人教版七年級上冊期末考點梳理和例題詳解解析版

人教版七年級上冊期末考點分析

考點1.與有理數(shù)有關(guān)的概念

99

【例1】在一萬，萬，0.0333這四個數(shù)中有理數(shù)的個數(shù)（）

A.1個3.2個C.3個D.4個

,正整數(shù)

正有理數(shù)《

正分?jǐn)?shù)

【解法指導(dǎo)】有理數(shù)的分類：⑴按正負(fù)性分類，有理數(shù)《o;按整數(shù)、分?jǐn)?shù)

’負(fù)整數(shù)

負(fù)有理數(shù)《

負(fù)份數(shù)

'正整數(shù)

整數(shù)0

分類,有理數(shù)《.負(fù)整數(shù)；其中分?jǐn)?shù)包括有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù),因為兀=3.1415926…

'正分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)<

負(fù)分?jǐn)?shù)

99

是無限不循環(huán)小數(shù)，它不能寫成分?jǐn)?shù)的形式，所以左不是有理數(shù)，一了是分?jǐn)?shù)0.0333是

無限循環(huán)小數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)形式,0是整數(shù)，所以都是有理數(shù)，故選C.

【例2】有一列數(shù)為一1,-1?-?］，…，找規(guī)律到第2。19個數(shù)是.

【解法指導(dǎo)】從一系列的數(shù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，首先找出不變量和變量，再依變量去發(fā)現(xiàn)規(guī)

律.擊歸納去猜想，然后進行驗證.解本題會有這樣的規(guī)律：⑴各數(shù)的分子部是1；⑵各數(shù)

的分母依次為1,2,3,4,5,6,…⑶處于奇數(shù)位置的數(shù)是負(fù)數(shù)，處于偶數(shù)位置的數(shù)是正

數(shù)，所以第2019個數(shù)的分子也是1.分母是2019,并且是一個負(fù)數(shù)，故答案為-——

2019

【例3】若1+號的相反數(shù)是一3,則根的相反數(shù)是—.

【解法指導(dǎo)】理解相反數(shù)的代數(shù)意義和幾何意義，代數(shù)意義只有符號不同的兩個數(shù)叫互

為相反數(shù).幾何意義：在數(shù)軸上原點的兩旁且離原點的距離相等的兩個點所表示的數(shù)叫互為

相反數(shù)，本題胃=-4,加=—8

【例4】4、b為有理數(shù)，且/?<0,\b\>a,則一〃,一b的大小順序是（）

A.b<—a〈a<—bB.-a〈b〈a〈一bC.-b<a〈一a〈bD.-a<

a〈一b〈b

【解法指導(dǎo)】理解絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示4的點到原點的

a(a>0)

距離，即|〃|,用式子表示為0=<0(。=0).本題注意數(shù)形結(jié)合思想，畫一條數(shù)軸

-a(a<0)

【例5】已知|〃一4|+|/?—8|=0,則一匚的值.

【解法指導(dǎo)】本題主要考查絕對值概念的運用，因為任何有理數(shù)。的絕對值都是非負(fù)數(shù)，

即㈤20.所以la—4|20,以一81N0.而兩個非負(fù)數(shù)之和為0,則兩數(shù)均為0.

解：因為|〃一4|20,|b-81^0,又|〃一41+|。一8|=0,|a—4|=0,|b~8\=0

口門123

即4=0,b-8=0,a=4,b=8.故一-=-

ab328

【例6】已知(加+九)？+|相|=根，且12根一〃一2|=0.求相〃的值.

【解法指導(dǎo)】本例關(guān)鍵是通過分析(祖+九產(chǎn)+|那的符號，挖掘出m的符號特征,從而把

問題轉(zhuǎn)化為⑶+42=0,12加一〃一2|=0,找到解題途徑.

解：V(m+n)2^0,\m\

(m+n)2+\m\^0,而(m+〃)2+|相|=相

/.m^O,/.(m+n)2+m=m,BP(m+n)2=0

.\m+n=O①

又??,|2M—〃一2|=0

.".2m—n—2=0②

9

由①②得m=~,mn=—

考點2.有理數(shù)的加減法

【例1】.如圖，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為一的長方形，接

2

著把面積為-的長方形等分成兩個面積為-的正方形，再把面積為-的正方形等分成

244

兩個面積為工的長方形，如此進行下去，試?yán)脠D形揭示的規(guī)律計算

8

11111111

----1------1-----1-------1-------1--------1---------1--------=

248163264128256,

【例2】試看下面一列數(shù)：25、23、21、19-

⑴觀察這列數(shù)，猜想第10個數(shù)是多少？第w個數(shù)是多少？

⑵這列數(shù)中有多少個數(shù)是正數(shù)？從第幾個數(shù)開始是負(fù)數(shù)？

⑶求這列數(shù)中所有正數(shù)的和.

【解法指導(dǎo)】尋找一系列數(shù)的規(guī)律，應(yīng)該從特殊到一般，找到前面幾個數(shù)的規(guī)律，通過

觀察推理、猜想出第〃個數(shù)的規(guī)律，再用其它的數(shù)來驗證.

解：⑴第10個數(shù)為7,第〃個數(shù)為25—2("-1)

⑵：w=13時，25—2(13—1)=1,w=14時，25-2(14-1)=-1

故這列數(shù)有13個數(shù)為正數(shù)，從第14個數(shù)開始就是負(fù)數(shù).

⑶這列數(shù)中的正數(shù)為25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,L其和=(25+1)+(23

+3)H----F(15+11)+13=26X6+13=169

【例】求工+(工21231234I2

3+—)+(—+—+—)+(—+—+—+—)+…+(—

23344455555050

+3)

【解法指導(dǎo)】觀察式中數(shù)的特點發(fā)現(xiàn)：若括號內(nèi)在加上相同的數(shù)均可合并成1,由此我

們采取將原式倒序后與原式相加，這樣極大簡化計算了.

II?123I

解:設(shè)S——+(—+—)+(—+—+—)++(—+2+…+竺+竺)

23344450505050

I?132149

則有S=—+(—+—)+(-+-+-)+…+(―

23344450505050

將原式和倒序再相加得

CC1,1,3,2,2,1,1,2,3,3,21,,

2S=—+—+(—+—+—+—)+(—+—+—+—+—+—)+…+(―+

22333344444450

2?48?49?49?48?21

—十t…十—十—十—十—十…十t—十t—)

50505050505050

即2s=l+2+3+4H----卜49=49x(49+1)=.25

2

1225

；.S=

考點3.有理數(shù)的乘除、乘方

ahoh

【例1】(茂名)若實數(shù)6滿足片+4=0,則答

\a\\b\\ab\

【解法指導(dǎo)】依絕對值意義進行分類討論，得出小b的取值范圍，進一步代入結(jié)論得

出結(jié)果.

ab[2(^>0,/?>0)

解：當(dāng)ab>0,--1—=<

|a||Z?|[―2(tz<0,Z?<0)

”.ab、ab

當(dāng)abVO,ir=0,cibVO,從而i—r——1.

\a\\b\\ab\

【例2】已知/=(—2)2，V=—1

r3

⑴求孫2。19的值；⑵求上的值.

【解法指導(dǎo)】優(yōu)表示〃個a相乘，根據(jù)乘方的符號法則，如果。為正數(shù)，正數(shù)的任何

次幕都是正數(shù)，如果a是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次塞是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù).

解：2)2,9=—1

⑴當(dāng)x=2,y=-4時，肛2。19=2x(—1『1°9=_2

當(dāng)X=_2,y=_1時，肛2019=_2X(—1)2109=2

V323

⑵當(dāng)x=2,y=-l時，=019=-8

X3(-2)3

當(dāng)為=—2,丁=一1時,=8

y(I)2019

考點4整式

【例1】判斷下列各代數(shù)式是否是單項式，如果不是請簡要說明理由，如果是請指出

它的系數(shù)與次數(shù).

1,3,

(l)x+l(2)—(3)行~(4)-一?！?/p>

x2

【解法指導(dǎo)】理解單項式的概念：由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式，單獨一個數(shù)或一個

字母也是單項式，數(shù)字的次數(shù)為0,X是常數(shù)，單項式中所有字母指數(shù)和叫單項式次數(shù).

解：⑴不是，因為代數(shù)式中出現(xiàn)了加法運算；

⑵不是，因為代數(shù)式是與尤的商；

⑶是，它的系數(shù)為次數(shù)為2；

⑷是，它的系數(shù)為-巳，次數(shù)為3.

2

【例2】如果與都是關(guān)于X、y的六次單項式，且系數(shù)相等，求

m、n的值.

【解法指導(dǎo)】單項式的次數(shù)要弄清針對什么字母而言，是針對x或y或x、y等是有

區(qū)別的，該題是針對％與y而言的，因此單項式的次數(shù)指x、y的指數(shù)之和，與字母根無關(guān)，

此時將m看成一個要求的已知數(shù).

解：由題意得n+4?=6.2?|m-川=62=

:;m=-:2rn=2

4?

【例3】已知多項式一1/、2-孫+1

⑴這個多項式是幾次幾項式？

⑵這個多項式最高次項是多少？二次項系數(shù)是什么？常數(shù)項是什么？

【解法指導(dǎo)】”個單項式的和叫多項式，每個單項式叫多項式的項，多項式里次數(shù)最

高項的次數(shù)叫多項式的次數(shù).

解：⑴這個多項式是七次四項式；

(2)最高次項是:二次項系數(shù)為一1,常數(shù)項是1.

【例4】多項式7x'"+Af-(3〃+l)x+5是關(guān)于x的三次三項式，并且一次項系數(shù)

為-7.求m+n~k的值

【解法指導(dǎo)】多項式的次數(shù)是單項式中次數(shù)最高的次數(shù)，單項式的系數(shù)是數(shù)字與字母

乘積中的數(shù)字因數(shù).

解：因為3n+11+5是關(guān)于％的三次三項式，依三次知相=3,而一次項系

數(shù)為一7,即一(3/1+1)=—7,故"=2.已有三次項為7x?,一次項為一7x,常數(shù)項為5,又

原多項式為三次三項式，故二次項的系數(shù)上=0,故“什〃一左=3+2—0=5.

【例5】已知代數(shù)式3/—2x+6的值是8,求三V一x+i的值.

2

【解法指導(dǎo)】由3、；-入+6:8,現(xiàn)階段還不能求出x的具體值，所以聯(lián)想到整體

代入法.

解：由3/-+6=8得由3/—2x=2

+r3xa-2x+2)=1x(2+2)=2

【例61證明代數(shù)式16+7篦—{8m-[m-9-(3-6m)]}的值與m的取值無關(guān).

【解法指導(dǎo)】欲證代數(shù)式的值與m的取值無關(guān)，只需證明代數(shù)式的化簡結(jié)果不出現(xiàn)

字母即可.

證明：原式=

16+m—8m+[n—9—(3—6m)]=16+m—8m+m—9—3+6m=4

??.無論相的值為何，原式值都為4.

?,?原式的值與機的取值無關(guān).

【例7】同時都含有〃、b、c,且系數(shù)為1的七次單項式共有()個

A.4B.12C.15D.25

【解法指導(dǎo)】首先寫出符合題意的單項式心小y、z都是正整數(shù)，再依x+y+z=

7來確定無、y、z的值.

解:為所求的單項式,則x、y、z都是正整數(shù),且x+y+z=7.當(dāng)％=1時,y=1,2,3,4,5,z

=5,4,3,2,1.當(dāng)x=2時，y=l,2,3,4,z=4,3,2,1.當(dāng)x=3時，y=l,2,3,z=3,2,l.當(dāng)x=4時，y=

l,2,z=2,l.當(dāng)x=5時，y=z=l.所以所求的單項式的個數(shù)為5+4+3+2+1=15,故選C

考點5整式的加減

【例1】如果和-3x3y2bT是同類項，那么小。的值分別是()

a=l=0[a=2[a=l

A.5B.5C.5D.5

b=2b=2b=lb=l

【解法指導(dǎo)】同類項與系數(shù)的大小無關(guān)，與字母的排列順序也無關(guān)，只與是否含相同字

母，且相同字母的指數(shù)是否相同有關(guān).

a+2=3a=l

解:由題意得<

2Z?-1=3'b=2

【例2】已知關(guān)于x的二次多項式cz(x3—X2+3X)+Z>(2X2+X)+x3—5,當(dāng)尤=2時的值為

—17.求當(dāng)x=—2時，該多項式的值.

【解法指導(dǎo)】設(shè)法求出“6的值，解題的突破口是根據(jù)多項式降嘉排列，多項式的次

數(shù)等概念，挖掘隱含a、b的等式.

解：M=ax—ax2+3ax-\-2bx2-\-bx-\-x—5

=(a+l)/+(26—a)x-\-(3a+6)x-5

V原式中的多項式是關(guān)于x的二次多項式

.<2+1=0

2b-

??4=-1

又當(dāng)x=2時，原式的值為一17.

(26+1)x2，+[3x(-l)+b]x2—5=—17,:.b=—1

/.原式=一式2-4尤一5

...當(dāng)x=—2時，原式=—(-2)2-4X(-2)-5=—1

【例3】證明四位數(shù)的四個數(shù)字之和能被9整除，因此四位數(shù)也能被9整除.

【解法指導(dǎo)】可用代數(shù)式表示四位數(shù)與其四個數(shù)之和的差，然后證這個差能被9整除.

證明：設(shè)此四位數(shù)為1000。+1006+10c+4則

1000a+1006+10c+d—(cz+b+c+d)=999a+99b+9c=9(llla+ll/?+c)

,.Tlla+llb+c為整數(shù),1000a+100Z>+10c+rf—9(llla+llfe+c)+(a+6+c+d)

?二9(lll〃+llZ?+c)與(〃+/?+c+d)均能被9整除

???1000〃+100/?+10c+d也能被9整除

【例4】將(X，-x+l)6展開后得+...+?！?〃a+〃0,求〃12+Q1O+〃8+.......

+。4+〃2+〃0的值.

【解法指導(dǎo)】要求系數(shù)之和，但原式展開含有X項，如何消去工項，可采用賦特殊值法.

角星：令X=1得〃12+〃11+.............+。1+。0=1

令X——1得。12一〃11+的0.....................〃i+〃o=729

兩式相加得2(〃12+〃lo+〃8+..............+。2+〃0)—730

???〃12+〃lo+〃8+......+。2+。0=365

考點6一元一次方程與應(yīng)用題

【例1】解方程：0-1^-0-2--=3

0.020.5

【解法指導(dǎo)】原方程的分子、分母有小數(shù)，可先利用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)把小數(shù)化成整數(shù)，再按

解方程步驟來解，注意：分?jǐn)?shù)的性質(zhì)是一個分?jǐn)?shù)的分子、分母而言，而等式的性質(zhì)是對一個

等式的左邊、右邊而言，要注意區(qū)別防止出錯.

解：原方程變形為：100(01x-02)—10(1)=3

100x0.0210x0.5

即50(0.lx-0.2)—2(x+l)=3

去括號，得5x—50—2x-2=3

移項，得5x-2x=3+10+2

合并，得3x=15

系數(shù)化為1,得x=5

01.已知=3x+則(64/+48x+9)20°9=

ab2九一4

02.對任意四個有理數(shù)〃、b、c、d,定義新運算：=ad-be,已知=18,

cdx1

則X=（）

A.-1B.2C.3D.4

【例2】若關(guān)于x的方程9尤—17=息的解為正整數(shù)，則/的值為％=

【解法指導(dǎo)】把尤的值用k的代數(shù)式表示，利用整除性求出k的值.

解：,.1%—17=日

（9—Qx=17

17

x=----

9-k

..?尤為正整數(shù)，，9一4為17的正整數(shù)因數(shù)

9T=1或9T=17

，k=8或k=-8故％=±8

01.a為何值，方程2+。=座—[x—6）有無數(shù)個解.

326

02.如果關(guān)于x的方程三七=之士的解不是負(fù)值，那么a與b的關(guān)系是（）

35

33

A.a>—bB.b>—aC.5a236D.5a=3b

55

【例3】（黃岡競賽）某人沿電車路線行走，12分鐘有一輛電車后面開來，4分鐘迎面有

一輛電車開來，假定此人和電車速度都是勻速前進，4分鐘迎面有一輛電車開來，電車是每

隔多少分鐘從起點站開出一輛？

【解法指導(dǎo)】根據(jù)“路程=速度X時間”，所以當(dāng)路程相同時與時間成正比?

Y—412—x

解：設(shè)站點每隔尤分鐘開出一輛根據(jù)題意，得^—=——解得x=6

412

答：電車是每隔6分鐘從起點站開出一輛

【例4】（聊城）某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元;

經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元；經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元?

當(dāng)?shù)匾患肄r(nóng)工商公司收購這種蔬菜140噸，該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜

進行粗加工，每天可加工16噸，如果進行精加工，每天可加工6噸，但兩種加工方式

不能同時進行，受季節(jié)等條件限制，公司必須在15天內(nèi)將此批蔬菜全部銷售或加工完畢，

為此公司研制三種可行方案：

方案一：將蔬菜全部進行粗加工.

方案二：盡可能對蔬菜進行精加工，沒來得及加工的在市場直接銷售.

方案三：部分蔬菜精加工，其余蔬菜粗加工，并恰好15天完成.

你認(rèn)為選擇哪種獲利多？為什么？

【解法指導(dǎo)】理解本題的題意是解本題的前提，按照三種方式分別計算出利潤，在比較

三種利潤的大小即可求解?

解：對方案一：獲利為4500X140=630000（元）

對方案二：15天細(xì)加工：6X15=90（噸）說明還有50噸需要在市場上直接銷售，故可

獲利7500X90+1000X50=725000（元）

對方案三：設(shè)將x噸蔬菜進行細(xì)加工，則（140—x）噸進行粗加工，根據(jù)題意得

解得x=60140—％=140—60=80

故獲利為7500><60+4500X80=810000（元）由此，選擇方案三

【例5］（課本變形題）有一些相同的房間需要粉刷墻面，一天3名一級技工去粉刷8

個房間，結(jié)果其中有50平方米墻面未來的及粉刷；同樣時間內(nèi)，5名二級技工粉刷了10個

房間之外，還多刷了另外的40療墻面?每名一級技工比二級技工一天多粉刷10序墻面，

求每名一級技工比二級技工一天各能粉刷多少平方米的墻面？

【解法指導(dǎo)】在工程運用問題中，通常要運用“工作量=工作效率x工作時間”關(guān)系探

求數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系，有時候工作總量可以看作1-

解：設(shè)每一名一級技工一天刷制"2的墻面，則每名二級技工一天刷（尤一10）切2的墻面.

根據(jù)題意得衛(wèi)土地=5（XT。）-40

810

解得x=122則x—10=122—10=112

答：每一名一級技工一天刷122療的墻面，則每名二級技工一天刷112療的墻面.

【例6】京津城際鐵路于2008年8月1日開通運營，預(yù)計高速列車在北京、天津間單程直

達運行的時間為半小時?某次試車時，試驗列車有北京到天津的行駛時間比預(yù)計時間多用了

6分，由天津返回北京的行駛時間與預(yù)計時間相同?如果這次試車時，由天津返回北京比去

天津市平均每小時多行駛40千米，那么這次是車是由北京到天津的平均速度是每小時多少

千米？

【解法指導(dǎo)】在行程問題中，通常要運用“路程=速度X時間”關(guān)系探求數(shù)量關(guān)系和相

等關(guān)系

解：設(shè)這次試車時，由北京到天津的平均速度是每小時x千米，由天津返回北京的平均

速度是每小時（尤+40）千米

根據(jù)題意得里士（x+40）

602

解得x=200

答：這次試車時，由北京到天津的平均速度是每小時200千米?

01.（黃岡）某人在同一路段上走完一定的路程，去的速度是匕，回來的速度是嶺，則他的

平均速度為（)

匕%匕+丫2

A.工DR.2CD.3

2匕+匕2vlv2匕+匕

考點7圖形初步

【例11（山西）一個畫家有14個邊長為1米的正方體，他在地面上把它們擺成如右圖

的形狀，然后他把露出的表面涂上顏色，那么被涂上顏色的總面積為（）

A.19平方米B.21平方米C.33平方米D.34平方米

【解法指導(dǎo)】本題把涂上顏色的面積一塊一塊加起來計算很麻煩,應(yīng)從整體角度出發(fā)，

把立體轉(zhuǎn)化為平面，觀察題圖所給的幾何體，從前、后、左、右四個方向都只能看到6個1

XI的正方形，從上面看可以看到一個3X3的大正方形輪廓，所以被涂上顏色的總面積應(yīng)

為4X6X1X1+3X3X1X1=33（平方米），故選C.

01.如圖，立方體各面上的數(shù)字是連續(xù)的整數(shù)，如果相對的兩個面上的兩個數(shù)的和都相等,

那么這三對數(shù)的總和是（）

A.76B.78C.80D.81

02.如圖是由一些完全相同的小立方塊搭成的幾何體從正面、左面、上面看到的圖形，那么

搭成這個幾何體所用的小立方塊的個數(shù)是（）

從正面看從左面看從上面看

03.如圖所示的是一個由白紙拼成的立體圖形，但有兩面刷上黑色，將該立體圖形展開后應(yīng)

該是（）

^YYY^

A.B.C.D.

04.如圖所示是三棱柱紙盒，在下面四個圖中，只有一個是這個紙盒的展開圖，那么這個展

開圖是（）

A.B.C.D.

【例2】（第21屆江蘇省競賽題）設(shè)5cmX4cmX3cm長方體的一個表面展開圖的周長為n

cm,則n的最小值是.

【解法指導(dǎo)】把展開圖的周長用相應(yīng)的代數(shù)式表示.長方體的展開圖的周長為8c+46

+2a.故周長最小值為8X3+4X4+2X5

01.設(shè)有一個邊長為1的正三角形，記作4,將4的每條邊三等分，在中間的線段上向

外作正三角形，去掉中間的線段后所得到的圖形記作A2；將4的每條邊三等分，重

復(fù)上述過程，所得到的圖形記作4,現(xiàn)將4的每條邊三等分，重復(fù)上述過程，所得到

的圖形記作A4,則4的周長是多少？

考點8直線、射線、線段

【例1】已知：線段AB=10CM,M為AB的中點，在A8所在直線上有一點P,N為AP的

中點，若MN=T5cm,求AP的長.

【解法指導(dǎo)】題中已說明尸在A3所在直線上，即說明尸點可能在線段上，也可能

在A8的延長線上(不可能在胡的延長線上)，故應(yīng)分類討論.

解：⑴如圖①，當(dāng)點P在線段A8上時，點N在點M的左側(cè)，則AP=2AN=2(AM-

MN)=2=2X(5-1.5)=7(cm)；

①.-----------------?-------------?——?-

ANMPB

⑵當(dāng)點P在線段AB的延長線上時，N點在M點的右側(cè)如圖②，則AP=2AN=2(AM

+MN)=2C^AB+MN^=2X(5+1.5)=13(cm)；

②----------------------------------------------------?——?—

AMNBP

所以AP的長為7cm或13cm

【例2】往返于甲、乙兩地的客車，中途?？咳齻€站，問:

⑴要有多少種不同的票價?

⑵要準(zhǔn)備多少種車票？

【解法指導(dǎo)】首先要能把這個實際問題抽象成一個數(shù)學(xué)問題，把車站和三個停方點當(dāng)作

一條直線上的五個點，票價視路程的長短而變化，實際上就是要找出圖中有多少條不同的線

段.因為不同的線段就是不同的票價，故求有多少種票價即求有多少條線段，而要求有多少

種車票即是求有多少條射線.

ABCDE

解：因為圖中有10條不同的線段，故票價有10種；有20條不同的射線，