2022-2023學(xué)年北京通州區(qū)高三（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

2022北京通州高三（上）期中數(shù)學(xué)2022年11月本試卷共4頁(yè)，共150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回。第一部分（選擇題共40一、選擇題共小題，每小題4分，共分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合A{x|0，（A）（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i(2+i)，其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)=B=?，則AB）C）D）zZ在（A）第一象限B）第二象限）第三象限D(zhuǎn)）第四象限（3）已知a=，b=(x)，若b，則實(shí)數(shù)的值為x（A）4?（）4C）1D）111（4）己知函數(shù)f(x)=?+，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有x21+2xf(?x)+f(x)=0f(?x)?f(x)=0（）（A）（）Bf(?x)+f(x)=?1f(?x)+f(x)=1（D）1（5）已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上恒有f(x)0，對(duì)于1,2(a,b)，則“1x”是“f(x)f(2)”的2（A）充分而不必要條件（）充分必要條件（）必要而不充分條件（D）既不充分也不必要條件（6）已知數(shù)列a}滿足a=1，a=a+1，記b=a，則數(shù)列n}的前n項(xiàng)和為n1n1nn2n1n(n+（A）n2B）(n+2C）D）n(n+2ππ（7）設(shè)函數(shù)（）=x?)+k0)，若f(x≤f()對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則ω的一個(gè)可取值為63（A）4（）5）7D）85?1（8）是無理數(shù)的近似值,被稱為黃金比值.我們把腰與底的長(zhǎng)度比為黃金比值的等腰三角形稱2是頂角為A2的第一個(gè)黃金三角形，是頂角為C的第三個(gè)黃金三角形，是頂角為2的第四個(gè)黃金三角1=是頂角為的第B為黃金三角形如圖，1二個(gè)黃金三角形，形…,那么依次類推，第個(gè)黃金三角形的周長(zhǎng)大約為（A）（）（）（D）A1BC12π（9△ABC中，=，AC邊的中點(diǎn)為D=1BC的最大值為3（A）2（10）已知函數(shù)f(x)范圍是（）3ln(2?xx）23D）4g(x)=g(x)=f(x)?ax+aa有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值設(shè)，若函數(shù)?x+x2(0)(2,+)(0)（）（A）（B）（）D第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共1（）函數(shù)f(x)=ln(x+?的定義域是.x（12PxR,x2+≥1則P的否定是.1z2z=2+aiaR()z=3+i2為純虛數(shù)，那么a=（13）已知復(fù)數(shù)，，如果.1（14）已知矩形ABCD，3，==4．P為矩形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，=1，=26．則=______．（15）過原點(diǎn)作曲線y=ex的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為；切線的斜率為.（16）已知△ABC滿足0.給出下列四個(gè)結(jié)論：①△ABC為銳角三角形；②sinAB；③ABCBCA；+④ABsinAsinB.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（1712已知函數(shù)f(x)2sinxx=?3cos2x.f(x)（Ⅰ）求的最小正周期；π（Ⅱ）求f(x)在]上的最大值和最小值.2（1812π在△A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，（cbca=7，c=5，C=.4（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）設(shè)△的面積為，求的值.SS（1913已知數(shù)列a為公比不為1的等比數(shù)列，數(shù)列n為等差數(shù)列，且a=2，b=1，再?gòu)臈l件①，條n11件②，條件③中任選兩個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）求n，n的通項(xiàng)公式；c=bcn（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和S.nnnn條件①：a+a=6；12條件②：b+a=b；134條件③：b+b+b=a.1232注：如果選擇多種符合要求的條件分別解答，按第一種解答計(jì)分．（2014已知函數(shù)f(x)=x+?1.ax（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)=f處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；s?t（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，s,t，且st0s?t，請(qǐng)判斷與的大小.（只要求寫出結(jié)論）s（2114已知函數(shù)f(x)=exsinx（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；y=g(x)（Ⅱ）設(shè)g(x)f(x)，試判斷曲線=與直線y=2x在區(qū)間(0,π)上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.（2215已知無窮數(shù)列a}，若無窮數(shù)列b}滿足：nN，都有b?a≤1，則稱b}與n}“接近”.nnnnn11n3（Ⅰ）設(shè)a=()n1，b=2()+1，試判斷b}與a}nnnn2（Ⅱ）若數(shù)列a}，b}均為等差數(shù)列，他們的公差分別為d，d.求證：b}與a}nn12nn是“d=d12a}是公差為db}滿足：b}與ab?bb?b，nnnn2132b?b，，201?200中至少有100個(gè)正數(shù)，求d的取值范圍.43（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）題號(hào)（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案CBBACADCDD二、填空題（共6小題，每小題530分）（）(0)（14）0（）xR,x（15）e)；e2+x1（）6（16）②③④說明：（）題兩空前3后2（）題全選對(duì)5分，漏選3分，其他情況0分。三、解答題（共6小題，共80分）（1712解：（Ⅰ）f(x)=sin2x?3cos2xπ=2sin(2x?).…………4分…………6分3所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π.π（Ⅱ）因?yàn)閤[0,]，2ππ2π所以2x?[?,]，于是333ππ當(dāng)2x?=?，即x=0時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值?3；33ππ5π當(dāng)2x?=，即x=時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值2.………………12分3212（1812ac=得，sinAsinC75=，sinAπsin47210所以sinA=.…………4分（Ⅱ）由余弦定理c2=a2+b2?2abC得252=72+b?27b22解得b42，=b=32.因?yàn)閎32=5=c與已知bc矛盾，所以b=42.1所以S=absinC=14.…………分2（法）也可以由sinB=sin(π?(A+C=sin(A+C)4當(dāng)A為銳角時(shí)，sinB=5352當(dāng)A為鈍角時(shí)，sinB==sinC，與已知bc矛盾24所以sinB=51所以S=acsinB=14.2（1913解：選擇條件①，條件②b的公差為nad，（Ⅰ）設(shè)的公比為q，n21因?yàn)閍+a=6，a=2，所以a=4，q==2.1212所以a=n2n.…………4分因?yàn)閎+a=b，所以有2+8=1+d，解得d=3134所以n=n?2.…………8分a=nnbn?2.n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，c=b=32n?2所以.…………分nnancS=31+2+3+從而數(shù)列的前n項(xiàng)和nn2?n)1?2=3?n=62n?2n?6.…………13分選擇條件①，條件③b的公差為nad，（Ⅰ）設(shè)的公比為q，n21因?yàn)閍+a=6，a=2，所以a=4，q==2.1212所以a=n2n.…………4分因?yàn)閎+b+b=a，所以有b+d=4，解得d=3.12321所以n=n?2.…………8分（Ⅱ）解法同上選擇條件②，條件③b的公差為nad，（Ⅰ）設(shè)于是有的公比為q，n+22q2=1+d,=q解得.3+d=6，d=3所以a=n，n=n?2.2…………8分n（Ⅱ）解法同上（20141a=1時(shí)，f(x)=x+?1，f=0.x11=?=，f0.f(x)xx2所以曲線y=f(x)在點(diǎn)f處的切線方程為y=0.……4分（Ⅱ）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+).…………5分1ax?a=?=2f(x).xxx2==令f(x)0，解得xa當(dāng)0時(shí)，有f(x)0，所以函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增.當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在(a,+)上單調(diào)遞增，在a)上單調(diào)遞減.所以0f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+)；a0時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(a,+)間為a).…………10分…………分s?t（Ⅲ）s?t.s（2114f(x)的定義域?yàn)镽.=x+f(x)e(sinxx).…………1分=x(sinxx)0+令f(x)eππ解得2π?x2π+44ππf(x)(2π?,2π+)kZ4所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.………分44（Ⅱ）由（Ⅰ）g(x)=ex(sinx+cosx)，y=g(x)y=2x(0,π)g(x)=2x上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于的根個(gè)數(shù).曲線與直線在區(qū)間…………5分于是有ex(sinx+cosx)=2x.即ex(sinx+cosx)?2x=0設(shè)F(x)=xe(sinx+x)?2x.=x?=2(ex?.xF(x)2ex2設(shè)H(x)=exx?1.π=x?=x+H(x)exsinx)2ecos(x).4xH(x)，H(x)此時(shí)，，變化情況如下：π4ππ4,πx4H(x)+0H(x)極大值πH(0)=0H()H(0)=0H(π)=?eπ?10.于是有，，4由零點(diǎn)存在定理可知H(x)=exx1在?π)存在唯一零點(diǎn)………分.設(shè)H(x)=exx1零點(diǎn)為，則有?xF(x)x(0,π)在上單調(diào)遞減，在x)單調(diào)遞增.00F(0)=1F(0)F(0)=1F(π)=?e?2<0.π因?yàn)?，，F(xiàn)(x)(0,π)所以在上存在唯一零點(diǎn)，y=g(x)y=2x(0,π)即曲線與直線在區(qū)間上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.………14分（2215b}與a}“接近”nn1231因?yàn)?2()n≤0()n1≤1，，3212()n23=()n1又因?yàn)樗杂?3()n121112()n?()n1032112()?()n1+1≤1n所以32所以b}與a}“接近”.…………4分nn（Ⅱ）假設(shè)1d2,不妨設(shè)dd，12則nn(nd1)?=??+b?112令，(n?d?d)+b?a=121111+1?bd2?11n=+1.則1+1?bd2?11+10=b?a=(n?d?d)+b?a1時(shí)，令N0，當(dāng)nN時(shí)有.nn2111當(dāng)此時(shí)b}與a}不“接近”.nn1+1?bd2?111+a?b+10N=+1b?a=(n?d?d)+b?a1，當(dāng)nN時(shí)有nn2111當(dāng)時(shí)，令11d2?1此時(shí)b}與a}不“接近”.nn同理得1d2時(shí)，與不“接近”.b}a}nn綜上1d2，b}a}與不“接近”nn與b}與a}“接近”矛盾，nn所以有1d2=所以“d=d”是“b}與a}…………………9分12nn（Ⅲ）因?yàn)閚}是公差為d的等差數(shù)列，所以a=a+(n?d.n1若存在數(shù)列b}滿足：b}與a}nnnb?a1.則nN，都有nn?-1≤nn≤1.即即n-1≤≤+.bn1n則nn1?≤+2?nn1即nn1?2+d當(dāng)d≤?時(shí)，nN2，都有nn1?≤+≤2d0與21，?b?b，b?b，，b201?200中至少有100個(gè)正數(shù)矛盾.32431n2當(dāng)d0時(shí)，可取=b