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專(zhuān)題13.8三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明全章專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)【2大考點(diǎn)10種題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1與三角形有關(guān)的線段】 1【題型1三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用】 2【題型2與等腰三角形的邊長(zhǎng)的有關(guān)的問(wèn)題】 3【題型3三角形的高的有關(guān)的問(wèn)題】 3【題型4利用中線解決三角形的面積問(wèn)題】 4【題型5利用三角形的三邊關(guān)系解決線段的和差比較問(wèn)題】 5【考點(diǎn)2與三角形有關(guān)的角】 6【題型6利用三角形的內(nèi)角和定理解決折疊中的角度計(jì)算】 7【題型7直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用】 8【題型8三角形外角的應(yīng)用】 9【題型9三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)的綜合】 11【題型10與三角形的內(nèi)、外角性質(zhì)及角等分線相關(guān)的規(guī)律性問(wèn)題】 12【考點(diǎn)1與三角形有關(guān)的線段】【知識(shí)點(diǎn)1三角形三邊的關(guān)系】定理:三角形任意兩邊之和大于第三邊;三角形任意兩邊的之差小于第三邊.【知識(shí)點(diǎn)2三角形的分類(lèi)】【知識(shí)點(diǎn)3三角形的重要線段】(1)三角形的高:從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線,頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線,簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的高.【要點(diǎn)】三角形的三條高所在的直線相交于一點(diǎn)的位置情況有三種:銳角三角形交點(diǎn)在三角形內(nèi);直角三角形交點(diǎn)在直角頂點(diǎn);鈍角三角形交點(diǎn)在三角形外.(2)三角形的中線:三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對(duì)邊中點(diǎn)的連線叫三角形的中線,【要點(diǎn)】一個(gè)三角形有三條中線,它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn),叫做三角形的重心.中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形.(3)三角形的角平分線:三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.【要點(diǎn)】一個(gè)三角形有三條角平分線,它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn),這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.【知識(shí)點(diǎn)4三角形的穩(wěn)定性】
如果三角形的三邊固定,那么三角形的形狀大小就完全固定了,這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.【題型1三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用】【例1】(23-24八年級(jí)·河北石家莊·期末)一款可折疊晾衣架的示意圖如圖所示,支架OP=OQ=30cm(連接處的長(zhǎng)度忽略計(jì)),則點(diǎn)P,Q之間的距離可以是(
)A.50cm B.65cm C.70cm【變式1-1】(23-24八年級(jí)·四川眉山·期中)若a,b,c是△ABC的三邊,試化簡(jiǎn):a?b?c+a+b?c【變式1-2】(23-24八年級(jí)·湖北黃岡·階段練習(xí))長(zhǎng)為9、6、4、3的四根木條,選其中三根組成三角形,共有()種選法.A.1種 B.2種 C.3種 D.4種【變式1-3】(23-24八年級(jí)·福建泉州·期末)如圖,用AB、BC、CD、AD四條鋼條固定成一個(gè)鐵框,相鄰兩鋼條的夾角均可調(diào)整,不計(jì)螺絲大小,重疊部分.若AB=5、BC=9、CD=7、AD=6,則所固定成的鐵框中,兩個(gè)頂點(diǎn)的距離最大值是(
)A.14 B.16 C.13 D.11【題型2與等腰三角形的邊長(zhǎng)的有關(guān)的問(wèn)題】【例2】(23-24八年級(jí)·江西吉安·期末)用12根等長(zhǎng)的火柴棒拼成一個(gè)等腰三角形,火柴棒不允許剩余、重疊、折斷,則能擺出不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)為個(gè).【變式2-1】(23-24八年級(jí)·遼寧丹東·期末)等腰三角形周長(zhǎng)為17,其中兩條邊長(zhǎng)分別為x和2x+1,則這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為(
)A.4或7 B.4 C.6 D.7【變式2-2】(23-24八年級(jí)·浙江衢州·階段練習(xí))周長(zhǎng)為12,各邊長(zhǎng)均為整數(shù)的等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為.【變式2-3】(23-24八年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試)在等腰△ABC中,AB=AC,AC腰上的中線BD將三角形周長(zhǎng)分為15和21兩部分,則這個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)為.【題型3三角形的高的有關(guān)的問(wèn)題】【例3】(24-25八年級(jí)·重慶銅梁·開(kāi)學(xué)考試)如圖,△ABC中,AB=18,BC=16,CE⊥AB于E,CE=12,點(diǎn)D在BC上移動(dòng),則AD的最小值是.【變式3-1】(23-24八年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期末)如圖,在△ABC中,AB=5,BC=4,AD⊥CD,CE⊥AE,AD=4,則CE的長(zhǎng)為.【變式3-2】(23-24八年級(jí)·山東德州·階段練習(xí))如圖,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分別為D,E,AD與CE相交于點(diǎn)O,連接BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F.若AB=5,BC=4,AC=6,則CE:AD:BF的值為?【變式3-3】(2024八年級(jí)·江蘇·專(zhuān)題練習(xí))如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),先以每秒2cm的速度沿A→C運(yùn)動(dòng),然后以1cm/s的速度沿C→B運(yùn)動(dòng).若設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒,那么當(dāng)【題型4利用中線解決三角形的面積問(wèn)題】【例4】(23-24八年級(jí)·四川資陽(yáng)·期末)如圖,已知△ABC的面積為12,D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn),AE、BF、CD交于點(diǎn)G,AG:GE=2:1,則圖中陰影部分的面積為(
)A.3 B.4 C.6 D.8【變式4-1】(23-24八年級(jí)·江蘇常州·期末)如圖,AD是△ABC的中線,AE=13AD,F是EC的中點(diǎn).若S△BEF【變式4-2】(23-24八年級(jí)·四川巴中·期末)如圖,已知A1,A2,A3?分別是AC,A1C,A2C?的中點(diǎn),B1,B2,B3?分別是【變式4-3】(23-24八年級(jí)·山東青島·期末)如圖,在△ABC中,D是AC的中點(diǎn),E是AB上的一點(diǎn),且AE=4BE,BD與CE相交于點(diǎn)F,若△CDF的面積為4,則△ABC的面積為.【題型5利用三角形的三邊關(guān)系解決線段的和差比較問(wèn)題】【例5】(23-24八年級(jí)·安徽安慶·期中)已知:如圖,點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn).求證:
(1)BD+CD<AB+AC;(2)AD+BD+CD<AB+BC+AC.【變式5-1】(2024八年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))如圖,已知點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接BD并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E,求證:AB+AC>DB+DC.
【變式5-2】(23-24八年級(jí)·山東青島·單元測(cè)試)如圖,設(shè)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且PC=BC,求證:AB>AP.
【變式5-3】(23-24八年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè))如圖,AC,BD是四邊形ABCD的對(duì)角線,且AC,BD相交于點(diǎn)O.求證:(1)AB+CD<AC+BD;(2)AC+BD>1【考點(diǎn)2與三角形有關(guān)的角】【知識(shí)點(diǎn)1三角形的內(nèi)角】三角形內(nèi)角和定理:三角形的內(nèi)角和為180°.推論:(1)直角三角形的兩個(gè)銳角互余(2)有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形【知識(shí)點(diǎn)2三角形的外角】三角形外角性質(zhì):(1)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.(2)三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.三角形的外角和:三角形的外角和等于360°.【題型6利用三角形的內(nèi)角和定理解決折疊中的角度計(jì)算】【例6】(23-24八年級(jí)·廣西柳州·期中)如圖,將△ABC紙片沿DE折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處,且A'B平分∠ABC,A'C平分∠ACB,若∠1=42°,∠2=46°【變式6-1】(23-24八年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期末)如圖,在折紙活動(dòng)中,小明制作了一張△ABC紙片,點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上,將△ABC沿著DE折疊壓平使A與A'重合,若∠A=35°,則∠1+∠2的度數(shù)為(
A.70° B.105° C.140° D.35°【變式6-2】(23-24八年級(jí)·河北石家莊·期末)如圖,點(diǎn)M,N分別在AB,AC上,MN∥BC,將△ABC沿MN折疊后,使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處.若∠A'=30°,
【變式6-3】(2024八年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))如圖,把△ABC沿EF折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處,(1)若DE∥AC,試判斷∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;(2)若∠B+∠C=130°,求∠1+∠2的度數(shù).【題型7直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用】【例7】(23-24八年級(jí)·遼寧盤(pán)錦·期末)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D為AC上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E.(1)當(dāng)BD平分∠ABC,且∠ABC=60°時(shí),求∠BAE的度數(shù);(2)當(dāng)點(diǎn)D是AC中點(diǎn),DB=3,且△BCD的面積為94,求AE【變式7-1】(23-24八年級(jí)·貴州貴陽(yáng)·期末)如圖,直線a∥b,CD⊥AB于點(diǎn)D,若∠1=130°,則∠2等于(A.60° B.50° C.40° D.30°【變式7-2】(23-24八年級(jí)·浙江溫州·期末)圖1的指甲剪利用杠桿原理操作,圖2是使用指甲剪的側(cè)面示意圖,∠CEO=90°,杠桿BC與上臂OC重合;使用時(shí),B剛好至B'點(diǎn),當(dāng)A'B'∥OE時(shí),恰好CB''平分∠OCE【變式7-3】(23-24八年級(jí)·遼寧盤(pán)錦·期末)綜合與實(shí)踐課上,老師讓同學(xué)們以“三角形的角與三角形的特殊線段”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).(1)【初步探究】在△ABC中,∠B=42°,∠C=70°,作∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D.在圖1中,作AE⊥BC于E,求∠DAE的度數(shù);(2)【遷移探究】在△ABC中,∠B=42°,∠C=70°,作∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D.如圖2,在AD上任取點(diǎn)F,作FE⊥BC,垂足為點(diǎn)E,直接寫(xiě)出∠DFE的度數(shù);(3)【拓展應(yīng)用】如圖③,在△ABC中,∠C>∠B,AD平分∠BAC,點(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線上,F(xiàn)E⊥BC于E,求出∠DFE與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系.【題型8三角形外角的應(yīng)用】【例8】(23-24八年級(jí)·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí))在△ABC中,BD、BE分別是高和角平分線,點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上,F(xiàn)H⊥BE交BD于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)①∠DBE=∠EFH;②2∠BEF=∠BAF+∠C;③2∠EFH=∠BAC?∠C,④∠BGH=∠ABE+∠C;其中正確的有(
)個(gè).A.1 B.2 C.3 D.4【變式8-1】(23-24八年級(jí)·甘肅酒泉·期末)如圖,∠ACD是△ABC的外角,∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1,∠A1BC的平分線與(1)試確定∠A與∠A(2)若∠A2=16°【變式8-2】(23-24八年級(jí)·福建廈門(mén)·期末)如圖,AD∥BC,∠D=∠ABC,點(diǎn)E是邊DC上一點(diǎn),連接AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn).使得∠FBE=∠FEB,作∠FEH的角平分線EG交BH于點(diǎn)G,若∠DEH=110°,則∠BEG的度數(shù)為【變式8-3】(23-24八年級(jí)·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末)如圖,AD為△ABC的高,AE,BF為△ABC的角平分線,若∠CBF=32°,∠AFB=72°.(1)求∠DAE(2)若點(diǎn)G為線段BC上任意一點(diǎn),當(dāng)△GFC為直角三角形時(shí),求∠BFG【題型9三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)的綜合】【例9】(23-24八年級(jí)·福建福州·期中)已知在△ABC中,點(diǎn)D在AB上,且∠ACD=∠B.(1)如圖1,若CD⊥AB,求證:∠ACB=90°;(2)如圖2,AE平分∠BAC交CD于點(diǎn)F,交CB于點(diǎn)E.①求證:∠CFE=∠CEF;②△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,若∠M=33°,求∠CFE的度數(shù).【變式9-1】(23-24八年級(jí)·江蘇蘇州·期中)如圖,在△ABC中,AE平分∠BAC,AD⊥BC于點(diǎn)D,∠ABD的角平分線BF所在直線與射線AE相交于點(diǎn)G,若∠ABC=3∠C,且∠G=18°,則∠DFB的度數(shù)為()A.40° B.44° C.50° D.54°【變式9-2】(23-24八年級(jí)·天津東麗·期中)如圖,已知∠ABC=110°,AE平分∠BAD,CE平分∠DCB,CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F,設(shè)∠AEF=α,∠ADC=β,則下列關(guān)系正確的是()
A.β=110°+2a B.β=220°?2aC.β=110°+a D.β=250°?2a【變式9-3】(23-24八年級(jí)·江蘇鹽城·期中)已知:如圖①,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AD是角平分線,點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC上,∠CEF=45°,CF<CD,將△CEF繞點(diǎn)C以每秒5°的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周,旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t.當(dāng)EF所在直線與線段AD,AB有交點(diǎn)時(shí),交點(diǎn)分別為點(diǎn)M、點(diǎn)N.(1)當(dāng)t=15時(shí),如圖②,此時(shí)直線EF與AD的位置關(guān)系是,∠ANM=°;(2)是否存在某個(gè)時(shí)刻t,使得EF∥AD?若存在,求出(3)試探究:在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)t為何值時(shí),△AMN中有兩個(gè)角相等,請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值.【題型10與三角形的內(nèi)、外角性質(zhì)及角等分線相關(guān)的規(guī)律性問(wèn)題】【例10】(23-24八年級(jí)·山東青島·期末)【基礎(chǔ)探究1】(1)如圖1,△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,探求∠BPC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系;【基礎(chǔ)探究2】(2)如圖2,△ABC中,BP1、BP2是∠ABC的三等分線,CP1、CP【基礎(chǔ)探究3】(3)如圖3,△ABC中,BP1、BP2、BP3是∠ABC的四等分線,CP1、CP【拓展與探究】(4)如圖4,△ABC中,BP1、BP2、……、BPn?2、BPn?1是∠ABC的n等分線,CP1、CP2、……、CP【探究與應(yīng)用】(5)△ABC中,BP1、BP2、……、BP2023是∠ABC的2024等分線,CP1、CP2、……、CP2023是【變式10-1】(23-24八年級(jí)·江蘇無(wú)錫·期中)如圖將△ABC沿線段BC翻折至△FBC處,延長(zhǎng)AC、BD(點(diǎn)F在∠EAD內(nèi)部).請(qǐng)嘗試探究:(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出∠ECF、∠DBF與∠A的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________;(2)若CG平分∠ECF,BH平分∠FBD.點(diǎn)F在∠A內(nèi)部(如圖②),證明:CG∥(3)若射線CG、BH分別是∠ECF,∠DBF的n等分線(n為大于2的正整數(shù)),即∠GCF=1n∠ECF,∠HBF=1n∠DBF,射線CG和射線BH相交于點(diǎn)【變式10-2】(23-24八年級(jí)·陜西西安·期中)我們把有一組對(duì)頂角的兩個(gè)三角形組成的圖形叫做“8”字圖形,如圖1,AD,BC相交于點(diǎn)O,連接AB,CD得到“8”字圖形ABDC.(1)如圖1,試說(shuō)明∠A+∠B=∠C+∠D的理由;(2)如圖2,∠ABC和∠ADC的平分線相交于點(diǎn)E,利用(1)中的結(jié)論探索∠E與∠A、∠C間的關(guān)系;(3)如圖3,點(diǎn)E為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BQ、DP分別是∠ABC、∠ADE的四等分線,且∠CBQ=14∠ABC,∠EDP=14∠ADE,QB的延長(zhǎng)線與DP交于點(diǎn)P,請(qǐng)?zhí)剿鳌咀兪?0-3】(23-24八年級(jí)·江蘇南京·階段練習(xí))直線MN與直線PQ垂直相交于O,點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng).
(1)如圖1,已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線,點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,∠AEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不發(fā)生變化,試求出其值;(2)如圖2,延長(zhǎng)BA至G,已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及其延長(zhǎng)線相交于E、F,在△AEF中,如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍,試求∠ABO的度數(shù).(3)如圖3,延長(zhǎng)BA至G,已知∠BAO、∠OAG的n等分線(n∠OAE=∠BAO、n∠FAO=∠OAG)與∠BOQ的n等分線(n∠EOQ=∠BOQ)及其延長(zhǎng)線相交于E、F,在△AEF中,如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍,直接寫(xiě)出∠ABO的度數(shù).(結(jié)果可用含n的代數(shù)式表示)專(zhuān)題13.8三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明全章專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)【2大考點(diǎn)10種題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1與三角形有關(guān)的線段】 2【題型1三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用】 2【題型2與等腰三角形的邊長(zhǎng)的有關(guān)的問(wèn)題】 4【題型3三角形的高的有關(guān)的問(wèn)題】 6【題型4利用中線解決三角形的面積問(wèn)題】 10【題型5利用三角形的三邊關(guān)系解決線段的和差比較問(wèn)題】 13【考點(diǎn)2與三角形有關(guān)的角】 17【題型6利用三角形的內(nèi)角和定理解決折疊中的角度計(jì)算】 17【題型7直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用】 20【題型8三角形外角的應(yīng)用】 25【題型9三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)的綜合】 30【題型10與三角形的內(nèi)、外角性質(zhì)及角等分線相關(guān)的規(guī)律性問(wèn)題】 38【考點(diǎn)1與三角形有關(guān)的線段】【知識(shí)點(diǎn)1三角形三邊的關(guān)系】定理:三角形任意兩邊之和大于第三邊;三角形任意兩邊的之差小于第三邊.【知識(shí)點(diǎn)2三角形的分類(lèi)】【知識(shí)點(diǎn)3三角形的重要線段】(1)三角形的高:從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線,頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線,簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的高.【要點(diǎn)】三角形的三條高所在的直線相交于一點(diǎn)的位置情況有三種:銳角三角形交點(diǎn)在三角形內(nèi);直角三角形交點(diǎn)在直角頂點(diǎn);鈍角三角形交點(diǎn)在三角形外.(2)三角形的中線:三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對(duì)邊中點(diǎn)的連線叫三角形的中線,【要點(diǎn)】一個(gè)三角形有三條中線,它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn),叫做三角形的重心.中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形.(3)三角形的角平分線:三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.【要點(diǎn)】一個(gè)三角形有三條角平分線,它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn),這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.【知識(shí)點(diǎn)4三角形的穩(wěn)定性】
如果三角形的三邊固定,那么三角形的形狀大小就完全固定了,這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.【題型1三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用】【例1】(23-24八年級(jí)·河北石家莊·期末)一款可折疊晾衣架的示意圖如圖所示,支架OP=OQ=30cm(連接處的長(zhǎng)度忽略計(jì)),則點(diǎn)P,Q之間的距離可以是(
A.50cm B.65cm C.70cm【答案】A【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系,掌握三角形任意一邊小于其它兩邊之和是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定線段PQ的取值范圍,進(jìn)而完成解答.【詳解】解:∵OP=OQ=30cm∴30?30<PQ<30+30,即0<PQ<60,∴A選項(xiàng)符合題意.故選:A.【變式1-1】(23-24八年級(jí)·四川眉山·期中)若a,b,c是△ABC的三邊,試化簡(jiǎn):a?b?c+a+b?c【答案】2b【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系定理,絕對(duì)值的代數(shù)意義,不等式的性質(zhì).根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到a<b+c,a+b>c,然后再根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.解題的關(guān)鍵是掌握:三角形的任意兩邊之和大于第三邊.【詳解】解:∵a,b,c是△ABC的三邊,∴a<b+c,a+b>c,∴a?b?c<0,a+b?c>0,∴a?b?c=?=?a+b+c+a+b?c=2b.故答案為:2b.【變式1-2】(23-24八年級(jí)·湖北黃岡·階段練習(xí))長(zhǎng)為9、6、4、3的四根木條,選其中三根組成三角形,共有()種選法.A.1種 B.2種 C.3種 D.4種【答案】B【分析】根據(jù)任意兩邊之和大于第三邊判斷能否構(gòu)成三角形.【詳解】選其中3根組成一個(gè)三角形,不同的選法有9、6、4;9、6、3;9、4、3;6、4、3;能夠組成三角形的只有:9、6、4;6、4、3;共2種.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系,要注意三角形形成的條件:任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.當(dāng)題目指代不明時(shí),一定要分情況討論,把符合條件的保留下來(lái),不符合的舍去.【變式1-3】(23-24八年級(jí)·福建泉州·期末)如圖,用AB、BC、CD、AD四條鋼條固定成一個(gè)鐵框,相鄰兩鋼條的夾角均可調(diào)整,不計(jì)螺絲大小,重疊部分.若AB=5、BC=9、CD=7、AD=6,則所固定成的鐵框中,兩個(gè)頂點(diǎn)的距離最大值是(
)A.14 B.16 C.13 D.11【答案】C【分析】本題實(shí)際考查的是三角形的三邊關(guān)系定理,能夠正確的判斷出調(diào)整角度后三角形鐵框的組合方法是解答的關(guān)鍵.若兩個(gè)頂點(diǎn)的距離最大,則此時(shí)這個(gè)鐵框的形狀變化為三角形,可根據(jù)三條鋼條的長(zhǎng)來(lái)判斷有幾種三角形的組合,然后分別找出這些三角形的最長(zhǎng)邊即可.【詳解】解:已知AB=5、BC=9、CD=7、AD=6,選AB+BC、CD、AD作為三角形,則三邊長(zhǎng)為14、7、6,14>7+6,不能構(gòu)成三角形,此種情況不成立;選AB+AD、BC、CD作為三角形,則三邊長(zhǎng)為11、9、7,9?7<11<9+7,能構(gòu)成三角形,此時(shí)兩個(gè)頂點(diǎn)的距離最大為11;選AB、BC+CD、AD作為三角形,則三邊長(zhǎng)為5、16、6,5+6<16,不能構(gòu)成三角形,此種情況不成立;選AB、BC、CD+AD作為三角形,則三邊長(zhǎng)為5、9、13,9?5<13<9+5,構(gòu)成三角形,此時(shí)兩個(gè)頂點(diǎn)的距離最大為13;故選:C.【題型2與等腰三角形的邊長(zhǎng)的有關(guān)的問(wèn)題】【例2】(23-24八年級(jí)·江西吉安·期末)用12根等長(zhǎng)的火柴棒拼成一個(gè)等腰三角形,火柴棒不允許剩余、重疊、折斷,則能擺出不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)為個(gè).【答案】2【分析】本題根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理,得到不等式組,從而求出三邊滿(mǎn)足的條件,再根據(jù)三邊長(zhǎng)是整數(shù),進(jìn)而求解.【詳解】設(shè)擺出的三角形中相等的兩邊是x根,則第三邊是(12?2x)根,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得到:x+x>12?2x12?2x+x>x則x>3,x<6,又因?yàn)閤是整數(shù),∴x可以取4或5,因而三邊的值可能是:4,4,4或5,5,2;共二種情況,則能擺出不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)為2.故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系:在組合三角形的時(shí)候,注意較小的兩邊之和應(yīng)大于最大的邊,三角形三邊之和等于12.【變式2-1】(23-24八年級(jí)·遼寧丹東·期末)等腰三角形周長(zhǎng)為17,其中兩條邊長(zhǎng)分別為x和2x+1,則這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為(
)A.4或7 B.4 C.6 D.7【答案】D【分析】本題考查了三角形的三條邊的關(guān)系和一元一次方程的應(yīng)用的問(wèn)題.根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊,可得判斷出底邊是x,腰長(zhǎng)是2x+1,根據(jù)題意列出方程求解即可.【詳解】解:若x是腰,則底邊長(zhǎng)是2x+1,應(yīng)該滿(mǎn)足兩腰之和大于底,但是2x<2x+1,所以只能x是底邊,則腰長(zhǎng)是2x+1,由題意得x+22x+1解得x=3,∴2x+1=7,故答案為:D.【變式2-2】(23-24八年級(jí)·浙江衢州·階段練習(xí))周長(zhǎng)為12,各邊長(zhǎng)均為整數(shù)的等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為.【答案】2、5、5或4、4、4.【分析】已知等腰三角形的周長(zhǎng),求三邊,則需要列出所有的組合形式,然后根據(jù)三角形的構(gòu)造條件判斷哪些符合.【詳解】等腰三角形的三邊均為整數(shù)且它的周長(zhǎng)為12cm,那三邊的組合方式有以下幾種:①1,1,10;②2,2,8;③3,3,6;④4,4,4;⑤5,5,2;又因?yàn)槿切蝺蛇呏痛笥诘谌?,兩邊之差小于第三邊,則④⑤符合.它的三邊長(zhǎng)為或4,4,4,或2,5,5.故答案為2,5,5或4,4,4.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系;已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況,分類(lèi)進(jìn)行討論,還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答,這點(diǎn)非常重要,也是解題的關(guān)鍵;其中三邊為整數(shù)也是非常重要的條件.【變式2-3】(23-24八年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試)在等腰△ABC中,AB=AC,AC腰上的中線BD將三角形周長(zhǎng)分為15和21兩部分,則這個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)為.【答案】16或8【分析】本題由題意可知有兩種情況,AB+AD=15或AB+AD=21.從而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系可求出底邊為8或16.【詳解】解:∵BD是等腰△ABC的中線,可設(shè)AD=CD=x,則AB=AC=2x又知BD將三角形周長(zhǎng)分為15和21兩部分∴可知分為兩種情況①AB+AD=15,即3x=15,解得x=5,此時(shí)BC=21﹣x=21﹣5=16②AB+AD=21,即3x=21,解得x=7;此時(shí)等腰△ABC的三邊分別為14,14,8經(jīng)驗(yàn)證,這兩種情況都是成立的∴這個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)為8或16故答案為:16或8【點(diǎn)睛】本題主要考查來(lái)了等邊三角形的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系(兩邊之和大于第三邊,兩邊只差小于第三邊),注意求出的結(jié)果燕驗(yàn)證三角形的三邊關(guān)系,掌握分類(lèi)討論思想是解題的關(guān)鍵.【題型3三角形的高的有關(guān)的問(wèn)題】【例3】(24-25八年級(jí)·重慶銅梁·開(kāi)學(xué)考試)如圖,△ABC中,AB=18,BC=16,CE⊥AB于E,CE=12,點(diǎn)D在BC上移動(dòng),則AD的最小值是.【答案】27【分析】本題考查了與三角形高有關(guān)的計(jì)算,垂線段最短,根據(jù)題意,當(dāng)AD⊥BC時(shí),AD有最小值,利用12【詳解】解:根據(jù)題意得:當(dāng)AD⊥BC時(shí),AD有最小值,∵△ABC中,AB=18,BC=16,CE⊥AB于E,CE=12,∴12∴1∴AD=27故答案為:272【變式3-1】(23-24八年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期末)如圖,在△ABC中,AB=5,BC=4,AD⊥CD,CE⊥AE,AD=4,則CE的長(zhǎng)為.【答案】16【分析】本題考查了三角形的面積,直接根據(jù)等面積法求解即可.【詳解】解:∵AD⊥CD,∴AD、CE都是∴S△ABC∴CE=BC?AD故答案為:16【變式3-2】(23-24八年級(jí)·山東德州·階段練習(xí))如圖,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分別為D,E,AD與CE相交于點(diǎn)O,連接BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F.若AB=5,BC=4,AC=6,則CE:AD:BF的值為?【答案】12:15:10【分析】本題主要考查三角形的高,由題意得:BF⊥AC,再根據(jù)三角形的面積公式,可得S△ABC【詳解】解:∵在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E,AD與CE交于點(diǎn)O,∴BF⊥AC,∵AB=5,BC=4,AC=6,∴S△ABC∴S△ABC∴CE:AD:BF=12:15:10,故答案是:12:15:10.【變式3-3】(2024八年級(jí)·江蘇·專(zhuān)題練習(xí))如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),先以每秒2cm的速度沿A→C運(yùn)動(dòng),然后以1cm/s的速度沿C→B運(yùn)動(dòng).若設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒,那么當(dāng)【答案】52或113【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,三角形的面積公式的運(yùn)用,解答時(shí)靈活運(yùn)用三角形的面積公式求解是關(guān)鍵.分為兩種情況討論:當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí):當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí),根據(jù)三角形的面積公式建立方程求出其解即可.【詳解】解:如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在AC上,∵△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,點(diǎn)E是BC∴CE=4,AP=2t.∵△APE的面積等于10,∴S∴AP=5,即AP=2t=5,∴t=5如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在BC上,∵E是BC的中點(diǎn),∴BE=CE=4.∵S=1∴EP=10當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的左邊時(shí),t=3+4?10當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的右邊時(shí),t=3+4+10綜上所述,當(dāng)t=52或113或31故答案為52或113或【題型4利用中線解決三角形的面積問(wèn)題】【例4】(23-24八年級(jí)·四川資陽(yáng)·期末)如圖,已知△ABC的面積為12,D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn),AE、BF、CD交于點(diǎn)G,AG:GE=2:1,則圖中陰影部分的面積為(
)A.3 B.4 C.6 D.8【答案】B【分析】此題考查三角形的面積,涉及中線平分三角形的面積,得S△ABE=12S△ABC,【詳解】解:∵E是BC的中點(diǎn),∴S△ABE又∵AG:GE=2:1,∴S△BAG又∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),∴S△BDG同理S△CFG∴圖中陰影部分的面積為S△BDG故選B.【變式4-1】(23-24八年級(jí)·江蘇常州·期末)如圖,AD是△ABC的中線,AE=13AD,F是EC的中點(diǎn).若S△BEF【答案】30【分析】此題考查三角形中線的性質(zhì)和三角形面積,先求出S△BEC=2S△BEF=20,再求出S△BDE=S△CDE【詳解】解:∵F是EC的中點(diǎn).S△BEF∴S△BEC∵AD是△ABC的中線,∴D是BC的中點(diǎn),∴S∵AE=∴AE=∴S△ABE∴S△ABD∵AD是△ABC的中線,∴S故答案為:30【變式4-2】(23-24八年級(jí)·四川巴中·期末)如圖,已知A1,A2,A3?分別是AC,A1C,A2C?的中點(diǎn),B1,B2,B3?分別是【答案】1【分析】本題考查三角形的中線性質(zhì)、數(shù)字類(lèi)規(guī)律探究,先根據(jù)三角形的中線性質(zhì)和三角形的面積公式求得前幾個(gè)三角形的面積,然后找到變化規(guī)律,進(jìn)而可求解.【詳解】解:由題意,S△S△S△……,依次類(lèi)推,S△∴S△∴△A2024B故答案為:12【變式4-3】(23-24八年級(jí)·山東青島·期末)如圖,在△ABC中,D是AC的中點(diǎn),E是AB上的一點(diǎn),且AE=4BE,BD與CE相交于點(diǎn)F,若△CDF的面積為4,則△ABC的面積為.【答案】12【分析】本題考查了根據(jù)三角形中線求面積,根據(jù)三角形面積等高模型得到S△ACF:S△AEF=4:1是解題的關(guān)鍵.連接AF,根據(jù)中點(diǎn)可得S△ADF=S△CDF=4,根據(jù)AE=4BE可得【詳解】解:連接AF,如圖所示:∵D是AC的中點(diǎn),S△CDF=4∴S△ADF=又∵AE=4BE,∴S設(shè)S△BEF=x,則∵S∴S∴S∴CF:EF=5:1,∴S∴S解得:x=2∴S故答案為:12.【題型5利用三角形的三邊關(guān)系解決線段的和差比較問(wèn)題】【例5】(23-24八年級(jí)·安徽安慶·期中)已知:如圖,點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn).求證:
(1)BD+CD<AB+AC;(2)AD+BD+CD<AB+BC+AC.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】(1)延長(zhǎng)BD交AC于E,從而找到BD+CD與AB+AC的中間量BE+CE,再利用不等式的傳遞性(若a<b,b<c,則a<c.)得出BD+CD<AB+AC;(2)同理可得AD+CD<AB+BC,BD+AD<BC+AC,與(1)結(jié)論左邊加左邊,右邊加右邊,再兩邊除以2即可.【詳解】(1)證明:延長(zhǎng)BD交AC于E,
在△ABE中,有AB+AE>BE,∴AB+AC=AB+AE+CE>BE+CE,在△EDC中,有DE+CE>CD,∴BE+CE=BD+DE+CE>BD+CD,∴AB+AC>BE+CE>BD+CD,∴BD+CD<AB+AC;(2)解:由(1)同理可得:BD+CD<AB+AC①,AD+CD<AB+BC②,BD+AD<BC+AC③,①+②+③得:2(AD+BD+CD)<2(AB+BC+AC),∴AD+BD+CD<AB+BC+AC.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系,不等式的性質(zhì),能否根據(jù)題意添加輔助線和利用不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式5-1】(2024八年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))如圖,已知點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接BD并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E,求證:AB+AC>DB+DC.
【答案】見(jiàn)解析【分析】在△ABE中運(yùn)用三角形三邊關(guān)系可得AB+AE>BE①,再根據(jù)線段的和差可得AC=AE+EC②,①+②可得:【詳解】證明:∵在△ABE中,可得AB+AE>BE①,AC=AE+EC∴①+②可得:∵在△DCE中,可得DE+EC>DC③,BE=ED+BD④∴BE+EC>BD+DC,∴AB+AC>DB+DC.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的三邊關(guān)系,找準(zhǔn)三角形并靈活運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.【變式5-2】(23-24八年級(jí)·山東青島·單元測(cè)試)如圖,設(shè)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且PC=BC,求證:AB>AP.
【答案】見(jiàn)解析【分析】延長(zhǎng)CP交AB于點(diǎn)D,根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出BC+BD>CP+PD,AD+PD>AP,整理得出BC+AB>CP+AP,根據(jù)PC=BC,得出AB>AP.【詳解】證明:延長(zhǎng)CP交AB于點(diǎn)D,如圖所示:
∵BC+BD>CP+PD,AD+PD>AP,∴BC+BD+AD+PD>CP+PD+AP,∴BC+AB+PD>CP+PD+AP,即BC+AB>CP+AP,∵PC=BC,∴AB>AP.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系,解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.【變式5-3】(23-24八年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè))如圖,AC,BD是四邊形ABCD的對(duì)角線,且AC,BD相交于點(diǎn)O.求證:(1)AB+CD<AC+BD;(2)AC+BD>1【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】(1)在△ABO和△COD中,利用三角形三邊關(guān)系即可求證結(jié)論.(2)由(1)得,AB+CD<AC+BD,在△AOD和△COB中,利用三角形三邊關(guān)系可得AD+BC<AC+BD,利用等量關(guān)系即可求證結(jié)論.【詳解】(1)證明:∵在△ABO和△COD中,AO+BO>AB,CO+DO>DC,∴AO+CO+BO+DO>AB+DC,即AB+CD<AC+BD.(2)由(1)得,AB+CD<AC+BD,同理可得,AD+BC<AC+BD,∴AB+BC+CD+AD<2AC+BD即AC+BD>1【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系,熟練掌握三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)2與三角形有關(guān)的角】【知識(shí)點(diǎn)1三角形的內(nèi)角】三角形內(nèi)角和定理:三角形的內(nèi)角和為180°.推論:(1)直角三角形的兩個(gè)銳角互余(2)有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形【知識(shí)點(diǎn)2三角形的外角】三角形外角性質(zhì):(1)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.(2)三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.三角形的外角和:三角形的外角和等于360°.【題型6利用三角形的內(nèi)角和定理解決折疊中的角度計(jì)算】【例6】(23-24八年級(jí)·廣西柳州·期中)如圖,將△ABC紙片沿DE折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處,且A'B平分∠ABC,A'C平分∠ACB,若∠1=42°,∠2=46°【答案】112°/112度【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí),靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí),學(xué)會(huì)添加常用輔助線是解答本題的關(guān)鍵,屬于中考??碱}型.連接AA',根據(jù)折疊的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)求出【詳解】解:如圖,連接AA∵沿DE折疊,∴∠DAA'=∠D∵∠1=∠DAA'+∠D∴∠1+∠2=2∠DAA∴∠BAC=44°,∴∠ABC+∠ACB=136°,∵A'B平分∠ABC,A'∴∠A'BC=∴∠A∴∠BA故答案為:112°.【變式6-1】(23-24八年級(jí)·黑龍江哈爾濱·期末)如圖,在折紙活動(dòng)中,小明制作了一張△ABC紙片,點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上,將△ABC沿著DE折疊壓平使A與A'重合,若∠A=35°,則∠1+∠2的度數(shù)為(
A.70° B.105° C.140° D.35°【答案】A【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理,折疊的性質(zhì),先由三角形內(nèi)角和定理得到∠ADE+∠AED=180°?∠A=145°,再由折疊的性質(zhì)得到∠A'ED=∠AED【詳解】解:∵∠A=35°,∴∠ADE+∠AED=180°?∠A=145°,由折疊的性質(zhì)可得∠A∴∠A∵∠A∴∠1+∠2=360°?∠A故選:A.【變式6-2】(23-24八年級(jí)·河北石家莊·期末)如圖,點(diǎn)M,N分別在AB,AC上,MN∥BC,將△ABC沿MN折疊后,使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處.若∠A'=30°,
【答案】120【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理,平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì),由折疊性質(zhì)可得∠A=∠A'=28°,∠A'NM=∠ANM,根據(jù)三角形內(nèi)角和求出【詳解】解:根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠A=∠A∵∠A=30°,∴∠C=180°?∠A?∠B=30°,∵M(jìn)N∥∴∠ANM=∠C,∴∠CNM=180°?∠C=150°,∵∠A∴∠A∴∠A故答案為:120.【變式6-3】(2024八年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))如圖,把△ABC沿EF折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處,(1)若DE∥AC,試判斷∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;(2)若∠B+∠C=130°,求∠1+∠2的度數(shù).【答案】(1)∠1=∠2,見(jiàn)解析(2)100°【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì),平行線的性質(zhì),等量代換思想解答即可;(2)根據(jù)∠A+∠B+∠C=180°,∠B+∠C=130°,得到∠A=50°,根據(jù)DE∥AC,得到∠1=∠2=∠A=50°,計(jì)算∠1+∠2的度數(shù).本題考查了折疊的性質(zhì),平行線的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,熟練掌握平行線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【詳解】(1)解:∠1=∠2,理由如下:∵∠D是由∠A翻折得到,∴∠D=∠A,∵DE∥AC,∴∠1=∠A,∠2=∠D,∴∠1=∠2.(2)解:∵∠A+∠B+∠C=180°,∠B+∠C=130°,∴∠A=50°,∵DE∥AC,∴∠1=∠2=∠A=50°,∴∠1+∠2=50°+50°=100°.【題型7直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用】【例7】(23-24八年級(jí)·遼寧盤(pán)錦·期末)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D為AC上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E.(1)當(dāng)BD平分∠ABC,且∠ABC=60°時(shí),求∠BAE的度數(shù);(2)當(dāng)點(diǎn)D是AC中點(diǎn),DB=3,且△BCD的面積為94,求AE【答案】(1)∠BAE=60°;(2)AE=3【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義及直角三角形的性質(zhì)求解即可;(2)由點(diǎn)D是AC中點(diǎn)得S△ADB=S此題考查了角平分線的定義,三角形中線的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),等面積法,熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.【詳解】(1)解:∵BD平分∠ABC,∠ABC=60°,∴∠ABE=30°,∵AE⊥BD,∴∠AEB=90°,∴∠BAE=90°?30°=60°;(2)解:∵點(diǎn)D是AC中點(diǎn),∴AD=DC,∵S△ADB=1∴S△ADB∵S△ADB∴32∴AE=3【變式7-1】(23-24八年級(jí)·貴州貴陽(yáng)·期末)如圖,直線a∥b,CD⊥AB于點(diǎn)D,若∠1=130°,則∠2等于(A.60° B.50° C.40° D.30°【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì),垂直的定義,直角三角形的兩銳角互余,先根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ABC+∠1=180°,則有,∠ABC=50°再根據(jù)垂直的定義得∠BDC=90°,然后利用,∠ABC+∠2=90°計(jì)算∠2的度數(shù)即可,掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:∵a∥∴∠ABC+∠1=180°,∵∠1=130°,∴∠ABC=50°,∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,∴∠ABC+∠2=90°,∴∠2=40°,故選:C.【變式7-2】(23-24八年級(jí)·浙江溫州·期末)圖1的指甲剪利用杠桿原理操作,圖2是使用指甲剪的側(cè)面示意圖,∠CEO=90°,杠桿BC與上臂OC重合;使用時(shí),B剛好至B'點(diǎn),當(dāng)A'B'∥OE時(shí),恰好CB''平分∠OCE【答案】12【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì),角平分線的定義,直角三角形兩銳角互余等知識(shí).延長(zhǎng)CB′交OE于點(diǎn)H,先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠OHC=∠CB'A'=129°,進(jìn)而求出∠CHE=51°,根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ECH=39°【詳解】解:延長(zhǎng)CB'交OE于點(diǎn)∵A'∴∠OHC=∠CB∴∠CHE=180°?∠OHC=51°,∵∠CEO=90°,∴∠ECH=90°?∠CHE=39°.∵CB''平分∴∠ECO=2∠ECH=78°,∴∠COE=90°?∠ECO=12°.故答案為:12【變式7-3】(23-24八年級(jí)·遼寧盤(pán)錦·期末)綜合與實(shí)踐課上,老師讓同學(xué)們以“三角形的角與三角形的特殊線段”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).(1)【初步探究】在△ABC中,∠B=42°,∠C=70°,作∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D.在圖1中,作AE⊥BC于E,求∠DAE的度數(shù);(2)【遷移探究】在△ABC中,∠B=42°,∠C=70°,作∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D.如圖2,在AD上任取點(diǎn)F,作FE⊥BC,垂足為點(diǎn)E,直接寫(xiě)出∠DFE的度數(shù);(3)【拓展應(yīng)用】如圖③,在△ABC中,∠C>∠B,AD平分∠BAC,點(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線上,F(xiàn)E⊥BC于E,求出∠DFE與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)∠DAE=14°(2)∠DFE=14°(3)∠DFE=【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理,角平分線性質(zhì),直角三角形兩銳角互余,熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,可求得∠BAC=180°?∠B?∠C=68°,由AD平分∠BAC,得到∠CAD=12∠BAC=34°,又根據(jù)AE⊥BC,可得∠CAE=20°(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,可求得∠BAC=180°?∠B?∠C=68°,由AD平分∠BAC,得到∠CAD=12∠BAC=34°,由三角形內(nèi)角和定理求得∠ADC=76°,再根據(jù)FE⊥BC(3)同理,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和AD平分∠BAC,得到∠CAD=12∠BAC=90°?12∠B+∠C,【詳解】(1)解:在△ABC中,∠B=42°,∠C=70°,∴∠BAC=180°?∠B?∠C=180°?42°?70°=68°,∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=1∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°,∵∠C=70°,∴∠CAE=90°?70°=20°,∴∠DAE=∠CAD?∠CAE=34°?20°=14°.(2)解:在△ABC中,∠B=42°,∠C=70°,∴∠BAC=180°?∠B?∠C=180°?42°?70°=68°,∵AD平分∠BAC.,∴∠CAD=1在△ADC中,∠C=70°,∴∠ADC=180°?70°?34°=76°,∵FE⊥BC,∴∠FED=90°,∴∠DFE=90°?∠ADC=90°?76°=14°.(3)解:在△ABC中,∠BAC=180°?∠B+∠C∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=1在△ADC中∠ADC=180°?∠C?∠CAD=180°?∠C?90°+=90°+∵FE⊥BC,∴∠FED=90°,∴∠DFE=90°?∠ADC=90°?90°?1【題型8三角形外角的應(yīng)用】【例8】(23-24八年級(jí)·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí))在△ABC中,BD、BE分別是高和角平分線,點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上,F(xiàn)H⊥BE交BD于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)①∠DBE=∠EFH;②2∠BEF=∠BAF+∠C;③2∠EFH=∠BAC?∠C,④∠BGH=∠ABE+∠C;其中正確的有(
)個(gè).A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【分析】①根據(jù)BD⊥AC,F(xiàn)H⊥BE,由直角三角形銳角互余可證明;②根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論正確;③根據(jù)三角形的內(nèi)角和和角平分線的定義,進(jìn)行等量代換,即可證明結(jié)論正確;④根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論正確.【詳解】解:有題意可知BD⊥AC,F(xiàn)H⊥BE∴∠DBE+∠BED=∠EFH+∠BED=90°∴∠DBE=∠EFH①正確;∵BE是角平分線,∴∠BAF=∠C+∠ABC=∠C+2∠CBE∴∠BAF+∠C=2∠C+2∠CBE∵∠BEF=∠C+∠CBE∴2∠BEF=∠BAF+∠C②正確;∵∠EFH=∠DBE=90°?∠BED=90°?=90°?=90°?=∴2∠EFH=∠BAC?∠C③正確;∵∠DBE+∠BED=∠EFH+∠DGF=90°,∠DBE=∠EFH∴∠EFH=∠DBE=∠C+∠CBE=∠C+∠ABE∵∠EFH=∠BGH∴∠BGH=∠ABE+∠C④正確;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理,正確運(yùn)用三角形的高、中線和角平分線的概念以及三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式8-1】(23-24八年級(jí)·甘肅酒泉·期末)如圖,∠ACD是△ABC的外角,∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1,∠A1BC的平分線與(1)試確定∠A與∠A(2)若∠A2=16°【答案】(1)∠A(2)64°【分析】本題考查了角平分線,三角形外角的性質(zhì)等知識(shí).熟練掌握角平分線,三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.(1)由A1B是∠ABC的平分線,A1C是∠ACD的平分線可得∠A1BC=12(2)同理(1)可得∠A2=【詳解】(1)解:∠A∵A1B是∠ABC的平分線,A1∴∠A1BC=又∵∠ACD=∠A+∠ABC,∴12∴∠A(2)解:同理(1)可得∠A∴∠A∴∠A=2∠A∴∠A的度數(shù)為64°.【變式8-2】(23-24八年級(jí)·福建廈門(mén)·期末)如圖,AD∥BC,∠D=∠ABC,點(diǎn)E是邊DC上一點(diǎn),連接AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn).使得∠FBE=∠FEB,作∠FEH的角平分線EG交BH于點(diǎn)G,若∠DEH=110°,則∠BEG的度數(shù)為【答案】35°/35度【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)和判定,三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理,本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和進(jìn)行列式計(jì)算.由平行線的判定和性質(zhì)求出∠CEH=∠FAE=70°,并表示出∠AEF,由三角形外角的性質(zhì)求出∠AFE=2∠FEB,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可.【詳解】解:∵AD∥∴∠ABC+∠BAD=180°,∵∠D=∠ABC,∴∠D+∠BAD=180°,∴AB∥∴∠CEH=∠FAE∵∠DEH=110°,∴∠CEH=∠FAE=70°,∵∠FBE=∠FEB,∠AFE=∠FBE+∠FEB,∴∠AFE=2∠FEB,∵∠FEH的角平分線為EG,∴∠GEH=∠FEG,∵∠AEF=180°?∠FEG?∠GEH=180°?2∠GEH,∴70°+2∠FEB+180°?2∠GEH=180°,∴∠GEH?∠FEB=35°,∴∠BEG=∠FEG?∠FEB=∠GEH?∠FEB=35°.故答案為:35°.【變式8-3】(23-24八年級(jí)·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末)如圖,AD為△ABC的高,AE,BF為△ABC的角平分線,若∠CBF=32°,∠AFB=72°.(1)求∠DAE(2)若點(diǎn)G為線段BC上任意一點(diǎn),當(dāng)△GFC為直角三角形時(shí),求∠BFG【答案】(1)∠(2)∠BFG的度數(shù)為58°或【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角的性質(zhì),角平分線的定義等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí),屬于中考??碱}型.(1)先求出∠C=40°,∠ABC=2∠CBF=64°,則∠BAD=90°?∠ABC=26°,進(jìn)而推出∠BAC=76°,再得出∠BAE=1根據(jù)∠DAE=∠BAE?∠BAD,求出∠BAE即可解決問(wèn)題.(2)分兩種情況:①當(dāng)∠FGC=90°時(shí).②當(dāng)∠GFC=90°時(shí),分別求解即可.【詳解】(1)解:∵∠AFB=∠FBC+∠C,∠CBF=32°,∠AFB=72°,∴∠C=72°?32°=40°,∵BF平分∠ABC,∴∠ABC=2∠CBF=64°,∵AD為△ABC的高,∴∠BAD=90°?∠ABC=26°,∴∠BAC=180°?∠ABC?∠C=180°?64°?40°=76°,∵AE平分∠BAC∴∠BAE=1∴∠DAE=(2)解:分兩種情況:①當(dāng)∠FGC=90°時(shí),則∠BGF=90°,∴∠BFG=90°?∠FBC=90°?32°=58°;②當(dāng)∠GFC=90°時(shí),則∠FGC=90°?40°=50°,∴∠BFG=∠FGC?∠EBF=50°?32°=18°;綜上所述:∠BFG的度數(shù)為58°或18°.【題型9三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)的綜合】【例9】(23-24八年級(jí)·福建福州·期中)已知在△ABC中,點(diǎn)D在AB上,且∠ACD=∠B.(1)如圖1,若CD⊥AB,求證:∠ACB=90°;(2)如圖2,AE平分∠BAC交CD于點(diǎn)F,交CB于點(diǎn)E.①求證:∠CFE=∠CEF;②△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,若∠M=33°,求∠CFE的度數(shù).【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析;②57°【分析】(1)根據(jù)垂直定義,得到∠ADC=90°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,結(jié)合∠ACD=∠B即可得證;(2)①根據(jù)角平分線的定義,得到∠CAE=∠BAE=12∠BAC,在△ABE和△ACF中,根據(jù)三角形外角性質(zhì),結(jié)合∠ACD=∠B,可得結(jié)論;②根據(jù)角平分線的定義,證明∠EAN=90°,得到∠EAM=90°,得到∠M+∠AEM=90°,根據(jù)∠M=33°,得到∠AEM=57°【詳解】(1)∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°,∵∠A+∠ADC+∠ACD=∠A+∠ACB+∠B=180°,且∠ACD=∠B,∴∠ACB=∠ADC=90°;(2)①∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=∠BAE=1∵∠CEF=∠B+∠BAE,∠CFE=∠ACD+∠CAE,且∠ACD=∠B,∴∠CEF=∠CFE;②∵M(jìn)N平分∠BAG,∴∠BAN=∠GAN=1∵∠BAE=∠CAE=1∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=1∴∠EAM=180°?∠EAN=90°,∴∠M+∠AEM=90°,∵∠M=33°,∴∠AEM=57°,由①知,∠CFE=57°.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形角平分線.熟練掌握三角形角平分線的定義,垂直定義,三角形的內(nèi)角和定理,平角性質(zhì),直角三角形的兩個(gè)銳角性質(zhì),三角形的外角性質(zhì),是解題的關(guān)鍵.【變式9-1】(23-24八年級(jí)·江蘇蘇州·期中)如圖,在△ABC中,AE平分∠BAC,AD⊥BC于點(diǎn)D,∠ABD的角平分線BF所在直線與射線AE相交于點(diǎn)G,若∠ABC=3∠C,且∠G=18°,則∠DFB的度數(shù)為()A.40° B.44° C.50° D.54°【答案】D【分析】由題意推出∠CAE=∠BAE,∠ABF=∠DBF,設(shè)∠CAE=∠BAE=x,設(shè)∠C=y,∠ABC=3y,用含x和y的代數(shù)式表示【詳解】解:如圖:∵AE平分∠BAC,BF平分∠ABD,∴∠CAE=∠BAE,設(shè)∠CAE=∠BAE=x,由外角的性質(zhì)得:∠1=∠BAE+∠G=x+18°,∠2=1∴x+18=x+1解得:y=36°,∴∠1=∠2=1∵AD⊥DC,∴∠D=90°,∴∠DFB=90°?∠2=54°.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理,三角形外角的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題.【變式9-2】(23-24八年級(jí)·天津東麗·期中)如圖,已知∠ABC=110°,AE平分∠BAD,CE平分∠DCB,CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F,設(shè)∠AEF=α,∠ADC=β,則下列關(guān)系正確的是()
A.β=110°+2a B.β=220°?2aC.β=110°+a D.β=250°?2a【答案】D【分析】延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)G,設(shè)∠BAD的度數(shù)為2x,∠DCB的度數(shù)為2y,通過(guò)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)得到x+y=β?110°2之間的關(guān)系,在根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠B+∠BFC+∠BCF=180°,將【詳解】解:如圖,延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)G,
設(shè)∠BAD的度數(shù)為2x,∠DCB的度數(shù)為2y,∵AE平分∠BAD,CE平分∠DCB,∴∠EAF=1∵∠ADC=β,∴∠DGC=∠ADC?∠DCG=β?2y,∴∠BGD=180°?∠DGC=180°?β+2y,在△BAG中,∠B+∠BAG+∠BGA=110°+2x+180°?β+2y=180°,∴x+y=β?110°∵∠AEF=α,∴∠CFB=∠FAE+∠AEF=x+α,在△BFC中,∠BFC+∠FBC+∠B=x+α+y+110°=180°,將x+y=β?110°2代入可得整理得β=250°?2a,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義,三角形的內(nèi)角和定理,三角形外角的性質(zhì),考慮延長(zhǎng)AD得到三角形,進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)換,用α,β表示同一個(gè)三角形中的內(nèi)角得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式9-3】(23-24八年級(jí)·江蘇鹽城·期中)已知:如圖①,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AD是角平分線,點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC上,∠CEF=45°,CF<CD,將△CEF繞點(diǎn)C以每秒5°的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周,旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t.當(dāng)EF所在直線與線段AD,AB有交點(diǎn)時(shí),交點(diǎn)分別為點(diǎn)M、點(diǎn)N.(1)當(dāng)t=15時(shí),如圖②,此時(shí)直線EF與AD的位置關(guān)系是,∠ANM=°;(2)是否存在某個(gè)時(shí)刻t,使得EF∥AD?若存在,求出(3)試探究:在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)t為何值時(shí),△AMN中有兩個(gè)角相等,請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值.【答案】(1)EF⊥AD,60(2)33或69(3)t的值為9或18或54或63【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用,三角形外角的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合,注意分類(lèi)討論.(1)根據(jù)題中條件,求得∠AOM=∠EOC=60°,由此可求得∠AME=90°,即EF⊥AD,同時(shí)可求得∠ANM;(2)分兩種情況討論:當(dāng)EF在點(diǎn)C的左邊時(shí),當(dāng)EF在點(diǎn)C的右邊時(shí),分別畫(huà)出圖形,求出結(jié)果即可;(3)分情況進(jìn)行討論,①∠MAN=∠ANM=30°,求得CE旋轉(zhuǎn)45°或315°,②∠AMN=∠ANM,可求得CE旋轉(zhuǎn)90°或270°.【詳解】(1)解:如圖所示,EF與AC交于點(diǎn)O,∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°,∵AD是角平分線,∴∠CAD=1當(dāng)t=15時(shí),根據(jù)由旋轉(zhuǎn)可知:∠ECA=75°,∴∠EOC=180°?∠ECA?∠FEC=180°?75°?45°=60°,∴∠AOM=∠EOC=60°,∵∠CAD=30°,∴∠AME=90°,∴直線EF與AD的位置關(guān)系是:垂直,∵∠AOM=∠BAC=60°,∴∠ANM=180°?60°?60°=60°.(2)解:如圖,當(dāng)EF在點(diǎn)C的左邊時(shí),延長(zhǎng)BC交EF于點(diǎn)G,∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°,∵AD是角平分線,∴∠CAD=1∴∠ADC=90°?30°=60°,∵EF∥∴∠FGH=∠ADC=60°,∵∠ECF=90°,∠CEF=45°,∴∠CFE=45°,∴∠GCF=∠FGH?∠EFC=15°,∴∠DCF=180°?∠GCF=165°,∴t=165÷5=33;如圖,當(dāng)EF在點(diǎn)C的右邊時(shí),∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°,∵AD是角平分線,∴∠CAD=1∴∠ADC=90°?30°=60°,∵EF∥∴∠EGC=∠ADC=60°,∵∠ECF=90°,∠CEF=45°,∴∠CFE=45°,∴∠GCF=∠EGC?∠EFC=15°,∴根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知,旋轉(zhuǎn)角為:360°?15°=345°,∴t=345÷5=69;綜上分析可知:t=33或69時(shí),使得EF∥(3)解:由題意可知,∠MAN=1①當(dāng)∠MAN=∠ANM=30°,∴∠AON=180°?∠CAB?∠ONA=180°?60°?30°=90°,∴∠EOC=∠AON=90°,∵∠CEF=45°,∴∠ECO=45°,即當(dāng)CE旋轉(zhuǎn)45°時(shí),△AMN中有兩個(gè)角相等,如圖所示,∴此時(shí)t=45÷5=9;②∠MAN=∠AMN=30°時(shí),則:∠AMN=∠CAD,∴MN∥AC,即則CE旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為:360°?45°=315°,即當(dāng)CE旋轉(zhuǎn)315°時(shí),△AMN中有兩個(gè)角相等;此時(shí)t=315÷5=63;③當(dāng)∠AMN=∠ANM時(shí),∵∠DAB=30°,∴∠AMN=∠ANM=180°?∠DAB則∠AON=180°?∠CAB?∠ANO=180°?60°?75°=45°,即∠EOC=∠AON=45°,∵∠CEF=45°,∴∠ECO=90°,即當(dāng)CE旋轉(zhuǎn)90°時(shí),△AMN中有兩個(gè)角相等,如圖所示,此時(shí)t=90÷5=18;④由③可知,如圖,當(dāng)∠AMN=∠ANM=75°時(shí),∵∠CFN=45°,此時(shí)CE旋轉(zhuǎn)270°,即當(dāng)CE旋轉(zhuǎn)270°時(shí),△AMN中有兩個(gè)角相等,此時(shí)t=270÷5=54;綜上所述:當(dāng)t的值為9或18或54或63時(shí),△AMN中有兩個(gè)角相等.【題型10與三角形的內(nèi)、外角性質(zhì)及角等分線相關(guān)的規(guī)律性問(wèn)題】【例10】(23-24八年級(jí)·山東青島·期末)【基礎(chǔ)探究1】(1)如圖1,△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,探求∠BPC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系;【基礎(chǔ)探究2】(2)如圖2,△ABC中,BP1、BP2是∠ABC的三等分線,CP1、CP【基礎(chǔ)探究3】(3)如圖3,△ABC中,BP1、BP2、BP3是∠ABC的四等分線,CP1、CP【拓展與探究】(4)如圖4,△ABC中,BP1、BP2、……、BPn?2、BPn?1是∠ABC的n等分線,CP1、CP2、……、CP【探究與應(yīng)用】(5)△ABC中,BP1、BP2、……、BP2023是∠ABC的2024等分線,CP1、CP2、……、CP2023是【答案】(1)∠BPC=90°+12∠A(2)∠BPC=60°+23【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理,n等分線的定義.(1)由三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°?∠A,由角平分線得到∠PBC=12∠ABC,∠PCB=(2)由三等分線可得∠P1BC=23(3)同(2)思路即可求解;(4)同(2)(3)思路即可∠BP1C=(5)同(4)思路可得∠BP2C+∠BP2022C=180°+∠A,又【詳解】解:(1)∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A,∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,∴∠PBC=12∠ABC∴∠BPC=180°?∠PBC?∠PCB=180°?=180°?=180°?=90°+1(2)∵BP1、BP2是∠ABC的三等分線,CP∴∠P1BC=∴∠B=180°?=180°?=180°?=60°+2故答案為:∠B(3)∵BP1、BP2、BP3是∠ABC的四等分線,CP∴∠P3BC=∴∠B=180°?=180°?=180°?=135°+1故答案為:∠B(4)∵BP1、BP2、……、BPn?2、BPn?1是∠ABC的n等分線,CP1、∴∠P1BC=∠P1CB=∴∠B=180°?=180°?=180°?=1∠B=180°?=180°?=180°?=n?1∴∠BP故答案為:∠B(5)∵BP1、BP2、……、BP2023是∠ABC的2024等分線,CP∴∠P2BC=∠P2CB=∴∠B=180°?=180°?=180°?=2∠B=180°?=180°?=180°?=2022∴∠BP∵∠B∴180°+∠A=7∠A,∴∠A=30°,同理可得∠BP故答案為:105【變式10-1】(23-24八年級(jí)·江蘇無(wú)錫·期中)如圖將△ABC沿線段BC翻折至△FBC處,延長(zhǎng)AC、BD(點(diǎn)F在∠EAD內(nèi)部).請(qǐng)嘗試探究:(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出∠ECF、∠DBF與∠A的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________;(2)若CG平分∠ECF,BH平分∠FBD.點(diǎn)F在∠A內(nèi)部(如圖②),證明:CG∥(3)若射線CG、BH分別是∠ECF,∠DBF的n等分線(n為大于2的正整數(shù)),即∠GCF=1n∠ECF,∠HBF=1n∠DBF,射線CG和射線BH相交于點(diǎn)【答案】(1)∠ECF+∠DBF=2∠A;(2)見(jiàn)解析;(3)∠BOC=n?2【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角的定義得到∠ECF+∠DBF=∠A+∠F,再根據(jù)∠A=∠F,即可得出結(jié)論;(2)根據(jù)角平分線的定義及(1)中的結(jié)論得出∠GCF+∠HBF=∠F,再根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定證明即可;(3)由三角形的內(nèi)角和定理可得∠F+∠FBC+∠FCB=180°,∠BOC+∠OCB+∠OBC=180°,可得∠F=∠OCF+∠OBF+∠BOC,再結(jié)合(1)的結(jié)論可得答案.【詳解】(1)解:在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,在△FBC中,∠F+∠FBC+∠FCB=180°,∴∠ABC+∠ACB+∠FBC+∠FCB=360°?(∠A+∠F),∵∠ECF+∠ACB+∠FCB=180°,∠DBF+∠ABC+∠FBC=180°,∴∠ABC+∠ACB+∠FBC+∠FCB=360°?(∠ECF+∠DBF),∴∠ECF+∠DBF=∠A+∠F,由對(duì)折可得:∠A=∠F,∴∠ECF+∠DBF=2∠A,(2)證明:如圖,
過(guò)點(diǎn)F作FM∥∴∠GCF=∠CFM,∵CG平分∠ECF,BH平分∠DBF,∴∠GCF=12∠ECF由(1)知∠ECF+∠DBF=2∠A=2∠CFB,∴∠GCF+∠HBF=1∴∠CFM+∠HBF=∠CFB,∵∠CFM+∠BFM=∠CFB,∴∠HBF=∠BFM,∴FM∥∴CG∥(3)解:∵∠F+∠FBC+∠FCB=180°,∠BOC+∠OCB+∠OBC=180°,∴∠OCF+∠FCB+∠FBC+∠OBF+∠BOC=180°,∴∠F=∠OCF+∠OBF+∠BOC,∵∠GCF=1n∠ECF∴∠F=1由(1)可得:∠ECF+∠DBF=2∠A=2∠F,∴∠A=1∴∠BOC=n?2【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理,軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),平行線的判定及角平分線的定義,熟記三角形內(nèi)角和是180°是解題的關(guān)鍵,同時(shí)應(yīng)熟練掌握平行線的判定及角平分線的定義.【變式10-2】(23-24八年級(jí)·陜西西安·期中)我們把有一組對(duì)頂角的兩個(gè)三角形組成的圖形叫做“8”字圖形,如圖1,AD,BC相交于點(diǎn)O,連接AB,CD得到“8”字圖形ABDC.(1)如圖1,試說(shuō)明∠A+∠B=∠C+∠D的理由;(2)如圖2,∠ABC和∠ADC的平分線相交于點(diǎn)E,利用(1)中的結(jié)論探索∠E與∠A、∠C間的關(guān)系;(3)如圖3,點(diǎn)E為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BQ、DP分別是∠ABC、∠ADE的四等分線,且∠CBQ=14∠ABC,∠EDP=14∠ADE,QB的延長(zhǎng)線與DP交于點(diǎn)P,請(qǐng)?zhí)剿鳌敬鸢浮?1)見(jiàn)解析(2)2∠E=∠A+∠C(3)∠A+3∠C+4∠P=180°【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理,角平分線定義,熟
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