第四章 幾何圖形初步11類壓軸題專練

第四章幾何圖形初步（壓軸題專練）【題型一幾何體中點、棱、面】例題：幾何知識．（1）長方體有_____個面，_____條棱，_____個頂點．（2）圓柱體由_____個面圍成，圓錐由_____個面圍成，它們的底面都是_____．（3）已知三棱柱有5個面、6個頂點、9條棱，四棱柱有6個面、8個頂點、12條棱，五棱柱有7個面、10個頂點、15條棱，……，由此類推n棱柱有_____個面，_____個頂點，_____條棱．【變式訓(xùn)練】1.如圖所示，是我們熟悉的三棱柱、五棱柱和六棱柱．(1)填寫下表：立體圖形頂點數(shù)面數(shù)棱數(shù)三棱柱五棱柱六棱柱(2)設(shè)棱柱（為正整數(shù)，且）的頂點數(shù)為、棱數(shù)為、面數(shù)為，根據(jù)表中數(shù)據(jù)猜想________．2.如圖1至圖3是將正方體截去一部分后得到的多面體.(1)根據(jù)要求填寫表格：面數(shù)（f）頂點數(shù)（v）棱數(shù)（e）圖1圖2圖3(2)猜想f、v、e三個數(shù)量間有何關(guān)系；(3)根據(jù)猜想計算，若一個多面體有頂點數(shù)2013個，棱數(shù)4023條，試求出它的面數(shù).3.綜合與實踐新年晚會是我們最歡樂的時候，會場上，懸掛著五彩繽紛的小裝飾，其中有各種各樣的立體圖形．下面是常見的一些多面體：操作探究：(1)通過數(shù)上面圖形中每個多面體的頂點數(shù)（）、面數(shù)（）和棱數(shù)（），填寫下表中空缺的部分：多面體頂點數(shù)（）面數(shù)（）棱數(shù)（）四面體4六面體86八面體812十二面體2030通過填表發(fā)現(xiàn)：頂點數(shù)（）、面數(shù)（）和棱數(shù)（）之間的數(shù)量關(guān)系是，這就是偉大的數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler，1707—1783）證明的這一個關(guān)系式．我們把它稱為歐拉公式；探究應(yīng)用：(2)已知一個棱柱只有七個面，則這個棱柱是棱柱；(3)已知一個多面體只有8個頂點，并且過每個頂點都有3條棱，求這個多面體的面數(shù)．4.觀察下列多面體，并把下表補充完整.名稱三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱圖形頂點數(shù)6棱數(shù)9面數(shù)5（1）根據(jù)表中的規(guī)律判斷，十二棱柱有___________個面，共有___________個頂點，共有___________條棱；（2）若某個棱柱由30個面構(gòu)成，則這個棱柱為___________棱柱；（3）若一個棱柱的底面多邊形的邊數(shù)為，則它有___________個側(cè)面，共___________個面，共有___________個頂點，共有___________條棱；（4）觀察上表中的結(jié)果，請寫出，，之間關(guān)系式___________．【題型二根據(jù)三視圖求原幾何體的小立方塊的個數(shù)】例題：一個幾何體是由若干個大小相同的小正方體搭成，從左面、上面看到的這個幾何體的形狀圖如圖所示，這樣的幾何體只有一種嗎？它最多需要多少個小正方體？最少需要多少個小正方體？【變式訓(xùn)練】1.如圖是由一些棱長都為的小正方體組合成的簡單幾何體．(1)從正面、左面和上面觀察這個幾何體，請你在下面相應(yīng)的位置分別畫出你所看到的幾何體的形狀圖；(2)如果在這個幾何體上再添加一些小正方體，并保持從左面和上面所看到的幾何體的形狀圖不變，最多可以再添加塊小正方體．2.由8個棱長都為的小正方體搭成的幾何體如左圖．(1)請利用圖2中的網(wǎng)格畫出這個幾何體從正面看、從左面看和從上面看到的形狀圖．（一個網(wǎng)格為小立方體的一個面）(2)圖1中8個小正方體搭成的幾何體的表面積（包括與地面接觸的部分）是cm2．(3)若要用大小相同的小立方塊搭一個幾何體，使得它從上面和左面看到的形狀圖與你在圖2方格中所畫的形狀圖相同，則搭這樣的一個幾何體最多需要個小立方塊．【題型三線段n等分點的有關(guān)計算】例題：（1）如圖1，點C在線段上，M，N分別是，的中點．若，，求的長；

（2）設(shè)，C是線段上任意一點（不與點A，B重合），①如圖2，M，N分別是，的三等分點，即，，求的長；②若M，N分別是，的n等分點，即，，直接寫出的值．【變式訓(xùn)練】1.如圖，已知點B在線段上，，，P、Q分別為線段、上兩點，，，則線段的長為．【題型四角n等分線的有關(guān)計算】例題：在的內(nèi)部作射線，射線把分成兩個角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【變式訓(xùn)練】1.定義：從的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線，把分成的兩部分，射線叫做的三等分線．若在中，射線是的三等分線，射線是的三等分線，設(shè)，則用含x的代數(shù)式表示為（

）A．或或 B．或或C．或或 D．或或2.已知，以射線為起始邊，按順時針方向依次作射線、，使得，設(shè)，.(1)如圖1，當(dāng)時，若，求的度數(shù)；(2)備用圖①，當(dāng)時，試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)備用圖②，當(dāng)時，分別在內(nèi)部和內(nèi)部作射線，，使，，求的度數(shù).【題型五分類討論思想在線段的計算中的應(yīng)用】例題：畫直線，并在直線上截取線段，再在直線上截取線段，則線段的長是．【變式訓(xùn)練】1．兩根木條，一根長，另一根長，將它們一端重合且放在同一條直線上，此時兩根木條的中點之間的距離為．2．有、兩根木條，長度分別為24cm、18cm，將它們的一端重合且放在同一條直線上，此時、兩根木條中點之間的距離為cm．3．將一根繩子對折后用線段表示，現(xiàn)從處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最長的一段為，若，則這條繩子的原長為．【題型六分類討論思想在角的計算中的應(yīng)用】例題：已知，，平分，則等于．【變式訓(xùn)練】1．已知，，則的度數(shù)是．2．已知，平分，射線與所形成的角度是，那么的度數(shù)是3．已知射線是的三等分線，射線為的平分線，若，則．4．如圖，長方形紙片，點P在邊上，點M，N在邊上，連接，．將對折，點D落在直線上的點處，得折痕；將對折，點A落在直線上的點處，得折痕．若，則．【題型七整體思想及從特殊到一般的思想解決線段和差問題】例題：（1）如圖，已知線段，點C是線段上一點，點M、N分別是線段，的中點．①若，則線段的長度是_________；②若，，求線段的長度(結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示)；（2）在（1）中，把點C是線段上一點改為：點C是直線上一點，，．其它條件不變，則線段的長度是___________（結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示）【變式訓(xùn)練】1．如圖，點在線段上，點、分別是、的中點．(1)若線段，，則線段的長為(2)若為線段上任一點，滿足，其它條件不變，求的長；(3)若原題中改為點在直線上，滿足，，，其它條件不變，求的長．2．（1）如圖1，點C在線段上，M，N分別是，的中點,若，，求的長．（2）設(shè)，C是線段上任意一點（不與點A，B重合）．①如圖2，當(dāng)M，N分別是，的中點時，的長是___________；②如圖3，若M，N分別是，的三等分點，即，，請直接寫出線段的長．【題型八整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問題】例題：已知：如圖，在的內(nèi)部，平分平分．

(1)當(dāng)時，___________；(2)當(dāng)時，___________；(3)當(dāng)時，___________；(4)猜想：不論和的度數(shù)是多少，的度數(shù)總等于________的度數(shù)的一半．【變式訓(xùn)練】1．已知為直線AB上一點，將一直角三角板OMN的直角頂點放在點處．射線平分．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)在圖1中，若，直接寫出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(3)將圖1中的直角三角板繞頂點順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，當(dāng)時，求的度數(shù)．2．解答下列問題如圖1，射線在的內(nèi)部，圖中共有3個角：和，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“巧分線”．

(1)一個角的平分線這個角的“巧分線”，（填“是”或“不是”）．(2)如圖2，若，且射線是的“巧分線”，則（表示出所有可能的結(jié)果探索新知）．

(3)如圖3，若，且射線是的“巧分線”，則（用含α的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）．

3．如圖，已知，三角形是一個直角三角形，平分．

(1)如圖1，當(dāng)時，__________；(2)如圖2，當(dāng)時，__________；(3)如圖3，當(dāng)時，求的度數(shù)，借助圖3計算；(4)由（1），（2），（3）問可知，當(dāng)時，請直接寫出的度數(shù)．（用來表示，無需說明理由）【題型九線段和與差綜合問題】例題：已知點在線段上，，點、在直線上，點在點的左側(cè)．

(1)若，，線段在線段上移動．①如圖1，當(dāng)為中點時，求的長；②若點在線段上，且，，求的長；(2)若，線段在直線上移動，且滿足關(guān)系式，求的值．【變式訓(xùn)練】1．如圖，點C在線段上，，點M，N分別為的中點．(1)求線段的長；(2)若點C在線段的延長線上，且滿足，點M，N分別為的中點，求的長．2．如圖，點為線段上一點，點為的中點，且，．

(1)圖中共有多少條線段，請寫出這些線段；(2)求的長；(3)若點在直線上，且，求的長．3．如圖，是線段上一點，，，兩動點分別從點，同時出發(fā)沿射線向左運動，到達點A處即停止運動．(1)若點，的速度分別是，．①若，當(dāng)動點，運動了時，求的值；②若點到達中點時，點也剛好到達的中點，求；(2)若動點，的速度分別是，，點，在運動時，總有，求的長度．4．如圖，將一段長為厘米繩子拉直鋪平后折疊（繩子無彈性，折疊處長度忽略不計），使繩子與自身一部分重疊.若將繩子沿、點折疊，點、分別落在，處.(1)如圖2，若，恰好重合于點處，展開拉直后如圖3，求的長；(2)若點落在的左側(cè)，且，畫出展開拉直后的圖形，并求的長度；(3)若點落在的右側(cè)，且，畫出展開拉直后的圖形，并求的長度.【題型十線段上動點定值問題】例題：如圖，已知線段，，是線段的中點，是線段的中點．(1)若，求線段的長度．(2)當(dāng)線段在線段上從左向右或從右向左運動時，試判斷線段的長度是否發(fā)生變化，如果不變，請求出線段的長度；如果變化，請說明理由．【變式訓(xùn)練】1．如圖，點C在線段上，點M、N分別是的中點．

(1)若，求線段的長；(2)若C為線段上任一點，滿足，其他條件不變，你能猜想的長度嗎？請直接寫出你的答案．(3)若C在線段的延長線上，且滿足，M、N分別為的中點，你能猜想MN的長度嗎？請在備用圖中畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．2．如圖，B是線段上一動點，沿以的速度往返運動1次，C是線段的中點，cm，設(shè)點B運動的時間為（t不超過10）

(1)當(dāng)時，________cm．(2)當(dāng)時，求線段的長．(3)在運動過程中，若的中點為E，則的長是否變化？若不變，求出的長；若發(fā)生變化，請說明理由．3．探究題：如圖①，已知線段，點為上的一個動點，點、分別是和的中點．(1)若點恰好是中點，則____________；(2)若，求的長；(3)試利用“字母代替數(shù)”的方法，設(shè)“”，請說明不論取何值（不超過），的長不變．4．應(yīng)用題：如圖，已知線段，點為線段上的一個動點，點、分別是和的中點．(1)若，求的長；(2)若為的中點，則與的數(shù)量關(guān)系是______；(3)試著說明，不論點在線段上如何運動，只要不與點和重合，那么的長不變．【題型十一線段上動點求時間問題】例題：如圖，C是線段上一點，，，點P從A出發(fā)，以的速度沿向右運動，終點為B；點Q同時從點B出發(fā)，以的速度沿向左運動，終點為A，當(dāng)其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為s

(1)當(dāng)P、Q兩點重合時，求t的值；(2)是否存在某一時刻，使得C、P、Q這三個點中，有一個點恰好是另外兩點所連線段的中點?若存在，求出所有滿足條件的t值；若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練】1．A，B兩點在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中點A對應(yīng)的有理數(shù)為，點B對應(yīng)的有理數(shù)為8．動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，設(shè)運動時間為t秒（）．(1)當(dāng)時，的長為______，點P表示的有理數(shù)為______；(2)若點P為的中點，則點P對應(yīng)的有理數(shù)為______；(3)當(dāng)時，求t的值．2．材料閱讀：當(dāng)點在線段上，且時，我們稱為點在線段上的點值，記作．如點是的中點時，則，記作；反過來，當(dāng)時，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．初步感知：(1)如圖1，點在線段上，若，則__________；若，則____________；(2)如圖2，已知線段，點、分別從點和點同時出發(fā)，相向而行，運動速度均為，當(dāng)點到達點時，點、同時停止運動，設(shè)運動時間為，請用含有的式子表示和，并判斷它們的數(shù)量關(guān)系．拓展運用：(3)已知線段，點、分別從點和點同時出發(fā)，相向而行，若點、的運動速度分別為和，點到達點后立即以原速返回，點到達點時，點、同時停止運動，設(shè)運動時間為．則當(dāng)為何值時，等式成立．

第四章幾何圖形初步（壓軸題專練）參考答案【題型一幾何體中點、棱、面】例題：幾何知識．（1）長方體有_____個面，_____條棱，_____個頂點．（2）圓柱體由_____個面圍成，圓錐由_____個面圍成，它們的底面都是_____．（3）已知三棱柱有5個面、6個頂點、9條棱，四棱柱有6個面、8個頂點、12條棱，五棱柱有7個面、10個頂點、15條棱，……，由此類推n棱柱有_____個面，_____個頂點，_____條棱．【答案】612832圓形【分析】（1）根據(jù)長方體的特征即可得到答案；（2）根據(jù)圓柱和圓錐的特征即可得到答案；（3）根據(jù)棱柱的特征進行分析，即可得到答案．【詳解】解：（1）長方體有6個面，12條棱，8個頂點，故答案為：6，12，8；（2）圓柱體由3個面圍成，圓錐由2個面圍成，它們的底面都是圓形，故答案為：3，2，圓形；（3）已知三棱柱有5個面、6個頂點、9條棱，四棱柱有6個面、8個頂點、12條棱，五棱柱有7個面、10個頂點、15條棱，……，由此類推n棱柱有個面，個頂點，條棱，故答案為：，，．【點睛】本題考查了常見幾何體的基礎(chǔ)知識，解題關(guān)鍵是具備空間想象能力．【變式訓(xùn)練】1.如圖所示，是我們熟悉的三棱柱、五棱柱和六棱柱．(1)填寫下表：立體圖形頂點數(shù)面數(shù)棱數(shù)三棱柱五棱柱六棱柱(2)設(shè)棱柱（為正整數(shù)，且）的頂點數(shù)為、棱數(shù)為、面數(shù)為，根據(jù)表中數(shù)據(jù)猜想________．【答案】(1)，，；，，；，，(2)【分析】（1）根據(jù)所給的圖形，數(shù)一數(shù)直接得出結(jié)果；（2）把（1）中的結(jié)果代入，即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律．【詳解】（1）根據(jù)圖形，可以得出三棱柱有個頂點，個面，條棱；五棱柱有個頂點，個面，條棱；六棱柱有個頂點，個面，條棱；故答案為：，，；，，；，，．（2）三棱柱：，，，；五棱柱：，，，；六棱柱：，，，；猜想：．【點睛】本題主要考查了幾何體的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)所給的材料，仔細觀察圖形，找出一般規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．2.如圖1至圖3是將正方體截去一部分后得到的多面體.(1)根據(jù)要求填寫表格：面數(shù)（f）頂點數(shù)（v）棱數(shù)（e）圖1圖2圖3(2)猜想f、v、e三個數(shù)量間有何關(guān)系；(3)根據(jù)猜想計算，若一個多面體有頂點數(shù)2013個，棱數(shù)4023條，試求出它的面數(shù).【答案】(1)7，9，14.6，8，12，7，10，15；(2)；(3)它的面數(shù)是2012【分析】（1）根據(jù)圖形數(shù)出即可；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果得出；（3）代入求出即可；【詳解】（1）圖1，面數(shù)，頂點數(shù)，棱數(shù)，圖2，面數(shù)，頂點數(shù)，棱數(shù)，圖3，面數(shù)，頂點數(shù)，棱數(shù)，故答案為：7，9，14.6，8，12，7，10，15．（2）由表格數(shù)據(jù)可得：．（3）∵∴，，即它的面數(shù)是2012．【點睛】本題考查了截一個幾何體，圖形的變化類的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)（1）中的結(jié)果得出規(guī)律3.綜合與實踐新年晚會是我們最歡樂的時候，會場上，懸掛著五彩繽紛的小裝飾，其中有各種各樣的立體圖形．下面是常見的一些多面體：操作探究：(1)通過數(shù)上面圖形中每個多面體的頂點數(shù)（）、面數(shù)（）和棱數(shù)（），填寫下表中空缺的部分：多面體頂點數(shù)（）面數(shù)（）棱數(shù)（）四面體4六面體86八面體812十二面體2030通過填表發(fā)現(xiàn)：頂點數(shù)（）、面數(shù)（）和棱數(shù)（）之間的數(shù)量關(guān)系是，這就是偉大的數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler，1707—1783）證明的這一個關(guān)系式．我們把它稱為歐拉公式；探究應(yīng)用：(2)已知一個棱柱只有七個面，則這個棱柱是棱柱；(3)已知一個多面體只有8個頂點，并且過每個頂點都有3條棱，求這個多面體的面數(shù)．【答案】(1)表見解析，(2)五(3)6【分析】（1）通過觀察，發(fā)現(xiàn)棱數(shù)頂點數(shù)面數(shù)；（2）根據(jù)棱柱的定義進行解答即可；（3）由（1）得出的規(guī)律進行解答即可．【詳解】（1）解：填表如下：多面體頂點數(shù)（）面數(shù)（）棱數(shù)（）四面體446六面體8612八面體6812十二面體201230頂點數(shù)（）、面數(shù)（）和棱數(shù)（）之間的數(shù)量關(guān)系是，故答案為：；（2）解：一個棱柱只有七個面，必有2個底面，有個側(cè)面，這個棱柱是五棱柱，故答案為：五；（3）解：由題意得：棱的總條數(shù)為（條），由可得,解得：，故該多面體的面數(shù)為6．【點睛】本題考查了多面體與棱柱的認識，點線面體的相關(guān)概念，正確看出圖形中各量之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4.觀察下列多面體，并把下表補充完整.名稱三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱圖形頂點數(shù)6棱數(shù)9面數(shù)5（1）根據(jù)表中的規(guī)律判斷，十二棱柱有___________個面，共有___________個頂點，共有___________條棱；（2）若某個棱柱由30個面構(gòu)成，則這個棱柱為___________棱柱；（3）若一個棱柱的底面多邊形的邊數(shù)為，則它有___________個側(cè)面，共___________個面，共有___________個頂點，共有___________條棱；（4）觀察上表中的結(jié)果，請寫出，，之間關(guān)系式___________．【答案】填表見解析；（1）；（2）；（3）；（4）【分析】由三棱柱的頂點數(shù)為：，棱數(shù)為：，面數(shù)為：；四棱柱的頂點數(shù)為：，棱數(shù)為：，面數(shù)為：；五棱柱的頂點數(shù)為：，棱數(shù)為：，面數(shù)為：；六棱柱的頂點數(shù)為：，棱數(shù)為：，面數(shù)為：，即可填表．根據(jù)已知的面、頂點和棱與幾棱柱的關(guān)系，可知棱柱一定有個面，個頂點和條棱，進而得出（1）（2）和（3）的答案；（4）根據(jù)表格可總結(jié)出規(guī)律得出之間的關(guān)系．【詳解】解：填表如下：名稱三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱圖形

頂點數(shù)

棱數(shù)面數(shù)（1）十二棱柱有個面，共有個頂點，共有條棱．故答案為：14，24，36；（2）某個棱柱由個面構(gòu)成，則這個棱柱為棱柱．故答案為：28；（3）若一個棱柱的底面多邊形的邊數(shù)為，則它有個側(cè)面，共有個面，共有個頂點，共有條棱．故答案為：，，，；（4）之間的關(guān)系：．故答案為：．【點睛】此題主要考查了幾何規(guī)律型問題，熟記常見棱柱的特征，進而可以總結(jié)一般規(guī)律：棱柱有個面，個頂點和條棱是解題關(guān)鍵．【題型二根據(jù)三視圖求原幾何體的小立方塊的個數(shù)】例題：一個幾何體是由若干個大小相同的小正方體搭成，從左面、上面看到的這個幾何體的形狀圖如圖所示，這樣的幾何體只有一種嗎？它最多需要多少個小正方體？最少需要多少個小正方體？【答案】不止一種，最多需要15個小正方體，最少需要10個小正方體【分析】利用從上看的圖形，在從上面看到的圖上寫出最多以及最少時小正方體的個數(shù)，可得結(jié)論．【詳解】結(jié)合左面看到的幾何體，在從上面看到的圖上寫出最多以及最少時小正方體的個數(shù)，如圖：

最多有：（個），最少有：（個），即可知：這樣的幾何體不止一種，最多需要15個小正方體，最少需要10個小正方體．【點睛】本題考查從不同角度觀看幾何體的知識，解題的關(guān)鍵是具有一定的空間想象力，屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練】1.如圖是由一些棱長都為的小正方體組合成的簡單幾何體．(1)從正面、左面和上面觀察這個幾何體，請你在下面相應(yīng)的位置分別畫出你所看到的幾何體的形狀圖；(2)如果在這個幾何體上再添加一些小正方體，并保持從左面和上面所看到的幾何體的形狀圖不變，最多可以再添加塊小正方體．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）從正面看所得到的圖形，從左往右有4列，分別有1，3，1，1個小正方形；從左面看所得到的圖形，從左往右有2列，分別有1，3個小正方形；從上面看所得到的圖形，從左往右有4列，分別有2，1，1，1個小正方形．（2）保持持從上面看和從左面看不變，可以在第1列后面一排添加2個，第3列添加2個，第4列添加2個，最多添加6個小正方體．【詳解】（1）如圖所示：（2）保持從左面和上面所看到的幾何體的形狀圖不變，最多可以再添加塊小正方體．故答案為：6．【點睛】此題考查了從不同方向觀察幾何體，在畫圖時一定要將物體的邊緣、棱、頂點都體現(xiàn)出來，看得見的輪廓線都畫成實線，看不見的畫成虛線，不能漏掉．2.由8個棱長都為的小正方體搭成的幾何體如左圖．(1)請利用圖2中的網(wǎng)格畫出這個幾何體從正面看、從左面看和從上面看到的形狀圖．（一個網(wǎng)格為小立方體的一個面）(2)圖1中8個小正方體搭成的幾何體的表面積（包括與地面接觸的部分）是cm2．(3)若要用大小相同的小立方塊搭一個幾何體，使得它從上面和左面看到的形狀圖與你在圖2方格中所畫的形狀圖相同，則搭這樣的一個幾何體最多需要個小立方塊．【答案】(1)見解析(2)32(3)9【分析】（1）根據(jù)從正面、從左面和從上面看到的形狀畫出圖形即可；（2）分前后、左右、上下統(tǒng)計正方形的個數(shù)即可；（3）由俯視圖易得最底層小正方體的個數(shù)，由左視圖找到其余層數(shù)里最多個數(shù)相加即可．【詳解】（1）解：這個幾何體從正面看、從左面看和從上面看到的形狀圖如下：（2）圖1中8個小正方體搭成的幾何體的表面積（包括與地面接觸的部分）是，故答案為：32（3）若要用大小相同的小立方塊搭一個幾何體，使得它從上面和左面看到的形狀圖與你在圖2方格中所畫的形狀圖相同，則搭這樣的一個幾何體最多需9個小立方塊．故答案為：9【點睛】此題考查了從不同方向看幾何體、幾何體的表面積等知識，熟練掌握基本知識是解題的關(guān)鍵．【題型三線段n等分點的有關(guān)計算】例題：（1）如圖1，點C在線段上，M，N分別是，的中點．若，，求的長；

（2）設(shè)，C是線段上任意一點（不與點A，B重合），①如圖2，M，N分別是，的三等分點，即，，求的長；②若M，N分別是，的n等分點，即，，直接寫出的值．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）由中點的定義可得，然后根據(jù)求解即可；（2）由，可得，然后根據(jù)求解即可；（3）仿照（2）的過程求解即可．【詳解】解：（1）∵M，N分別是，的中點∴∵∴（2）①∵∴∵∴；②．【點睛】本題考查線段的中點、線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點的定義及線段和差運算．【變式訓(xùn)練】1.如圖，已知點B在線段上，，，P、Q分別為線段、上兩點，，，則線段的長為．【答案】7【分析】根據(jù)已知條件算出BP和CQ，從而算出BQ，再利用PA=BP+BQ得到結(jié)果．【詳解】解：∵AB=9，BP=AB，∴BP=3，∵BC=6，CQ=BC，∴CQ=2，∴BQ=BC-CQ=6-2=4，∴PQ=BP+BQ=3+4=7，故答案為：7．【點睛】本題考查了兩點間距離，線段的和差，熟練掌握線段上兩點間距離的求法，靈活運用線段的和差倍分關(guān)系解題是關(guān)鍵．【題型四角n等分線的有關(guān)計算】例題：在的內(nèi)部作射線，射線把分成兩個角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)題意得出或，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，綜合即可得出答案．【詳解】解：∵，射線為的三等分線．∴或，∴，∴的度數(shù)為或．故選：C．【點睛】本題考查了角度的計算，理解題意，分類討論是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.定義：從的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線，把分成的兩部分，射線叫做的三等分線．若在中，射線是的三等分線，射線是的三等分線，設(shè)，則用含x的代數(shù)式表示為（

）A．或或 B．或或C．或或 D．或或【答案】C【分析】分四種情況，分別計算，即可求解．【詳解】解：如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，則，，；如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，則，，；如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，則，，；如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，則，，；綜上，為或或，故選：C．【點睛】本題考查了角的有關(guān)計算，畫出圖形，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．2.已知，以射線為起始邊，按順時針方向依次作射線、，使得，設(shè)，.(1)如圖1，當(dāng)時，若，求的度數(shù)；(2)備用圖①，當(dāng)時，試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)備用圖②，當(dāng)時，分別在內(nèi)部和內(nèi)部作射線，，使，，求的度數(shù).【答案】(1)；(2)；理由見解析；(3)【分析】（1）根據(jù)圖形可知，繼而根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)圖形得出，計算，即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況討論，①當(dāng)時，射線與重合，射線與互為反向延長線，②當(dāng)時，如圖4，射線、在的外部，結(jié)合圖形分析即可求解．【詳解】（1）如圖1，，在內(nèi)部，，，，，；（2）；理由如下：如圖2，，射線、分別在內(nèi)、外部，，，，；（3）①當(dāng)時，射線與重合，射線與互為反向延長線，則，，如圖3，，，，，；②當(dāng)時，如圖4，射線、在的外部，如圖4，則，，，，，，，.綜合①②得．【點睛】本題考查了結(jié)合圖形中角度的計算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【題型五分類討論思想在線段的計算中的應(yīng)用】例題：畫直線，并在直線上截取線段，再在直線上截取線段，則線段的長是．【答案】3或7/7或3【分析】分兩種情況：當(dāng)點C在線段上時，當(dāng)點C在線段的延長線上時，利用線段的和與差即可求解．【詳解】解：當(dāng)點C在線段上時，，當(dāng)點C在線段的延長線上時，，故答案為：3或7．【點睛】本題考查了線段的和與差，熟練掌握其計算方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．兩根木條，一根長，另一根長，將它們一端重合且放在同一條直線上，此時兩根木條的中點之間的距離為．【答案】或．【分析】設(shè)，，根據(jù)題意分兩種情況：①如圖1，兩根木條如圖放置，有一端重合，根據(jù)點是的中點，點是的中點，可得，，再由即可得出答案；②如圖2，兩根木條如圖放置，有一端重合，根據(jù)點是的中點，點是的中點，可得，，再由即可得出答案．【詳解】解：設(shè)，，根據(jù)題意，①如圖1，∵點是的中點，點是的中點，∴，，∴；②如圖2，∵點是的中點，點是的中點，∴，，∴．綜上所述，兩根木條的中點之間的距離為或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查兩點間的距離及線段的和差，中點的定義，本題運用了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法．熟練掌握兩點的距離及線段和差的計算方法是解題的關(guān)鍵．2．有、兩根木條，長度分別為24cm、18cm，將它們的一端重合且放在同一條直線上，此時、兩根木條中點之間的距離為cm．【答案】3或21【分析】假設(shè)端點B和端點D重合，分兩種情況如圖：①不在上時，，②在上時，，分別代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．【詳解】解：假設(shè)端點B和端點D重合如圖，設(shè)較長的木條為，較短的木條為，∵M、N分別為、的中點，∴，，①如圖1，不在上時，（cm），②如圖2，在上時，（cm），綜上所述，兩根木條的中點間的距離是21cm或3cm，故答案為：3或21．【點睛】本題考查了兩點間的距離，主要利用了線段的中點定義，解題的關(guān)鍵是在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．3．將一根繩子對折后用線段表示，現(xiàn)從處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最長的一段為，若，則這條繩子的原長為．【答案】140或210/210或140【分析】根據(jù)繩子對折后用線段表示，可得繩子的長度是的2倍，分類討論，的2倍最長，可得，的2倍最長，可得的長，再根據(jù)線段間的比例關(guān)系，可得答案．【詳解】解：①當(dāng)?shù)?倍最長時，得，，，，∴這條繩子的原長為，②當(dāng)?shù)?倍最長時，得，，，∴這條繩子的原長為．綜上所述，這條繩子的原長為或．故答案為：140或210．【點睛】此題考查了線段的和差倍分及分類討論的思想，根據(jù)線段之間的比例關(guān)系列式為解題關(guān)鍵．【題型六分類討論思想在角的計算中的應(yīng)用】例題：已知，，平分，則等于．【答案】或【分析】分兩種情況：利用角平分線的定義即可求解．【詳解】解：當(dāng)如圖所示時：

平分，，，，當(dāng)如圖所示時：

平分，，，．故答案為：或.【點睛】本題考查了角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義，利用分類討論解決問題是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．已知，，則的度數(shù)是．【答案】或【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)在的內(nèi)部時；②當(dāng)在的外部時，分別求解即可得到答案．【詳解】解：①如圖，當(dāng)在的內(nèi)部時，

，，，；②如圖，當(dāng)在的外部時，

，，，；綜上可知，的度數(shù)為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了角度的和差計算，利用分類討論的思想解決問題是解題關(guān)鍵．2．已知，平分，射線與所形成的角度是，那么的度數(shù)是【答案】或/50或30【分析】分兩種情況：射線在的上方和射線在的下方，根據(jù)角平分線的定義和角的和差分別計算即可．【詳解】解：如圖1，

∵，平分，∴，∵射線與所形成的角度是，∴，∴；如圖2，

∵，平分，∴，∵射線與所形成的角度是，∴，∴；綜上可知的度數(shù)是或．故答案為：或．【點睛】此題考查了角平分線的定義和角的和差計算，分類討論是解題的關(guān)鍵．3．已知射線是的三等分線，射線為的平分線，若，則．【答案】或【分析】根據(jù)三等分線的定義可得或，畫出圖形，進行分類討論即可．【詳解】解：∵射線是的三等分線，∴或，當(dāng)時，如圖：∵，，∴，∵射線為的平分線，∴，∴；

當(dāng)時，如圖：∵，，∴，∵射線為的平分線，∴，∴；

故答案為：或．【點睛】本題主要考查了角的三等分線和角平分線，解題的關(guān)鍵是掌握角的三等分線有兩條．4．如圖，長方形紙片，點P在邊上，點M，N在邊上，連接，．將對折，點D落在直線上的點處，得折痕；將對折，點A落在直線上的點處，得折痕．若，則．【答案】或【分析】分兩種情形：如圖1中，當(dāng)點N在點M的上方時，可得，由翻折變換的性質(zhì)可知，，由可得答案；當(dāng)點N在點M的上方時，設(shè)，，則可以得到，由翻折變換的性質(zhì)可知，，根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖1中，當(dāng)點N在點M的上方時．∵，∴，由翻折變換的性質(zhì)可知，，∴，∴．當(dāng)點N在點M的下方時，設(shè)，，則，由翻折變換的性質(zhì)可知，，∴．綜上所述，滿足條件的或．故答案為：或．【點睛】本題考查角的計算，翻折的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用分類討論的思想思考問題．【題型七整體思想及從特殊到一般的思想解決線段和差問題】例題：（1）如圖，已知線段，點C是線段上一點，點M、N分別是線段，的中點．①若，則線段的長度是_________；②若，，求線段的長度(結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示)；（2）在（1）中，把點C是線段上一點改為：點C是直線上一點，，．其它條件不變，則線段的長度是___________（結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示）【答案】（1）①4，②，（2）或或【分析】（1）①根據(jù)線段中點的定義可得，即可求解；②，即可求解；（2）根據(jù)題意進行分類討論即可：當(dāng)點C在線段上時，當(dāng)點C在點A的左邊時，當(dāng)點C在點B的右邊時．【詳解】（1）解：①∵點M、N分別是線段，的中點，，∴，∴，故答案為：4；②∵點M、N分別是線段，的中點，，∴，∴；（2）當(dāng)點C在線段上時，由（1）可得：；當(dāng)點C在A左邊時，，∵點M、N分別是線段，的中點，，∴，∴；當(dāng)點C在點B右邊時，∵點M、N分別是線段，的中點，，∴，∴；綜上：或或．故答案為：或或．【點睛】本題主要考查了線段中點的性質(zhì)，線段的和差計算，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點的定義，具有分類討論的思想．【變式訓(xùn)練】1．如圖，點在線段上，點、分別是、的中點．(1)若線段，，則線段的長為(2)若為線段上任一點，滿足，其它條件不變，求的長；(3)若原題中改為點在直線上，滿足，，，其它條件不變，求的長．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出，再由點、分別是、的中點，可得，，再由，即可求解；（2）由點、分別是、的中點，可得，，再由，即可求解；（3）分三種情況討論：當(dāng)點在線段上時，當(dāng)點在的延長線上時，當(dāng)點在的延長線上時，即可求解．【詳解】（1）解：，，，又點、分別是、的中點，，，；故答案為：；（2）解：點、分別是、的中點，，，；（3）解：當(dāng)點在線段上時，點、分別是、的中點，，，；當(dāng)點在的延長線上時，點、分別是、的中點，，，；當(dāng)點在的延長線上時，點、分別是、的中點，，，．【點睛】本題主要考查了有關(guān)線段中點的計算，根據(jù)題意，準確得到線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（1）如圖1，點C在線段上，M，N分別是，的中點,若，，求的長．（2）設(shè)，C是線段上任意一點（不與點A，B重合）．①如圖2，當(dāng)M，N分別是，的中點時，的長是___________；②如圖3，若M，N分別是，的三等分點，即，，請直接寫出線段的長．【答案】（1）6

（2）①

②【分析】（1）由，得，根據(jù)M，N分別是，的中點，即得，故；（2）①由M，N分別是，的中點，知，即得，故；②由，知，即得,故；【詳解】解：（1）M，N分別是，的中點故答案為：6（2）①M，N分別是，的中點故答案為：②故答案為：【點睛】本題考查線段的中點、線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點的定義及線段和差運算．【題型八整體思想及從特殊到一般的思想解決角和差問題】例題：已知：如圖，在的內(nèi)部，平分平分．

(1)當(dāng)時，___________；(2)當(dāng)時，___________；(3)當(dāng)時，___________；(4)猜想：不論和的度數(shù)是多少，的度數(shù)總等于________的度數(shù)的一半．【答案】(1)(2)40(3)40(4)【分析】（1）（2）（3）利用角平分線的定義求得和的度數(shù)，再求得，進一步計算即可求解；（4）由（1）（2）（3）可得出結(jié)論；【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案為：45；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案為：40；（3）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案為：40；（4）解：由以上（1）（2）（3）得出結(jié)論，即不論和的度數(shù)是多少，的度數(shù)總等于的度數(shù)的一半．故答案為：．【點睛】此題考查了角平分線的定義、角的計算，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線定義得出所求角與已知角的關(guān)系轉(zhuǎn)化求解．【變式訓(xùn)練】1．已知為直線AB上一點，將一直角三角板OMN的直角頂點放在點處．射線平分．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)在圖1中，若，直接寫出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(3)將圖1中的直角三角板繞頂點順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，當(dāng)時，求的度數(shù)．【答案】(1)20°(2)(3)144°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義和余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）設(shè)，依次表示出，，，，最后根據(jù)列方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）因為為直線上一點，且，所以，因為射線平分所以因為所以

（2）因為為直線上一點，且，所以，因為射線平分所以因為所以（3）設(shè)，則，，因為所以因為所以解得因為所以.【點睛】本題主要考查角平分線的定義，余角的性質(zhì)，靈活運用余角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．解答下列問題如圖1，射線在的內(nèi)部，圖中共有3個角：和，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“巧分線”．

(1)一個角的平分線這個角的“巧分線”，（填“是”或“不是”）．(2)如圖2，若，且射線是的“巧分線”，則（表示出所有可能的結(jié)果探索新知）．

(3)如圖3，若，且射線是的“巧分線”，則（用含α的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）．

【答案】(1)是(2)30°，20°或40°(3)或或【分析】（1）根據(jù)“巧分線”定義，一個角的平分線將一個角均分成兩個等角，大角是這兩個角的兩倍即可解答；(2)根據(jù)“巧分線”定義，分、、三種情況求解即可；(3)根據(jù)“巧分線”定義，分、、三種情況求解即可．【詳解】（1）解：如圖1：∵平分，∴,∴根據(jù)巧分線定義可得是這個角的“巧分線”．故答案為：是．

（2）解：如圖3：①當(dāng)時，則；②當(dāng)，則，解得：；③當(dāng)，則，解得：．綜上，可以為．（3）解：如圖3：①當(dāng)時，則；②當(dāng)，則，解得：；③當(dāng)，則，解得：．綜上，可以為．

【點睛】本題主要考查了新定義下的計算、角平分線的定義等知識點，讀懂題意、理解“巧分線”的定義是解題的關(guān)鍵．3．如圖，已知，三角形是一個直角三角形，平分．

(1)如圖1，當(dāng)時，__________；(2)如圖2，當(dāng)時，__________；(3)如圖3，當(dāng)時，求的度數(shù)，借助圖3計算；(4)由（1），（2），（3）問可知，當(dāng)時，請直接寫出的度數(shù)．（用來表示，無需說明理由）【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)角的和差先求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，再利用角的和差即可解答；（2）同（1）的思路求解即可；（3）先根據(jù)角的和差求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，再利用角的和差求解即可；（4）分，與三種情況，分別結(jié)合圖形求解即可．【詳解】（1）解：如圖1，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；故答案為：；

（2）解：如圖2，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；故答案為：；

（3）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；

（4）解：當(dāng)時，如圖1，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；

當(dāng)時，如圖2，∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴；當(dāng)時，如圖3，由（3）的結(jié)論可得；綜上：．【點睛】本題考查了角的和差計算和角平分線的定義，熟練掌握角之間的數(shù)量關(guān)系、靈活應(yīng)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【題型九線段和與差綜合問題】例題：已知點在線段上，，點、在直線上，點在點的左側(cè)．

(1)若，，線段在線段上移動．①如圖1，當(dāng)為中點時，求的長；②若點在線段上，且，，求的長；(2)若，線段在直線上移動，且滿足關(guān)系式，求的值．【答案】(1)①；②或(2)或【分析】（1）根據(jù)已知條件得到，，①由線段中點的定義得到，求得，由線段的和差得到；②點在點的左側(cè)，點是的中點，所以，可以根據(jù)進行求解，當(dāng)點在點的右側(cè)，，，求出的長度，再根據(jù)進行求解即可；（2）當(dāng)在點的右側(cè)時，設(shè)，，則，，，求得，當(dāng)在點的左側(cè)時，設(shè)，，則，，，求得，分別代入關(guān)系式即可得出答案．【詳解】（1）解：①，，，，，如圖，

為中點，，，；②如圖，

，點在點的左側(cè)，點是的中點，，，；當(dāng)點在點的右側(cè)，如圖

，，，，，綜上所述，的長為或；（2），，滿足關(guān)系式，如圖，當(dāng)在點的右側(cè)時：

設(shè)，，則，，，，，，，，，解得，，

；如圖，當(dāng)在點的左側(cè)時：

設(shè)，，則，，，，，，，，，解得，，

．故答案為是或．【點睛】本題考查了兩點間的距離，熟悉各線段間的和、差及倍數(shù)關(guān)系，根據(jù)題意分情況討論是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，點C在線段上，，點M，N分別為的中點．(1)求線段的長；(2)若點C在線段的延長線上，且滿足，點M，N分別為的中點，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)線段中點的定義求出的長度，再根據(jù)線段的和差進行求解即可；（2）先根據(jù)線段中點的定義求出的長度，再根據(jù)線段的和差進行求解即可．【詳解】（1）∵，點M分別為的中點，∴，∵，∴，∵點N分別為的中點，∴，∴；（2）如圖，∵點M，N分別為的中點，∴，∴．【點睛】本題考查了線段的中點和線段的和差，準確理解題意，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．2．如圖，點為線段上一點，點為的中點，且，．

(1)圖中共有多少條線段，請寫出這些線段；(2)求的長；(3)若點在直線上，且，求的長．【答案】(1)圖中的線段有，，，，，共條(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合圖形，數(shù)出線段即可求解．（2）根據(jù)線段中點的性質(zhì)可得，根據(jù)，即可求解；（3）分點在上時，點在延長線上時，兩種情況分別討論即可求解．【詳解】（1）解：圖中的線段有，，，，，共條，

（2）點為的中點，，．，；（3）分兩種情況討論：①如圖，當(dāng)點在上時，，，

；②如圖，當(dāng)點在延長線上時，

，，；綜上，的長為或．【點睛】本題考查了線段數(shù)量問題，線段中點以及線段和差問題，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．3．如圖，是線段上一點，，，兩動點分別從點，同時出發(fā)沿射線向左運動，到達點A處即停止運動．(1)若點，的速度分別是，．①若，當(dāng)動點，運動了時，求的值；②若點到達中點時，點也剛好到達的中點，求；(2)若動點，的速度分別是，，點，在運動時，總有，求的長度．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①先計算，再計算；②利用中點的性質(zhì)求解；（2）將用其它線段表示即可．【詳解】（1）解：①由題意得：，．．②點C到達中點時，點D也剛好到達的中點，設(shè)運動時間為t，則：，，．（2）解：設(shè)運動時間為，則，，，．．【點睛】本題考查線段上動點問題、求線段的長度，充分利用中點和線段的倍數(shù)關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵．4．如圖，將一段長為厘米繩子拉直鋪平后折疊（繩子無彈性，折疊處長度忽略不計），使繩子與自身一部分重疊.若將繩子沿、點折疊，點、分別落在，處.(1)如圖2，若，恰好重合于點處，展開拉直后如圖3，求的長；(2)若點落在的左側(cè)，且，畫出展開拉直后的圖形，并求的長度；(3)若點落在的右側(cè)，且，畫出展開拉直后的圖形，并求的長度.【答案】(1)厘米(2)厘米(3)厘米【分析】（1）根據(jù)線段中點的性質(zhì)得出，，進而根據(jù)即可求解；（2）先根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)線段中點的性質(zhì)，得出，，根據(jù)即可求解；（3）先根據(jù)題意畫出圖形，同（2）的方法即可求解．【詳解】（1）解：∵繩子沿、點折疊，點、分別落在、處，、恰好重合于點處，∴，，∴；（2）∵，，∴.根據(jù)題意得，、分別為、的中點，∵，，∴，∴；（3）當(dāng)點落在點的右側(cè)時，∵，∴.∴.【點睛】本題考查了線段的和差，線段的中點的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【題型十線段上動點定值問題】例題：如圖，已知線段，，是線段的中點，是線段的中點．(1)若，求線段的長度．(2)當(dāng)線段在線段上從左向右或從右向左運動時，試判斷線段的長度是否發(fā)生變化，如果不變，請求出線段的長度；如果變化，請說明理由．【答案】(1)(2)不變，還是，理由見解析【分析】（1）由題意可得，，結(jié)合中點的含義可得；（2）由已知可得，，再由，結(jié)合中點的性質(zhì)即可解．【詳解】（1）解∶，，，點是的中點，點是的中點，，；（2）線段的長度不發(fā)生變化．點是的中點，點是的中點，，．【點睛】本題考查線段的和差運算，中點的含義；熟練掌握線段的和差運算，靈活應(yīng)用中點的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，點C在線段上，點M、N分別是的中點．

(1)若，求線段的長；(2)若C為線段上任一點，滿足，其他條件不變，你能猜想的長度嗎？請直接寫出你的答案．(3)若C在線段的延長線上，且滿足，M、N分別為的中點，你能猜想MN的長度嗎？請在備用圖中畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)，圖及理由見解析【分析】（1）根據(jù)M、N分別是的中點，可得，從而得到，即可求解；（2）根據(jù)M、N分別是的中點，可得，從而得到，即可求解；（3）根據(jù)M、N分別是的中點，可得，從而得到，即可求解．【詳解】（1）解：∵M、N分別是的中點，∴，∴∴線段的長為．（2）解∶∵M、N分別是的中點，∴，∵，∴；（3）解∶，理由如下∶如圖:

∵M、N分別是的中點，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了有關(guān)線段中點的計算，明確題意、準確得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．如圖，B是線段上一動點，沿以的速度往返運動1次，C是線段的中點，cm，設(shè)點B運動的時間為（t不超過10）

(1)當(dāng)時，________cm．(2)當(dāng)時，求線段的長．(3)在運動過程中，若的中點為E，則的長是否變化？若不變，求出的長；若發(fā)生變化，請說明理由．【答案】(1)4(2)3cm(3)不變，5cm【分析】（1）利用路程等于速度乘以時間可得答案；（2）當(dāng)時，而，先求解，再利用中點的含義可得答案；（3）由的中點為E，C是線段的中點，可得BD．從而可得結(jié)論．【詳解】（1）解：當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，而，∴．∵C是的中點，∴即線段的長為3cm．（3）不變，如圖，

∵的中點為E，C是線段的中點，∴BD．∴即的長為5cm．【點睛】本題考查的是線段的中點的含義，線段的和差運算，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題的關(guān)鍵．3．探究題：如圖①，已知線段，點為上的一個動點，點、分別是和的中點．(1)若點恰好是中點，則___________