專題09三角函數(shù)拆角與恒等變形歸類

專題09三角函數(shù)拆角與恒等變形歸類目錄TOC\o"11"\h\u題型一：誘導(dǎo)公式 1題型二：輔助角：特殊角型 3題型三：輔助角：非特殊角型 7題型四：sinxcosx與sinxcosx型轉(zhuǎn)化 11題型五：齊次式轉(zhuǎn)化 13題型六：拆角：互補(bǔ)型拆角缺 15題型七：拆角：互余型拆角 17題型八：拆角：二倍角型拆角 18題型九：拆角：30度型拆角 20題型十：拆角：60度型拆角 21題型十一：拆角：正切型 23題型十二：拆角：分式型 25題型十三：對(duì)偶型恒等變形求值 27題型十四：拆角求最值 29題型十五：韋達(dá)定理型恒等變形求值 31題型十六：恒等變形求角 33題型一：誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式可簡記為：誘導(dǎo)公式可簡記為：奇變偶不變，符號(hào)看象限．“奇”“偶”指的是“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”中的k是奇數(shù)還是偶數(shù)．“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化，若k是奇數(shù)，則正、余弦互變；若k為偶數(shù)，則函數(shù)名稱不變．“符號(hào)看象限”指的是在“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”中，將α看成銳角時(shí)，“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”的終邊所在的象限．1．（2324高三·浙江·模擬）已知銳角滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和兩角差的余弦公式，化簡得到，再利用余弦的倍角公式，即可求解.【詳解】由，可得，可得，所以可得即，可得，所以，則.故選：B.2．（2324高三·浙江寧波·模擬）已知，求（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡已知等式可得，再利用兩角和差的余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系化簡可得，繼而利用三角恒等變換，化簡求值，即得答案.【詳解】由題意知，即，故，即，故，即，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及兩角和差的公式化簡得出的表達(dá)式之后，要利用拆角的方法，繼而結(jié)合三角恒等變換公式，化簡求值即可.3．（1516高三·吉林長春·模擬）設(shè)，那么A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：由誘導(dǎo)公式得，，，，故答案為B．考點(diǎn)：1、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式；2、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．4．（安徽省阜陽市20232024學(xué)年高三模擬質(zhì)量統(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)試題）若角滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式求出，再利用二倍角的余弦公式，結(jié)合齊次式法求值.【詳解】由，得，即，則所以.故選：B5．（2024·廣東·二模）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用切化弦的思想，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角的正余弦公式計(jì)算得解.【詳解】.故選：D題型二：輔助角：特殊角型輔助角輔助角asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).(不記正切這個(gè)，要會(huì)推導(dǎo)非特殊角的輔助角）1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)特征利用三角恒等變換公式將函數(shù)解析式化為一角一函數(shù)形式，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】法一:由題，令，，因?yàn)?，所以，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以且，得．由，得，又且，所以，.故選:C.法二:由題，由，得，設(shè)的最小正周期為T，則由題意得，所以，從而，結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，得，且，解得.故選:C.2．（2324高三·四川·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上的值域分別為，則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若，則的最小值為B．若，則的最小值為C．若，則的取值范圍為D．若，則的取值范圍為【答案】C【分析】將整合為，再針對(duì)選項(xiàng)逐項(xiàng)分析即可.【詳解】由題知，圖像在軸右側(cè)的第一條對(duì)稱軸為，軸右側(cè)的第二條對(duì)稱軸為.

對(duì)于A，令，，若，則，取時(shí)，則，此時(shí)必有，此時(shí)滿足，A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，則，此時(shí)，因?yàn)?，故，故，矛盾，故，?dāng)時(shí)，，，故在上的值域?yàn)?，在的值域?yàn)椋项}意，故的最小值為，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，與條件不符，當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)椋始?所以當(dāng)時(shí)，不成立.當(dāng)時(shí)，，不滿足條件，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)椋始磿r(shí)，滿足條件，當(dāng)時(shí)，，不滿足條件，D正確.故選：C.3．（2223高三·廣西南寧·模擬）已知函數(shù)，若在上無零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先結(jié)合二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡，得，由于在上無零點(diǎn)，因此，且，，在的條件下，解不等式可得解.【詳解】，由，得，因?yàn)樵谏蠠o零點(diǎn)，所以，得，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以解得，因?yàn)椋越獾?，因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查三角函數(shù)的綜合問題，考查三角恒等變換公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)在上無零點(diǎn)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式組，從而可求得結(jié)果，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.4．（2223高三·江西·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期是 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．在上有4個(gè)極值點(diǎn) D．在上單調(diào)遞減【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)周期性、對(duì)稱性定義判斷A，B；求導(dǎo)并探討導(dǎo)數(shù)在上的正負(fù)情況判斷C；探討函數(shù)在上單調(diào)性判斷D作答.【詳解】函數(shù)，對(duì)于A，，即不是的周期，A不正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，顯然函數(shù)圖象上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)不在的圖象上，B不正確；對(duì)于C，當(dāng)或時(shí)，，，此時(shí)或，當(dāng)或，即或時(shí)，函數(shù)取得最值，因此在或取極值，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)或，即或時(shí)，函數(shù)取得最值，因此在或取極值，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)是定義域R上的連續(xù)函數(shù)，則是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，所以函數(shù)在上的極值點(diǎn)至少有5個(gè)，C不正確；對(duì)于D，因?yàn)椋瑒t是函數(shù)的一個(gè)周期，當(dāng)時(shí)，，由選項(xiàng)C知函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D5．（2324高三遼寧·模擬）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有且只有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則正數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡函數(shù)為，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有且只有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求得或，列出不等式組，即可求解.【詳解】由函數(shù)，因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上有且只有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，可得在區(qū)間上有且只有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則或，解得或，且，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.題型三：輔助角：非特殊角型輔助角輔助角輔助角范圍滿足：1．（2223高三上海寶山·階段練習(xí)）若，，下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合輔助角公式的變形，確定輔助角的取值作答.【詳解】由選項(xiàng)知，，，令，有，，則，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，為第一象限角，且，，，則，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，為第四象限角，且，，，則，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，為第二象限角，且，，，則，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，為第三象限角，且，，，則，D錯(cuò)誤.故選：D2．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用輔助角公式化簡已知方程，求得，進(jìn)而求得.【詳解】關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，即（，取為銳角）在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，即方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解．不妨令，由，則，所以，所以．則，即，所以．故選：D．3．（2324高三·江西贛州·模擬）已知是圓上兩點(diǎn)．若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用得向量、的夾角為，設(shè)，利用兩角和與差的公式、三角函數(shù)的現(xiàn)在化簡可得答案.【詳解】由題意，，因?yàn)椋?，所以向量、的夾角為，如圖，設(shè)，所以，且，因?yàn)?，所?故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是求出向量、的夾角，設(shè)進(jìn)行化簡計(jì)算.4．（2023·四川雅安·一模）已知函數(shù)，設(shè)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式得到最大值，即得到關(guān)于的關(guān)系式，代入利用誘導(dǎo)公式即可.【詳解】，，，，，，.故選：B.5．（2223高三遼寧大連·模擬）已知函數(shù)（，，）在區(qū)間上單調(diào)，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將化成的形式，根據(jù)單調(diào)性及周期性得到的取值范圍，根據(jù)等式關(guān)系得到各參數(shù)的關(guān)系，最后利用輔助角公式中的關(guān)系得到關(guān)于的不等式，解出不等式即可.【詳解】，，，在區(qū)間單調(diào)，，，，，，，，，，，，，，，，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)定睛：本題難點(diǎn)在于單調(diào)性與周期性之間的關(guān)系以及輔助角公式的巧妙運(yùn)用.題型四：sinxcosx與sinxcosx型轉(zhuǎn)化與與的函數(shù)中一般可設(shè)進(jìn)行換元．換元時(shí)注意新元的取值范圍．之間的互化關(guān)系1.2.1．（2324高三·湖北武漢·模擬）函數(shù)的最大值為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)，之間的關(guān)系將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題處理.【詳解】設(shè)，根據(jù)輔助角公式，，由，于是，故，當(dāng)時(shí)，取得最大值.故選：A2．（2324高三·遼寧大連·階段練習(xí)）若是方程的兩根，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合二次方程的韋達(dá)定理，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系列式求解即可.【詳解】由題設(shè)，得或.由韋達(dá)定理得且，所以，所以，即，可得，又或，所以.故選：A3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦的二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關(guān)系變形，已知式由兩角差的余弦公式展開化簡得，再利用同角間三角函數(shù)關(guān)系變形得出，代入待求式變形后的式子計(jì)算可得．【詳解】（※）而，則，兩側(cè)平方可得，則，代入（※）式可知，故選：A．4．（2324高三·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，則，從而得到，依題意得到關(guān)于的方程，求出的值，再由二倍角公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.【詳解】令，則，所以，所以，所以，所以，由，所以，解得（舍去）或，所以.故選：B5．（2324高三·湖北武漢·模擬）已知，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，可得出，求出二次函數(shù)在上的值域即可得解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，則，令，所以，，則，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則.因此，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的值域?yàn)?故選：D.題型五：齊次式轉(zhuǎn)化正切齊次求正切齊次求值型給正切，利用正余弦一次分式齊次特征，可以同除余弦化為正切二次型求正切，充分運(yùn)用“1”的代換：（1）（2）1．（2024·新疆·一模）已知:，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角恒等變換計(jì)算即可.【詳解】由，則.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用等式條件及正弦的和差角公式及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系得出，再根據(jù)特殊角及正弦的差角公式與誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.2．（2324高三遼寧大連·模擬）已知，均為銳角，，則取得最大值時(shí)，的值為（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】由，兩邊同時(shí)除以得，再將用表示，再結(jié)合基本不等式求出的最大值及此時(shí)的值，再根據(jù)兩角和的正切公式即可得解.【詳解】由，兩邊同時(shí)除以得，所以，因?yàn)椋鶠殇J角，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以取得最大值時(shí)，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將已知變形成是解決本題的關(guān)鍵.3．（2021高三·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）函數(shù)的最大值和最小值分別為（

）A． B． C．，0 D．【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式和同角的基本關(guān)系化簡可得，再令，，可得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，則，由，得，所以，所以當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角公式、同角基本關(guān)系，以及換元法在求函數(shù)值域中的應(yīng)用，屬于中檔題.4．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對(duì)于解法一：由二倍角公式解出，進(jìn)而將所求分式利用三角恒等變換化為齊次式弦化切求解即可；對(duì)于解法二：將已知變形代入同角基本關(guān)系式，求解出和代入求解即可.【詳解】解法一:由題意可知，，得，由二倍角公式可知：.故選：B．解法二：

由可得，代入，得，因?yàn)?，則，則，則．故選：B．5．（2324高三江蘇南京·模擬）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得或，再將化為，代入的值即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以，即，解得或.又，將或代入，均得到.故選：C.題型六：拆角：互補(bǔ)型拆角缺角度“互補(bǔ)”與“廣義互補(bǔ)余”可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化：角度“互補(bǔ)”與“廣義互補(bǔ)余”可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化：1.“互補(bǔ)”：兩個(gè)復(fù)合型角度相加為180°，可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化2.“廣義互余”：兩個(gè)復(fù)合型角度的和或者差為180°+k360°，可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化1.（2022秋·陜西商洛·高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系求出，結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算化簡即可求解.【詳解】由，得，則，得，所以故選：A.2（2023春·浙江寧波·高三?？茧A段練習(xí)）已知，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通過，利用誘導(dǎo)公式變形計(jì)算.【詳解】.故選：A.3.若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式直接計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?故選A.4.（山東省青島市青島中學(xué)20222023學(xué)年10月月考）已知,且,則______．【答案】0【分析】先用換元,再用誘導(dǎo)公式,將所求轉(zhuǎn)化為換元后的三角函數(shù),計(jì)算結(jié)果即可.【詳解】解:由題知,令所以,故答案為:0題型七：拆角：互余型拆角角度“互余”與“廣義互余”可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化：角度“互余”與“廣義互余”可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化：1.“互余”：兩個(gè)復(fù)合型角度相加為90°，可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化2.“廣義互余”：兩個(gè)復(fù)合型角度的和或者差為90°+k360°，可以用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化1．（2324高三·河南洛陽·模擬）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式即可求得答案.【詳解】由，可得.故選：C.2．（2324高三廣東梅州·模擬）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用輔助角公式可得，即可由誘導(dǎo)公式求解.【詳解】由得，故，故選：B3．（2324高三下·山東威?！るA段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】由可得，故選：A4．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用角的變換，再結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可求解.【詳解】.故選：C5．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式計(jì)算即得.【詳解】由，得.故選：B題型八：拆角：二倍角型拆角二倍角二倍角公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).1．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則，根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式可得，根據(jù)誘導(dǎo)公式和弦切互化得，代入并利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)，則，，所以，，所以.故選：D2．（2324高三·四川眉山·階段練習(xí)）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式得到，再利用余弦二倍角公式求出答案.【詳解】.故選：B3．（2324高三·江西·階段練習(xí)）已知角滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式計(jì)算即得.【詳解】由，得．故選：B4．（2324高三·江蘇連云港·模擬）已知，求（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式求解即得.【詳解】由，得.故選：B5．（2024·浙江·三模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡等式，在利用二倍角公式計(jì)算得到結(jié)果；【詳解】∵，∴，∴，故選：A．題型九：拆角：30度型拆角復(fù)合型角度的和與差，如果是與復(fù)合型角度的和與差，如果是與30°，45°或者60°等特殊角終邊相同，則可以借助特殊角的函數(shù)值來拆角求值1．（2324高三·江蘇鹽城·模擬）化簡值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】.故選：B2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）等于（）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、二倍角正弦公式及輔助角公式化簡可得結(jié)果.【詳解】.故選：C.3．（2024·陜西西安·一模）等于（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】利用兩角和的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】.故選：C4（2324高三·重慶·模擬）（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】利用二倍角的正弦公式以及兩角差的正弦公式化簡可得結(jié)果.【詳解】故選：A5．（2223高三·河南·模擬）的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由，利用兩角和的正弦公式求解即可．【詳解】，故選：B.題型十：拆角：60度型拆角常見的變角技巧有：，，，，等．1．（2324高三·湖南湘潭·階段練習(xí)）的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】利用三角函數(shù)的和差公式與倍角公式化簡即可得解.【詳解】.故選：C.2．（2324高三·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）計(jì)算的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】先利用誘導(dǎo)公式化簡，再結(jié)合兩角和差的余弦公式和二倍角的余弦公式化簡即可得解.【詳解】.故選：C.3．（2024·河北滄州·二模）化簡（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】將式中的非特殊角通過兩角和與差的三角函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)樘厥饨呛徒羌纯蛇M(jìn)行化簡.【詳解】.故選：B.4．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）（）A． B． C． D．【答案】A【分析】切化弦后通分，根據(jù)兩角和差的正余弦公式求解即可.【詳解】.故選：A.5．（2324高三·湖南·階段練習(xí)）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，結(jié)合兩角和差公式分析求解.【詳解】由題意可得：，所以.故選：C.題型十一：拆角：正切型正切型公式：正切型公式：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)1．（2324高三·重慶大足·階段練習(xí)）設(shè)，，，，若滿足條件的與存在且唯一，則（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】先由，可得，再根據(jù)，結(jié)合兩角差的正弦公式求出，進(jìn)而可求出，再根據(jù)唯一性可求出，再求出，結(jié)合兩角差的正切公式求出，即可得解.【詳解】由，得，即，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)闈M足條件的與存在且唯一，所以唯一，所以，所以，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以，因?yàn)?，所以，所以，則，解得，所以.故選：B.2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩角和差的正余弦公式展開，兩邊同除，得到.再利用兩角差的正切公式展開，將換成，化簡即可得到答案.【詳解】，所以，兩邊同除，得到，即.，.故選：C.3．（2324高三下·江蘇鎮(zhèn)江·模擬）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由結(jié)合兩角差的正切公式求得.【詳解】由得，故選：A.4．（2024·福建泉州·二模）若，且與存在且唯一，則（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】由，得，由，得，，則有，與存在且唯一，得，解得，即，再由，可求出，計(jì)算的值即可.【詳解】，由，得，即，所以，有，所以，，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)闈M足條件的與存在且唯一，所以唯一，若，有兩解，其中一解中有鈍角，此情況不存在.所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以，因?yàn)椋裕?，則，解得，所以．故選：B．5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知,,且,,則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角的正切公式求出,再根據(jù)結(jié)合兩角和的正切公式求得,根據(jù)求出,從而可得的范圍,即可得出的范圍,即可得解.【詳解】因?yàn)?所以,故,由,所以,又,所以,故,所以.故選：A.題型十二：拆角：分式型分式型求值，主要方向是把分?jǐn)?shù)的分子分母“因式分解”，再通過“約分”來達(dá)到求值的目的。所以，通過“和、差化積”思維，利用“因式分解的重要技巧：正余余正，余余正正公式”，化成積的形式，便于約去。1．（2324高三·湖南長沙·階段練習(xí)）求值：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】易知，再利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】.故選：A.2．（2324高三·四川成都·模擬）求值（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、二倍角公式和輔助角公式化簡即可.【詳解】因?yàn)?；；，所?故選：D.3．（2324高三·遼寧·模擬）化簡的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩角和與差公式和二倍角公式求解即可.【詳解】.故選：C.4．（2021·廣西·一模）＝（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，然后，利用，代入的值求解即可【詳解】，令，得，，，所以，，所以，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于，利用和，求出，然后利用余弦函數(shù)的兩角和差公式進(jìn)行求解，運(yùn)算量較大，屬于難題5．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）化簡：（

）A．4 B．2 C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等變換的公式求解即可.【詳解】.故選：A．題型十三：對(duì)偶型恒等變形求值常見的對(duì)稱型結(jié)構(gòu)：常見的對(duì)稱型結(jié)構(gòu)：為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，可以借助消元求解1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩角和與差的正弦公式化簡已知條件得，，由，代入求值即可.【詳解】由，，得，，所以.故選：A.2．（2024·山西晉中·三模）已知?jiǎng)t（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知平分求和可得的值，結(jié)合角度范圍可得所求.【詳解】因?yàn)槠椒角蠛偷茫核杂傻盟曰?，又，則，所以，所以故選：B.3．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用兩角和的正弦公式求出，再根據(jù)結(jié)合兩角和差的余弦公式化簡即可得解.【詳解】，，所以.故選：D.4．（2324高三·江蘇連云港·模擬）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對(duì)給定式子平方，再進(jìn)行相加得到，最后利用兩角和的正弦公式求解即可.【詳解】若，則若，則，將兩式子相加可得，化簡得，由兩角和的正弦公式得，故C正確.故選：C5．（2223高三·江蘇徐州·模擬）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將條件中兩式平方相加后整理即可得答案.【詳解】，，兩式相加得，.故選：D.題型十四：拆角求最值1．（2324高三·湖南·階段練習(xí)）已知，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由兩角和的余弦展開式化簡可得的值，再由兩角和的正切展開式、基本不等式可得答案.【詳解】由，得，因?yàn)?，，所以，且，，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).故選：C.2．（2014高三·全國·競(jìng)賽）若，，且滿足關(guān)系式，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用已知等式變形可得，結(jié)合兩角和差正切公式，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】由得：，，，，，且，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），的最小值為.故選：B.3．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）中，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】由，利用兩角和與差的正弦公式化簡得，再由，代入中由基本不等式求最小值.【詳解】中，，即，有，得，則有，得，且，則，若A為鈍角，則為鈍角，∴，與矛盾，舍去，故A為銳角，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，的最小值為2.故選：A．4．（2324高三下·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）已知，均為銳角，且滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】已知等式利用兩角差的正弦公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系化簡得，結(jié)合基本不等式可得，由正切函數(shù)的單調(diào)性可得的最大值.【詳解】由，得，即，化簡得，則，所以，由為銳角，，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，，由，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以的最大值為.故選：B5．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則的最小值為（

）A．4 B．3 C． D．2【答案】C【分析】由兩角和與差的余弦公式變形已知式得出，再利用兩角和的正切公式變形得出關(guān)于的代數(shù)式，利用基本不等式得出其范圍．【詳解】，，，又，，即，．，，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，的最小值為．故選：C．題型十五：韋達(dá)定理型恒等變形求值若若是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，則：1．（2122高三·貴州遵義·階段練習(xí)）若是方程的兩根，則的值為A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題設(shè)，所以可得，解之得，由于二次方程的判別式，所以（舍去），應(yīng)選答案B．點(diǎn)睛：解答本題時(shí)充分借助題設(shè)條件及同角三角函數(shù)之間的平方關(guān)系建立了關(guān)于參數(shù)的方程，即，當(dāng)求得時(shí)，要運(yùn)用二次方程的判別式進(jìn)行檢驗(yàn)，最終獲得答案．2．（2223高三·北京西城·階段練習(xí)）已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，則，m＝.【答案】//【分析】根據(jù)給定條件，利用韋達(dá)定理結(jié)合同角公式求解作答.【詳解】因?yàn)槭顷P(guān)于x的一元二次方程的兩根，則，即，