2024年新人教版七年級上冊數(shù)學課件 第六章 《幾何初步》專題

綜合專題講解第六章

幾何圖形初步專題目錄專題一：正方體的展開與折疊問題專題四：動角問題專題二：動點問題專題三：三角板與鐘表中的角度問題◆類型一找相對面問題一、回顧知識點

專題一：正方體的展開與折疊問題“一”字形“Z”字形例1(廣東韶關期末)

如圖，是正方體的一種展開圖，其每個面上都標有一個漢字，則在原正方體中，與“若”字相對的面上的漢字是

(

)A.

有

B.

必C.

召

D.

回B若有戰(zhàn)召必回練一練1.

(重慶巴蜀中學期末)

如下圖，若要使圖中的平面展開圖折疊成正方體后，相對面上兩個數(shù)互為相反數(shù)，則

x

-

y=_____.123xy2分析：x=-1，y=-3，所以x

-

y=2.◆類型二展開圖與正方體對應問題例2

如圖所示，正方體的展開圖為( )A. B.C. D.<○=<○=<○=<○=A開口部分對著圓練一練2.下面是一個正方體的展開圖，折疊后的正方體是( )A. B.C. D.B每條線都指著三角形每條線不相連總結(jié)找重合的邊，注意每一面的圖案方向.專題二：動點問題◆類型一無速度動點問題例3

如圖，已知

B

是線段

AC

上的一點，M

是線段

AB

的中點，N

是線段

AC

的中點，P

為

NA

的中點，Q

是

AM

的中點，則

BN∶PM

等于

(

)A.

1

B.

2

C.

3

D.

4ACBMNPQxx2xyy2y分析：BN=AB

-

AN=4x

-2yPM=AM

-

AP=2x

-

yB例4

如圖，O

為原點，A表示的數(shù)為

-1，B

表示的數(shù)為3，數(shù)軸上有一點

P，若

AP+BP=5，求

P

點表示的數(shù).AOB-13PPP解：因為

A表示的數(shù)為

-1，B

表示的數(shù)為3，①當點

P

在點

A

左邊時，AP+BP=AP+AB+AP=AB+2AP=5，所以

AB=3-(-1)=4.②當點

P

在點

A、B

中間時，AP+BP=AB=4(舍)解得

AP=0.5，所以

P

表示的數(shù)為

-1.5.③當點

P

在點

B

右邊時，同理可得

P

表示的數(shù)為3.5.綜上所述，P點表示的數(shù)為

-1.5或3.5.AOB-13解：設

P點表示的數(shù)為

x.因為A表示的數(shù)為

-1，B

表示的數(shù)為3，所以

AP=|x

-(-1)|=|x+1|，BP=|x

-3|.因為

AP+BP=5，所以|x+1|+|x

-3|=5，解得

x=-1.5或

x=3.5.所以，P

點表示的數(shù)為

-1.5或3.5.總結(jié)未告訴速度的動點問題問題特征：點的位置不確定或任意方法：①幾何法：畫圖并分類討論將線段長設為未知量②數(shù)軸法：將點所表示的數(shù)設為未知量練一練3.如圖，點

C、D

是線段

AB

上任意兩點，點

M

是

AC

的中點，點

N

是

DB

的中點，若

AB

=

a，MN

=

b，則線段

CD

的長是

(

)A.

2b

-

a

B.

2(a

-

b)

C.

a

-

b

D.

(a+b)ABCDNMA分析：CM+DN=AM+BN=AB

-

MN=a

-

b，CD=MN

-(CM+DN)=b

-(a

-

b)=2b

-

a.

◆類型二有速度動點問題例5

如圖，P

是線段

AB

上任一點，AB=12

cm，AP

=

8cm，C、D

兩點分別從

P、B

同時向

A

點運動，且

C

點的運動速度為

2

cm/s，D

點的運動速度為

3

cm/s，運動的時間為

ts.(1)

運動

1

秒后，求

CD

的長；ABPDC追及問題解：因為

AB=12cm，AP

=

8cm，所以

CD=4-(3-2)×1=4-1=3cm.所以

PB=AB

-

AP=12-8=4cm，【跳轉(zhuǎn)至幾何畫板】(2)

當

D

在線段

PB

運動上時，試說明

AC

=

2CD；ABPDC方法一：解：由題意，得

CP=2t，BD=3t.因為

AB=12

cm，AP

=

8

cm，所以

AC=8-2t，CD=12-3t

-(8-2t)=4-

t，所以

AC=2CD

.方法二：以

A

為原點向右為正方向1cm為單位長構(gòu)造數(shù)軸，由題意，得

A：0，P：8，B：12，C：8-2t，D：12-3t.(2)

當

D

在線段

PB

運動上時，試說明

AC

=

2CD；ABPDC所以

AC=8-2t，CD=12-3t

-(8-2t)=4-

t，所以

AC=2CD

.012(3)

何時

CD

=2cm？ABPDC方法一：解：CD=|12-3t

-(8-2t)|=|4-

t|，

所以|4-

t|=2，解得

t=2或

t=6.答：運動2s或6s時，CD

=2

cm.方法二：兩點相遇前：(3-2)t+(12-8)=2，解得

t=2.兩點相遇后：(3-2)t

-(12-8)=2，解得

t=6.總結(jié)告訴速度的動點問題問題方法：①幾何法②數(shù)軸法：用未知數(shù)表示線段③代數(shù)法：看做追及或相遇問題起始位置±vt(左減右加)練一練4.如圖，點O

為原點，點

A

表示的數(shù)為

-3，點

B

表示的數(shù)為

1.(1)

若點

P

在數(shù)軸上，且

PA

+

PB

=

6，則點

P

表示的數(shù)為

；(2)

若點

M

在數(shù)軸上，且

MA∶MB

=

1∶3，求點

M

表示的數(shù)為

；P1P2-4或2M1M23或0AOB-310(3)

若點

A

的速度為

5

個單位長度/s，點

B

的速度為

2

個單位長度/s，點

O

的速度為

1

個單位長度/s，A，B，O

三點同時向右運動，幾秒后，點O

恰為線段AB

的中點.解：由題意，得

A：-3+5t，B：1+2t，O：t.解得

t=0.4.答：0.4s后點O

恰為線段AB

的中點.AOB-310專題三：重疊與鐘表中的角度問題◆類型一重疊問題例6

(安徽太湖期末)

將一副直角三角尺如圖放置，若∠AOD

=

25°，則∠BOC

的大小為

(

)A.165°

B.

155°C.

145°

D.160°ABOCDB分析：∠BOC=∠AOC+∠BOA

=∠DOC

-∠AOD+∠BOA

練一練9.將一個長方形紙片沿折痕

AO、DO折疊，使其有一部分重合(如圖)，點

B

對應點

B′，點

C

對應點

C′，若∠C′OB′=20°，則∠AOD=

.分析：兩角之和

-

重疊部分=大角αβ∠BOB′+∠COC′-∠B′OC′=∠BOC2α+2β-20°

=180°α+β=100°∠AOD=

α+β

-20°=80°80°【跳轉(zhuǎn)至幾何畫板】◆類型二鐘表中的角度問題每過1小時，時針會經(jīng)過

°，分針會經(jīng)過

°.時針速度是

°/時，分針會經(jīng)過

°/時.時針速度是

°/分，分針會經(jīng)過

°/分.思考：3時的時針與分針的夾角是

°.每一大格：360°÷12=30°90303603036030÷60=0.5°/分360÷60=6°/分0.56例7(1)3點45分，時針與分針的夾角是多少？(2)在9點與10點之間，何時時針與分針成100°的角？解：(1)3點過了45分后，時針經(jīng)過

45×0.5=22.5°，分針經(jīng)過6×45=270°.3點45分，時針與分針的夾角是270°

-

22.5°

-90°=157.5°(2)設9時

x

分時時針與分針成100°的角，由題意，得90+6x

-0.5x=100，解得

x=.答：9時

分時時針與分針成100°的角.【跳轉(zhuǎn)至幾何畫板】總結(jié)鐘表的角度問題可化為追及問題時針速度：分針速度：夾角度數(shù)=|(分鐘速度-時針速度)×時間±初始度數(shù)|X

時

Y

分可看做

X

時再經(jīng)過

Y

分30°/時0.5°/分360°/時6°/分6.(重慶八中期末)

當時鐘指向下午

2

:

40

時，時針與分針的夾角是

度.練一練7.在

3

點

20

分時，時鐘的分針與時針的夾角為

度，過多少分鐘后它們的夾角為

130°？16020(2)設

過

x

分鐘后它們的夾角為130°，由題意，得(6-0.5)x+20=130，解得

x=20.答：過20分鐘后它們的夾角為130°.專題四：動射線和動角問題◆類型一動射線問題例8(節(jié)選自吉林白山期末)如果兩個角的差的絕對值等于

90°，就稱這兩個角互為垂角，例如：∠1=120°，|∠1﹣∠2|=90°，則∠1

和∠2

互為垂角．(本題中所有角都是指大于

0°

且小于

180°

的角)

(1)

如圖

1

所示，O

為直線

AB

上一點，∠AOC=90°，則∠AOD

垂角為

和

；CABDE∠AOEO∠COD圖

1

(2)

如圖

2

所示，O

為直線

AB

上一點，∠AOC=90°，∠BOD=30°，且射線

OC

繞點

O

以

9°/s

的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，射線

OD

繞點

O

以

6°/s

的速度順時針旋轉(zhuǎn)，兩條射線

OC、OD

同時運動，運動時間為

t

s

(0＜t＜20

)，試求當

t

為何值時，∠AOC

和∠AOD互為垂角．CABDCOD分析：當射線

OC

在射線

OA

上或下面時，∠AOC

的表示方式會變化；當射線

OD

在射線

OB

上或下面時，∠AOD的表示方式會變化.圖2解：當

OD與

OB

重合時，t＝5(s)，

當

OC與

OA

重合時，t＝10(s).∠AOC=(90-9t)°，∠AOD=(150+6t)°，CABDCOD由題意，得

(150+6t)-(90-9t)=90，解得

t=2.②當

OC在直線

AB

上，OD在直線

AB

下方，即5≤t≤10

時，CD∠AOC=(90-9t)°，∠AOD=(210-6t)°，①當

OC、OD在直線

AB

上方，即

0＜t＜5時，③當

OC、OD在直線

AB

下方，即

t＞10時，∠AOC=(9t

-90)°，∠BOD=(210-6t)°，CABDO由題意，得

(210-6t)-(9t

-90)=90，解得

t=14.CD綜上所述，當

t

為2或

14時，∠AOC

和∠AOD互為垂角.由題意，得(210-6t)-(90-9t)=90，解得

t=-10(舍).總結(jié)因為研究的角都小于或等于180°，所以分類的標準在于角的兩條射線是否在同一直線上(重合或互為反向延長線).練一練7.(廈門市逸夫中學期末)如圖，兩條直線

AB，CD

相交于點

O，且∠AOC

=

90°，射線

OM

從

OB

開始繞

O

點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為

15°/s，射線

ON

同時從

OD開始繞

O

點順時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為

12°/s．兩條射線

OM，ON

同時運動，運動時間為

t

秒．(本題出現(xiàn)的角均小于平角)ABCMNDO(1)當

t

=

2

時，∠MON

=______，∠AON

=______；(2)

當

0＜t＜12

時，若∠AOM

=

3∠AON

-

60°．試求出

t

的值；ABCMNDO144°66°①當

ON

在直線

AB

下方，即

0＜t≤7.5時，∠AOM=(180-15t)°，∠AON=(90-12t)°，由題意，得

180-15t=3(90-12t)-60，解得

t=.解：當

ON與

OA

重合時，t＝90÷12＝7.5(s)，

當

OM與

OA

重合時，t＝180÷15＝12(s).②當

ON

在直線

AB

上方，即7.5＜t＜12時，∠AOM=(180-15t)°，∠AON=(12t

-90)°，ABCMNDO由題意，得

180-15t=3(12t

-90)-60，解得

t=10.綜上所述，t

的值為

或10.(3)當0＜t＜6時，探究的

值，問：t

滿足怎樣的條件是定值；滿足怎樣的條件不是定值？解：當∠MON=180°

時，∠BOM

+∠BOD

+∠DON

=

180°，ABCMNDO所以

12t+15t+90=180，解得

t=.①當0＜t≤

時，∠COM

=(90

-

15t)°，∠BON=(90

+

12t)°，∠MON

=∠BOM

+∠BOD

+∠DON

=(15t

+

90

+

12t)°.①當

＜t＜6

時，∠COM

=(90

-

15t)°，∠BON=(90

+

12t)°，∠MON

=360°

-(15t

+

90

+

12t)°=(270-27t)°.綜上所述，當0＜t≤

時，原式為定值；當

＜t＜6

時，不是定值.例9(貴州銅仁期末)沿河縣某初中七年級的數(shù)學老師在課外活動中組織學生進行實踐探究，用一副三角尺(分別含45°，45°，90°

和30°，60°，90°

的角)按如圖所示擺放在量角器上，邊

PD

與量角器刻度線重合，邊

AP

與量角器刻度線重合，◆類型二動角問題DBPAC將三角尺

ABP

繞量角器中心點

P

以每秒10°

的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當邊

PB

與刻度線180°

重合時停止運動，設三角尺

ABP

的運動時間為

t

秒．(1)

當

t=5時，∠BPD=_____；◆類型二動角問題DBPAC85°DBPAC(2)

若在三角尺

ABP

開始旋轉(zhuǎn)的同時，三角尺

PCD

也繞點

P

以每秒2°

的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當三角尺

ABP

停止旋轉(zhuǎn)時，三角尺

PCD

也停止旋轉(zhuǎn)．①當

t

為何值時，邊

PB

平分∠CPD；解：因為邊

PB

平分∠CPD，DBAC所以∠CPB=∠BPD=∠CPD

，所以

180-45-2t

-10t=×60，解得

t=.【跳轉(zhuǎn)至幾何畫板】②在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某時刻使∠BPD=2∠APC，若存在，請求出

t

的值；若不存在，請說明理由．DBPACDBAC解：運動前∠APC=135°，∠BPD=120°，135-2t

-10t=2×(120

-2t

-10t)，(1)當

PA

在

PC左側(cè)時，由題意，得解得

t=.【跳轉(zhuǎn)至幾何畫板】此時∠BPD=30°，∠APC=15°，所以∠BPD=2∠APC，是成立的.DBPAC(2)當

PA

在

PC右側(cè)時，由題意，得135-2t

-10t

=2×(10t+2t

-120)，DBAC

當

PB

在

PD

的右側(cè)時，由題意，得10t+2t

-135

=2×(10t+2t

-120)，DBAC解得

t=.解得

t=.綜上所述，t

的值為

或

.【跳轉(zhuǎn)至幾何畫板】此時

PB

在

PD

的左側(cè)，所以和假設情況矛盾，不符合題意，舍去.謝謝大家愛心.誠心.細心.耐心，讓家長放心.孩子安心。樣，也可能因討厭一位老師而討厭學習。一個被學生喜歡的老師，其教育效果總是超出一般教師。無論中學生還是小學生，他們對自己喜歡的老師都會有一些普遍認同的標準，諸如尊重和理解學生，寬容、不傷害學生自尊心，平等待人、說話辦事公道、有耐心、不輕易發(fā)脾氣等。教師要放下架子，把學生放在心上。“蹲下身子和學生說話，走下講臺給學生講課”;關心學生情感體驗，讓學生感受到被關懷的溫暖;自覺接受學生的評價，努力做學生喜歡的老師。教師要學會寬容，寬容學生的錯誤和過失，寬容學生一時沒有取得很大的進步。蘇霍姆林斯基說過：有時寬容引起的道德震動，比懲罰更強烈。每當想起葉圣陶先生的話：你這糊涂的先生，在你教鞭下有瓦特，在你的冷眼里有牛頓，在你的譏笑里有愛迪生。身為教師，就更加感受到自己