2024-2025學(xué)年湖南省長沙市岳麓區(qū)某中學(xué)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（附答案）

2024-2025學(xué)年湖南省長沙市岳麓區(qū)西雅中學(xué)九年級（上）開學(xué)

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列各點中，在直線y=3x上的點是（）

A.(1,3)B.(3,1)C.(1,-3)D.(2,5)

2.菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）

A.四邊相等B.對角線相等C.對角相等D.鄰角互補

3.安徽砌山酥梨栽培歷史悠久，是中國傳統(tǒng)三大名梨之首.甲、乙、丙、丁四個果籃中酥梨

的平均質(zhì)量房與方差s2如下表所示，如果要挑選一個單果質(zhì)量大且均勻的果籃，則應(yīng)該選

（）

果籃甲乙丙T

平均質(zhì)量（克）X450500450500

方差S21.11.11.21.2

A.甲B.乙C.丙D.T

4.將二次函數(shù)y=2/的圖象向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的函數(shù)圖象的表達式是（）

A.y=2(%+2T+3B.y=2(%+2)2-3

C.y=2(x-2)2-3D.y=2(%-2)2+3

5.設(shè)一元二次方程--3久+2=0的兩根為尤i，x2,則/+久2一%1%2的值為（）

A.1B.-1C.0D.3

6.若力(-3,%)、8(-2,%)、。(一4,%)為二次函數(shù)'=(久+2)2-1的圖象上的三點，則丫1、丫2、的大小

關(guān)系是()

A.y2<yi<y3B.y2<y3<%c.乃<%<力D.yi<y3<y2

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形。4BC為菱形，。(0,0),4（2,0）,^OAB—=120°,則頂點8的坐標(biāo)為

()

A.(3,司

B.(73,3)

0AX

C.(門1)

D.(1,/3)

8.如圖，一次函數(shù)y=依+b(/cH0)與y=%+2的圖象相交于點M(?n,4),則關(guān)于％的一元一次不等式依一

2<%-6的解集為()

A.%>4

B.%<4

C.x>2

D.x<2

9.小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設(shè)該快遞店攬件日平均增長率為％,根

據(jù)題意，下面所列方程正確的是()

A.200(1+%)2=242B.200(1-%)2=242

C.200(1+2%)=242D.200(1-2%)=242

10.如圖，正方形的頂點4。分別在汽軸，y軸上，點8(3,1)在直線八y=/c%+4上.直線/分別交第

軸，y軸于點E,F.將正方形ZBCD沿y軸向下平移租個單位長度后，點C恰好落在直線/上.則m的值為()

A.0.5

B.1

C.1.5

D.2

二、填空題:本題共6小題，每小題3分，共18分。

11.若二次根式Y(jié)7TT有意義，貝卜的取值范圍是

12.已知％=1是方程第2—mx+3=。的一個解，則另一個解為久=

13.點(皿九)在直線y=3%-2上，則代數(shù)式37n-n+1的值是.

14.如圖，在平行四邊形ZBCD中，AB=2,BC=4,ZC的垂直平分線交

于點E,則△CDE的周長為.

B處,則小丁此次投擲的成績是米.

16.一次函數(shù)y=kx+6的圖象交x軸、y軸分別于點4(2,0),B(0,4),點C,。分別是。4

的中點，點C的坐標(biāo)為，若P是OB上一動點.當(dāng)ADPC周長最小時，P的坐標(biāo)是

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題6分)

先化簡：先化簡，再求值：。一1-士)十串，然后從-3WKW0中選出一個你喜歡的整數(shù)作為x的值

'x+ly%+1

代入求值.

18.(本小題6分)

解方程：

(l)x(x—6)=5(6—%)；

(2)2x2-4x-3=0.

19.(本小題6分)

如圖，一次函數(shù)y=依+6的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象交于點4(犯2),與y軸的交點為C,與x軸的

交點為￡?.

(1)若一次函數(shù)圖象經(jīng)過點B(—2,-1),求一次函數(shù)的解析式；

(2)在(1)的條件下，求△4。。的面積.

20.(本小題8分)

在一次“慈善一日捐”捐款活動中，某中學(xué)學(xué)生會對該校學(xué)生捐款進行隨機抽樣調(diào)查和分組統(tǒng)計，將數(shù)據(jù)

整理成以下統(tǒng)計圖(信息不完整).

捐款人數(shù)條形統(tǒng)計圖捐款人數(shù)扇形統(tǒng)計圖

組別組別捐款數(shù)Q)元

A%<10

B10<x<20

C20<x<50

D50<x<100

Ex>100

請結(jié)合以上信息解答下列問題:

(1)本次調(diào)查的樣本容量是;

(2)樣本中捐款數(shù)50<%<100的學(xué)生有人，并補全圖中的捐款人數(shù)條形統(tǒng)計圖；

(3)若該校共有1600名學(xué)生，根據(jù)以上信息估計全校捐款超過50元的人數(shù)是多少？

21.(本小題8分)

如圖，在平行四邊形A8CD中，P是4B上一點(不與點4,B重合)，CP=CD,過點P作PQ1CP,交4。于點

Q,連接CQ,乙BPC=4AQP.

(1)求證：四邊形4BCD是矩形；

(2)當(dāng)AP=3,4D=9時，求力Q和CQ的長.

22.(本小題9分)

已知關(guān)于光的一元二次方程？n/+2(m+l)x+m-1=。有兩個不相等的實數(shù)根.

(1)求ni的取值范圍；

(2)若該方程的兩個實數(shù)根分別為/、%2,且就+底=8,求小的值.

23.(本小題9分)

某服裝店以每件40元的價格購進一批襯衫，在試銷過程中發(fā)現(xiàn)：每月銷售量y(件)與銷售單價式(x為正整數(shù)

)(元)之間符合一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)銷售單價為55元時，月銷售量為140件；當(dāng)銷售單價為70元時，月銷售量

為80件.

(1)求y與尤的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如果每銷售一件襯衫需支出各種費用1元，設(shè)服裝店每月銷售該種襯衫獲利為卬元，求w與x之間的函數(shù)

關(guān)系式，并求出銷售單價定為多少元時，商場獲利最大，最大利潤是多少元？

24.(本小題10分)

若關(guān)于久的方程有一個解為x=1，那么稱這樣的方程為“明一方程”.例如方程：%2-%=0有解x=1,所

以——乂=0為“明一方程”.

(1)下列方程是“明一方程”的有;

①2%-2=0；

②2/+%—1=0；

③|久-2|=L

(2)已知直線丫=kx+b與％軸交于點4與y軸交于點B,ShA0B=6,且當(dāng)y=3時，關(guān)于x的方程y=左久+

b為“明一方程”，求該直線解析式；

(3)已知%],與為"明一方程”a久之++c=0(a,6,c為常數(shù)，且a>6>c)的兩個根，試求％-久的取

值范圍.

25.(本小題10分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/+m久+n經(jīng)過點4(3,0),B(0,-3)兩點，點P是直線4B上一動

點，過點P作％軸的垂線交拋物線于點M、交x軸于點M設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t.

(1)分別求直線AB和這條拋物線的解析式；

(2)右SABPO—2S^APN，求此時點P的坐標(biāo)；

(3)是否存在這樣的點M,使得以4、B、M為頂點組成直角三角形？若存在，直接寫出點”的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

參考答案

1.A

2.A

3.B

4.C

5.A

6.A

7.4

8.C

9.A

10.B

11.x>—1

12.3

13.3

14.6

15.7

16.(l,0)(0,1)

2

157.h解Tl：，?3、X+2X

x2—13、x+l

=(z---------)?----

vx+lx+lyX2+2X

_%2—4x+l

x+lX2+2X

_(x+2)(%—2)%+l

x+lx(x+2)

_x—2

=--，

x

V-3<%<0且％為整數(shù),

x=-3,—2,—1,0

又,?，%W0,—1,—2,

???當(dāng)％=—3時,

原式=5

3

18.解：(1)x(%—6)=5(6—%),

—6)+5(%—6)=0,

(%—6)(%+5)=0,

x—6=0或X+5=0,

所以%1=6,外=一5；

(2)2%2-4%-3=0,

2□3

xz-2%=

(久-1)2=

19.解：(1)???點4(m,2)在y=2x圖象上，

2=2m,解得：m=1.

???2(1,2)

???點/(1,2)和點8(—2,—1)在丫=依+b圖象上,

.(2=k+b

At-l=-2fc+6，

解得：｛￡=;，

3=1

???一次函數(shù)解析式為：y=%+L

(2)如圖，過/作4E1%軸于巴

,?,一*次函數(shù)解析式為：y=%+l,

.?.y=0時，0=汽+1,解得％=—1,

???點0坐標(biāo)為(-1,0),

OD=1,

???4(1,2),

AE=2,

???S“OD=^OD-AE=^x1x2=1.

20.(1)50；

(2)。類的人數(shù)是:50x28%=14(人),

(3)捐數(shù)值不少于50元的學(xué)生人數(shù)是：1600X羅=448(人).

答：捐數(shù)值不少于50元的學(xué)生約有448人.

21.(1)證明：vZ-BPQ=^BPC+Z.CPQ=+zXQP,乙BPC=(AQP,

???乙CPQ=NA,

???PQ1CP.

???乙4=Z.CPQ=90°,

???平行四邊形ZBCD是矩形;

(2)解：???四邊形ABCO是矩形,

ZD=(CPQ=90°,

在△CDQ^WRt△CPQ中,

(CQ=CQ

lCD=CP'

???Rt△CDQ三Rt△CPQ(HL),

DQ=PQ,

設(shè)/Q=x,則DQ=PQ=9—

在RM/PQ中，AQ2+AP2=PQ2,

???%2+32=(9—%)2,

解得：x=4,

???AQ的長是4.

設(shè)CD=48=CP=y,貝lJPB=y—3,在R￡zXPC8中，根據(jù)勾股定理列方程，(y-3/+9?=y2求出y=

15.

DQ=9-4=5,

在R%CDQ中，CQ=V52+152=5/10.

22.解：⑴由題知，

[2(m+l)]2—4xmx(m—1)>0,

解得772>—

又mH0,

所以zn的取值范圍是6>-4且znW0.

(2)因為該方程有兩個實數(shù)根分別為第1、%2,

所以％+上=一2m+2771—1

1Xi%?—?

-TYI?“m

又好+蜷=8,

2

即(%1+%2)—2%I%2=8,

所以(_迦±與2一2x9=8,

vy

mm

解得恤=2,m2=

經(jīng)檢驗7nl=2,m2=一,是原方程的解.

又m>—，且znW0,

所以zn=2.

23.解：(1)設(shè)y與％的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kr+b,由題意，得

140=55fc+h

80=70k+b

解得:仁就，

??.y與'的函數(shù)關(guān)系式為：y=—4%+360；

(2)由題意，得

W=y(x-40)—y

=(~4x+360)(%-40)-(-4x+360)

=-4x2+160%+360x—14400+4x—360

=-4x2+524%-14760,

.-.w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：W=-4x2+524%-14760,

W=—4(/-131%)―14760=-4(%-65.5)2+2401,

當(dāng)x=65.5時,最大利潤為2401元,

???久為整數(shù)，

.??x=66或65時，〃=2400元.

???%=65或66時，MT最大=2400元.

24.解：(1)①③；

(2)由題意，?.?當(dāng)y=3時，關(guān)于久的方程y=kx+6為“明一方程”，

二當(dāng)y=3時，%=1.

k+b=3.

k=3—b.

又直線y=kx+b與x軸交于點4,與y軸交于點B,

h

???/(—，0),8(0,b).

K

；?S“OB=；。4?OB=：x|一白x網(wǎng)=6.

???b2=12\k\.

又k=3-b,

.?.b2=12|3—b\.

???b=—6±6y/~2^b=6.

./=9一6%或3=9+6咚或(=13.

3=-3+6<2b=-3-6/25=6

???直線解析式為y=(9-6<2)x-3+6形或y=(9+6/2)%-3-6度或y=-3%+6.

(3)由題意，???a/+取:+。=0為“明一”方程，

?,?方程必有一個根是久=1.

???a+b+c=0.

又??,a>b>c,

/.a>0,c<0,且a>—a—c>c,

：--2<-<

a2

犯為"明一方程"Q久之+b%+c=0的兩個根,

??.其中一個是汽=L而另一個為％=￡<0.

a

3

???2<%-乂21<3?

25.解：(1)設(shè)直線A8的解析式為y=kx+b,

將4(3,0),B(0,-3)代入得，

13k+b—0

l0+b=-3'

解得仁:

???直線48的解析式為y=x-3,

將A(3,0),8(0,—3)代入y=%2+mx+九得，

(9+3m+n=0

1幾=—3

解得｛:二二，

拋物線的解析式為y=x2-2x-3；

(2)設(shè)P(t,t—3),M(t,t2-2t-3),N(t,O),

則AN=3-t,PN=3-t,

當(dāng)0<t<3時，

'''S^BPO=2S“PN，

11

—x3xt=—x2x(3—t)(3—t)9

整理得2產(chǎn)-151+18=0,

ti=|，t2=6(舍去)，

33

??飛，-力

當(dāng)t>3時，

?，S^BPO=2S&APN，

1I

—x3xt=—x2x(^t—3)(t—3),

整理得2戶一15t+18=0,

=|(舍去)或％=6；

???尸(6,3),

當(dāng)t<。時'S^BPO<S&APN，

???不存在，

綜上所述：P(|，-1)，P(6,3);

(3)設(shè)M(a,a?—2a—3),

①如圖，當(dāng)NH4M=90。時，

如圖，過/作GH〃y軸，作MG1G",BH1GH,貝！UMGA==90。,

???4(3,0),8(0,-3),

???MG=3—a,AG=a2—2a—3,AH=3,BH