2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步階段綜合提升第1課立體幾何初步教師用書教案北師大版必修2

PAGE1-第1課立體幾何初步[鞏固層·學(xué)問整合][提升層·題型探究]由三視圖求幾何體的表面積與體積【例1】某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2C[依據(jù)三視圖，可知幾何體的直觀圖為如圖所示的四棱錐V-ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是邊長為1的正方形，VB＝1.所以四棱錐中最長棱為VD.連接BD，易知BD＝eq\r(2)，在Rt△VBD中，VD＝eq\r(VB2＋BD2)＝eq\r(3).]1．以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量．2．多面體的表面積是各個面的面積之和，組合體的表面積問題要留意連接部分的處理．3．旋轉(zhuǎn)體的表面積問題留意其側(cè)面綻開圖的應(yīng)用．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中左視圖與俯視圖均為半徑是2的圓，則這個幾何體的體積是________．8π[由三視圖知該幾何體是半徑為2的球被截去四分之一后剩下的幾何體，則該幾何體的體積V＝eq\f(4,3)×π×23×eq\f(3,4)＝8π.]c【例2】如圖所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．[解](1)如圖所示，取D1為線段A1C1的中點，此時eq\f(A1D1,D1C1)＝1.連接A1B，交AB1于點O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)知，四邊形A1ABB1為平行四邊形，所以點O為A1B的中點．在△A1BC1中，點O，D1分別為A1B，A1C1的中點，所以O(shè)D1∥BC1.又因為OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，所以當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)＝1時，BC1∥平面AB1D1.(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，得BC1∥D1O，所以eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，又由題可知eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，eq\f(A1O,OB)＝1，所以eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.1．證明線線平行的依據(jù)(1)平面幾何法(常用的有三角形中位線、平行四邊形對邊平行)；(2)公理4；(3)線面平行的性質(zhì)定理；(4)面面平行的性質(zhì)定理；(5)線面垂直的性質(zhì)定理．2．證明線面平行的依據(jù)(1)定義；(2)線面平行的判定定理；(3)面面平行的性質(zhì)定理．3．證明面面平行的依據(jù)(1)定義；(2)面面平行的判定定理；(3)線面垂直的性質(zhì)定理；(4)面面平行的傳遞性．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])2.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB＝2EF，EF∥AB，H為BC的中點，求證：FH∥平面EDB.[證明]連接AC交BD于點G，則G為AC的中點．連接EG，GH，∵H為BC的中點，∴GH綊eq\f(1,2)AB.又EF綊eq\f(1,2)AB，∴EF綊GH，∴四邊形EFHG為平行四邊形，∴EG∥FH，∵EG平面EDB，F(xiàn)H平面EDB，∴FH∥平面EDB.垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)【例3】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點．求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.[證明](1)因為平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四邊形ABED為平行四邊形，所以BE∥AD.又因為BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因為AB⊥AD，而且ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因為E和F分別是CD和PC的中點，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.1．兩條異面直線相互垂直的證明方法(1)定義；(2)線面垂直的性質(zhì)定理．2．直線和平面垂直的證明方法(1)線面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性質(zhì)定理．3．平面和平面相互垂直的證明方法(1)定義；(2)面面垂直的判定定理．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中(側(cè)棱與底面垂直的棱柱)，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝eq\r(2)，D是A1B1的中點．(1)求證：C1D⊥平面AA1B1B；(2)若點F為BB1上的動點，則當(dāng)點F在BB1上的什么位置時，會使得AB1⊥平面C1DF？并證明你的結(jié)論．[解](1)證明：由題意知，A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.∵D是A1B1的中點，∴C1D⊥A1∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1∴AA1⊥C1D.∵AA1∩A1B1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)點F為BB1的中點時，AB1⊥平面C1DF.證明如下．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.易知A1B1＝eq\r(2)，∵AA1＝eq\r(2)，∴四邊形AA1B1B為正方形．又D為A1B1的中點，F(xiàn)為BB1的中點，∴AB1⊥DF，又DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.截面問題【例4】如圖，已知正三棱錐S-ABC，過B和側(cè)棱SA，SC的中點E，F(xiàn)作一截面，若這個截面與側(cè)面SAC垂直，求此三棱錐的側(cè)面積與底面積之比．[思路探究]構(gòu)建截面，利用幾何學(xué)問奇妙推斷各棱之間的關(guān)系．[解]取AC的中點M，連接SM，設(shè)SM∩EF＝D.如圖．在△SAC中，E，F(xiàn)分別為SA，SC的中點，所以EF∥AC，所以eq\f(SF,FC)＝eq\f(SD,DM)，而SF＝FC，所以SD＝DM，所以D為SM的中點．連接BD，BM.因為S-ABC為正三棱錐，所以SM⊥AC.而AC∥EF，所以SM⊥EF，又截面BEF⊥平面SAC，所以SM⊥BD.又SD＝DM，所以△SBM為等腰三角形，SB＝BM.設(shè)正三棱錐S-ABC的底面邊長為a，則BM＝eq\f(\r(3),2)a，從而SA＝SB＝SC＝BM＝eq\f(\r(3),2)a，又SM＝eq\r(SC2－CM2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\f(\r(2),2)a，所以S側(cè)＝3×eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(3\r(2),4)a2，S底＝eq\f(\r(3),4)a2，所以S側(cè)∶S底＝eq\r(6)∶1.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，有關(guān)截面的問題主要有面積、距離和角的計算問題以及與截面的位置、形態(tài)、數(shù)量有關(guān)的證明和判定問題.在解有關(guān)截面問題時要留意：1截面的位置；2截面的形態(tài)及有關(guān)性質(zhì)；3截面的元素及其相互關(guān)系；4截面的有關(guān)數(shù)量.eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])4．一個圓錐底面半徑為R，高為eq\r(3)R，求此圓錐的內(nèi)接正四棱柱表面積的最大值．[解]如圖，△SAB為圓錐SO的一個軸截面，且該軸截面經(jīng)過正四棱柱的對角面，DF為棱柱的底面對角線，要求棱柱的表面積，只要求出底面正方形邊長及棱柱的高即可．設(shè)正四棱柱高為h，底面正方形邊長為a，則DE＝eq\f(\r(2),2)a.∵△SDE∽△SAO，∴eq\f(DE,AO)＝eq\f(SE,SO).∵AO＝R，SO＝eq\r(3)R，∴eq\f(\f(\r(2),2)a,R)＝eq\f(\r(3)R－h(huán),\r(3)R)，∴h＝eq\r(3)R－eq\f(\r(6),2)a.∴S表＝2a2＋4ah＝2a2＋4aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)R－\f(\r(6),2)a)).整理得S表＝(2－2eq\r(6))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(3)R,\r(6)－1)))2＋eq\f(6R2,\r(6)－1)，0＜a＜eq\r(2)R.∵2－2eq\r(6)＜0，eq\f(\r(3)R,\r(6)－1)＜eq\r(2)R，∴當(dāng)a＝eq\f(\r(3)R,\r(6)－1)時，S表有最大值eq\f(6R2,\r(6)－1)＝eq\f(6\r(6)＋1R2,5).即圓錐的內(nèi)接正四棱柱表面積最大值是eq\f(6\r(6)＋1,5)R2.折疊問題【例5】在矩形ABCD中，已知AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中點，沿BE將△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求證：平面A′BE⊥平面BCDE.[思路探究]運用線線垂直證明線面垂直，運用線面垂直證明面面垂直．[證明]如圖所示，取CD的中點M，BE的中點N，連接A′M，A′N，MN，則MN∥BC.∵AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中點，∴A′B＝A′E，∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.在矩形ABCD中，DC⊥MN，又MN∩A′M＝M，∴DC⊥平面A′MN，∴CD⊥A′N.∵ED∥BC，且ED≠BC，∴BE必與CD相交，∴A′N⊥平面BCDE.又A′N平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.把一個平面圖形按某種要求折起，轉(zhuǎn)化為空間圖形，進(jìn)而探討圖形在位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系上的改變，這就是折疊問題.求解折疊問題的兩個關(guān)鍵點：1畫好兩個圖——折疊前的平面圖和折疊后的立體圖；2分析好兩者之間的關(guān)系——折疊前后哪些量發(fā)生了改變，哪些量沒有發(fā)生改變.eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])5．如圖(1)所示，梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，將平面CDFE沿EF翻折起來，使