人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難考點(diǎn)專題03等腰三角形(知識(shí)串講+6大考點(diǎn))特訓(xùn)(原卷版+解析)

專題03等腰三角形考點(diǎn)類型知識(shí)串講（一）等腰三角形（1）等腰三角形性質(zhì)：①等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線合一）（2）等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）.（二）解題方法（1）三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離等。（2）三角形三個(gè)邊的中垂線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。（3）常用輔助線：=1\*GB3①三線合一；=2\*GB3②過中點(diǎn)做平行線[來源:考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：等腰三角形的性質(zhì)——求角度典例1：（2023春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小明蕩秋千，位置從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了A'點(diǎn)，若∠OA

A．50° B．60° C．80° D．90°【變式1】（2023春·重慶九龍坡·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，∠ABC=66°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，則∠AED的大小是（）

A．62° B．64° C．66° D．68°【變式2】（2023春·貴州畢節(jié)·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=28°，直線a∥b，頂點(diǎn)C在直線b上，直線a交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若∠1=136°，則

A．32° B．36° C．40° D．42°【變式3】（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，則∠B的度數(shù)為（

）A．16° B．32° C．74° D．30°考點(diǎn)2：等腰三角形的性質(zhì)——求線段典例2：（2023春·廣東河源·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)M在CA的延長(zhǎng)線上MN⊥BC于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)O，若AO=3，BO=4，則MC的長(zhǎng)度為（

）

A．12 B．9 C．10 D．11【變式1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，AB∥CD，過點(diǎn)B作BF⊥AC于E，交CD于點(diǎn)F，BD⊥CD于D，CD=8，BD=3，BF=4，△ABE的周長(zhǎng)為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【變式2】（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)P是∠AOB的角平分線OC上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是OA上一點(diǎn)，且PQ∥OB，若PQ=2，則線段OQ的長(zhǎng)是（A．1.8 B．2.5 C．3 D．2【變式3】（2023秋·遼寧鐵嶺·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，過點(diǎn)D作直線EF平行于BC，分別交AB，AC于點(diǎn)E、F，若BE=2，CF=3，則線段EF的長(zhǎng)是（

）A．6 B．5 C．4 D．3考點(diǎn)3：等腰三角形的性質(zhì)——三線合一典例3：（2022秋·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AC=BC，CD⊥AB，點(diǎn)E，F(xiàn)，G是CD上任意三點(diǎn)，若AB=3，CD=4，則圖中陰影部分的面積為（

）A．12 B．6 C．3 D．1.5【變式1】（2023春·湖北黃石·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BCD=∠ABD，DE平分∠ADB，下列說法：①AB∥CD；②ED⊥CD；③∠DFC=∠ADE+∠BCE；④A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式2】（2023春·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線.DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（

）

A．BD=CD且AD⊥BC B．DE=DFC．∠BDE=∠CDF D．若點(diǎn)P為AC上任意一點(diǎn)，且DE=3，則DP的取值范圍是PD【變式3】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，E是BC上一點(diǎn)，AE=AB，EF垂直平分AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，△ABC的周長(zhǎng)為18cm，AC=7cm，則DC的長(zhǎng)為()

A．4.5 B．5 C．5.5 D．6考點(diǎn)4：等腰三角形的判定典例4：（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且OM∥AB，ON∥AC，若CB=6，則△OMN的周長(zhǎng)是（）A．3 B．6 C．9 D．12【變式1】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）習(xí)題課上，張老師和同學(xué)們一起探究一個(gè)問題∶“如圖，在△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE相交于點(diǎn)O，OB=OC，添加下列哪個(gè)條件能判定△ABC是等腰三角形？"請(qǐng)你判斷正確的條件應(yīng)為（A．AE=BE B．BE=CD C．∠BEO=∠CDO D．∠BEO=∠BOE【變式2】（2023秋·重慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠1=∠2,∠C=∠D,AC與BD相交于點(diǎn)E，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．∠DAE=∠CBEB．△DEA≌△CEBC．CE=DAD．【變式3】（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）△ABC的三邊分別是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（

）A．∠A:∠B:∠C=2:2:3 B．a(chǎn):b:c=2:2:3C．∠B=50°，∠C=80° D．2∠A=∠B+∠C考點(diǎn)5：等腰三角形的個(gè)數(shù)問題典例5：（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是△ABC的角平分線，則圖中的等腰三角形共有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1】（2023春·遼寧沈陽·八年級(jí)沈陽市第一二六中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在小長(zhǎng)方形組成的網(wǎng)格中，每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為4，寬為2，A、B兩點(diǎn)在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，若點(diǎn)C也在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，且△ABC是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式2】（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A(2,3)，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)P，使得△AOP是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P共有（

）個(gè)．A．6 B．7 C．8 D．9【變式3】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(3,3)，B(0,5)，若在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)C，使得△ABC是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)C有（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)考點(diǎn)6：等腰三角形尺規(guī)問題典例6：（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖（1），銳角△ABC中，AB>BC>AC，要用尺規(guī)作圖的方法在AB邊上找一點(diǎn)D，使△ACD為等腰三角形，關(guān)于圖（2）中的甲、乙、丙三種作圖痕跡，下列說法正確的是（

）

A．甲、乙、丙都正確B．甲、丙正確，乙錯(cuò)誤C．甲、乙正確，丙錯(cuò)誤 D．只有甲正確【變式1】（2023春·北京東城·九年級(jí)北京市第一六六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，給出了尺規(guī)作等腰三角形的三種作法，認(rèn)真觀察作圖痕跡，下面的已知分別對(duì)應(yīng)作圖順序正確的是（

）①已知等腰三角形的底邊和底邊上的高；②已知等腰三角形的底邊和腰；③已知等腰三角形的底邊和一底角．A．①②③ B．②①③ C．③①② D．②③①【變式2】（2022秋·北京·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，經(jīng)過直線AB外一點(diǎn)C作這條直線的垂線，作法如下：（1）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁．（2）以點(diǎn)C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E．（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)（4）作直線CF．則直線CF就是所求作的垂線．根據(jù)以上尺規(guī)作圖過程，若將這些點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，其中不一定是等腰三角形的為（）A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF【變式3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，根據(jù)作圖痕跡，可知∠CBD=（

）A．80° B．60° C．45° D．50°同步過關(guān)一、單選題1．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使CD=AC，連接AD，則∠D的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．42° D．50°2．（2022秋·福建福州·八年級(jí)校考期中）如圖，若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P，滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，則稱點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn)．某數(shù)學(xué)興趣小組研究一些特殊三角形的布洛卡點(diǎn)，得到下列兩個(gè)命題：①若∠BAC=90°，則∠APC=90°；②若AB=AC，則∠APB=∠BPC．下列說法正確的是（）A．①為真命題，②為假命題 B．①為假命題，②為真命題C．①，②均為假命題 D．①，②均為真命題3．（2023秋·廣西南寧·八年級(jí)校考期末）如圖，若AB=AC，BD=CD，∠B=20°，∠BDC=120°，則∠A等于（

）A．70° B．80° C．90° D．100°4．（2022秋·山東臨沂·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC=12ODA．65° B．70° C．75° D．80°5．（2023秋·黑龍江牡丹江·八年級(jí)牡丹江四中?？计谥校┑妊切蔚走呴L(zhǎng)為5，一腰上的中線把周長(zhǎng)分成兩部分的差為3cm，則腰長(zhǎng)為（

）A．8cm或2cm B．2cm C．8cm D．8cm或25cm6．（2022秋·山西忻州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示的五邊形花環(huán)是用五個(gè)全等的等腰三角形拼成的，則∠BAC的度數(shù)為（

）A．28° B．36° C．45° D．72°7．（2023秋·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰直角△ABC中，∠CBA＝90°，BA＝BC，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使得AD＝AC，連接CD，△ACD的中線AE與BC交于點(diǎn)F，連接DF，過點(diǎn)B作BG∥DF交AC于點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)G．則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（

）①∠BCD＝∠CAE；②點(diǎn)G為AC中點(diǎn)；③AF＝2DE；④AB＝BD+DF；⑤S△ACDA．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)8．（2022秋·新疆哈密·八年級(jí)校考期中）如圖，ΔABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一點(diǎn)，且BD=BC，過點(diǎn)D分別作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別是E,F，下列結(jié)論：①DE=DF；②D是AC的中點(diǎn)；③DE垂直平分AB；④AB=BC+CD；其中正確的個(gè)數(shù)為（A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．（2022秋·河北石家莊·八年級(jí)校考期末）如圖，在△ABC中，∠B=65°，∠C=30°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠BAD的大小為(A．35° B．45° C．55° D．65°10．（2023秋·湖北黃石·八年級(jí)統(tǒng)考期末）正六邊形ABCDEF與正方形ABMN擺放如圖所示，連接NF，則∠ANF的度數(shù)為（）A．70° B．80° C．75° D．85°二、填空題11．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，AD=BD，∠DAC=60°，∠DCA=40°，則∠ABC=___________．12．（2022秋·河北廊坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在如圖所示的3×3方格中，以AB為邊，第三個(gè)頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上的等腰三角形有______個(gè)．

13．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第四十九中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分線交AC于D，則∠CBD的度數(shù)為________度.14．（2023春·江蘇南通·七年級(jí)如皋市實(shí)驗(yàn)初中?？茧A段練習(xí)）若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5cm和8cm，則它的周長(zhǎng)是________cm15．（2023秋·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若等腰三角形其中兩邊長(zhǎng)a，b滿足16．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義：等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值k稱為這個(gè)等腰三角形的特征值．若等腰△ABC中，∠A＝80°，則等腰△ABC的特征值k＝_____．（多選）A.85

B.58

C.14三、解答題17．（2023秋·廣東肇慶·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AC和BD相交于點(diǎn)O，且AB∥DC，OA=OB，求證：△OCD為等腰三角形．18．（2023秋·河北唐山·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，M，N分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，并且MN//（1）△AMN是否是等腰三角形？說明理由；（2）點(diǎn)P是MN上的一點(diǎn)，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．①求證：△BPM是等腰三角形；②若△ABC的周長(zhǎng)為a，BC=b(a>2b)，直接寫出△AMN的周長(zhǎng)（用含a，b的式子表示）．19．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖在△ABC中，AB=AC=12，BC=15，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，垂足為E．(1)求△ABD的周長(zhǎng)；(2)若∠B=35°，求∠BAD的度數(shù)．20．（2023秋·山東濱州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知：如圖，點(diǎn)E在線段BC上，且△ABC≌△AED．求證：（1）∠B＝∠AEB；（2）AE平分∠BED．21．（2023·廣東汕尾·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，求證：BE=CE．22．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校校考開學(xué)考試）△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，且AE=AF，BF與CE相交于點(diǎn)P．(1)如圖1，求證：PB=PC；(2)如圖2，當(dāng)∠ABC=2∠A時(shí)，BF平分∠ABC，在不添加任何輔助線的情況下直接寫出圖2中的等腰三角形．（△ABC，△PBC除外）23．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE=CF．(1)求證：Rt△ABE?(2)若∠CAE=25°，求∠CFA的度數(shù)．24．（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)C在線段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，DE與BC交于點(diǎn)G，CF平分∠DCE．（1）求證：△CDE為等腰三角形；（2）試判斷CF、DE的位置關(guān)系，并說明理由．25．（2023·江蘇泰州·九年級(jí)專題練習(xí)）過三角形的頂點(diǎn)作射線與其對(duì)邊相交，將三角形分成兩個(gè)三角形．若得到的兩個(gè)三角形中有等腰三角形，這條射線就叫做原三角形的“友好分割線”．(1)下列三角形中，不存在“友好分割線”的是______（只填寫序號(hào)）．①等腰直角三角形；②等邊三角形；③頂角為150°的等腰三角形．(2)如圖1，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，直接寫出△ABC被“友好分割線”分得的等腰三角形頂角的度數(shù)；(3)如圖2，△ABC中，∠A=30°，CD為AB邊上的高，BD=2，E為AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線l交AC于點(diǎn)F，作CM⊥l，DN⊥l，垂足為M，N.若射線CD為△ABC的“友好分割線”，求CM+DN的最大值．

專題03等腰三角形考點(diǎn)類型知識(shí)串講（一）等腰三角形（1）等腰三角形性質(zhì)：①等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線合一）（2）等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）.（二）解題方法（1）三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離等。（2）三角形三個(gè)邊的中垂線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。（3）常用輔助線：=1\*GB3①三線合一；=2\*GB3②過中點(diǎn)做平行線[來源:考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：等腰三角形的性質(zhì)——求角度典例1：（2023春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小明蕩秋千，位置從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了A'點(diǎn)，若∠OA

A．50° B．60° C．80° D．90°【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答．【詳解】∵∠OAA'=50°，小剛的位置從A∴AO=OA∴∠OAA∴∠A∴秋千旋轉(zhuǎn)的角度為80°故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·重慶九龍坡·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，∠ABC=66°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，則∠AED的大小是（）

A．62° B．64° C．66° D．68°【答案】D【分析】取DE的中點(diǎn)G，連接AG，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AD∥BC，結(jié)合已知條件可得∠3+∠4=66°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AG=12DE=DG=AB，進(jìn)而可得∠1=2∠2=∠4【詳解】解：如圖，取DE的中點(diǎn)G，連接AG，

∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥∵AF⊥BC，∴AF⊥AD，∴△AED是直角三角形，∵G的DE的中點(diǎn)，∴AG=1∴∠2=∠GAD，∵DE=2AB，∴AG=AB，∴∠1=∠4，∵AD∥∴∠2=∠3，∠DAB=180°?∠ABC=114°，∵∠ABC=66°，∴∠3+∠4=66°∴∠2+∠4=66°∵∠1=∠2+∠GAD=2∠2，∴∠4=2∠2，∴3∠2=66°，∴∠2=22°，∴∠AED=90°?∠2=68°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，直角三角形的兩銳角互余，等邊對(duì)等角，三角形的外角性質(zhì)，找DE中點(diǎn)作輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·貴州畢節(jié)·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=28°，直線a∥b，頂點(diǎn)C在直線b上，直線a交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若∠1=136°，則

A．32° B．36° C．40° D．42°【答案】A【分析】先根據(jù)平角的定義得到∠ADE=44°，進(jìn)而根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠CED=72°，利用等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理得到∠ACB=∠ABC=76°，再由平行線的性質(zhì)得到∠2+∠ECB=180°?∠CED=108°，由此即可得到答案．【詳解】解：∵∠1=136°，∴∠ADE=180°?∠1=44°，∴∠CED=∠A+∠ADE=72°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=180°?∠A∵a∥b，∴∠2+∠ECB=180°?∠CED=108°，∴∠2=32°，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，則∠B的度數(shù)為（

）A．16° B．32° C．74° D．30°【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠C【詳解】解：∵CD=CE，∠D=74°，∴∠C=180°?74°?74°=32°又∵AB∥CD∴∠故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2：等腰三角形的性質(zhì)——求線段典例2：（2023春·廣東河源·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)M在CA的延長(zhǎng)線上MN⊥BC于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)O，若AO=3，BO=4，則MC的長(zhǎng)度為（

）

A．12 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】由題意，根據(jù)等角對(duì)等邊得到AM=AO=3，再結(jié)合AC=AB=7，即可求出答案．【詳解】解：∵M(jìn)N⊥BC于點(diǎn)N，∴∠C+∠M=90°，∠B+∠BON=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠M=∠BON=∠AOM，∴AM=AO=3，∵AC=AB=AO+BO=3+4=7，∴CM=AC+AM=7+3=10．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，以及余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確得到AM=AO=3．【變式1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，AB∥CD，過點(diǎn)B作BF⊥AC于E，交CD于點(diǎn)F，BD⊥CD于D，CD=8，BD=3，BF=4，△ABE的周長(zhǎng)為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠ABC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC=∠BCD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到BE=BD=3，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：∵AB∴∠ACB=∠ABC，∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD，∴∠ACB=∠BCD，∵BE⊥CE，BD⊥CD，∴BE=BD=3，在Rt△BCE與Rt△BCD中，CB=CBBE=BD∴Rt△BCE?∴CE=CD=8，∴AC+AE=AB+AE=8，∴△ABE的周長(zhǎng)=AE+AB+BE=8+3=11，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)P是∠AOB的角平分線OC上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是OA上一點(diǎn)，且PQ∥OB，若PQ=2，則線段OQ的長(zhǎng)是（A．1.8 B．2.5 C．3 D．2【答案】D【分析】利用角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)推出∠QPO=∠QOP，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)P是∠AOB的角平分線OC上一點(diǎn)，∴∠QOP=∠POB，∵PQ∥∴∠QPO=∠POB，∴∠QPO=∠QOP，∴OQ=PQ=2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，掌握“兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023秋·遼寧鐵嶺·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，過點(diǎn)D作直線EF平行于BC，分別交AB，AC于點(diǎn)E、F，若BE=2，CF=3，則線段EF的長(zhǎng)是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】由平行線的性質(zhì)可求出∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD．根據(jù)角平分線的定義可得出∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，從而得出∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，進(jìn)而得出ED=EB，F(xiàn)D=FC，最后即可求出EF的長(zhǎng)．【詳解】解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD．∵BD和CD分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，∴∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，∴ED=EB，F(xiàn)D=FC，∴EF=DE+DF=BE+CF=2+3=5．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定．能結(jié)合角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證明△BDE與△CDF考點(diǎn)3：等腰三角形的性質(zhì)——三線合一典例3：（2022秋·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AC=BC，CD⊥AB，點(diǎn)E，F(xiàn)，G是CD上任意三點(diǎn)，若AB=3，CD=4，則圖中陰影部分的面積為（

）A．12 B．6 C．3 D．1.5【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD=BD，則S△ACE=S△BCE，S△AEF=【詳解】解：∵AC=BC，CD⊥AB，∴AD=BD，∵S△ACE∴S△ACE同理可得：S△AEF=S△BEF，∴S陰影故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)．【變式1】（2023春·湖北黃石·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BCD=∠ABD，DE平分∠ADB，下列說法：①AB∥CD；②ED⊥CD；③∠DFC=∠ADE+∠BCE；④A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠ABC=∠ADC，得出∠A+∠ADC=180°，即可推出AB∥CD，故說法①正確；根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出DE⊥AB，即可推出ED⊥CD，故說法②正確；過點(diǎn)E作EG∥BC，易得∠DEF=∠GEC+∠DEG≠∠BCE，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)可知∠DFC≠∠ADE+∠BCE，故說法③錯(cuò)誤；由三角形內(nèi)角和定理易得∠DEC+∠DCE=90°，結(jié)合【詳解】解：∵AD∥∴∠A+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，∵∠A=∠BCD，∴∠ABC=∠ADC，∴∠A+∠ADC=180°，∴AB∥∵∠A=∠ABD，DE平分∠ADB，∴DE⊥AB，∴DE⊥CD，故說法②正確；如下圖，過點(diǎn)E作EG∥∴∠GEC=∠BCE，∴∠DEF=∠GEC+∠DEG≠∠BCE，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE=∠FDE，又∵∠DFC=∠FDE+∠DEF，∴∠DFC=∠ADE+∠DEF，∴∠DFC≠∠ADE+∠BCE，故說法③錯(cuò)誤；∵DE⊥CD，∴∠CDE=90°，∴∠DEC+∠DCE+∠CDE=180°，∴∠DEC+∠DCE=180°?∠CDE=90°，∵∠A=∠BCD，∴∠DCE=∠BCD?∠ECB=∠A?∠ECB，∴∠A+∠DEC?∠ECB=90°，故說法④正確．綜上所述，說法錯(cuò)誤的是③，共計(jì)1個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的定義和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是正確推導(dǎo)AB∥【變式2】（2023春·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線.DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（

）

A．BD=CD且AD⊥BC B．DE=DFC．∠BDE=∠CDF D．若點(diǎn)P為AC上任意一點(diǎn)，且DE=3，則DP的取值范圍是PD【答案】D【分析】利用等腰三角形的三線合一，角平分線的性質(zhì)，等角的余角相等，垂線段最短逐一判斷即可解題．【詳解】解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線，∴BD=CD且AD⊥BC（三線合一），故A正確，不符合題意；∵AD是△ABC的角平分線.DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分線的性質(zhì)），故B正確，不符合題意；∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠C∴∠BDE=∠CDF（等角的余角相等），故C正確，不符合題意；∵AD是△ABC的角平分線.DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=3∴DP的取值范圍是PD≥3（垂線段最短），故D不正確，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的三線合一，角平分線的性質(zhì)，等角的余角相等，垂線段最短，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，E是BC上一點(diǎn)，AE=AB，EF垂直平分AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，△ABC的周長(zhǎng)為18cm，AC=7cm，則DC的長(zhǎng)為()

A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)已知能推出2DE+2EC=11cm【詳解】解：∵EF垂直平分AC，AE=AB，∴AE=CE=AB又∵AE=AB，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴BD=DE(三線合一)，BE=2DE，∵△ABC周長(zhǎng)18cm，AC=7∴AB+BC=11cm∴AB+BE+EC=11cm∴EC+2DE+EC=11即2DE+2EC=11cm∴DE+EC=5.5cm∴DC=DE+EC=5.5cm故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：等腰三角形的判定典例4：（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且OM∥AB，ON∥AC，若CB=6，則△OMN的周長(zhǎng)是（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】根據(jù)角平分線，平行線的性質(zhì)，可得△BOM,△CON是等腰三角形，將△OMN的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)換為BC的長(zhǎng)，由此即可求解．【詳解】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO=∠OBM，∠ACO=∠OCN，∵OM∥AB，ON∥AC，∴∠ABO=∠BOM，∠ACO=∠CON，∴∠MOB=∠MBO，∠NOC=∠NCO，∴△BOM,△CON是等腰三角形，即MO=MB,NO=NC，∴△OMN的周長(zhǎng)是MO+NO+MN=BM+MN+NC=BC=6，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線，平行線，等腰三角形的綜合，掌握角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）習(xí)題課上，張老師和同學(xué)們一起探究一個(gè)問題∶“如圖，在△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE相交于點(diǎn)O，OB=OC，添加下列哪個(gè)條件能判定△ABC是等腰三角形？"請(qǐng)你判斷正確的條件應(yīng)為（A．AE=BE B．BE=CD C．∠BEO=∠CDO D．∠BEO=∠BOE【答案】C【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】添加AE=BE，BE=CD，∠BEO=∠BOE，不能判斷三角形全等，故A，B，D選項(xiàng)不正確，若添加條件：∠BEO=∠CDO∵在△EBO和△DCO中，∠BEO=∠CDO∠EOB=∠DOC∴△EBO≌△DCO（AAS），∴∠EBO=∠DCO，∵OB=OC∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；故選C【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵，【變式2】（2023秋·重慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠1=∠2,∠C=∠D,AC與BD相交于點(diǎn)E，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．∠DAE=∠CBEB．△DEA≌C．CE=DAD．△EAB是等腰三角形【答案】C【分析】先證明△ABC≌△BAD，可得AD=BC,∠ABC=∠BAD，從而得到∠DAE=∠CBE，進(jìn)而得到△DEA≌△CEB，再根據(jù)∠1=∠2，可得【詳解】解：∵∠1=∠2,∠C=∠D,AB=BA，∴△ABC≌∴AD=BC,∠ABC=∠BAD，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；∵∠1=∠2，∴∠DAE=∠CBE，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；∴△DEA≌∵∠1=∠2，∴AE=BE，∴△EAB是等腰三角形，故D選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了三角形全等的判定定理以及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．關(guān)鍵是要把握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）△ABC的三邊分別是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（

）A．∠A:∠B:∠C=2:2:3 B．a(chǎn):b:c=2:2:3C．∠B=50°，∠C=80° D．2∠A=∠B+∠C【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、因?yàn)椤螦:∠B:∠C=2:2:3，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=∠B=180°×22+2+3=B、因?yàn)閍:b:c=2:2:3，所以設(shè)a=b=2x，則有兩邊相等的△ABC是等腰三角形；C、因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°，所以∠A=180°?∠B?∠C=180°?50°?80°=50°，則∠A=∠B，所以△ABC是等腰三角形；D、因?yàn)?∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，則∠A+2∠A=180°，那么∠A=60°，∠B+∠C=120°，不能判定是等腰三角形．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的判定，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5：等腰三角形的個(gè)數(shù)問題典例5：（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是△ABC的角平分線，則圖中的等腰三角形共有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由BD是△ABC的角平分線，可得∠ABC=2∠ABD=72°，又可求∠ABC=∠C=72°，所以△ABC是等腰三角形；又∠A=180°?2∠ABC=180°?2×72°=36°，故∠A=∠ABD，所以△ABD是等腰三角形；由∠DBC=∠ABD=36°，得∠C=72°，可求∠BDC=72°，故∠BDC=∠C，所以△BDC是等腰三角形．【詳解】解：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABC=2∠ABD=72°，∴∠ABC=∠C=72°，∴△ABC是等腰三角形①．∠A=180°?2∠ABC=180°?2×72°=36°，∴∠A=∠ABD，∴△ABD是等腰三角形②．∵∠DBC=∠ABD=36°，∠C=72°，∴∠BDC=72°，∴∠BDC=∠C，∴△BDC是等腰三角形③．故圖中的等腰三角形有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個(gè)角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·遼寧沈陽·八年級(jí)沈陽市第一二六中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在小長(zhǎng)方形組成的網(wǎng)格中，每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為4，寬為2，A、B兩點(diǎn)在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，若點(diǎn)C也在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，且△ABC是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形兩腰相等，結(jié)合網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)C的可能位置即可．【詳解】解：如圖所示，滿足條件的點(diǎn)C有4個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，熟練掌握等腰三角形兩腰相等，以及網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A(2,3)，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)P，使得△AOP是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P共有（

）個(gè)．A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】分三種情況，OA=OP，【詳解】解：建立平面直角坐標(biāo)系，標(biāo)出點(diǎn)A的位置，分別以A和O為圓心，以O(shè)A為半徑作圓，再作線段OA的垂直平分線，可知使得△AOP是等腰三角形的點(diǎn)P共有8個(gè)，如P1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形、線段垂直平分線、等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握對(duì)于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底，哪邊是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．【變式3】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(3,3)，B(0,5)，若在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)C，使得△ABC是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)C有（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】D【分析】由題意知A、B是定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，所以要分情況討論：以AC、AB為腰、以AC、BC為腰或以BC、AB為腰．則滿足條件的點(diǎn)C可求．【詳解】解：由題意可知：以AC、AB為腰的三角形有3個(gè)；以AC、BC為腰的三角形有2個(gè)；以BC、AB為腰的三角形有2個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；分類別尋找是正確解答本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)6：等腰三角形尺規(guī)問題典例6：（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖（1），銳角△ABC中，AB>BC>AC，要用尺規(guī)作圖的方法在AB邊上找一點(diǎn)D，使△ACD為等腰三角形，關(guān)于圖（2）中的甲、乙、丙三種作圖痕跡，下列說法正確的是（

）

A．甲、乙、丙都正確B．甲、丙正確，乙錯(cuò)誤C．甲、乙正確，丙錯(cuò)誤 D．只有甲正確【答案】A【分析】根據(jù)圓、線段垂直平分線、角的尺規(guī)作圖進(jìn)行分析即可．【詳解】解：甲圖：以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D，∴AD=AC，∴△ACD為等腰三角形，乙圖：作AC的垂直平分線，交AB于點(diǎn)D，∴AD=DC，∴△ACD為等腰三角形，丙圖：∵所作的∠A=∠DCA，∴AD=DC，∴△ADC是等腰三角形，∴甲、乙、丙都正確，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的定義、尺規(guī)作圖?圓、角、垂直平分線，熟練掌握等腰三角形的判定與圓、角和線段垂直平分線的基本作圖的方法是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·北京東城·九年級(jí)北京市第一六六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，給出了尺規(guī)作等腰三角形的三種作法，認(rèn)真觀察作圖痕跡，下面的已知分別對(duì)應(yīng)作圖順序正確的是（

）①已知等腰三角形的底邊和底邊上的高；②已知等腰三角形的底邊和腰；③已知等腰三角形的底邊和一底角．A．①②③ B．②①③ C．③①② D．②③①【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：圖形①的作圖依據(jù)是“②已知等腰三角形的底邊和腰”；圖形②的作圖依據(jù)是“①已知等腰三角形的底邊和底邊上的高”；圖形③的作圖依據(jù)是“③已知等腰三角形的底邊和一底角”．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查尺規(guī)作圖等腰三角形，掌握等腰三角形的性質(zhì)，作圖的方法是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·北京·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，經(jīng)過直線AB外一點(diǎn)C作這條直線的垂線，作法如下：（1）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁．（2）以點(diǎn)C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E．（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)（4）作直線CF．則直線CF就是所求作的垂線．根據(jù)以上尺規(guī)作圖過程，若將這些點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，其中不一定是等腰三角形的為（）A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF【答案】A【分析】根據(jù)作圖過程和等腰三角形的定義進(jìn)行分析即可.【詳解】由作圖過程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK所以，是等腰三角形的有△CDK，△CDE，△DEF；△CDF不一定是等腰三角形.故選：A【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：等腰三角形.理解等腰三角形的定義是關(guān)鍵.【變式3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，根據(jù)作圖痕跡，可知∠CBD=（

）A．80° B．60° C．45° D．50°【答案】D【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出．【詳解】解：∵AB=AC，∴∠ABC=由作圖痕跡可知BC=BD，∴∠BDC=∴∠CBD=180°?∠BDC?∠BCD=180故選D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)作圖痕跡得出BC=BD是解答本題的關(guān)鍵．同步過關(guān)一、單選題1．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使CD=AC，連接AD，則∠D的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．42° D．50°【答案】B【分析】利用等邊對(duì)等角求得∠B=∠ACB=80°，然后利用三角形外角的性質(zhì)求得答案即可．【詳解】∵AB=AC，∠BAC=20°，∴∠B=∠ACB=80°．∵CD=AC，∠ACB=∠D+∠CAD，∴∠D=∠CAD=故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解“等邊對(duì)等角”的性質(zhì)，難度不大．2．（2022秋·福建福州·八年級(jí)校考期中）如圖，若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P，滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，則稱點(diǎn)P為△ABC的布洛卡點(diǎn)．某數(shù)學(xué)興趣小組研究一些特殊三角形的布洛卡點(diǎn)，得到下列兩個(gè)命題：①若∠BAC=90°，則∠APC=90°；②若AB=AC，則∠APB=∠BPC．下列說法正確的是（）A．①為真命題，②為假命題 B．①為假命題，②為真命題C．①，②均為假命題 D．①，②均為真命題【答案】D【分析】由直角三角形的性質(zhì)可判斷①，根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理可判斷②．【詳解】解：當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，則∠PAC+∠PAB=90°，∵∠PAB=∠PCA=α，∴∠PAC+∠PCA=90°，∴∠APC=90°，∴①為真命題；當(dāng)AB=AC時(shí)，則∠ABC=∠ACB，即∠PBA+∠PBC=∠PCB+∠PCA，∵∠PBC=∠PCA=α，∴∠PBA=∠PCB，∵∠APB=180°?∠PBA?∠PAB，而∠PAB=∠PCA=α，∴∠APB=∠BPC，∴②為真命題．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)判斷命題的真假．3．（2023秋·廣西南寧·八年級(jí)校考期末）如圖，若AB=AC，BD=CD，∠B=20°，∠BDC=120°，則∠A等于（

）A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】B【分析】連接BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠ABC和∠DBC的度數(shù)，即可得答案．【詳解】解：如圖所示，連接BC，∵BD=CD，∠BDC=120°∴∠DBC=∠DCB=30°，∵∠ABD=20°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=50°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=50°，∴∠A=180?∠ABC?∠ACB=80°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的兩個(gè)底角相等，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2022秋·山東臨沂·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC=12ODA．65° B．70° C．75° D．80°【答案】C【分析】如圖所示（見詳解），連接OB，得Rt△OBC，且OB=OD=r，OC=12OD，【詳解】解：如圖所示，連接OB，∴OB=OD=r，∵OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC=1∴在Rt△OBC中，OC=∴∠OBC=∠BOD=30°，∵OB=OD=r，∴△BOD是等腰三角形，∴∠OBD=∠ODB=1故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與含30°角的直角三角形，等腰三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用，掌握?qǐng)A的知識(shí)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·黑龍江牡丹江·八年級(jí)牡丹江四中校考期中）等腰三角形底邊長(zhǎng)為5，一腰上的中線把周長(zhǎng)分成兩部分的差為3cm，則腰長(zhǎng)為（

）A．8cm或2cm B．2cm C．8cm D．8cm或25cm【答案】C【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，然后分兩種情況討論，即可求解．【詳解】解：如圖，CD為△ABC的中線，AB=AC，底邊BC=5cm，∴AD=BD，根據(jù)題意得：當(dāng)（AD+AC+CD）-（BD+BC+CD）=3cm時(shí)，則AC-BC=3cm，∴AB=AC=8cm；當(dāng)（BD+BC+CD）-（AD+AC+CD）=3cm時(shí)，則BC-AC=3cm，∴AB=AC=2cm，∵AB+AC=4<BC，不合題意，舍去；綜上所述，腰長(zhǎng)為8cm．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·山西忻州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示的五邊形花環(huán)是用五個(gè)全等的等腰三角形拼成的，則∠BAC的度數(shù)為（

）A．28° B．36° C．45° D．72°【答案】B【分析】根據(jù)題意可得五個(gè)全等的等腰三角形拼成內(nèi)外兩個(gè)正五邊形，利用正多邊形內(nèi)角和可得∠EAB=∠ACD=108°，再由鄰補(bǔ)角得出∠ACB=∠EAC=72°，結(jié)合圖形代入求解即可．【詳解】解：如圖所示，五個(gè)全等的等腰三角形拼成內(nèi)外兩個(gè)正五邊形，∴∠EAB=∠ACD=180°×(5?2)5∴∠ACB=∠EAC=180°?108°=72°，∴∠BAC=∠EAB-∠EAC=108°?72°=36°，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查正多邊形內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角等，理解題意，熟練掌握運(yùn)用正多邊形內(nèi)角和的計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．7．（2023秋·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）如圖，在等腰直角△ABC中，∠CBA＝90°，BA＝BC，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使得AD＝AC，連接CD，△ACD的中線AE與BC交于點(diǎn)F，連接DF，過點(diǎn)B作BG∥DF交AC于點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)G．則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（

）①∠BCD＝∠CAE；②點(diǎn)G為AC中點(diǎn)；③AF＝2DE；④AB＝BD+DF；⑤S△ACDA．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及等角的余角對(duì)①做出判斷；利用ASA得出△BCD≌△BAF，從而對(duì)③④做出判斷；根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)對(duì)②做出判斷；根據(jù)S△ACD【詳解】解：∵AD＝AC，AE是△ACD的中線，∴AE⊥CD，∠DAE＝∠CAE，∴∠CEA＝90°，AE垂直平分CD，∴∠BCD＋∠CFE＝90°，CF＝DF，∵∠CBA＝90°，∴∠DAE＋∠BFA＝90°，∵∠CFE＝∠BFA，∴∠BCD＝∠DAE，∴∠BCD＝∠CAE，故①正確；∵∠CBA＝90°，BA＝BC，∴∠CAB＝∠BCA＝45°，∠FBA＝∠DBC＝90°，∵∠BCD＝∠DAE，∴△BCD≌△BAF（ASA），∴BD＝BF，CD＝FA，∵AE是△ACD的中線，∴CD＝FA＝2DE，故③正確；∵CB＝BF＋CF，CF＝DF，BF＝BD，∴AB＝BD＋DF，故④正確；∵BD＝BF，∠DBC＝90°，∴∠BFD＝∠BDF＝45°，∵BG∥DF，∴∠ABG＝∠BDF＝45°，∴∠ABG＝∠CBG＝45°，∵BA＝BC，∴點(diǎn)G為AC中點(diǎn)，故②正確；由圖可知S故⑤不正確，故正確的有①②③④，共計(jì)4個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·新疆哈密·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，ΔABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一點(diǎn)，且BD=BC，過點(diǎn)D分別作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別是E,F，下列結(jié)論：①DE=DF；②D是AC的中點(diǎn)；③DE垂直平分AB；④AB=BC+CD；其中正確的個(gè)數(shù)為（A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和和全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：①∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=72°，∵∠BDC=∠A+∠ABD，∴∠ABD=36°，∴∠ABD=∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分線，∴DE=DF，故①正確．②因?yàn)锳D=BD，但BD≠CD，故②錯(cuò)誤；③∵AD=BD，∴DE垂直平分AB，③正確；∴④由①②③可知，AD=BD=BC，又∵AB=AC，∴AB=AD+CD=BC+CD，故④正確；①③④正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．9．（2022秋·河北石家莊·八年級(jí)校考期末）如圖，在△ABC中，∠B=65°，∠C=30°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠BAD的大小為(A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【分析】根據(jù)內(nèi)角和定理求得∠BAC=85°，由線段垂直平分線性質(zhì)知DA=DC，即∠DAC=∠C=30°，從而得出答案．【詳解】解：在△ABC中，∵∠B=65°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=85°，由作圖可知MN為AC的中垂線，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=30°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=55°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖-基本作圖，熟練掌握線段垂直平分線的作圖和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·湖北黃石·八年級(jí)統(tǒng)考期末）正六邊形ABCDEF與正方形ABMN擺放如圖所示，連接NF，則∠ANF的度數(shù)為（）A．70° B．80° C．75° D．85°【答案】C【分析】求出正六邊形和正方形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)，求得∠FAN，在等腰△ANF中求底角度數(shù)．【詳解】解：∵正六邊形ABCDEF的每一個(gè)內(nèi)角是4×180°÷6=120°，正方形ABMN的每個(gè)內(nèi)角是90°，∴∠FAN=120°?90°=30°，∵AN=AF，∴∠AFN=∠ANF，∴∠ANF=1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的內(nèi)角和等腰三角形的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，AD=BD，∠DAC=60°，∠DCA=40°，則∠ABC=___________．【答案】40°/40度【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵∠DAC=60°，∠DCA=40°，∴∠ADC=180°?∠DAC?∠DCA=180°?60°?40°=80°，∵AD=BD，∴∠ABC=∠BAD，∴∠ADC=∠ABC+∠DAB∴∠ABC=1故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)．熟練掌握三角形定理和外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·河北廊坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在如圖所示的3×3方格中，以AB為邊，第三個(gè)頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上的等腰三角形有______個(gè)．

【答案】4【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，分別以A、B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，即可得出第三個(gè)頂點(diǎn)的位置．【詳解】解：如圖所示，分別以A、B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，則圓弧經(jīng)過的格點(diǎn)C1、C2、C3故以AB為一邊，第三個(gè)頂點(diǎn)也在格點(diǎn)上的等腰三角形可以作出4個(gè)．故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的定義，解題時(shí)需要通過尺規(guī)作圖，找出第三個(gè)頂點(diǎn)的位置．正確作圖是解決問題的關(guān)鍵．13．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第四十九中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分線交AC于D，則∠CBD的度數(shù)為________度.【答案】45【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形的內(nèi)角和求出∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD，推出∠ABD=∠A=30°，即可求出∠CBD的度數(shù)．【詳解】解：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠C=180°?30°∵AB的垂直平分線交AC于D，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=30°∴∠CBD=∠ABC?∠ABD=75°?30°=45°，故答案為：45．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·江蘇南通·七年級(jí)如皋市實(shí)驗(yàn)初中校考階段練習(xí)）若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5cm和8cm，則它的周長(zhǎng)是________cm【答案】18或21【分析】等腰三角形兩邊的長(zhǎng)為5cm和8cm，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討論．【詳解】解：①當(dāng)腰是5cm，底邊是8cm時(shí)，能構(gòu)成三角形，則其周長(zhǎng)＝5＋5＋8＝18cm；②當(dāng)?shù)走吺?cm，腰長(zhǎng)是8cm時(shí)，能構(gòu)成三角形，則其周長(zhǎng)＝5＋8＋8＝21cm；故答案為：18或21．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵，應(yīng)向?qū)W生特別強(qiáng)調(diào)．15．（2023秋·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若等腰三角形其中兩邊長(zhǎng)a，b滿足【答案】12【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a,b的值，根據(jù)等腰三角形的定義以及三角形三邊關(guān)系求得三角形的三邊長(zhǎng)，進(jìn)而求得周長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：∵a?2∴a?2=0，b?5=0解得a=2,b=5∵a，當(dāng)2為等腰三角的腰時(shí)，另外兩邊長(zhǎng)為2,5，∵2+2=4<5，∴不能構(gòu)成三角形，當(dāng)2為等腰三角形的底時(shí)，另外兩邊長(zhǎng)為5,5，能構(gòu)成三角形，∴此三角形的周長(zhǎng)為2+5+5=12．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的定義，三角形三邊關(guān)系，分類討論是解題的關(guān)鍵．16．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義：等腰三角形的頂角與其一個(gè)底角的度數(shù)的比值k稱為這個(gè)等腰三角形的特征值．若等腰△ABC中，∠A＝80°，則等腰△ABC的特征值k＝_____．（多選）A.85

B.58

C.14【答案】A、C【分析】可知等腰三角形的兩底角相等，則可求得底角的度數(shù)．從而可求解．【詳解】解：①當(dāng)∠A為頂角時(shí)，等腰三角形兩底角的度數(shù)為：180°?80°∴特征值k=②當(dāng)∠A為底角時(shí)，頂角的度數(shù)為：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k=20°綜上所述，特征值k為85或1故答案是：A，C【點(diǎn)睛】此題為新定義問題，考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，能夠?qū)σ阎沁M(jìn)行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．三、解答題17．（2023秋·廣東肇慶·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AC和BD相交于點(diǎn)O，且AB∥DC，OA=OB，求證：△OCD為等腰三角形．【答案】見解析【分析】根據(jù)AB∥DC，可得∠B=∠D，∠A=∠C，再由OA=OB，可得∠A=∠B，從而得到∠C=∠D，即可求證．【詳解】證明：∵AB∥DC，∴∠B=∠D，∠A=∠C，又∵OA=OB，∴∠A=∠B，∴∠C=∠D，∴OC=OD，∴△OCD為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋·河北唐山·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，M，N分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，并且MN//（1）△AMN是否是等腰三角形？說明理由；（2）點(diǎn)P是MN上的一點(diǎn)，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．①求證：△BPM是等腰三角形；②若△ABC的周長(zhǎng)為a，BC=b(a>2b)，直接寫出△AMN的周長(zhǎng)（用含a，b的式子表示）．【答案】（1）△AMN是等腰三角形；理由見解析；（2）①見解析；②△AMN的周長(zhǎng)=a?b．【分析】（1）由已知和MN//BC可以得到∠AMN=∠ANM，從而得到△AMN是等腰三角形；（2）①由已知和MN//BC可以得到∠PBM=∠MPB，從而得到△BPM是等腰三角形；②由①可得MP=MB、NP=NC，從而得到△AMN的周長(zhǎng)=AB+AC=a-b．【詳解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵M(jìn)N//BC，∴∠AMN=∠ABC，∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，∴△AMN是等腰三角形；（2）①∵BP平分∠ABC，∴∠PBC=∠PBM，∵M(jìn)N//BC，∴∠PBM=∠MPB，∴△BPM是等腰三角形；②△AMN的周長(zhǎng)=a?b．∵△BPM是等腰三角形，∴MP=MB，同理可得：NP=NC，∴△AMN的周長(zhǎng)=AM+MP+NP+AN=AM+MB+NC+AN，=AB+AC，又∵△ABC的周長(zhǎng)為a，BC=b(a>2b)∴AB+AC=a?b，∴△AMN的周長(zhǎng)=a?b．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的綜合運(yùn)用，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖在△ABC中，AB=AC=12，BC=15，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，垂足為E．(1)求△ABD的周長(zhǎng)；(2)若∠B=35°，求∠BAD的度數(shù)．【答案】(1)27；(2)∠BAD=75°．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)易得到△ABD的周長(zhǎng)=AB+BC；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠C=∠B=∠CAD=35°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠ADB，然后由三角形內(nèi)角和定理求得∠BAD的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=CD，∵AB=AC=12，BC=15，∴△ABD的周長(zhǎng)是：AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=12+15=27；（2）解：如圖，∵AB=AC，∴∠B=∠C=35°，又∵AD=CD，∴∠DAC=∠C=35°，∴∠ADB=∠DAC+∠C=35°+35°=70°，∴∠BAD=180°?∠B?∠ADB=180°?35°?70°=75°．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題關(guān)鍵．20．（2023秋·山東濱州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知：如圖，點(diǎn)E在線段BC上，且△ABC≌△AED．求證：（1）∠B＝∠AEB；（2）AE平分∠BED．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用全等三角形等腰三角形的性質(zhì)，證明即可；（2）證明∠AEB＝∠AED即可．【詳解】證明：（1）∵△ABC≌△AED，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB；（2）∵△ABC≌△AED，∴∠B＝∠AED，又∠B＝∠AEB，∴∠AED＝∠AEB，∴AE平分∠BED．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．21．（2023·廣東汕尾·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，求證：BE=CE．【答案】見解析【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一，從而得出∠BAE=∠EAC，根據(jù)SAS證明△ABE≌△ACE，再得出BE=CE．【詳解】證明：∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∴∠BAE=∠EAC．在△ABE和△ACE中，AB=AC∠BAE=∠CAE∴△ABE≌△ACE（SAS），∴BE=CE．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵證明∠BAE=∠EAC，利用三線合一的性質(zhì)進(jìn)行證明．22．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，且AE=AF，BF與CE相交于點(diǎn)P．(1)如圖1，求證：PB=PC；(2)如圖2，當(dāng)∠ABC=2∠A時(shí)，BF平分∠ABC，在不添加任何輔助線的情況下直接寫出圖2中的等腰三角形．（△ABC，△PBC除外）【答案】(1)見解析(2)ΔABF，ΔAEC，ΔPBE,Δ【分析】（1）利用SAS得到△ACE與△ABF全等，利用