江蘇省南通市聯(lián)盟2025屆高三年級(jí)上冊(cè)模擬演練性聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

江蘇省南通市名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)

期模擬演練性聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

2024?2025學(xué)年高三年級(jí)模擬考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)

號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，

將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一'選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.復(fù)數(shù)Z滿足二一=l+i,則|z|=

z-111

A.lB.2C.V2D.4

2.已知3。則tan(a+S=

cosa-sina14)

A,273+1B.2V3-1C-TD」-百

r2廠3

3.設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，滿足3芻72s8,4<—<9,則一的最大值為

JJ

A.27B.24C.12D.32

4.銳角三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、6、c.若2+@=6COSC,則包?+曬C

abtaih4tanB

的值為

A.2B.4C.6D.8

22

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓/+]-=1的左、右頂點(diǎn)為/、B,右焦點(diǎn)

為日設(shè)過點(diǎn)7(9,⑼的直線Z4、窗與此橢圓分別交于點(diǎn)M(xi,州)、N(X2,H)，其中冽>0,

巾>0,H〈0.則直線必過一定點(diǎn)的坐標(biāo)為

A.(l,0)

0)

C.(0,-1)

D.(0,1)

高三數(shù)學(xué)考試第1頁共6頁

6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知尸是函數(shù)/尸e*(x>0)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，該圖象在點(diǎn)P處

的切線/交y軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)P作I的垂線交〉軸于點(diǎn)N設(shè)線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t,

則/的最大值為

A.e

/a

In

a2n

7.由m'n個(gè)數(shù)排成一個(gè)加行幾列的數(shù)表4=。22稱為一個(gè)冽x〃矩陣，也

am2otnn)

可簡記為N=(%).定義矩陣的乘法如下：設(shè),B=(b.)，則稱C=(cJ為

$fl21

矩陣N與3的乘積，記為C=NA其中與也?現(xiàn)有矩陣工=

k=\(T01

f-111

210

B=,貝UAB=

003

、43-1,

'-33、/3—3、

f-3—43)(334、

A.-43B.3-4D.

(334J1-3-43)

\34JJ3,

8.定義：已知數(shù)列｛a4SGN*)的首項(xiàng).=1,前〃項(xiàng)和為設(shè)入與人是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)

illa

均有黑—"〃成立’則稱此數(shù)列為“數(shù)列.若數(shù)列?！恰啊?2”

數(shù)列，則數(shù)列｛a?｝的通項(xiàng)公式a,.=

l(n-1)1(〃=1)

A.3X4〃-2BJ0C.4X3〃-2

3X4"-2(?>2)4x3n-2(?>2)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的

得0分。

9.已知函數(shù)/⑺的定義域?yàn)镽,且/弓卜°，若〃x+y)+/(x)/(y)=4xy,則

c.函數(shù)/口-；］是偶函數(shù)D.函數(shù)/卜+￡|是減函數(shù)

高三數(shù)學(xué)考試第2頁共6頁

10.在棱長為1的正方體WBCD-44GA中，點(diǎn)E在棱4片上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸在正方體表面上運(yùn)

動(dòng)，貝!]

A.存在點(diǎn)E,使

B.當(dāng)合=△時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)4。1的平面將正方體分成體積比為3:1的大小兩部分

C.當(dāng)E4=E8時(shí)，點(diǎn)下的軌跡長度為4

D.當(dāng)H4=2尸2時(shí)，點(diǎn)下的軌跡長度為一+3人-

18

11.記/''(X),g'(X)分別為函數(shù)/■(X),g(x)的導(dǎo)函數(shù).若存在xodR,滿足/(xo)=g(xo)且/1'(xo)=g，(xo),

則稱X0為函數(shù)/(X)與g(x)的一個(gè)“S點(diǎn)”.則下列說法正確的是

A.函數(shù)〃x)=x與g(x)=x2+2x-2不存在“S點(diǎn)”

B.若函數(shù)小)&T與g(x)=lnx存在“S點(diǎn)”，則喈

be*

C.對(duì)于函數(shù)f(x)=-x2+a與g(x)=——.對(duì)于任意的心0,均不存在b>0,使得函數(shù)/(x)與g(x)

x

在區(qū)間(0,+s)內(nèi)存在“S點(diǎn)”

be,

D.對(duì)于函數(shù)/(x)=一爐+a與8任尸—.對(duì)于任意的a>0,存在b>0,使得函數(shù)/(x)與g(x)在

x

區(qū)間(0,+00)內(nèi)存在“S點(diǎn)”

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).設(shè)0<。<6<0<1,已知b22a或a+bV1,則

max抄一凡c-6,1-c｝的最小值為▲.

13.定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M?數(shù)列”.已知數(shù)列｛6“｝(〃eN*)的前"項(xiàng)和為

122

Sn,且滿足從=1,—=------------.設(shè)加為正整數(shù).若存在“M?數(shù)列”｛c〃｝(〃￡N*),對(duì)任意正

Sb

nn”+1

整數(shù)k,當(dāng)k<m時(shí)，都有Ck<bk<Ck+i成立，則m的最大值為▲.

____________Fb_____________

14.設(shè)數(shù)列｛為｝：1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,…,(―1)"1"..,(一1)"%,…,即當(dāng)

器嚨時(shí)，%=(—l)i左.記S“為數(shù)列&｝前〃項(xiàng)和.對(duì)于/GN*,

定義集合尸/=｛〃％是斯的整數(shù)倍，“GN*,且摩閆｝.則集合尸”中元素的個(gè)數(shù)為▲；

集合P2000中元素的個(gè)數(shù)為▲.

高三數(shù)學(xué)考試第3頁共6頁

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟。

15.如圖，在直三棱柱/3C-43C］中，D,E,尸分別為48,BC,用8的中點(diǎn).

(1)證明：4G〃平面為DE；

(2)若AB=\,AB1AC,ByDLAXF,求點(diǎn)￡到平面A.FC,的距離.

16.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的方程為^=2刀(p>0),/是拋物線的焦點(diǎn)，橢圓的方程

為二+J=l(a>6>0),過尸的直線/與拋物線交于N兩點(diǎn)，反向延長OM,ON分

ab

別與橢圓交于尸，。兩點(diǎn).

⑴求kOM?k0N的值；

(2)若葉+|OQ『=5恒成立，求橢圓的方程;

⑶在(2)的條件下，若沁的最小值為1,求拋物線的方程(其中義加，S.0如分別

J△。尸0

是AOMN和△OPQ的面積).

1)

17.已知函數(shù)/(x)=xex-cos—其中。為正實(shí)數(shù).

x)

⑴若ae信+8),討論/(x)在(j，d的單調(diào)性.

(2)若。=1,方程W(/(X)-7MX)=e?-加在［,+(?)至少有一個(gè)根，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

高三數(shù)學(xué)考試第4頁共6頁

18.“三角換元”是代數(shù)中重要且常見的運(yùn)算技巧，有些代數(shù)式看似復(fù)雜，用三角代替后,

實(shí)則會(huì)呈現(xiàn)出非常直觀的幾何意義，甚至可以與復(fù)雜的二次曲線產(chǎn)生直觀聯(lián)系.

⑴利用恒等式sin2Q+cos2。=1和tan2。+1=,求函數(shù)“=x-8-x2和

cos6

%=2+一應(yīng)—+tan20-4tan4的最小值.

cos。"cos2。

(2)在△45C中，角4B、。對(duì)應(yīng)的邊為〃、b、c.

⑴求證：cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=l.

(ii)已知實(shí)數(shù)工，＞滿足f+行孫二：,求二元函數(shù)

4y[2x+9+2/2^+2^2%2+3/-2xy+l+j的最大值,

高三數(shù)學(xué)考試第5頁共6頁

19.解二元一次方程組是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必備技能。設(shè)有滿足條件°皿22詡12。21的二元一次方程組

o11x1+o12x2=*

02丙+。22》2=b]

(1)用消元法解此方程組，直接寫出該方程組的兩個(gè)解；

(2)通過求解，不難發(fā)現(xiàn)兩個(gè)解的分母是由方程組中XI,X2的系數(shù)。11、。22、。12、。21所唯

一確定的一個(gè)數(shù)，按照它們?cè)诜匠探M中的位置，把它們排成一個(gè)數(shù)表由此

^^21^^22

可以看出—。12。21是這個(gè)數(shù)表中左上到右下對(duì)角線上兩個(gè)數(shù)的乘積減去右上到左

下對(duì)角線上兩個(gè)數(shù)的乘積的差，稱032—。12。21為該數(shù)表的二階行列式，記為

d2]22

a11ax,+tzx=b.,

當(dāng)u12知時(shí)，二元一次方程組1u11112929?有唯一一組解.同樣的，行列式

aX=

。21〃22+222^2

abcabc

Imn稱為三階行列式，且Imn=amz+bnx+cly-cmx-biz-any.

xyzxyz

ax.+tzx=b

I.用二階行列式表示方程組《u11112929/}的兩個(gè)A解;

^21^1+^22^2~b?

anxx+anx2+。]3、3-W

11.對(duì)于三元一次方程組〈。21、1+。22%2+。23%3=，2，類比二階行列式，用三階行列式推

“31”1+“32*2+“33”3=“3

導(dǎo)使得該三元一次方程組有唯一一組解的條件(結(jié)論不得使用行列式表達(dá))，并用三階

行列式表示該方程組的解.

sinx—m

⑶若存在xG[0，M，使得〉sin2x+2,求機(jī)的取值范圍.

cosxm

高三數(shù)學(xué)考試第6頁共6頁

2024?2025學(xué)年高三年級(jí)模擬考試

數(shù)學(xué)試題評(píng)分參考

一'選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。

l.C2.B3.A4.B

5.A6.C7.D8.B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。

9.ABD10.BCD11.ABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

1

12.-13.514.51008

5

四、解答題：本題共5小題，共77分。

15.(13分)

(1)因?yàn)?8C-481cl為直三棱柱，所以4G〃/C,

又。，E,分別為48,的中點(diǎn)，所以DE//ZC,

所以。E//4G，

又4GCZ平面BQE,DEu平面BXDE,

所以4C"/平面2QE.……5分

(2)因?yàn)?BC-481cl為直三棱柱，且

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為x,%z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)羽="。＞0)，且/3=1，則4(1,0,。),。日,0,01,4(0,0,0

貝u麗=(一3,0,-“，即

----＞----?1772

由尸可得及。.吊/=0,即_；+看=0,且。＞0,解得a=1,

設(shè)/C=b伍＞0),則G(o,41),即麗=(1,0,-

/=（0,仇0）,

設(shè)平面4尸。的法向量為萬=(%//),

**Si

11

n-A,F=x---z=0[z=2x

則2解得，取尤=1

n-/￡=如=0

ADB）

所以平面4尸q的一個(gè)法向量為萬=。,0,2),

高三數(shù)學(xué)評(píng)分參考第1頁共8頁

又叫劌,即檔段T，

所以點(diǎn)E到平面4尸G的距離才_(tái)9臼_22_375.

13分

16.(15分)

(1)設(shè)直線OM的斜率為左(左＞0),直線ON的斜率為42,

由題可知，直線肱V的斜率不為0,設(shè)Ma，%),%%,乃)，

設(shè)直線MN：y=kx+^,

7P

y—kxH—_、

則由，2,可得f0_2pkx-p=0,

x1=2py

易知A>0,且xx=-p2,yy2=,

}2x4P4

則也*￡=.;

4分

(2)設(shè)尸小,%),。。””)，

由題可知，L：y=3,/。內(nèi)=/，其中左內(nèi)=一；,

y=k.x-

,,一.2ab-me16a“常

聯(lián)立方程xy=>毛=-7-----7-y，同理％2=,.J,,

一+^—=1b-+a-k,a-+16b~k;

Mb2

+2

a2-b22??+(32/庶+16/62《

=lb2+

a2a2b2+(a4+16??4+\&t2b2k\

2

,,2/2N、。/+(32//)片+16。26片

=2b+(Q—c?)—;~~z-----------------z------z~~~T?

/〃+(Q4+16b4)6+16612b?k：

因?yàn)閨?？?+|。?！?5為定值，所以上式與左無關(guān)，

所以當(dāng)32/=^+16/,即以=4/時(shí),此時(shí)當(dāng)+〃=5,所以/=4,/=1,

丫2

所以橢圓的方程為二+必=1.……10分

4-

m因?yàn)?=如竺竺吧竺二皿絲L2

'S^OPQ^\OP\\OQ\smZPOQ0尸I卜J

由(2)可知，當(dāng)/=4,廿=1時(shí),

高三數(shù)學(xué)評(píng)分參考第2頁共8頁

?24丫2_16%；__2

三一再三--P'

SfoMN=—=8《I=弓小+4|占。三多

,△OPQl3%4"陽?8（|左]]J2

1+4后

故：=lnp=0,當(dāng)且僅當(dāng)尢=士；時(shí)，等號(hào)成立,

此時(shí)拋物線方程為無2=2傷.15分

17.（15分）

(-1￡1

（1）?。?XQx-COS—=xex-xcos—,

IXX

/'(x)=ex+xex[一點(diǎn)卜°4+“*]-.

-a-11.1-x-a(11.1)

=ex——ex-cos----sin—=ex-------cos—+—sin—,

XXXXXyXXX)

因?yàn)閤￡(一,q],aGf—,+00^,所以一w(_,彳],一￡(0,不

<71)\7i)x\a2Ja\2^

所以J.士9<0,-cos—+—sin—<0,

x[XXXJ

所以八x）＜0,所以/'（x）在仁,aj單調(diào)遞減.

6分

(2)當(dāng)4=1時(shí)，f(x)=xex-cos-,設(shè)，=工￡(0,三

(xJ%I2,

設(shè)例:)，兀e'-TTCOs1—2m2,tE

71-2?

則

加'?)=(兀占+7icos/)(兀一Z)+兀d+兀sinf—2e，|92+2|兀6+Tisifii-2c2|

高三數(shù)學(xué)評(píng)分參考第3頁共8頁

=(兀e'+7rcos￡)(7i-2%),

因?yàn)椋?，所?兀e'+兀cosf)(兀-2。>0,即"⑺>0,

所以加)在畫[單調(diào)遞增，

’兀、兀(兀71、(兀兀、

又加(0)二兀一2。2]兀=兀2_2兀e?<0,加(])=2]兀?5―兀一2xgxe?J=2兀e2-e2J=0,

所以當(dāng)f時(shí)，m(?)<0,即〃'(/)<0,

所以咐在(0,3上單調(diào)遞減，限)=0,當(dāng)3*,h(t)s,

所以兀e'_ncosf-2忙2：加在/Jo,。)至少有一個(gè)根時(shí),me(-<?,0)........15分

71-2?I2J

18.(17分)

(1)設(shè)x=cos6,0G[0,TI],則必=cos0-sin0=逝cos(9+,

因?yàn)榇饲?，所?+[e，所以cos19+a]e--^-,1,所以“2-1,

艮口必=X—J]—%?的最〃、值為:-1,

當(dāng)cos?！?時(shí)，%=2+一^7—+tan20-4tan0+4

2cosOVcos20

=J-\——卜」—\——btan20-4tan0+4

Vcos20Vcos20

=V4tan20+4+74tan20-4tan0+7

22

=A/（2tan0-O）+（O-2）+^（2tan0-1J+（O盾,

表示點(diǎn)（2tan0,0）到點(diǎn)（0,2）和（1,-76）的距離之和，

所以%2j+（2+癡『=2逐+6.

當(dāng)cos0<0時(shí)，必=2+J___Htan20-4tan0+4

cosOVcos29

=+tan20-4tan9+4=-"tan?6+4+V4tan26-4tan9+7

Vcos0Vcos9

=-J（2tan0-0）2+（0-2）+^（2tan9-1J+（0-府,

表示點(diǎn)（2tan0,0）到點(diǎn)（0,2）和（1,n）的距離之差，

高三數(shù)學(xué)評(píng)分參考第4頁共8頁

所以%2_J1+(2-6『=6-26

綜上，%的最小值為：V3-2V2.6分

(2)(i)因?yàn)閏os。=cos[兀一(4+5)]=—cos(4+5)=sin/sinB-cosZcosB,

所以cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC

=cos2A+cos2B+sin2Asin2B+cos2Acos2B-2sinAsinBcosAcosB+2cosAcosBcosC

=cos2A+cos25+(1-cos24)(1-cos?5)+cos24cos2B

-2sinAsinBcosAcosB+2cosAcosBcosC

=1+2(cos2Acos2B-cosAcosBsin4sin8)+2cosAcosBcosC

=1+2cosAcosB(cosAcos8-sin/sin8)+2cosAcosBcosC

=l+2cosZcosBcos(/+5)+2cos%cosBcosC

=1-2cosAcosBcosC+2cosAcosBcosC=1,證畢....11分

(ii)在(i)中，令。=工，則cos?Z+cos?5+亞cosZcosB=工且4+8=包，

424

因?yàn)椤?/+亞肛=；,設(shè)、=354,y=cos5,

所以f(x,y^=yjx2-4y/lx+9+2y/2y+2+2+14-x

可得/(，)=Jcos?4-4逝cos/+9+4sin/+cos4

貝(J/(4)=V2cos2A-4A/2cosA+4+sin2A+4sinA+4+cosA

其表示點(diǎn)(挺COSA,sin到點(diǎn)(2,-2)和(1,0)的距離之差再加上72，

所以〃4)?J(1—2)2+(0—(—2))2+72'y，

?sinA-0sin4+2

當(dāng)且僅當(dāng)t~r----=T-----，

V2cos^4-1v2cosA-2

高三數(shù)學(xué)評(píng)分參考第5頁共8頁

即cos/=4?_"，sin/=+2時(shí)等號(hào)取得,此時(shí)滿足?。?...17分

99I4）

19.（17分）

_」-22b2a12

人1-

(1)該方程組的兩個(gè)解為■%1。22-。12。21……4分

1_均%1_/〃21

〃11〃22一〃12〃21

“al2

b2a22

X1一

a\\an

(2)1.該方程組的兩個(gè)解為］。2]^-22

.......6分

auW

^21b?

x2=

anan

at2]^^22

H.類比二元一次方程組，將三元一次方程組中XI,X2,X3的系數(shù)排成一個(gè)數(shù)表的1