2022-2023學(xué)年北京北師大二附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

2022北京北師大二附中高二（上）期中數(shù)學(xué)一、單選題（共40分）1.3x3y50的傾斜角為??=2A.B.C.BC與對(duì)角面BBDD所成的角是（1D.6336ABCD?ABCD2.如圖所示正方體中，1111111BB111BD11A.B.C.D.D.()，()，則線段）A1,2B3.已知點(diǎn)的垂直平分線方程為（4x+2y?5=04x?2y?5=0x+2y?5=0C.x?2y?5=0A.B.14.已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若,n?，則l與α所成的角2為（）A.30°B.60°C.120°D.150°+y2?2x?2=0相切，則實(shí)數(shù)m等于（）5.3x?y+m=0與圓x2A.或?3B.?3或33C.?33或D.?33或3333(?2,0),B(4,a)兩點(diǎn)到直線l:3x?4y+1=0的距離相等，則a=6.（）99?A.2B.C.2或8D.2或22(?)(x?)+(y?)=5的圓225,37.已知從點(diǎn)發(fā)出的一束光線，經(jīng)x軸反射后，反射光線恰好平分圓：周，則反射光線所在的直線方程為（）2x?3y+1=03x?2y+1=02x?3y?1=03x?2y?1=0ACB.D.x2y2+=1，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，若橢圓內(nèi)一點(diǎn)A(1,1)PA+PF的最8.已知橢圓43小值為（）12A.3B.10C.5+D.5+1()a+b=1，記d為點(diǎn)P到直線x??2=09.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)Pa,b滿足的距離當(dāng)a,b,m變化時(shí)，d的最大值為（）A.1B.2C.3D.4=上的任意一點(diǎn)P都滿足|b，則Cab0)的上頂點(diǎn)，若Cx22y2210.設(shè)B是橢圓C:+的離心ab率的取值范圍是（）221,11D.,1B.C.A.2222二、填空題（共25分）()()()，則平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)為_(kāi)__________.A1,0,0,B2,0,C0,3已知()，(?)，且直線與垂直，直線Ba,112.已知直線l的傾斜角為45，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A3,2l1l1l22x+by+1:=0la+b=與直線平行，則_________．113.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－ABCDECC的中點(diǎn)，=，若異面直線111113210DE和AF所成角的余弦值為，則λ的值為_(kāi)_______.11PQlx+y+2=0lx+y?1=0PQ⊥l上，且，點(diǎn)114.已知點(diǎn)分別在直線：與直線：123122(??)，則++的最小值為_(kāi)___．A3，B?APPQABCD?ABCDPA=2PB,AB=2，則動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)15.P為正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足1111軌跡的周長(zhǎng)為_(kāi)_________.三、解答題（共85分）頂點(diǎn)A(3)，邊上的高所在的直線的方程為x?y?3=0，D為AC中點(diǎn)，且ABBD16.所在的直線的方程為3x+y?7=0（1AB邊所在的直線方程；（2邊所在直線方程..ABCD?ABCDAA1=4=，17.如圖，在正四棱柱中，，AB2，，F(xiàn)分別是的中點(diǎn).11111（1）求直線與平面C1所成角的正弦值；A?1F?D（2）求二面角的余弦值.418.已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（，0（77y=x上．3（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線lC相切且與，y軸截距相等，求直線l的方程．19.如圖，在四棱錐P?=，==CB=1，DCB=CBA=PDC=，AB2中，平面PBC⊥平面PDC.（1）求證：PD平面ABCD；⊥（2）求二面角D??C的余弦值.x22y226，右焦點(diǎn)為22,0).斜率為1l與橢圓G20.已知橢圓G:+=ab0)的離心率為交ab3,BP(?2).于兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為（1）求橢圓G的方程；（2）求直線AB的方程.21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C:x2+y?4x=0及點(diǎn)A(?0),B2).2D,E=（1）若直線l，與圓C相交于兩點(diǎn)，且DEAB，求直線l的方程；（2）在圓C上是否存在點(diǎn)，使得2+2=12成立?若存在，求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由；M,N（3）對(duì)于線段上的任意一點(diǎn)Q，若在以點(diǎn)B為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)QN的中點(diǎn)，求圓Br的取值范圍.，使得點(diǎn)M是線段參考答案一、單選題（共40分）1.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線傾斜角的正切值等于切線斜率求解即可.33【詳解】直線3x3y?5=0的斜率為?,故傾斜角的正切值tan=,330,),故=又.6故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線傾斜角與斜率的關(guān)系屬于基礎(chǔ)題型.2.【答案】D【解析】CO⊥1BBDD，然后根據(jù)線面夾角的定義11【分析】結(jié)合正方體性質(zhì)和線面垂直性質(zhì)和判定定理可得平面即可求解.CO⊥BD，1【詳解】由正方體性質(zhì)可知，11BB1⊥ABCDCOABCD，1111又因?yàn)槠矫妫矫?1111BB⊥CO所以，11BBBD=BCO⊥1BBDD，11又因?yàn)?，所以平?111故OB為BC在平面BBDD上的射影，111從而1為與平面BCBBDD所成的角．111故選：D.3.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求線段的斜率，進(jìn)而可得垂直平分線的斜率，結(jié)合AB中點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)斜式寫(xiě)出垂直平分線方程.1?23?1123k==?2AB(2,)中點(diǎn)為，【詳解】由題設(shè)，，故線段的垂直平分線的斜率為23y?=2(x?2)4x2y?5=0.?所以線段的垂直平分線方程為，整理得：2故選：B4.【答案】A【解析】12【分析】由,n?知直線的法向量所夾銳角為lα60°，根據(jù)直線的位置關(guān)lα系，即可得出答案.【詳解】由已知得直線l和平面α的法向量所夾銳角為60°，因此l與α所成的角為30°.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查線面角屬于基礎(chǔ)題.找到向量m，n的夾角與l與α所成角的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.5.【答案】C【解析】x?）2+y=3，圓）到直線的距離等于半徑2【詳解】圓的方程即為（3+m＝33+m23＝3或者＝?333+1故選C．6.【答案】D【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.(?2,0),B(4,a)兩點(diǎn)到直線l:3x?4y+1=0【詳解】因?yàn)榈木嚯x相等，3(2)+0(?4)+134?4a+192=13?4a=5a=2，或a=所以有，32+(?4)232+(4)2故選：D7.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)反射性質(zhì)，結(jié)合圓的性質(zhì)、直線斜率公式進(jìn)行求解即可.(?)()2()25,3x?1+y?1=5B的圓心坐標(biāo)為，【詳解】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，圓(x)(y)?2+?2=5的圓周，設(shè)C(,0)是x軸上一點(diǎn)，因?yàn)榉瓷涔饩€恰好平分圓B所以反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)由反射的性質(zhì)可知：1?0，3?01?01k+k=0+=0x=?，?5?x1x?22k==1于是3，所以反射光線所在的直線方程為：1?(?)221y=(x+)2x?3y+1=0，32故選：A8.【答案】A【解析】【分析】由橢圓定義把轉(zhuǎn)化為P到右焦點(diǎn)的距離，然后由平面上到兩定點(diǎn)的距離之差最小的性質(zhì)可20)2=1|PA|+|PF|PA|4?|PF=4+|PA|?|PF|得.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，，，22|PA|?|PF|≤||?|AF|PA|?|PF|AF|，2又，2222當(dāng)2三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，|PA|+||FA2的最小值為（取最小值時(shí)P是射線故選：A.9.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線l:x?my?2=0過(guò)定點(diǎn)A確定出對(duì)于給定的一點(diǎn)P，d取最大值時(shí)PA⊥l且d=PAd，由此可知，然后根據(jù)點(diǎn)P為正方形上任意一點(diǎn)求解出.【詳解】直線l:x?my?2=0過(guò)定點(diǎn)(A2,0)，對(duì)于任意確定的點(diǎn)P，當(dāng)PA⊥l時(shí)，此時(shí)d=PA，當(dāng)PA不垂直l時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥l，此時(shí)d=PB，如圖所示：⊥d=，因?yàn)镻BAB，所以，所以d，且此時(shí)；PA⊥l由上可知：當(dāng)P確定時(shí)，即為d=PA又因?yàn)镻在如圖所示的正方形上運(yùn)動(dòng)，所以，)PA213=?(?)=，dM(0當(dāng)取最大值時(shí)，P點(diǎn)與重合，此時(shí)所以=3，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于利用圖像分析d取最大值時(shí)PA與直線l的位置關(guān)系，通過(guò)位置關(guān)系的分析可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離問(wèn)題，根據(jù)圖像可直觀求解.10.【答案】C【解析】(Px)，由0()Bb，分類(lèi)討論求出的最大【分析】設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出0值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．x202y202(Px)，由0()Bb+=1，a2=b2c2，所以+【詳解】設(shè)，因?yàn)?ab220b222324ycbb2=+(?)2=?+(?)2=?+++2a+b2，PBx20y0ba21y0by0bcc2b3b0b2=b2PB=b，符合題意，由??b，即b2c2時(shí)，PB因?yàn)椋?dāng)，即2c2b2c2可得a22c2，即0e；2b32bc42bc42??b，即b2c2時(shí)，PB2=+a2+b2+a2+b2b2當(dāng)，即，化簡(jiǎn)得，cc2?b)20，顯然該不等式不成立．2故選：．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值．二、填空題（共25分）【答案】(6,3,2)（答案不唯一）【解析】n)，則【分析】首先表示出，，設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z，即可得到不定nAC0方程組，取值即可；【詳解】解：因?yàn)?)()()，A1,0,0,B2,0,C0,3所以AB=(?2,0)，AC=(0,3)，n=(x,y,z)，設(shè)平面法向量為?x+2y=0nnx=6，則，y=3，z=2則，即，令?x+3z0=C0)n=(6,3,2所以；故答案為：(6,3,2)（答案不唯一）12.【答案】8【解析】【分析】all平行解得b先由直線l的傾斜角求出其斜率，然后根據(jù)與l垂直求出的斜率并解得，最后由與，得到21a+b.【詳解】由直線l的傾斜角為45，則l的斜率k=tan45=11與l垂直，1?2a?3則a3且的斜率lk=1=?1，得a=6，12lllk=?=?1，得b=2，則ab8+=.又由與平行，則斜率1222b故答案為：813.【答案】【解析】13【分析】由已知，根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別表示出各點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過(guò)異面直線DE和AF所113210成角的余弦值為，即可列式計(jì)算.【詳解】以D為原點(diǎn)，以DA，DD1分別為xyz軸，建立空間直角坐標(biāo)系.正方體的棱長(zhǎng)為2A，02)D(00，，(0，21)，A，，0).11所以DE=(0,,AF=AA+AF=AA+AD=(0,?2)+(?0)=(?2,0,?2),11112AF,DE=所以所以，11AFDE22+151123210131=，解得==?或（舍去）.2+132513故答案為：.32214.【答案】+【解析】3212322()，，由兩點(diǎn)間=P，－2Qa+a?【分析】根據(jù)平行線間距離公式可得PQ，設(shè)AP+PQ=(a+2+(a?2+a2+(a+2，結(jié)合幾何意義以及圖形即可求解最距離公式可表達(dá)出小值.332【詳解】由平行線距離公式得：==，2231設(shè)()，則Qa+a?P，－2，2232所以APPQ++=(a+2+(?a+2+a2+(?a?+22322=(a+2+(a?2+a2+(a++2，設(shè)點(diǎn)()()()，如下圖：M，aC，－3D0(a+2+(a?2+a2+(a+=+CD=132則有：(MC三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)32綜上，++13+．232故答案為：+2()2+115.【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)條件確定P點(diǎn)所處的平面，再建立坐標(biāo)系求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，據(jù)此求出軌跡的長(zhǎng).PA=2PB,AB=2【詳解】由可知，正方體表面上到點(diǎn)A距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)為C，11AABCDCC，面上運(yùn)動(dòng)，11所以P點(diǎn)只可能在面，面1當(dāng)PABCD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖示，建立平面直角坐標(biāo)系，0),B(2,0)則設(shè)即,P(x,y)PA=2PB得：x2+y2=x?2)2+y]，2，由(x?4)2+y2=8P點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以E（4,0）為圓心，以22為半徑的一段圓弧，=2,故=因?yàn)?2,BE=,4所以P點(diǎn)在面內(nèi)的軌跡的長(zhǎng)即為22=421A22=同理，P點(diǎn)在面內(nèi)情況亦為；142CCPA=2PB，=P點(diǎn)在面上時(shí)，因?yàn)?112PAB=,PB=2所以，4所以此時(shí)P點(diǎn)軌跡為以B為圓心，2為半徑的圓弧，12=其長(zhǎng)為，4綜上述，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的周長(zhǎng)為2+=(2+，2()2+1故答案為：.三、解答題（共85分）x+y?7=02）19x+y+7=016.）.【解析】）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b)，由直線AB與直線x?y?3=0垂直，得出直線AB的斜率為1，再由點(diǎn)B在直線3x+y?7=0、b邊所在aAB的直線方程；（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,n)，由AC的中點(diǎn)D在直線3x+y?7=0上以及點(diǎn)Cx?y?3=0在直線上建立方程組，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由此可求出BC邊所在的直線方程.）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b)，直線x?y?3=0的斜率為1，b?3a?4x?y?3=0=1，整理得a+b?7=0，由于直線AB與直線垂直，則直線AB的斜率為又因?yàn)辄c(diǎn)B在直線3x+y?7=0，則a+b?7=0，a+b?7=0a=0，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(7)，所以，解得a+b?7=0b=7y=?x+7x+y?7=0；因此，AB邊所在的直線方程為（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,n)，由AC，即m+4n+3D,在直線3x+y?7=0的中點(diǎn)上，22(+)n+33m4+?7=0，整理得m+n+1=0所以，22x?y?3=0m?n?3=0又因?yàn)辄c(diǎn)C在直線，12m=m+n+1=015C,?.所以，解得，即點(diǎn)m?n?3=05222n=?57+0?21=則直線的斜率為，2y=?19x+7，即19x+y?7=0因此，邊所在直線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的邊所在直線方程的求解，解題的關(guān)鍵就是確定頂點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意建立方程組求頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.42617.）2）.423【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，C1C與平面所成角為1（1）設(shè)出平面的法向量，利用空間向量數(shù)量積求得法向量，設(shè)直線，利用線面角的正弦值為直線的方向向量與平面法向量的余弦值的絕對(duì)值即可.（2）分別求出兩個(gè)面的法向量，利用空間向量數(shù)量積公式求得二面角的余弦值.【詳解】以DA為x軸，為y軸，為z軸，建立如圖的空間坐標(biāo)系.則(D0,0)，(A0,0)，1()，()，()，()，F(xiàn)(2)E2,0.A2,0,4C2,0C0,2,411n=(x,y,1)C1（1）設(shè)平面的法向量，則()()=x+2y=02y+4=0nx,y,12,00n)1.()(4)=0nx,y,1n所成角為，則sin=設(shè)直線與平面C1.nAA1Fn=1,0,0)1A1n=0n=0（2）平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量n2，則且，221n=().A?1F?D解得26銳角，所以=設(shè)二面角即二面角為，由圖可知，是.1236A?1F?D的余弦值為.3【點(diǎn)睛】本題主要考查線面角及二面角的求法，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)，屬中檔題.18.﹣3）+（﹣）2＝253=?xxy+570（2）y【解析】或2?＝或+y52?7＝04）設(shè)圓心（，b，然后根據(jù)條件建立方程組求解即可；（2）分直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)、直線l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)兩種情況求解即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓心C（br，標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣）2（﹣b）＝r2，4y=x上，圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A0，（7，3a=3a2+b2=r2(a?7)2+b?7)2=r2b4=則有，解可得，4ar=5=b3則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x3）2（y4）225，【小問(wèn)2詳解】若直線lC相切且與，y軸截距相等，分2種情況討論：k?434==?①直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為ykx，則有5，解得k，此時(shí)直線l的方程為y1+k23=?x；47?m1+1②直線l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為+m＝，則有此時(shí)直線l方程為x++52?7＝0或+y52?7＝0；=5，解得m＝7+52或7﹣52，34=?x++570+﹣52?7＝0．綜合可得：直線l的方程為y或2?＝或19.）證明見(jiàn)解析3（2）2【解析】）先取的中點(diǎn)，連接DM⊥PC，利用面面垂直的性質(zhì)定理得DM平面，再由線面垂直的判定定理證明⊥平面PDC，得到BC⊥PD，最后利⊥PBC，進(jìn)而得到DMBC⊥用線面垂直的判定定理，即可得證；（2）先取的中點(diǎn)Q，連接DQ，得到DQ，DP兩兩垂直，然后建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面C的法向量，最后利用向量的夾角公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：取的中點(diǎn)MDM，因?yàn)?DC，所以⊥PC，由平面PBC⊥平面PDC，平面PBC平面=，所以DM平面⊥，又由BC平面，所以DM⊥BC，又因?yàn)椤?，DCDM=D，所以⊥平面PDC，因?yàn)镻D平面PDCBC⊥PD，所以.又DC⊥PD，PD⊥ABCD.，所以【小問(wèn)2詳解】解：取的中點(diǎn)QDQ，1DCB=CBQ=90=AB=1DQ⊥DC，所以，DC因?yàn)椋?由（）易知⊥，⊥，D?以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DQ，DCDP所在直線分別為x，，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示D0)?0)P，C0)B，則，，，所以AC=(1,2,0)，PA=??.連接BD，易知=2，=2，由AB2，所以AD2BD2AB2，所以=+=⊥，，又BDPD，⊥ADBD⊥，所以平面PAD則平面PAD的一個(gè)法向量為0).=?x+2y=0x?y?z=0mm=(x,y,z)，可得設(shè)平面的法向量為，則，m取y=1，可得x=z=1，所以平面的一個(gè)法向量為m=，33cos,DB==所以，|m||DB|2623又由二面角D??C為銳二面角，所以二面角D??C的余弦值為.2x2y2+=120.）12x?y+2=04（2）【解析】）依題可知，c=22，a23，根據(jù)=a,b,c的關(guān)系求出b2，即可寫(xiě)出橢圓的方程；y=x+m（2）先設(shè)出直線，聯(lián)立可得出AB中點(diǎn)E(x,y)坐標(biāo)，再根據(jù)為等腰三角形知00PE⊥AB，解得中點(diǎn)坐標(biāo)，即可寫(xiě)出直線方程．【小問(wèn)1詳解】c6由已知得c=22，而=，解得a=23，所以b2=a2?c2=4，a3x2y2故橢圓G的方程為【小問(wèn)2詳解】+=1．124y=x+my=x+m224x2+6mx+3m2?12=0得設(shè)直線l的方程為，由xy+=14(x,y)(x,y)ABE(x,y)設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為，，中點(diǎn)為，1122001+x2mmx=0=?y=x+m=，00則，244因?yàn)锳B是等腰的底邊，所以PE⊥AB．m2?3124k==?1，解得m=2x=?,y=所以PE的斜率為，即，所以直線AB的方程為m0023+4132y?=x+x?y+2=0，即．2y=x或y=x?421.）（2）存在，兩個(gè)【解析】223,2（））設(shè)出直線l）解設(shè)存在()，Px,y根據(jù)條件得到()滿足的關(guān)系式x+?(y2=4，是一個(gè)圓，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系得到點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；Px,y2（3）設(shè)出Q與N點(diǎn)坐標(biāo)，表達(dá)出M點(diǎn)坐