山東省臨沂市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次階段測試試題含解析

PAGEPAGE19山東省臨沂市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次階段測試試題（含解析）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.下列函數(shù)中，值域為的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對給出的四個選項分別進(jìn)行分析、推斷后可得正確的結(jié)果．【詳解】選項A中，由于，所以函數(shù)值域為，所以A正確．選項B中，由于，所以函數(shù)的值域為，所以B不正確．選項C中，由于，故函數(shù)的值域為，所以C不正確．選項D中，由于，所以函數(shù)的值域為，所以D不正確．故選A．【點睛】本題考查函數(shù)值域的求法，一般依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解，解題時簡單忽視函數(shù)定義域的限制，屬于基礎(chǔ)題．2.已知集合，，全集，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解出集合、，再利用補(bǔ)集和交集的定義可得出.【詳解】因為，即或，所以，則，應(yīng)選答案D.【點睛】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，同時也涉及了二次不等式與對數(shù)不等式的解法，考查運(yùn)算求解實力，屬于中等題.3.《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對我國民間普及珠算和數(shù)學(xué)學(xué)問起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學(xué)的名著．在這部著作中，很多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，如“九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．在這個問題中，這位公公的長兒的年齡為（）A.歲 B.歲 C.歲 D.歲【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，得到數(shù)列是等差數(shù)列，由，求得數(shù)列的首項，即可得到答案．【詳解】設(shè)這位公公的第個兒子的年齡為，由題可知是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，又由，即，解得，即這位公公長兒的年齡為歲．故選C．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用，其中解答中仔細(xì)審題，嫻熟應(yīng)用等差數(shù)列的前n項和公式，精確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實力，屬于基礎(chǔ)題．4.已知是定義域為的奇函數(shù)，滿意．若，則（）A.50 B.2 C.0 D.-2025【答案】B【解析】【分析】由題意可得，為周期為4的函數(shù)，分別求得一個周期內(nèi)的函數(shù)值，計算可得所求和．【詳解】解：是定義域為的奇函數(shù)，可得，即有，即，進(jìn)而得到，為周期為4的函數(shù)，若，可得，，，則，可得.故選B．【點睛】本題考查抽象函數(shù)的函數(shù)值的求和，留意運(yùn)用函數(shù)的周期性，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算實力，屬于中檔題．5.已知冪函數(shù)的圖象過點，令（），記數(shù)列的前項和為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的圖象過點，可得解得，，則，則.故選D.6.某校選定甲、乙、丙、丁、戊共5名老師去3個邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地至少1人），其中甲和乙肯定不同地，甲和丙必需同地，則不同的選派方案共有（）種A.27 B.36 C.33 D.【答案】D【解析】因為甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2、2、1和3、1、1兩種安排方案，2、2、1方案：甲、丙為一組，從余下3人選出2人組成一組，然后排列，共有：種；3、1、1方案：在丁、戊中選出1人，與甲丙組成一組，然后排列，共有：種；所以，選派方案共有18+12=30種．本題選擇D選項.7.若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得在上恒成立，所以即，選C.點睛：推斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法：(1)定義法和導(dǎo)數(shù)法，留意證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義法和導(dǎo)數(shù)法；(2)圖象法，由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需留意兩點：一是單調(diào)區(qū)間必需是函數(shù)定義域的子集：二是圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接；(3)利用函數(shù)單調(diào)性的基本性質(zhì)，尤其是復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，此時需先確定函數(shù)的單調(diào)性.8.甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事務(wù)；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事務(wù).則下列結(jié)論中正確的是()①；②；③事務(wù)B與事務(wù)相互獨立；④，，是兩兩互斥的事務(wù).A.②④ B.①③ C.②③ D.①④【答案】A【解析】【分析】依據(jù)條件概率的計算，結(jié)合題意，即可簡單推斷.【詳解】由題意，，是兩兩互斥的事務(wù)，，，；，由此知，②正確；，；而.由此知①③不正確；，，是兩兩互斥的事務(wù)，由此知④正確；比照四個命題知②④正確；故選：A.【點睛】本題考查互斥事務(wù)的推斷，以及條件概率的求解，屬基礎(chǔ)題.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.第18屆國際籃聯(lián)籃球世界杯（世界男子籃球錦標(biāo)賽更名為籃球世界杯后的其次屆世界杯）于2019年8月31日至9月15A.第一場得分的中位數(shù)為 B.其次場得分的平均數(shù)為C.第一場得分的極差大于其次場得分的極差 D.第一場與其次場得分的眾數(shù)相等【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)莖葉圖分別計算中位數(shù)、平均數(shù)、極差和眾數(shù)，依次推斷各個選項即可得到結(jié)果.【詳解】對于，將第一場得分從小到大排序可知中位數(shù)為，正確；對于，其次場得分的總分為，則平均數(shù)為，正確；對于，第一場得分的極差為，其次場得分的極差為，錯誤；對于，第一場和其次場得分的眾數(shù)均為，正確.故選：.【點睛】本題考查莖葉圖的相關(guān)學(xué)問，涉及到利用莖葉圖計算中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)和極差的問題，屬于基礎(chǔ)題.10.下列命題中，是真命題的是（）A.已知非零向量，若則B.若則C.在中，“”是“”的充要條件D.若定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，則也是奇函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】對A，對等式兩邊平方；對B，全稱命題的否定是特稱命題；對C，兩邊平方可推得或；對D，由奇函數(shù)的定義可得也為奇函數(shù).【詳解】對A，，所以，故A正確；對B，全稱命題的否定是特稱命題，量詞隨意改成存在，結(jié)論進(jìn)行否定，故B正確；對C，，所以或，明顯不是充要條件，故C錯誤；對D，設(shè)函數(shù)，其定義域為關(guān)于原點對稱，且，所以為奇函數(shù)，故D正確；故選：ABD.【點睛】本題考查命題真假的推斷，考查向量的數(shù)量積與模的關(guān)系、全稱命題的否定、解三角形與三角恒等變換、奇函數(shù)的定義等學(xué)問，考查邏輯推理實力，留意對C選項中得到的是的兩種狀況.11.下列說法正確的是（）A.某班位同學(xué)從文學(xué)、經(jīng)濟(jì)和科技三類不同的圖書中任選一類，不同的結(jié)果共有種；B.甲乙兩人獨立地解題，已知各人能解出的概率分別是，則題被解出的概率是；C.某校名老師的職稱分布狀況如下：高級占比，中級占比，初級占比，現(xiàn)從中抽取名老師做樣本，若采納分層抽樣方法，則高級老師應(yīng)抽取人；D.兩位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是.【答案】CD【解析】【分析】依據(jù)選項涉及的概率、統(tǒng)計等相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行逐一推斷分析得解.【詳解】對于A，第一個同學(xué)可以參與三個課外愛好小組隨意一個，有3種報名方法，同理其他的三名學(xué)生也都有3種報名方法，則不同的報名方法有3×3×3×3＝81種，故A錯；對于B，∵他們各自解出的概率分別是，則此題不能解出的概率為（1）?（1），則此題能解出的概率為1，故B錯；對于C，高級老師應(yīng)抽取50×20%＝10人，故C正確對于D，兩位女生和兩位男生站成一排照相，基本領(lǐng)件總數(shù)n24，兩位女士不相鄰包含的基本領(lǐng)件個數(shù)m12，∴兩位女生不相鄰的概率P，故D正確．故選：CD．【點睛】本題考查命題真假性的推斷，涉及概率統(tǒng)計的計算，分層抽樣的性質(zhì)等學(xué)問點，屬于基礎(chǔ)題．12.已知函數(shù)，下列是關(guān)于函數(shù)的零點個數(shù)的推斷，其中正確的是（）A.當(dāng)時，有3個零點 B.當(dāng)時，有2個零點C.當(dāng)時，有4個零點 D.當(dāng)時，有1個零點【答案】CD【解析】【分析】本題首先要明確函數(shù)解析式，然后依據(jù)選項分為、兩種狀況進(jìn)行探討，再然后在每一種狀況下又分為、兩種狀況進(jìn)行探討，最終通過解方程即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，，當(dāng)時：若，則，①時，有，解得；②時，有，解得，若，則，①時，有，解得，②時，有，解得，故當(dāng)時，有4個零點，C正確，當(dāng)時：若，則，有，解得，因為，所以不滿意，舍去；若，則，①時，有，無解；②時，有，解得，故當(dāng)時，有1個零點，D正確，故選：CD.【點睛】本題考查函數(shù)零點的求解，考查學(xué)生對分段函數(shù)的理解，能否明確每一個區(qū)間所對應(yīng)的函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，考查分類探討思想，考查計算實力，是難題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13、14題答對一空得3分.13.已知復(fù)數(shù)滿意，則=________，=_________.【答案】(1).(2).1【解析】【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出，利用復(fù)數(shù)模公式求出.【詳解】因為，所以.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、求模公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實力.14.若，則___，________．【答案】(1).35(2).0【解析】【分析】（1）分類求解，當(dāng)中選1時，中選一個x，當(dāng)中選時，中選兩個x.(2)采納賦值法求解，令得，令得，兩式相加即可.【詳解】（1）依據(jù)題意即求x的系數(shù)：.所以(2)令得，令得，兩式相加得：.故答案為：(1).35(2).0【點睛】本題主要考查二項式定理的通項公式及系數(shù)，還考查了分類探討思想和運(yùn)算求解的實力，屬于中檔題.15.已知＝＋，則f（x）的解析式為________．【答案】f（x）＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)【解析】【分析】令t＝＝＋1，換元后代入原解析式，即可求出f（x）的解析式.【詳解】令t＝＝＋1，則t≠1.把x＝代入f＝＋，得：f（t）＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.所以所求函數(shù)的解析式為f（x）＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．故答案為：f（x）＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)【點睛】本題主要考查了換元法求函數(shù)解析式，屬于中檔題.16.在中，，，.若，，且，則的值為______________.【答案】【解析】,則.【考點】向量的數(shù)量積【名師點睛】依據(jù)平面對量的基本定理，利用表示平面對量的一組基地可以表示平面內(nèi)的任一向量，利用向量的定比分點公式表示向量，計算數(shù)量積，選取基地很重要，本題的已知模和夾角，選作基地易于計算數(shù)量積.四、解答題：本題共6小題，共70分.17.計算：（1）（2）【答案】(1)8,(2)10【解析】【分析】（1）分別化簡、計算每一個指數(shù)式的值，再進(jìn)行加減運(yùn)算；（2）分別化簡、計算每一個對數(shù)或指數(shù)式，再合并運(yùn)算詳解】解：（1）（2）【點睛】進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)，同時兼顧運(yùn)算的依次．18.設(shè)是數(shù)列（）的前項和，已知，，設(shè)．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）利用得到，即可求得，從而得，即可證得；（2）由（1）得，利用錯位相減求得的前n項和，進(jìn)而利用分組求和即可得解.試題解析：（1）∵，∴，即，則，∴，又，∴是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，故數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）得，設(shè)，①則，②①②得：，所以，∴．點睛：用錯位相減法求和應(yīng)留意的問題(1)要擅長識別題目類型，特殊是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特殊留意將兩式“錯項對齊”以便下一步精確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種狀況求解.19.某城市旅游資源豐富，經(jīng)調(diào)查，在過去的一個月內(nèi)（以30天計），第t天的旅游人數(shù)（萬人）近似地滿意，而人均消費(fèi)（元）近似地滿意.（1）求該城市的旅游日收益（萬元）與時間（，）的函數(shù)關(guān)系式；（2）求該城市旅游日收益的最小值．【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）最小值為441萬元【解析】【分析】（Ⅰ）利用已知條件干脆寫出，該城市的旅游日收益W（t）（萬元）與時間t（1≤t≤30，t∈N+）的函數(shù)關(guān)系式；

（Ⅱ）利用基本不等式，即可求該城市旅游日收益的最小值．【詳解】（Ⅰ）（Ⅱ）①當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）所以，當(dāng)時，取得最小值441．②當(dāng)時，因為遞減，所以時，有最小值，綜上，時，旅游日收益的最小值為441萬元．【點睛】本題考查函數(shù)的實際應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的實力，計算實力．20.甲、乙兩人組成“星隊”參與猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，假如兩人都猜對，則“星隊”得3分；假如只有一個人猜對，則“星隊”得1分；假如兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響．各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊”參與兩輪活動，求：（Ⅰ）“星隊”至少猜對3個成語的概率；（Ⅱ）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列見解析，【解析】試題分析：（Ⅰ）找出“星隊”至少猜對3個成語所包含的基本領(lǐng)件，由獨立事務(wù)的概率公式和互斥事務(wù)的概率加法公式求解；（Ⅱ）由題意，隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事務(wù)的獨立性與互斥性，得到的分布列，依據(jù)期望公式求解.試題解析：（Ⅰ）記事務(wù)A:“甲第一輪猜對”，記事務(wù)B：“乙第一輪猜對”，記事務(wù)C：“甲其次輪猜對”，記事務(wù)D：“乙其次輪猜對”，記事務(wù)E：“‘星隊’至少猜對3個成語”.由題意，由事務(wù)的獨立性與互斥性，,所以“星隊”至少猜對3個成語概率為.（Ⅱ）由題意，隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事務(wù)的獨立性與互斥性，得,,,,,.可得隨機(jī)變量的分布列為

0

1

2

3

4

6

P

所以數(shù)學(xué)期望.【考點】獨立事務(wù)的概率公式和互斥事務(wù)的概率加法公式，分布列和數(shù)學(xué)期望【名師點睛】本題主要考查獨立事務(wù)的概率公式和互斥事務(wù)的概率加法公式、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要精確確定所探討對象的基本領(lǐng)件空間、基本領(lǐng)件個數(shù)，利用獨立事務(wù)的概率公式和互斥事務(wù)的概率加法公式求解.本題較難，能很好的考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、基本運(yùn)算求解實力等.21.已知函數(shù)．(1)若，求a的值．(2)推斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論．(3)求不等式的解集．【答案】(1)；(2)奇函數(shù)；(3).【解析】【分析】由題意可得，據(jù)此化簡求解a的值即可；函數(shù)的定義域為R，考查與的關(guān)系即可確定函數(shù)的奇偶性；由不等式得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解不等式的解集即可.【詳解】若，則，得，即，則，．函數(shù)的定義域為R，，即函數(shù)是奇函數(shù)．由不等式得，，在R上是增函數(shù)，不等式等價為，即，即，得．即不等式的解集為．【點睛】對于求值或范圍的問題，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號“f”，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題.22.2024年，新冠狀肺炎疫情牽動每一個中國人的心，危難時刻眾志成城，共克時艱，為疫區(qū)助力．福建省漳州市東山縣共101個海鮮商家及個人為緩解武漢物質(zhì)壓力，捐獻(xiàn)價值百萬的海鮮輸送武漢．東山島，別稱陵島，形似蝴蝶亦稱蝶島，隸屬于福建省漳州市東山縣，是福建省其次大島，中國第七大島，介于廈門市和廣東省汕頭之間，東南是聞