2025年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平（合格考）知識(shí)點(diǎn)

數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平合格考知識(shí)點(diǎn)匯編

集合與常用邏輯用語(yǔ)

1.1集合的概念

1.元素與集合的含義

一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素。元素常用小寫字母a、b、c……表示.把一些

元素組成的總便叫做集合，簡(jiǎn)稱為集.集合常用大寫字母A、B、C……表示。

集合相等：只要構(gòu)成這兩個(gè)集合的元素是一樣的,就稱這兩個(gè)集合是相等的。

2.集合的三個(gè)性質(zhì)：1.確定性2.互異性3.無序性

3.元素與集合的關(guān)系

如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A,記作：aeA

如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A,記作：a￡A

4.常見數(shù)集及表示符號(hào)

(1)N(2)N*或N+(3)Z(4)Q(5)R

L2集合間的基本關(guān)系

1.子集的概念

文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言

一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A,B,如果集

合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的ACB（或B2A）⑥或色)5

元素，就稱集合A為集合B的子集

2.集合相等的概念

一般地，如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任意一個(gè)

元素都是集合A的元素,那么集合A與集合B相等，記作紅，也就是說，若AGB,

且BCA,則人=：8.

3.真子集的概念

文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言

如果集合AGB,但存在元素xCB且

A￡B

x￡A,就稱集合A是B的真子集

4.空集

⑴定義：不含任何元素的集合叫做空集.(2)用符號(hào)表示為：0.(3)規(guī)定：空集是任何

集合的子集.

1.3集合間的基本運(yùn)算

1.并集

文字語(yǔ)言：一般地，由屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合,稱為集合A與B

的并集。

符號(hào)語(yǔ)言：或xGB}圖形語(yǔ)言：

2.交集

文字語(yǔ)言：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合3的元素組成的集合,稱為集合A

與B的并集。

符號(hào)語(yǔ)言：4/5={正?4,且xe?圖形語(yǔ)言:

3.并集與交集的運(yùn)算性質(zhì)

并集的運(yùn)算性質(zhì)交集的運(yùn)算性質(zhì)

AUB=BUAAnB=BQA

AUA=AAAA=A

AU0=AAC0=0

AGB』UB=BA，B*CB=A

4.全集

如果一個(gè)集合含有所研究問題中涉及的所有元素,那么就稱這個(gè)集合為全集.通常

記作U.

5.補(bǔ)集

對(duì)于一個(gè)集合A,由全集U中不屬于A的所有元素組成

文字語(yǔ)言的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為補(bǔ)集,

記作C%

符號(hào)語(yǔ)言Ct^4={x|xGU,%WA}

圖形語(yǔ)言

6.補(bǔ)集的性質(zhì)

(l)AU(CuA)=U.(2)AA(CuA)=0.(3)CuU=0,Cu0=U,Cu(CuA)=A.

(4)(CuA)n(CuB)-B).(5)(CuA)U(CuB)=Q(4rB)

1.4充分條件與必要條件

L充分條件與必要條件

命題真假“若P，則q”是真命題“若P，則q”是假命題

推出關(guān)系p*qp與q

p是q的充分條件p不是q的充分條件

條件關(guān)系

q是p的必要條件q不是p的必要條件

2.對(duì)充分條件和必要條件的進(jìn)一步劃分:

條件p與結(jié)論q的關(guān)系結(jié)論

p因，且q力pp是q的充分不必要條件

qnp,且p力qp是q的必要不充分條件

pnq,且q=p,即p?qP是q的充要條件

p力q,且q/pp是q的既不充分也不必要條件

1.5全稱量詞與存在量詞

1.全稱量詞與全稱量詞命題

(1)全稱量詞：短語(yǔ)“所有的、任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號(hào)“顯”表

示.

(2)全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題.表述形式：全稱量

詞命題”對(duì)M中任意一個(gè)x,“(X)成立“，可用符號(hào)簡(jiǎn)記p(x).

2.存在量詞與存在量詞命題

(1)存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量回，用符號(hào)“3”表

示.

(2).存在量詞命題：含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題一.表述形式：存在

量詞命題“存在M中的元素x,使p(x)成立"，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為索x).

3.含量詞的命題的否定形式

命題命題的否定結(jié)論

全稱量詞命題VxWM,p(x)mX￡YCX）全稱量詞命題的否定是在衣命題

存在量詞命題mxWM,p(x)PxRM,R（x）存在量詞命題的否定是全稱命題

第二章二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

1.比較兩實(shí)數(shù)跖6大小的依據(jù)

p口果那么a>b

比較兩依據(jù)S口果a—2r<0,那么a<b_

實(shí)數(shù)a,b血果a7二°，那么上丑-一

的大小'結(jié)論：確定任意兩個(gè)實(shí)數(shù)毛方的大小關(guān)系，只

需確定它們的差a-3與0的大小關(guān)系

2.不等式的性質(zhì)

(1)a>b^<a；(2)a>b,b>c=>a>c；(3)a>bna+c>b+c；

(4)a>b,c>O=>ac>bc,a>b,c<O=>ac<bc；(5)a>b,c>dn〃+c>b+"；

nn

(6)a>b>0,c>d>0=>ac>bd；(7)a>b>O=>a>b(n^N9n>2).

2.2基本不等式

1.重要不等式：Va,b￡R,有日2+匕2之2@b,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立。

2.基本不等式：若a>0,b>0,用瓜，斯代替重要不等式中a,b,得手之癇,當(dāng)且

僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立。小叫做a,b的算術(shù)平均數(shù),&而為a,b的幾何平均數(shù)。3.

2

基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

1.一元二次不等式的概念

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.

一元二次不等式的一般形式是：af+tx+cXXaWO)或依2+法+。<0(<#0)

2.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系

A=b2~4acA>0A=0A<0

■

丁=蘇+加:+(?(〃>0)的圖象

Ax^yxX

V2

有兩個(gè)相等的實(shí)

有兩個(gè)不相等的實(shí)

加+6%+0=0(〃>0)的根b無實(shí)數(shù)根

數(shù)本艮XI,X2(X1<X2)數(shù)根X1=X2=一五

b

加+笈+。>0(〃>0)的解集{%|%>%2或X<X1}{4#一五}R

加+6%+C<0(〃>0)的解集{%|X1<X<X2}00

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)

3.1函數(shù)的概念及其表示

1.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)A,B是非空實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于數(shù)集B中任意一個(gè)數(shù)x,按照對(duì)應(yīng)關(guān)系，

在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f:AtB為集合A到集合B的一個(gè)函

數(shù)，記作y=f(x),xFAo

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值對(duì)應(yīng)的y值叫

做函數(shù)值，函數(shù)值的集合(f(x)\xEA)叫做函數(shù)的值域.

2.區(qū)間的概念

設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a〈b,我們規(guī)定：

(1)滿足不等式aWxWb的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為［a,句。

⑵滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a,b)。

⑶滿足不等式a<x<b或a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間,表示為［Q,b),(a,b］。

3.函數(shù)的表示

要點(diǎn)定義符號(hào)

函用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的

解析法優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)明；給自變量求函數(shù)值

數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系

的列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)

列表法優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢(shì)

表應(yīng)關(guān)系

示用圖象來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)

圖象法優(yōu)點(diǎn)：不需計(jì)算就可看出函數(shù)值

法關(guān)系

f/WxeA

分段函數(shù)不同范圍的X,對(duì)應(yīng)關(guān)系不同的函數(shù)y=5

[g(x)xeB

(1)分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)法

則的函數(shù)。

(2)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集;

各段函數(shù)的定義域的交集是空集。

(3)作分段函數(shù)圖象時(shí)，應(yīng)分別作出每一段的圖象。

3.2函數(shù)的基本性質(zhì)

L函數(shù)的單調(diào)性

前提條件設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,區(qū)間層/

Vx1,x2￡D,%i<x2

條件

都有Axi)<AX2)都有AxD>r(x2)

y

曲)y

/w

圖示他)代2)

0X1X2冗0%％4

結(jié)論f(x)在區(qū)間。上單調(diào)遞增F(x)在區(qū)間。上單調(diào)遞減

特殊當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)

情況調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它是增函數(shù)遞減時(shí)，我們就稱它是減函數(shù)

2.函數(shù)的單調(diào)，性與單調(diào)區(qū)間

函數(shù)y=F(x)在區(qū)間D上是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間。上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)

性，區(qū)間。叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

注意：?jiǎn)握{(diào)性是局部概念，不是整體概念.區(qū)間?？赡苁嵌x域的一個(gè)子區(qū)間。

3.函數(shù)的最大值和最小值

前提設(shè)函數(shù)尸F(xiàn)(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)欣或血滿足

(l)Vx^L都有/1(x)WN(3)Vx^I,都有/tx)》加；

條件

(2)3x0GI,使得f(x0)=M(4)Ex0GI,使得f(x0)=m

結(jié)論〃為函數(shù)y=/,(%)的最大值"為函數(shù)y=/,(%)的最小值

注意：(1)函數(shù)的最值和值域反映的是函數(shù)的整體性質(zhì)，針對(duì)的是整個(gè)定義域。

(2)函數(shù)的值域一定存在，函數(shù)的最值不一定存在.若單調(diào)函數(shù)的值域是開區(qū)間,

則函數(shù)無最值；若函數(shù)的值域是閉區(qū)間，則閉區(qū)間的端點(diǎn)值就是函數(shù)的最值。

4.函數(shù)的奇偶性

前提函數(shù)Hx)的定義域?yàn)?,Vx^I,都有一xG/

條件A—x)=f(x)f(—x)=-f(x)

結(jié)論函數(shù)/?(》)叫偶函數(shù)函數(shù)/1(%)叫奇函數(shù)

5.圖象特征

⑴偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

注意：若奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義，則￡(0)=0,圖象經(jīng)過原點(diǎn)；若奇函數(shù)f(x)在

x=0處無意義，圖象就不經(jīng)過原點(diǎn)。

3.3塞函數(shù)

1.募函數(shù)的概念

定義：形如y=xa的函數(shù)叫做基函數(shù)，其中,X是自變量，a是常數(shù)。

2.五個(gè)具體累函數(shù):

(1)圖像

(2)y=xy=x3y=/y二/

定義域RRR{x\x>0]{x|x豐0}

值域R[y\y>o}R[y\y>o){y\y豐0)

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)

(-00,0)單調(diào)遞

單調(diào)單調(diào)(-8,0)單調(diào)遞減；

單調(diào)性減；單調(diào)遞增

遞增遞增(0,+8)單調(diào)遞減

(0,+8)單調(diào)遞增

定點(diǎn)(1,1)

3,易函數(shù)性質(zhì)歸納：

⑴所有的募函數(shù)在(0,+8)都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)；

⑵當(dāng)￡＞0時(shí)，基函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且函數(shù)在區(qū)間［0,+00)上是增函數(shù)；

⑶當(dāng)々＜0時(shí)，募函數(shù)的圖象不過原點(diǎn)，募函數(shù)在(0,+00)上是減函數(shù).且X軸與y軸是

募圖象的漸近線；

⑷當(dāng)。＞1時(shí)，募函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0＜夕＜1時(shí)，募函數(shù)的圖象上凸；

⑸當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，募函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，募函數(shù)為偶函數(shù)。

(6)基函數(shù)在第四象限無圖象。

3.4函數(shù)應(yīng)用

1.函數(shù)的零點(diǎn)

對(duì)于函數(shù)y=/(x),我們把使f(x)=O的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)。

方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系：

方程五x)=0有實(shí)數(shù)解臺(tái)函數(shù)y=Xx)有零點(diǎn)臺(tái)函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)。

2.函數(shù)零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)y=Ax)在區(qū)間3,加上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)f(b)<0,那

么，函數(shù)y=?x)在區(qū)間(。，。)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c?(a,b),使得f(c)=O,這個(gè)

c也就是方程火x)=0的解。

3,二分法

對(duì)于在區(qū)間［a,0］上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=/(x),通過不斷地把函數(shù)人x)

的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，得到零點(diǎn)近似值的方法

叫做二分法.由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，可用二分法來求方程的近似解。

4.用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟

(1)確定零點(diǎn)xo的初始區(qū)間［a,b］,驗(yàn)證f(a)f(b)<0。

(2)求區(qū)間(a,0)的中點(diǎn)c。

(3)計(jì)算五c),并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：

①若五c)=0(此時(shí)xo=c),則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；

②若火。)次。)<0(此時(shí)xoG(a,c)),則令。=c；

③若7(c)；/(0)<0(此時(shí)xoG(b,c)),則令。=c。

(4)判斷是否達(dá)到精確度e：若|a—加<￡,得零點(diǎn)近似值a(或份；否則重復(fù)(2)?(4)步。

記憶口訣：

定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看；同號(hào)去，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間；周而復(fù)始怎么

辦？精確度上來判斷。

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

4」指數(shù)

1.根式及相關(guān)概念

(1)a的〃次方根：如果#=a,那么x叫做a的幾次方根，其中〃>1,且“GN*。

(2)根式定義：式子名叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù)。

2.根式的性質(zhì)(〃>1,且“GN*)

(1)〃為奇數(shù)時(shí)，々疝=a.(2)〃為偶數(shù)時(shí)，yla"=\a\=i°—。，

(a,a<Oo

(3)*=0.(4)負(fù)數(shù)沒有偶次方根.

3

-正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義是M笛i).

正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義是二_」一M〃i).

cin———I—>untiteN*葭>

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累等于0;0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累凌有意義.

4.有理指數(shù)募運(yùn)算性質(zhì)：

(])aras=ar+s{a>0,r,5e2).(2)(ar)s=ar\a>0,r,seQ).

(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,reQ)

5.實(shí)數(shù)指數(shù)幕運(yùn)算性質(zhì)：

s

(1)aras=ar+s(a>0,r,sGR)；(2)(ar)=ars(a>0,r,sGR)；

(3)(ab)=arbr(a>0,b>0,rGR).

4.2指數(shù)含函數(shù)

L指數(shù)函數(shù)

一般地，函數(shù)y=ax(a>0,且a/1)叫做指數(shù)函數(shù)，指數(shù)x是自變量，定義域是R。

注意：(1)指數(shù)函數(shù)的解析式具有三個(gè)特征：底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)；指

數(shù)位置是自變量x；a，的系數(shù)是1。

(2)求指數(shù)函數(shù)的關(guān)鍵是求底數(shù)a,并注意a的限制條件。

2.指數(shù)函數(shù)圖像及性質(zhì)

底數(shù)條件a>l0<a<l

了

圖象

.__產(chǎn)1

A

定義域R值域(0,+00)

單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減

奇偶性非奇非偶函數(shù)

定點(diǎn)(0,1)

3.在第一象限，指數(shù)函數(shù)底數(shù)的變化規(guī)律為：

①底數(shù)互為倒數(shù)的指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

②在第一象限，從x軸到y(tǒng)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，底數(shù)a不斷增大;

③a>l時(shí)，a越大，函數(shù)圖象變化越快；

時(shí)，a越小，函數(shù)圖象變化越快。

4.3對(duì)數(shù)

1.對(duì)數(shù)的概念

(1)若/=Ma〉O,且aWl),則x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log*其中a叫做

對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。

(2)^=NQx=\ogaN.

⑶常用對(duì)數(shù)：以10為底，記作1g4自然對(duì)數(shù)：以無理數(shù)e^2.718…為底，記作In兒

2.對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)

=

(1)負(fù)數(shù)和0沒有對(duì)數(shù)；(2)logal=0；(3)loga31.

3.對(duì)數(shù)恒等式

10

(1)loga心=N；(2)a^=N

4.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果a>0,且aWl,M>0,N>0,那么

(1)loga(M>=log』+loga7V；(2)loga-=logaJ7—log^；

(3)loga〃"=〃logJ/(〃eR).

5.換底公式

若a〉0,且aWl；b>0；c>0,且cWl,貝U有l(wèi)og、力=

logca

4.4對(duì)數(shù)函數(shù)

1.對(duì)數(shù)函數(shù)概念：函數(shù)y=log/(a>0,且aWl)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義

域是(0,+00).

注意：①a>0,且aWl；②logax的系數(shù)為1；③自變量x的系數(shù)為1.

2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)

0<3<1a>1

T‘1x7}

；y=logj(a>l)

圖象

J\：(1,0)

°。加⑼：

y=logflx(0<a<l)

定義域/值域(0,+8)/R(0,+8)/R

過定點(diǎn)(1,0),即x=l時(shí)，y=0

性質(zhì)

在(0,+8)上是單調(diào)遞減在(0,+8)上是單調(diào)遞增

3.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)丁="與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log/(a〉0,且aWl)互為反函數(shù)，定義域與值域正好互

換.

4.三種函數(shù)的性質(zhì)及增長(zhǎng)速度比較

指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)一元一次函數(shù)

解析式y(tǒng)="(a>l)y=logj(a〉l)y=kx(k>6)

單調(diào)性在(0,+8)上單調(diào)遞增

圖象

逐漸與y軸平行逐漸與X軸平行直線逐漸上升

(隨X的增大)

增長(zhǎng)速度

y的增長(zhǎng)速度越來越快y的增長(zhǎng)速度越來越慢y值增長(zhǎng)速度不變

(隨X的增大)

增長(zhǎng)關(guān)系存在一個(gè)％0，當(dāng)X>Xo時(shí)，">Ax>log/

第五章三角函數(shù)

5.1任意角和弧度角

1?角的概念

角可以看成一條用紙繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.角的三要素頂點(diǎn)、始邊、終邊

2.任意角的分類

類型定義圖示

一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成

正角

的角04——4

一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成Oy-------

負(fù)角

的角X：

一條射線沒有任何旋轉(zhuǎn),稱它形成了一個(gè)零

零角0A

角

3.象

限角

如果角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,那么，角的終邊在

第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于

任何一個(gè)象限.

4.終邊相同的角

所有與角。終邊相同的角，連同角。在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={￡l8=a+/?360。，左

?Z},即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角的和.

5.度量角的兩種制度

(1)角度制.

定義：用度作為單位來度量角的單位制.1度的角等于周角的心，記作1°.

⑵弧度制

定義：以弧度為單位來度量角的單位制.規(guī)定：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心

角叫做1弧度的角.弧度單位用符號(hào)皿表示，讀作弧度

一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是2

半徑為r的圓的圓心角a所對(duì)弧的長(zhǎng)為則角。的弧度數(shù)的絕對(duì)值是1。|=/

qr

1°=—^—rad?0.01745rad

180

180°=TTrad

1rad=（尊）。?57.30°

6.常用特殊角的弧度數(shù)

30°45°60°90°120°135°150°180°

a71n717127r37r57r

IT

6432V~6

1V2V3V3_V21

sina10

2TT22

V3V2i_1_V3

cosa0_V21

~2T222一_r

V3_V3

tanaiV3-V3—0

T~T

210°225°240°270°300°315°330°360°

a77r57r47r37r57r77rlln

2TT

~6TTT-3~彳6

1_V2_V3_V3_V2_1

sina-10

~222--2~22

_V3_V211V2V3

cosa01

2一_2~22TT

V3_V3

tana1V3-V3-10

T3

角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起.一一對(duì)應(yīng)關(guān)系:

每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)（即這個(gè)角的弧度數(shù)）與它對(duì)應(yīng)；反過來，任一個(gè)實(shí)數(shù)也

都有唯一的一個(gè)魚（即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角）與它對(duì)應(yīng).

7.弧度制下的弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式

⑴弧長(zhǎng)公式：在半徑為r的圓中，，=|a|r,其中a的單位是弧度.

⑵扇形面積公式：在半徑為r的圓中，其中a的單位是弧度.

5.2三角函數(shù)的概念

1.任意角的三角函數(shù)的定義

如圖，設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與

前提

單位圓交于點(diǎn)P(x,y)

正弦縱坐標(biāo)工叫做a的正弦函數(shù)，記作sina=y。

橫坐標(biāo)x叫做a的余弦函數(shù)，記作coscr=_

余弦

XO

定義正切比值丫叫做a的正切，記作tana=丫(》關(guān)0)。

XX

正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的

三角函數(shù)縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函

數(shù)。

2.三角函數(shù)值的符號(hào)

y,y..y,聞"1己口訣：

+_____二二______二二_____二一全正、二正弦、

0三0《0三

++三正切、四余弦。

sinacosatana

3.終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相同，由此得到一組公式(誘導(dǎo)公式一)：

sin(a+1?2n)=sina,cos(a+左?2n)=cosa,tan(a+左?2n)=tana,

其中k^Z.

4.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

關(guān)系式文字表述

22

平方關(guān)系sinCL+cosCL=1同一個(gè)角a的正弦、余弦的平方和等于L

sina,…同一個(gè)角a的正弦、余弦的冏等于角a的正

商數(shù)關(guān)系----=tana

cosa切.

5.3誘導(dǎo)公式

1.誘導(dǎo)公式二2.誘導(dǎo)公式三3.誘導(dǎo)公式四

sin（—a）=—sina,sin（兀+?）=-sinasin（兀一a）=sina

--

cos（a）=cosa,cos（7i+tz）=-cosacos（兀-a）=cosa

tan（-a）=—tanatan（兀+a）=tanatan（?！猘）=-tana

4.誘導(dǎo)公式五5.誘導(dǎo)公式六

sm（2—?）=cos?,sin（/+a）=cosa,

cos（2—?）=sinacos（^+a）=—sina

6.對(duì)誘導(dǎo)公式一?六的兩點(diǎn)說明

誘導(dǎo)公式一?六揭示了終邊具有某種對(duì)稱關(guān)系的兩角的三角函數(shù)之間的關(guān)系.

5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.正弦曲線：正弦函數(shù)的圖像叫做正弦曲線,是一條連續(xù)光滑曲線;

余弦曲線：余弦函數(shù)的圖像叫做余弦曲線,是一條連續(xù)光滑曲線

2.函數(shù)的周期性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在一個(gè)非零常數(shù)T,使任意xGD都

有x+TCD,且f(x+T)=f(x),則函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)。工叫做這個(gè)函數(shù)的周期。

最小正周期：在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在的一個(gè)最小正數(shù)。

3.函數(shù)的奇偶性

對(duì)函數(shù)f(x),如果VxCL都有—XCL且f(-x)=-(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).

對(duì)函數(shù)f(x),如果VxCL都有一xCI,且f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)

4.函數(shù)的單調(diào)性

如果VX1，X2eD,當(dāng)X1<X2時(shí)，都有f(Xi)<f(X2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上

單調(diào)遞增.特別的,當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí),我們稱它為增函數(shù)。

如果VX1，X2eD,當(dāng)X1<X2時(shí),都有f(Xi)>f(X2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上

單調(diào)遞減.特別的，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們稱它為減函數(shù)。

5.正弦函數(shù)匯總

函數(shù)y=sinx

y

zy八一

圖象

定義域R值域[T，1]

(。,。),住,1),(n,0),----1),(2n,0)

五點(diǎn)法

周期2ku(kEZ)最小正周期2TT

奇偶性奇函數(shù)

對(duì)稱中心(ku,0)(kEZ)

對(duì)稱軸x=ku+-(kEZ)

2

在每個(gè)閉區(qū)間[—：+2kn,5+2kn](kCZ)上單調(diào)遞增

單調(diào)性

在每個(gè)閉區(qū)間(+2kn,y+2kir](kGZ)上單調(diào)遞減

x=2kir+(keZ)時(shí)，ymax=1

最值性

X=2kTT+y(kCZ)時(shí)，ymin=1

6.余弦函數(shù)匯總

函數(shù)y=cosx

J卜八,

圖象

-V.

定義域R值域[-1,1]

五點(diǎn)法(0,1),g,o),(1T,-1),修,0),(211,1)

周期2ku(kGZ)最小正周期2n

奇偶性偶函數(shù)

對(duì)稱中心(ku+p0)(kez)

對(duì)稱軸x=kn(kGZ)

在每個(gè)閉區(qū)間[-TI+2k嗚2kn](kGZ)上單調(diào)遞增

單調(diào)性

在每個(gè)閉區(qū)間[2kh,it+2kn](kGZ)上單調(diào)遞減

x=2kn(kEZ)時(shí)，ymax=1

最值性

x=2kn+ii(keZ)時(shí)，ymjn=1

7.正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

解析式y(tǒng)=tanx

1

!1：isI:

)\

圖象-卻尸/陛.

田、

定義域xwku+2(keZ)

2

值域R

最小正周期2TI

奇偶性奇函數(shù)

單調(diào)性在每一個(gè)區(qū)間aCZ)上都單調(diào)遞增

對(duì)稱性對(duì)稱中心依Z)

5.5三角恒等變換

1、兩角和差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(a+S)=sinacosp+cosasinp

(2)sin(a—p)=sinacos0—cosasin0

(3)cos(a+似=cosacos(J—sinasinp

(4)cos(a-S)=cosacosfi+sinasinp

(5)tan(a+g)=tana+tan/?

尸1-tanatan)?

(6)tan(a—俊=tana-tan/?

'11+tanatan)?

2、二倍角公式

(1)sin2a=2sinacosa

(2)cos2a=cos2a—sin2a=1—2sin2a=2cos2a—1

(3)tan2a=2tana

1-tan2a

5.6函數(shù)y=Asin((nx+(p)

左加右減平.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼墓?U倍

1.y=sinx)v=sin(x+<p))y=sin(o)x+(p)

|(p|個(gè)單位長(zhǎng)度縱坐標(biāo)不變

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/p>

>V=Asin(o)x+(p)

橫坐標(biāo)不變

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹禪)倍左加右減平移

2.y=sinx,y=sin(u)x)Icpi人Xdi/4y=sm(3x+(p)

縱坐標(biāo)不變5個(gè)單位長(zhǎng)度

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍

>y=Asin(a)x+(p)

橫坐標(biāo)不變

第六章平面向量及其應(yīng)用

一、向量的概念

1、向量的概念：具有大小和方向的量稱為向量.（沒有位置、不能比較大?。?/p>

2、向量的模：向量AB的大小——長(zhǎng)度稱為向量的模，記作能比較大小）

向量的模：?jiǎn)?Jea=也2+,.

3、零向量：長(zhǎng)度等于零、方向是任意的向量，記作0.（注意。與o的含義與書寫區(qū)別）

a

4、單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.與非零向量a共線的單位向量％=±時(shí).

說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.

5、平行向量：（1）若非零向量八b的方向相同或相反,則a//b,又叫共線向量；

（2）規(guī)定。與任一向量平行.

三點(diǎn)A、B、C共線。AB、AC共線

O沆=一逾+”加入+仇=1.

共線定理：b=4%,

向量平行無傳遞性，即a//6,b〃c不能推出a〃匕〃e（b可能為。）.

注意：共線向量?jī)H僅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同.

6、相等向量：若非零向量a、b方向相同且模相等,則向量a、b是相等向量.

（1）相等向量：。=萬=模相等，方向相同；

⑵相反向量：：模相等，方向相反.

二、向量的加法

1、三角形法則：首尾相連,起點(diǎn)指向終點(diǎn).

(1)(2)(3)

注意：（1）和向量的始點(diǎn)是第一個(gè)向量的始點(diǎn)，終點(diǎn)是第二個(gè)向量的終點(diǎn).

（2）零向量與任一向量°的和都有a+0=0+&=d.

2、平行四邊形法則：共起點(diǎn),四邊形,對(duì)角線.

a

3、向量加法的運(yùn)算律：交換律：a+b=b+a;結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

三、向量的減法

1、相反向量：與.長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作-a.

(1)規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量；(2)-(-.)=°；

(3)a+(-a)=(-a)+a=。；(4)若a與6互為相反向量，則a=-b9b=-aa+b=O?

2、向量的減法：共起點(diǎn),指向被減向量.

四、向量的數(shù)乘及數(shù)量積

1、向量數(shù)乘的定義：實(shí)數(shù)2和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作曲.

(1)向量的模(長(zhǎng)度)：回=臥4

(2)方向：當(dāng)；1>0時(shí)，與a同方向；當(dāng)/<。時(shí)，與a反方向.

(3)運(yùn)算律：設(shè)大、HeR,貝!!①(九'6a=&+/M,②%(〃a)=(4〃)a；③)(a+b)=夭°+Xb.

注意：4a的結(jié)果為應(yīng)量,所以當(dāng)2=。時(shí)，得到的結(jié)果為。而不是。.

2、平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：面斗cos6>(0V6>W%).

非零向量a與b的夾角：.

⑴兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)土規(guī)定。與任何向量的數(shù)量積為Q

(2)運(yùn)算：(a±5)2=a?±2a-b+t>一,5+切6一加=，

(3)向量a%=1不能推出a=c.

a-b

(4)cos(a,6)=lx叱+坐

\d\x\b\

3、向量b在a方向上的投影：設(shè)。為八b的夾角，則斗cos。為6在a方向上的投影.

6在a方向上的投影向量為：同cos他=\b\cosO^.

4、向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

<1>坐標(biāo)形式：4=（孫％）、b={x2,y2）

（1）向量的模：@=JxJ+yj.

（2）加法：d+b=（^+x2,%+%），；（3）減法：a-b=（Xj-x2,另一%）;

⑷數(shù)乘：2a=（2%1，2%）;（5）數(shù)量積：=玉+）1?

向量五與向量6共線：x1y2-x2ji-0;向量向量6（五?石=0）：xrx2+

y，2=°,

<2>A（X1；%）、8（尤2，%）,則AB=（9-勺%-乂），

網(wǎng)=、/（%-%）2+（%二療.（兩點(diǎn)間距離公式）.

五、正余弦定理

1、余弦定理:適用于已知兩邊及其夾角求第三邊;已知三邊求一角.

b2+c2-a2

a2-b2+c2—2bccosA；cosA=

2bc

22_2

222a+cb

b-a+c—2accosB；cosB二

2ac

b2+a2-c2

c2=b2+a2—2bacosC；cosC=

2ba

2、正弦定理:適用于已知兩角及一邊解三角形;已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角

形（此情況要注意是否有兩個(gè)解）.

-^―——^―-—^―-=2R；

sinAsinBsinC

a：b：c=sinA：sinB：sinC；

a=2RsinA；b=2RsinB；c=2RsinC

3、三角形面積公式:S/=^absinC=acsinB=^bcsinA.

第七章復(fù)數(shù)

一、復(fù)數(shù)的概念

1、概念：復(fù)數(shù)是形如a+瓦形，b￡R)的數(shù),工是虛數(shù)單位，i2=-l,生是實(shí)部，上是

虛部。

實(shí)數(shù)滿足：b=0-,虛數(shù)滿足：bWO；純虛數(shù)滿足：b#0,a=0。

2、復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+di(a,b,c,d@R),只需a=c,b=d.

3、幾何意義：復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)一一對(duì)應(yīng)，與平面向量而一一

對(duì)應(yīng).(復(fù)平面中x軸叫儆實(shí)軸,y軸叫瞰虛軸)

4、復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對(duì)值記作|z|或|a+bi|,即|z|=E+

bi|="a2+b2,其中a,b?R.

5、共甄復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)z=a+bi的共輸復(fù)數(shù)為Z=a-bi.

二、復(fù)數(shù)的運(yùn)算

1、加法運(yùn)算：

2、減法運(yùn)算：毋葉玩9一^付十遍=€?—e)+(b—d)i

3、乘法運(yùn)算：(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i(注意：r=-7)

4、除法運(yùn)算：①寫成分式形式；②分子分母同乘分母的共物要教

第八章立體幾何

一、基本立體圖形

直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；

正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；平行六邊形：底面是平行四邊形的四棱柱.

二、立體圖形的直觀圖

1、用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟：

（1）畫軸：在已知圖形中取互相垂直的X軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)0,畫直觀圖

時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的X，軸和V軸，兩軸交于0、且使Nk'0y'=45。（或135°）,它們

確定的平面表示水平面.

（2）畫線：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于X，軸

或y'軸的線段.

（3）取長(zhǎng)度：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度不變平行于y軸的

線段，在直觀圖中長(zhǎng)度為原來的一半.

2、空間幾何體直觀圖的畫法：

（1）畫軸：與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個(gè)z軸，直觀圖中與之對(duì)應(yīng)的是力

軸.

（2）畫底面：平面x，0y表示水平平面，平面y，0N和x，0N表示豎直平面.

（3）畫側(cè)棱：已知圖形中平行于z軸（或在z軸上）的線段，在其直觀圖中平行性和

長(zhǎng)度都不變.

（4）成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.

三、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

1、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積公式

柱體的體積公式（S為底面面積，h為高）；

錐體的體積公式V=l/3Sh（S為底面面積，h為高）；

臺(tái)體的體積公式V=l/3（S，+聞+S）h.

2、球的表面積和體積公式：

設(shè)球的半徑為R,則球的表面積S=4TIR2,球的體積片4/3兀R3.

3、內(nèi)切球與外接球

（1）球心到某幾何體各面的距離相等且等于半徑的球是幾何體的內(nèi)切球.

（2）正多面體各頂點(diǎn)同在一球面上，這個(gè)球叫做正多面體的外接球.

（3）特殊內(nèi)切球與外接球計(jì)算

①球外接于長(zhǎng)方體，球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線（履+受+"a、b、c分別為

長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高）。

②球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑;

③球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.

四、點(diǎn)