2〃揖-3〃=

[Un)

4(1—2")

--一丁一一3〃=2"+2—3〃-4,故ABD正確.

14.答案BC

解析由題意知，(21=1,<22=3,<23=6,…，an=an-i+n,

口n(n+1)

故an=2，

.4X(4+1)LL皿、口

??Q4=2=10,故A4日塊；

斯+1=〃〃+〃+1,故B正確；

QIOO=2=5050,故C正確；

2飆+1=(幾+l)(n+2),

n(n+1)(n+2)(n+3)

Cln.+2=9

顯然2斯+i故D錯誤.

15.答案AC

解析由題意可將數(shù)列分組:

第一組為2。，

第二組為2°,21,

第三組為2°,21,22,

k（1

則前左組一共有1+2+…+左=.，個數(shù).

第左組第左個數(shù)為2-1,

故在2+后=2廣1,所以C正確.

2

因?yàn)槌觯?+】）=55,所以「史

-11X(11+1)

又一2-=66,

則。60為第11組第5個數(shù)，第11組為2°,21,22,23,24,25,26,27,28,29,

210,

故060=24=16,所以A正確.