江蘇省南通市聯盟2025屆高三年級上冊模擬演練性聯考數學試卷（含答案）

江蘇省南通市名校聯盟2025屆高三上學

期模擬演練性聯考數學試卷

2024?2025學年高三年級模擬考試

數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標

號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，

將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一'選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的。

1.復數Z滿足二一=l+i,則|z|=

z-111

A.lB.2C.V2D.4

2.已知3。則tan(a+S=

cosa-sina14)

A,273+1B.2V3-1C-TD」-百

r2廠3

3.設x,y為實數，滿足3芻72s8,4<—<9,則一的最大值為

JJ

A.27B.24C.12D.32

4.銳角三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、6、c.若2+@=6COSC,則包?+曬C

abtaih4tanB

的值為

A.2B.4C.6D.8

22

5.在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓/+]-=1的左、右頂點為/、B,右焦點

為日設過點7(9,⑼的直線Z4、窗與此橢圓分別交于點M(xi,州)、N(X2,H)，其中冽>0,

巾>0,H〈0.則直線必過一定點的坐標為

A.(l,0)

0)

C.(0,-1)

D.(0,1)

高三數學考試第1頁共6頁

6.在平面直角坐標系中，已知尸是函數/尸e*(x>0)的圖象上的動點，該圖象在點P處

的切線/交y軸于點M,過點P作I的垂線交〉軸于點N設線段的中點的縱坐標為t,

則/的最大值為

A.e

/a

In

a2n

7.由m'n個數排成一個加行幾列的數表4=。22稱為一個冽x〃矩陣，也

am2otnn)

可簡記為N=(%).定義矩陣的乘法如下：設,B=(b.)，則稱C=(cJ為

$fl21

矩陣N與3的乘積，記為C=NA其中與也?現有矩陣工=

k=\(T01

f-111

210

B=,貝UAB=

003

、43-1,

'-33、/3—3、

f-3—43)(334、

A.-43B.3-4D.

(334J1-3-43)

\34JJ3,

8.定義：已知數列｛a4SGN*)的首項.=1,前〃項和為設入與人是常數，若對一切正整數

illa

均有黑—"〃成立’則稱此數列為“數列.若數列。…是“§&2”

數列，則數列｛a?｝的通項公式a,.=

l(n-1)1(〃=1)

A.3X4〃-2BJ0C.4X3〃-2

3X4"-2(?>2)4x3n-2(?>2)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的

得0分。

9.已知函數/⑺的定義域為R,且/弓卜°，若〃x+y)+/(x)/(y)=4xy,則

c.函數/口-；］是偶函數D.函數/卜+￡|是減函數

高三數學考試第2頁共6頁

10.在棱長為1的正方體WBCD-44GA中，點E在棱4片上運動，點尸在正方體表面上運

動，貝!]

A.存在點E,使

B.當合=△時，經過點4。1的平面將正方體分成體積比為3:1的大小兩部分

C.當E4=E8時，點下的軌跡長度為4

D.當H4=2尸2時，點下的軌跡長度為一+3人-

18

11.記/''(X),g'(X)分別為函數/■(X),g(x)的導函數.若存在xodR,滿足/(xo)=g(xo)且/1'(xo)=g，(xo),

則稱X0為函數/(X)與g(x)的一個“S點”.則下列說法正確的是

A.函數〃x)=x與g(x)=x2+2x-2不存在“S點”

B.若函數小)&T與g(x)=lnx存在“S點”，則喈

be*

C.對于函數f(x)=-x2+a與g(x)=——.對于任意的心0,均不存在b>0,使得函數/(x)與g(x)

x

在區(qū)間(0,+s)內存在“S點”

be,

D.對于函數/(x)=一爐+a與8任尸—.對于任意的a>0,存在b>0,使得函數/(x)與g(x)在

x

區(qū)間(0,+00)內存在“S點”

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.以maxM表示數集M中最大的數.設0<。<6<0<1,已知b22a或a+bV1,則

max抄一凡c-6,1-c｝的最小值為▲.

13.定義首項為1且公比為正數的等比數列為“M?數列”.已知數列｛6“｝(〃eN*)的前"項和為

122

Sn,且滿足從=1,—=------------.設加為正整數.若存在“M?數列”｛c〃｝(〃￡N*),對任意正

Sb

nn”+1

整數k,當k<m時，都有Ck<bk<Ck+i成立，則m的最大值為▲.

____________Fb_____________

14.設數列｛為｝：1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,…,(―1)"1"..,(一1)"%,…,即當

器嚨時，%=(—l)i左.記S“為數列&｝前〃項和.對于/GN*,

定義集合尸/=｛〃％是斯的整數倍，“GN*,且摩閆｝.則集合尸”中元素的個數為▲；

集合P2000中元素的個數為▲.

高三數學考試第3頁共6頁

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟。

15.如圖，在直三棱柱/3C-43C］中，D,E,尸分別為48,BC,用8的中點.

(1)證明：4G〃平面為DE；

(2)若AB=\,AB1AC,ByDLAXF,求點￡到平面A.FC,的距離.

16.已知。為坐標原點，拋物線的方程為^=2刀(p>0),/是拋物線的焦點，橢圓的方程

為二+J=l(a>6>0),過尸的直線/與拋物線交于N兩點，反向延長OM,ON分

ab

別與橢圓交于尸，。兩點.

⑴求kOM?k0N的值；

(2)若葉+|OQ『=5恒成立，求橢圓的方程;

⑶在(2)的條件下，若沁的最小值為1,求拋物線的方程(其中義加，S.0如分別

J△。尸0

是AOMN和△OPQ的面積).

1)

17.已知函數/(x)=xex-cos—其中。為正實數.

x)

⑴若ae信+8),討論/(x)在(j，d的單調性.

(2)若。=1,方程W(/(X)-7MX)=e?-加在［,+(?)至少有一個根，求實數加的取值范圍.

高三數學考試第4頁共6頁

18.“三角換元”是代數中重要且常見的運算技巧，有些代數式看似復雜，用三角代替后,

實則會呈現出非常直觀的幾何意義，甚至可以與復雜的二次曲線產生直觀聯系.

⑴利用恒等式sin2Q+cos2。=1和tan2。+1=,求函數“=x-8-x2和

cos6

%=2+一應—+tan20-4tan4的最小值.

cos。"cos2。

(2)在△45C中，角4B、。對應的邊為〃、b、c.

⑴求證：cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=l.

(ii)已知實數工，＞滿足f+行孫二：,求二元函數

4y[2x+9+2/2^+2^2%2+3/-2xy+l+j的最大值,

高三數學考試第5頁共6頁

19.解二元一次方程組是數學學習的必備技能。設有滿足條件°皿22詡12。21的二元一次方程組

o11x1+o12x2=*

02丙+。22》2=b]

(1)用消元法解此方程組，直接寫出該方程組的兩個解；

(2)通過求解，不難發(fā)現兩個解的分母是由方程組中XI,X2的系數。11、。22、。12、。21所唯

一確定的一個數，按照它們在方程組中的位置，把它們排成一個數表由此

^^21^^22

可以看出—。12。21是這個數表中左上到右下對角線上兩個數的乘積減去右上到左

下對角線上兩個數的乘積的差，稱032—。12。21為該數表的二階行列式，記為

d2]22

a11ax,+tzx=b.,

當u12知時，二元一次方程組1u11112929?有唯一一組解.同樣的，行列式

aX=

。21〃22+222^2

abcabc

Imn稱為三階行列式，且Imn=amz+bnx+cly-cmx-biz-any.

xyzxyz

ax.+tzx=b

I.用二階行列式表示方程組《u11112929/}的兩個A解;

^21^1+^22^2~b?

anxx+anx2+。]3、3-W

11.對于三元一次方程組〈。21、1+。22%2+。23%3=，2，類比二階行列式，用三階行列式推

“31”1+“32*2+“33”3=“3

導使得該三元一次方程組有唯一一組解的條件(結論不得使用行列式表達)，并用三階

行列式表示該方程組的解.

sinx—m

⑶若存在xG[0，M，使得〉sin2x+2,求機的取值范圍.

cosxm

高三數學考試第6頁共6頁

2024?2025學年高三年級模擬考試

數學試題評分參考

一'選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。

l.C2.B3.A4.B

5.A6.C7.D8.B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。

9.ABD10.BCD11.ABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

1

12.-13.514.51008

5

四、解答題：本題共5小題，共77分。

15.(13分)

(1)因為/8C-481cl為直三棱柱，所以4G〃/C,

又。，E,分別為48,的中點，所以DE//ZC,

所以。E//4G，

又4GCZ平面BQE,DEu平面BXDE,

所以4C"/平面2QE.……5分

(2)因為4BC-481cl為直三棱柱，且

以A為坐標原點，分別以所在直線為x,%z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

設羽="。＞0)，且/3=1，則4(1,0,。),。日,0,01,4(0,0,0

貝u麗=(一3,0,-“，即

----＞----?1772

由尸可得及。.吊/=0,即_；+看=0,且。＞0,解得a=1,

設/C=b伍＞0),則G(o,41),即麗=(1,0,-

/=（0,仇0）,

設平面4尸。的法向量為萬=(%//),

**Si

11

n-A,F=x---z=0[z=2x

則2解得，取尤=1

n-/￡=如=0

ADB）

所以平面4尸q的一個法向量為萬=。,0,2),

高三數學評分參考第1頁共8頁

又叫劌,即檔段T，

所以點E到平面4尸G的距離才_9臼_22_375.

13分

16.(15分)

(1)設直線OM的斜率為左(左＞0),直線ON的斜率為42,

由題可知，直線肱V的斜率不為0,設Ma，%),%%,乃)，

設直線MN：y=kx+^,

7P

y—kxH—_、

則由，2,可得f0_2pkx-p=0,

x1=2py

易知A>0,且xx=-p2,yy2=,

}2x4P4

則也*￡=.;

4分

(2)設尸小,%),。。””)，

由題可知，L：y=3,/。內=/，其中左內=一；,

y=k.x-

,,一.2ab-me16a“常

聯立方程xy=>毛=-7-----7-y，同理％2=,.J,,

一+^—=1b-+a-k,a-+16b~k;

Mb2

+2

a2-b22??+(32/庶+16/62《

=lb2+

a2a2b2+(a4+16??4+\&t2b2k\

2

,,2/2N、。/+(32//)片+16。26片

=2b+(Q—c?)—;~~z-----------------z------z~~~T?

/〃+(Q4+16b4)6+16612b?k：

因為|?？?+|。。『=5為定值，所以上式與左無關，

所以當32/=^+16/,即以=4/時,此時當+〃=5,所以/=4,/=1,

丫2

所以橢圓的方程為二+必=1.……10分

4-

m因為5=如竺竺吧竺二皿絲L2

'S^OPQ^\OP\\OQ\smZPOQ0尸I卜J

由(2)可知，當/=4,廿=1時,

高三數學評分參考第2頁共8頁

?24丫2_16%；__2

三一再三--P'

SfoMN=—=8《I=弓小+4|占。三多

,△OPQl3%4"陽?8（|左]]J2

1+4后

故：=lnp=0,當且僅當尢=士；時，等號成立,

此時拋物線方程為無2=2傷.15分

17.（15分）

(-1￡1

（1）?。?XQx-COS—=xex-xcos—,

IXX

/'(x)=ex+xex[一點卜°4+“*]-.

-a-11.1-x-a(11.1)

=ex——ex-cos----sin—=ex-------cos—+—sin—,

XXXXXyXXX)

因為x￡(一,q],aGf—,+00^,所以一w(_,彳],一￡(0,不

<71)\7i)x\a2Ja\2^

所以J.士9<0,-cos—+—sin—<0,

x[XXXJ

所以八x）＜0,所以/'（x）在仁,aj單調遞減.

6分

(2)當4=1時，f(x)=xex-cos-,設，=工￡(0,三

(xJ%I2,

設例:)，兀e'-TTCOs1—2m2,tE

71-2?

則

加'?)=(兀占+7icos/)(兀一Z)+兀d+兀sinf—2e，|92+2|兀6+Tisifii-2c2|

高三數學評分參考第3頁共8頁

=(兀e'+7rcos￡)(7i-2%),

因為，￡，所以(兀e'+兀cosf)(兀-2。>0,即"⑺>0,

所以加)在畫[單調遞增，

’兀、兀(兀71、(兀兀、

又加(0)二兀一2。2]兀=兀2_2兀e?<0,加(])=2]兀?5―兀一2xgxe?J=2兀e2-e2J=0,

所以當f時，m(?)<0,即〃'(/)<0,

所以咐在(0,3上單調遞減，限)=0,當3*,h(t)s,

所以兀e'_ncosf-2忙2：加在/Jo,。)至少有一個根時,me(-<?,0)........15分

71-2?I2J

18.(17分)

(1)設x=cos6,0G[0,TI],則必=cos0-sin0=逝cos(9+,

因為此曲可，所以8+[e，所以cos19+a]e--^-,1,所以“2-1,

艮口必=X—J]—%?的最〃、值為:-1,

當cos?！?時，%=2+一^7—+tan20-4tan0+4

2cosOVcos20

=J-\——卜」—\——btan20-4tan0+4

Vcos20Vcos20

=V4tan20+4+74tan20-4tan0+7

22

=A/（2tan0-O）+（O-2）+^（2tan0-1J+（O盾,

表示點（2tan0,0）到點（0,2）和（1,-76）的距離之和，

所以%2j+（2+癡『=2逐+6.

當cos0<0時，必=2+J___Htan20-4tan0+4

cosOVcos29

=+tan20-4tan9+4=-"tan?6+4+V4tan26-4tan9+7

Vcos0Vcos9

=-J（2tan0-0）2+（0-2）+^（2tan9-1J+（0-府,

表示點（2tan0,0）到點（0,2）和（1,n）的距離之差，

高三數學評分參考第4頁共8頁

所以%2_J1+(2-6『=6-26

綜上，%的最小值為：V3-2V2.6分

(2)(i)因為cos。=cos[兀一(4+5)]=—cos(4+5)=sin/sinB-cosZcosB,

所以cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC

=cos2A+cos2B+sin2Asin2B+cos2Acos2B-2sinAsinBcosAcosB+2cosAcosBcosC

=cos2A+cos25+(1-cos24)(1-cos?5)+cos24cos2B

-2sinAsinBcosAcosB+2cosAcosBcosC

=1+2(cos2Acos2B-cosAcosBsin4sin8)+2cosAcosBcosC

=1+2cosAcosB(cosAcos8-sin/sin8)+2cosAcosBcosC

=l+2cosZcosBcos(/+5)+2cos%cosBcosC

=1-2cosAcosBcosC+2cosAcosBcosC=1,證畢....11分

(ii)在(i)中，令。=工，則cos?Z+cos?5+亞cosZcosB=工且4+8=包，

424

因為—+/+亞肛=；,設、=354,y=cos5,

所以f(x,y^=yjx2-4y/lx+9+2y/2y+2+2+14-x

可得/(，)=Jcos?4-4逝cos/+9+4sin/+cos4

貝(J/(4)=V2cos2A-4A/2cosA+4+sin2A+4sinA+4+cosA

其表示點(挺COSA,sin到點(2,-2)和(1,0)的距離之差再加上72，

所以〃4)?J(1—2)2+(0—(—2))2+72'y，

?sinA-0sin4+2

當且僅當t~r----=T-----，

V2cos^4-1v2cosA-2

高三數學評分參考第5頁共8頁

即cos/=4?_"，sin/=+2時等號取得,此時滿足丁］....17分

99I4）

19.（17分）

_」-22b2a12

人1-

(1)該方程組的兩個解為■%1。22-。12。21……4分

1_均%1_/〃21

〃11〃22一〃12〃21

“al2

b2a22

X1一

a\\an

(2)1.該方程組的兩個解為］。2]^-22

.......6分

auW

^21b?

x2=

anan

at2]^^22

H.類比二元一次方程組，將三元一次方程組中XI,X2,X3的系數排成一個數表的1