人教版八年級數(shù)學(xué)上冊13.1-軸對稱

13.1軸對稱13.1.1軸對稱13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)人教版數(shù)學(xué)八年級上冊

對稱現(xiàn)象無處不在，從自然景觀到藝術(shù)作品，從建筑物到交通標(biāo)志，甚至日常生活用品，都可以找到對稱的例子，對稱給我們帶來美的享受！導(dǎo)入新知素養(yǎng)目標(biāo)1.了解軸對稱圖形和兩個圖形關(guān)于某直線對稱的概念，了解軸對稱圖形與兩個圖形關(guān)于某直線對稱的區(qū)別和聯(lián)系.2.能識別簡單的軸對稱圖形及其對稱軸（直線），能找出兩個圖形關(guān)于某直線對稱的對稱點.

3.了解線段垂直平分線的定義.4.掌握圖形軸對稱的性質(zhì).

如圖，把一張紙對折，剪出一個圖案（折痕處不要完全剪斷），再打開這張對折的紙，就得到了美麗的窗花．觀察得到的窗花，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特點嗎？軸對稱圖形的定義探究新知知識點1【思考】你能舉出一些軸對稱圖形的例子嗎？

如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸．這時，我們也說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．探究新知歸納總結(jié)下面這些圖形是不是軸對稱圖形？是是是不是探究新知1.下面四幅圖中是軸對稱圖形的有幾個？√√√鞏固練習(xí)共同特征：每一對圖形沿著虛線折疊，左邊的圖形都能與右邊的圖形重合．

觀察下面每對圖形（如圖），你能類比前面的內(nèi)容概括出它們的共同特征嗎？軸對稱的定義探究新知知識點2ACB【思考】你能再舉出一些兩個圖形成軸對稱的例子嗎？

把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點．

探究新知歸納總結(jié)兩者的聯(lián)系：把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，它就是一個軸對稱圖形．把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形關(guān)于這條軸對稱．

你能結(jié)合具體的圖形說明軸對稱圖形和軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系嗎？兩者的區(qū)別：

軸對稱圖形指的是一個圖形沿對稱軸折疊后這個圖形的兩部分能完全重合，而兩個圖形成軸對稱指的是兩個圖形之間的位置關(guān)系，這兩個圖形沿對稱軸折疊后能夠重合．探究新知軸對稱圖形兩個圖形成軸對稱區(qū)別＿個圖形＿個圖形聯(lián)系1.沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠＿＿＿＿_．2.都有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿________________________________________．3.如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線＿＿＿；如果把兩個成軸對稱的圖形看成一個圖形，那么這個圖形就是＿＿＿＿__．一兩互相重合對稱軸，軸對稱圖形可能不止一條對稱軸，軸對稱只有一條對稱軸對稱圖形探究新知

比較歸納

2.下面這些圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，有幾條對稱軸？鞏固練習(xí)1條2條4條無數(shù)條鞏固練習(xí)你能說明其中的道理嗎？如圖，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，點A′，B′，C′分別是點A，B，C

的對稱點，線段AA′，BB′，CC′與直線MN有什么關(guān)系？ABCMNPA′B′C′垂直平分線的定義探究新知知識點3想一想【思考】上面的問題說明“如果△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，那么，直線MN垂直于線段AA′，BB′和CC′，并且直線MN還平分線段AA′，BB′和CC′”．如果將其中的“三角形”改為“四邊形”“五邊形”……其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？ABCMNPA′B′C′探究新知

經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線．

ABCMNPA′B′C′探究新知歸納總結(jié)成軸對稱的兩個圖形的性質(zhì)：

如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．即對稱點所連線段被對稱軸垂直平分；對稱軸垂直平分對稱點所連線段．

ABCMNPA′B′C′探究新知歸納總結(jié)結(jié)論：

直線l垂直于線段AA′，BB′，直線l平分線段AA′，BB′（或直線l是線段AA′，BB′的垂直平分線）．【思考】下圖是一個軸對稱圖形，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？能說明理由嗎？ABlA′B′探究新知軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．

ABlA′B′探究新知歸納總結(jié)

3.下列圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，指出它的對稱軸．是，一條是，一條是，一條不是是，四條鞏固練習(xí)

4.下列圖形中的兩個圖案是軸對稱的嗎？如果是，試著找出它們的對稱軸，并找出一對對稱點．

是不是是鞏固練習(xí)1.下列圖形具有兩條對稱軸的是（）

A．等邊三角形

B．平行四邊形

C．矩形

D．正方形連接中考AB

C

D2.下列四個圖案中，不是軸對稱圖案的是（）CB鞏固練習(xí)1.被譽為全國第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上銘刻著500多方古今名家碑文，其中懸針篆文具有較高的歷史意義和研究價值，下面四個懸針篆文文字明顯不是軸對稱圖形的是（）A．

B．

C．

D．基礎(chǔ)鞏固題2.如圖所示的五角星是軸對稱圖形，它的對稱軸共有（）A．1條

B．3條 C．5條

D．無數(shù)條CC課堂檢測3.下面是我們熟悉的四個交通標(biāo)志圖形，請從幾何圖形的性質(zhì)考慮哪一個與其他三個不同？請指出這個圖形，并說明理由.答：這個圖形是______（寫出序號即可），理由是______________________.④只有它不是軸對稱圖形課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題1.下面的圖形是否是軸對稱圖形，如果是，有幾條對稱軸？畫畫看.能力提升題課堂檢測2.英文26個大寫字母中哪些是軸對稱圖形？解：A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y是軸對稱圖形.3.你能列舉出三個是軸對稱圖形的幾何圖形嗎？解：正方形、長方形、圓.（答案不唯一）課堂檢測能力提升題

小強站在鏡子前，從鏡子中看到鏡子對面墻上掛著的電子鐘，其讀數(shù)如圖所示，則電子鐘的實際時刻是________.10：21拓廣探索題課堂檢測軸對稱軸對稱圖形兩個圖形成軸對稱垂直平分線區(qū)別聯(lián)系對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線課堂小結(jié)ACB課后作業(yè)作業(yè)內(nèi)容教材作業(yè)從課后習(xí)題中選取自主安排配套練習(xí)冊練習(xí)13.1軸對稱13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)人教版數(shù)學(xué)八年級上冊第一課時第二課時第一課時線段的垂直平分線的性質(zhì)某區(qū)政府為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個購物中心，試問，該購物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個小區(qū)的距離相等？ABC實際問題1導(dǎo)入新知ABL實際問題2

在成渝高速公路L的同側(cè)，有兩個化工廠A、B，為了便于兩廠的工人看病，市政府計劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個工廠的工人都沒意見，問醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？成渝高速公路導(dǎo)入新知3.會用尺規(guī)經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線，了解作圖的道理.1.理解線段垂直平分線的性質(zhì)和判定．2.能運用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定解決實際問題．素養(yǎng)目標(biāo)

你能用不同的方法驗證這一結(jié)論嗎？

如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3……是l上的點，請猜想點P1，P2，P3

……到點A與點B的距離之間的數(shù)量關(guān)系.相等．

ABlP1P2P3線段的垂直平分線的性質(zhì)定理探究新知知識點1猜想：“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．”

已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點P在l上．

求證：PA=PB．ABPCl探究新知猜想與證明用符號語言表示為：∵CA=CB，l⊥AB，∴PA=PB．證明：∵

l⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB．

又

AC=CB，PC=PC，

∴△PCA≌△PCB（SAS）．

∴PA=PB．ABPCl探究新知線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等．探究新知歸納總結(jié)1.如圖，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分線交BC于D，AC的垂直平分線交BC與E，則△ADE的周長等于___．ABCDE8鞏固練習(xí)解：∵AD⊥BC，BD=DC，

∴AD是BC的垂直平分線，

∴AB=AC．

∵

點C在AE的垂直平分線上，

∴

AC=CE．2.如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？ABCDE鞏固練習(xí)

∴AB=AC=CE．

∵

AB=CE，BD=DC，

∴

AB+BD=CD+CE．

即

AB+BD=DE．反過來，如果PA=PB，那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？點P在線段AB的垂直平分線上．已知：如圖，PA=PB．求證：點P在線段AB的垂直平分線上．PABC線段的垂直平分線的判定定理探究新知知識點2證明：過點P作線段AB的垂線PC，垂足為C．則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又

PC⊥AB，∴點P在線段AB的垂直平分線上．PABC探究新知用數(shù)學(xué)符號表示為：∵

PA=PB，∴點P在AB的垂直平分線上．到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．PABC探究新知這些點能組成什么幾何圖形？

你能再找一些到線段AB兩端點的距離相等的點嗎？能找到多少個到線段AB兩端點距離相等的點？

在線段AB的垂直平分線l上的點與A，B的距離都相等；反過來，與A，B的距離相等的點都在直線l上，所以直線l可以看成與兩點A、B的距離相等的所有點的集合．PABCl探究新知試一試：例1如圖，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC內(nèi)一點，且OB＝OC，求證：AO⊥BC.證明：∵OB＝OC，

∴點O在BC的垂直平分線上，又AB＝AC，

∴點A在BC的垂直平分線上，即A，O均在BC的垂直平分線上，

∴AO⊥BC線段垂直平分線的判定定理的應(yīng)用探究新知素養(yǎng)考點13.如圖，已知在△ABC中，ON是AB的垂直平分線，并且OA=OC．求證：點O在BC的垂直平分線上.ABCON鞏固練習(xí)∴點O在BC的垂直平分線上.（到一條線段的兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）ABCON證明：連結(jié)OB.∵ON是AB的垂直平分線（已知）∴OA=OB（線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等）∵OA=OC（已知）

∴OB=OC（等量代換）鞏固練習(xí)如何用尺規(guī)作圖的方法經(jīng)過直線外一點作已知直線的垂線？CABDKFE過直線外一點作已知直線的垂線作法：（1）任意取一點K，使點K和點C在AB的兩旁.（2）以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點

D和E.（3）分別以點D和點E為圓心，大于

的長

為半徑作弧，兩弧相交于點F.（4）作直線CF.直線CF就是所求作的垂線.探究新知知識點3（1）為什么任意取一點K，使點K與點C在直線兩旁？（2）為什么要以大于

的長為半徑作?。浚?）為什么直線CF就是所求作的垂線？探究新知想一想4.如圖，求作點P，使PA＝PB，且點P到∠MON兩邊的距離相等．解：(1)作∠MON的角平分線；

(2)作線段AB的垂直平分線與∠MON的平分線交于點P，那么，點P即為所求作的點.鞏固練習(xí)連接中考1.如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC，AC于點D和E，∠B=60°，∠C=25°，則∠BAD為（）A．50° B．70° C．75° D．80°2.如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分線交BC于點E，∠B=70°，∠FAE=19°，則∠C=

度．B24鞏固練習(xí)1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于點D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為(

)A．5cm

B．10cm

C．15cm

D．17.5cm基礎(chǔ)鞏固題C課堂檢測2.如果一個三角形兩邊的垂直平分線的交點在第三邊上，那么這個三角形是(

)A．銳角三角形

B．鈍角三角形C．直角三角形

D．不能確定CC課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題3．如圖，CD是AB的垂直平分線，若AC＝1.6cm，BD＝2.3cm，則四邊形ACBD的周長為

cm.7.84.如圖，在△ABC中，D為BC上一點，且BC＝BD＋AD，則點D在線段__________的垂直平分線上．AC解析：∵BC=BD+AD，又∵BC=BD+DC，∴AD=DC.∴點D在線段AC的垂直平分線上.課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題1.如圖，點A，B，C表示某公司三個車間的位置，現(xiàn)要建一個倉庫，要求它到三個車間的距離相等，則倉庫應(yīng)建在什么位置？能力提升題答：△ABC

三邊垂直平分線的交點上.課堂檢測2.如圖，已知E為∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C，D.求證：OE垂直平分CD.

證明：∵E在∠AOB的平分線上，ED⊥OB于D.EC⊥OA于C，∴ED＝EC在Rt△EDO和Rt△ECO中，ED＝EC，OE＝OE∴Rt△EDO≌Rt△ECO（HL）∴OD＝OC∴O，E都在CD的垂直平分線上，∴OE垂直平分CD.課堂檢測能力提升題

如圖，已知AB比AC長2cm，BC的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，△ACD的周長是14cm，求AB和AC的長．拓廣探索題課堂檢測解：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC.∵AC＋AD＋DC＝14cm，∴AC＋AD＋BD＝14cm.即AC＋AB＝14cm.設(shè)AB＝x

cm，AC＝y(tǒng)cm.根據(jù)題意，得

解得∴AB長為8cm，AC長為6cm.線段的垂直平分線性質(zhì)線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.判定與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.集合定義線段的垂直平分線的集合定義：線段的垂直平分線可以看作是與線段兩個端點距離相等的所有點的集合.關(guān)系PA=PB點P在線段AB的垂直平分線上與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等課堂小結(jié)第二課時作線段的垂直平分線如圖，A，B是路邊兩個新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個公共汽車站，使兩個小區(qū)到車站的路程一樣長，該公共汽車站應(yīng)建在什么地方？AB公路導(dǎo)入新知素養(yǎng)目標(biāo)3.

能夠運用尺規(guī)作圖的方法解決簡單的作圖問題．1.能用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線．2.進一步了解尺規(guī)作圖的一般步驟和作圖語言，理解作圖的依據(jù)．線段垂直平分線的畫法有時我們感覺一（兩）個平面圖形是軸對稱的，如何驗證呢？ABCA′B′C′

通過折疊，如果這（兩）個圖形能夠互相重合，則這（兩）個圖形是軸對稱圖形.不折疊圖形，你能準(zhǔn)確地作出軸對稱圖形的對稱軸嗎？探究新知知識點1問題1：問題2：

如圖，點A和點B關(guān)于某條直線成軸對稱，你能作出這條直線嗎？AB分析：我們只要連接點A和點B，作出線段AB的垂直平分線，就可得到點A和點B的對稱軸.為此作出到點A，B的距離相等的兩點，即線段AB的垂直平分線上的兩點，從而作出線段AB的垂直平分線.探究新知畫一畫ABCD作法：（1）分別以點A，B為圓心，以大于

AB的長為半徑作弧，兩弧交于C，D兩點.（2）作直線CD.CD即為所求.特別說明：這個作法實際上就是線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，我們也可以用這種方法確定線段的中點.探究新知

如圖，A，B是路邊兩個新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個公共汽車站.使兩個小區(qū)到車站的路程一樣長，該公共汽車站應(yīng)建在什么地方？AB分析：增設(shè)的公共汽車站要滿足到兩個小區(qū)的路程一樣長，應(yīng)在線段AB的垂直平分線上，又要在公路邊上，所以找到AB垂直平分線與公路的交點即可.公共汽車站探究新知例1如圖，已知點A、點B以及直線l.(1)用尺規(guī)作圖的方法在直線l上求作一點P，使PA＝PB.(保留作圖痕跡，不要求寫出作法)；(2)在(1)所作的圖中，若AM＝PN，BN＝PM，求證：∠MAP＝∠NPB.MNABl利用線段的垂直平分線的性質(zhì)作圖探究新知素養(yǎng)考點1解：(1)如圖所示：(2)在△AMP和△BNP中，∵AM=PN，AP＝BP，PM＝BN，∴△AMP≌△PNB(SSS)，∴∠MAP＝∠NPB.MNABlP探究新知1.如圖，在△ABC中，分別以點A，B為圓心，大于AB長為半徑畫弧，兩弧分別交于點D，E，則直線DE是（）A．∠A的平分線B．AC邊的中線C．BC邊的高線D．AB邊的垂直平分線D鞏固練習(xí)例2如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條交叉的公路．圖中點M，N表示大學(xué)，OA，OB表示公路，現(xiàn)計劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相等，到兩條公路的距離也相等，你能確定出倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？請在圖中畫出你的設(shè)計．(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)ONMAB利用作圖解決實際問題探究新知素養(yǎng)考點2ONMAB方法總結(jié)：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上，到兩點距離相等的點在兩點連線的垂直平分線上.兩線的交點即為所求.解：如圖所示：P鞏固練習(xí)2.電信部門要修建一座電視信號發(fā)射塔，如圖，按照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？在圖上標(biāo)出它的位置.解：如圖所示，兩條高速公路相交的角的角平分線和AB的垂直平分線的交點P1與P2點.鞏固練習(xí)作軸對稱圖形的對稱軸下圖中的五角星有幾條對稱軸？如何作出這些對稱軸呢？AB作法：（1）找出五角星的一對對稱點A和B，連接AB．（2）作出線段AB的垂直平分線l．則l就是這個五角星的一條對稱軸．l

用同樣的方法，可以找出五條對稱軸，所以五角星有五條對稱軸．探究新知知識點2探究新知歸納總結(jié)方法總結(jié)：對于軸對稱圖形，只要找到任意一組對稱點，作出對稱點所連線段的垂直平分線，即能得此圖形的對稱軸.例3如圖，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，請用無刻度的直尺作出它們的對稱軸.解：延長BC、B'C'交于點P，延長AC，A'C'交于點Q，連接PQ，則直線PQ即為所要求作的直線l.作軸對稱圖形的對稱軸探究新知ABCA′B′C′lPQ素養(yǎng)考點3探究新知歸納總結(jié)方法總結(jié)：①過成軸對稱圖形的兩組對應(yīng)點的連線（或延長線）交點的直線是這個軸對稱圖形的對稱軸.②如果成軸對稱的兩個圖形對稱點連線（或延長線）相交，那么交點必定在對稱軸上.3.作出下列圖形的一條對稱軸.和同學(xué)比較一下，你們作出的對稱軸一樣嗎？鞏固練習(xí)連接中考

如圖，在△ABC中，分別以點A和點C為圓心，大于

AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN分別交BC，AC于點D，E．若AE=3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長為（

）A．16cm B．19c