
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文檔簡介
2024-2025學年湖南省邵陽市高二上學期入學考試數學檢測試題
第一部分(選擇題共58分)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項
是符合題目要求的.
1.復數z=9的實部和虛部分別是()
2+i
1515.
A.1,1B.1,iC.,—D.—,一i
3333
2.已知向量5=(2,2),6=(2,-4),2eR,若方,,+3),貝!U=()
A.-1B.0C.1D.2
3.如圖所示,梯形是平面圖形45CD用斜二測畫法得到的直觀圖,
A'D'=2B'C=2,48'=1,則平面圖形的面積為()
R'/C
A.2B.272C.3D.372
4.已知向量5=(1,1),3=(—2,1),則5在B方向上的投影數量為()
1
A.B.——
55
5.將函數y=sin2x+1的圖象向右平移A個單位長度,所得圖象對應的函數()
371
A.在區(qū)間一,——上單調遞增B.在區(qū)間—,7T上單調遞減
444
5兀3兀
C.在區(qū)間上單調遞增D.在區(qū)間——,2兀上單調遞減
2
6.已知/(x)=2sin"+£(0〉0),若方程=l在區(qū)間(0,2兀)上恰有3個實根,
則0的取值范圍是()
155,4,4
A.—<ft)<—B.—<ft)<1C.\<G)<—D.1<ft)<—
26633
7.《九章算術》是我國古代的數學專著,是“算經十書”(漢唐之間出現的十部古算書)中非常
重要的一部.在《九章算術》中,將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.已知“塹
堵"4BC-481G的所有頂點都在球。的球面上,且48=/C=L若球。的表面積為4兀,
則這個三棱柱的表面積是()
A.2+2&B.2V2C.3+2后D.3+273
8.已知/(x)是定義域為R的奇函數,且/(x—2)是偶函數,當0<x?2時,/(X)=X2-4X,
則當6<x<8時,/(x)的解析式為()
A./(x)=-x?-4xB./(x)=x?-16x+60
C./(x)=x2-12x+32D.f(x)=-x2+12x-32
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題
目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.同時拋出兩枚質地均勻的骰子甲、乙,記事件/:甲骰子點數為奇數,事件8:乙骰子點
數為偶數,事件C:甲、乙骰子點數相同.下列說法正確的有()
A.事件/與事件8對立B.事件Z與事件8相互獨立
C.事件Z與事件。相互獨立D.P(C)=P(AB)
7T
10.在△48C中,角48,C的對邊分別為見4c,a=3,A=-,。為4/臺。的外心,則
()
A.若A/BC有兩個解,貝|3<c<2百
B.次?元的取值范圍為[-3百,3百]
C.詼?數的最大值為9
D.若8,C為平面上的定點,則Z點的軌跡長度為|百兀
★II.為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形45。的直角邊/C所在直線與
a,b都垂直,
斜邊28以直線/C為旋轉軸旋轉,有下列結論正確的有()
A.當直線48與。成60°角時,Z8與6成30°角;
B.當直線48與a成60°角時,48與6成60°角;
C.直線48與。所成角的最小值為45。;
D.直線48與。所成角的最大值為60。.
第二部分(非選擇題共92分)
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
*12.如圖,在同一個平面內,向量方,礪,玩的模分別為1,1,V2,況與近的夾角
為a,且tana=7,礪與云的夾角為45°.若云=加刀+〃礪(加,R),貝U
m+n=
*13.己知直四棱柱/BCD—4片。12的棱長均為2,NBAD=60°.以Q為球心,石為半
徑的球面與側面3。。1名的交線長為.
14.已知函數/(x)=<2*+1(X,°),若函數g(x)=/(/(x)-加)一2,當g(x)恰
2x2+4x+2(x<0)
有3個零點時,求加的取值范圍為.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚.
15.(本小題滿分13分)某地區(qū)對初中500名學生某次數學成績進行分析,將得分分成8組
(滿分150分):[65,75),[75,85),[85,95),[95,105),[105,115),[115,125),[125,135),
[135,145),整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求第七組的頻率;
(2)用樣本數據估計該地的500名學生這次考試成績的平均分(同一組中的數據用該組區(qū)間
的中點值作代表);
(3)現從500名學生中利用分層抽樣的方法從[95,105),[105,115)的兩組中抽取5個人進
一步做調查問卷,再從這5個人中隨機抽取兩人,求抽取到的兩人不在同一組的概率.
★16.(本題滿分15分)如圖,已知多面體均垂直于平面45C,
ZABC=120°,2/=4,“=1,AB=BC=B[B=2.
(1)證明:481,平面44G;
(2)求直線ZG與平面4881所成角的正弦值.
★17.(本題滿分15分)記△48C是內角4瓦。的對邊分別為a,Z?,c.已知點。
在邊/C上,BDsinZABC=asinC.
(1)證明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cosZASC.
*18.(本題滿分17分)如圖,四棱錐P-48CD中,為矩形,平面尸2。,平面
(1)求證:ABLPD;
(2)若N8PC=90°,PB=O,PC=2,問Z8為何值時,四棱錐P—/BCD的體積最
大?并求此時平面尸BC與平面QPC夾角的余弦值.
19.(17分)在平面直角坐標系中,。為坐標原點,對任意兩個向量應=(再,乃),z?=(x2,y2).
作:OM^m,而=方當成方不共線時,記以0M,ON為鄰邊的平行四邊形的面積為
5(7n,?)=|x1y2-x2yl\;當慶,為共線時,規(guī)定S(流萬)=0.
(1)分別根據下列已知條件求S(應,》);
①應=(2,1),萬=(—1,2);②應=(1,2),萬=(2,4);
(2)若向量/=X成+〃萬(尢〃e艮22+〃2w0),求證:
S(力,砌+S(萬㈤=(囚+|⑷S(處方)
(3)記次=5,OB=b,OC=c,且滿足3=而+防,同=忖=同=1,求
S?可+s[,可的最大值.
高二上學期入學考試數學答案
第一部分(選擇題共58分)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項
是符合題目要求的.
12345678
ABCDABCD
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題
目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
91011
BCABDBC
11.由題意,48是以ZC為軸,為底面半徑的圓錐的母線,由又
圓錐底面,在底面內可以過點8,作5?!ā?,交底面圓。于點如圖所示,連結£>£,則
〃〃連結4D,等腰AZBD中,AB=AD=也,當直線48與。成60°角
時,ZABD=60°,故BD=亞,又在中,BE=2,DE=41,過點8作
BF//DE,交圓。于點口,連結4F,由圓的對稱性可知AF=£>£=J5,.?.△48/為等
邊三角形,.,.228尸=60°,即Z8與b成60°角,B正確,A錯誤.由最小角定理可知C正
確;
很明顯,可以滿足平面45。,直線a,直線48與。所成的最大角為90°,D錯誤.正確的
說法為BC.
第二部分(非選擇題共92分)
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
214.
12.313.(1,3]U{4}(1〈加K3或加=4也對)
2
13.【正確答案】71.
2
解析:如圖:取8]G的中點為E,A8i的中點為ECG的中點為G,因為NA4D=60°,直
四棱柱4BCD-481GA的棱長均為2,所以△ABC]為等邊三角形,所以口£=6,
D1E±B£,
又四棱柱ABCD-481GA為直四棱柱,所以AB1,平面ABGDi,所以8片,B£,
因為881nB?=B「所以£>|E,側面B£CB,
設尸為側面用C]C8與球面的交線上的點,則AELEP,
因為球的半徑為JLD[E=6,所以|£P|=JR邛=5與=血,
所以側面及GC8與球面的交線上的點到£的距離為夜,
因為忸制=|EG|=V2,所以側面用GC8與球面的交線是扇形ENG的弧死,
7T7T
因為N4EE=NC]EG=—,所以NEEG=—,所以根據弧長公式可得
42
茁/x亞=克兀.
22
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(本小題滿分13分)
【解】(1)由頻率分布直方圖得第七組的頻率為:
1-(0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004)xl0=0.080;
(2)用樣本數據估計該地500名學生這次考試成績的平均分為:
70x0.004x10+80x0.012x10+90x0.016x10+100x0.030x10+110x0.020x10+
120x0.006x10+130x0.008x10+140x0.004x10=102.
(3)由頻率分步直方圖可知[95,105)的頻數為500x0.030x10=150,[105,115)的頻數為
500x0.020x10=100,所以兩組人數比值為3:2,
按照分層抽樣抽取5人,則在[95,105),[105,115)分別抽取3人和2人,
記[95,105)這組三人的編號為4民。,口05,115)這組兩人的編號為a,6,
故從5人隨機抽取2名,共10種情況,為:(45),(4C),(C,B),(A,a),(A,b),(B,a),
(C,a),(C,Z)),(a,b)
設事件M="從5個人中隨機抽取兩人,抽取到的兩人不在同一組”
則屈={(44),(4。(8,4),(3/),(。,4),(。/)},共6種情況.故P(M)=[=|,
3
即從這5個人中隨機抽取兩人,則抽取到的兩人不在同一組的概率為一.
5
16.【正確答案】(1)詳見解析;(2)—.
13
方法一:(常規(guī)做法)
(1)由28=2,Z4=4,BB、=2,AAX±AB,BB]±AB,得/耳=44=2后,
所以A[B:+AB;=AA^,故AB}±AlBl.
由5C=2,BBX=2,Cq=1,BBy±BC,CCA±BC,得4G=V?,
由Z8=5C=2,NA8C=120°4G=技,得2。=26,
由CCjLZC,得/。1=拒,所以/8;+4C;=zc;,故力片,4G.
又因為4片山1。1=片,8IGu平面4耳。1,所以48],平面481G.
(2)如圖,過點G作G2,4名,交直線4A于點。,連結.
由幺鳥,平面4月。1,qou平面4用。1,可得又
481n4及=及,
所以平面4881,所以NC/。就是/G與平面ZBB]所成的角.
由4G=7?,44=20,4G=收得:
8+21-5V61
cos/G44二/.sinZQ4A
2/44cl2X2A/2XV21V7萬
CDV39
所以G°=4GsinNG4A=V3故{
sin/G4D=為一13
因此,直線ZC]與平面4aBi所成的角的正弦值是叵.
方法二:(建系向量法)
(1)如圖,以ZC的中點。為原點,分別以射線08,0C為x,y軸的正半軸,建立空間直角
坐標系0—型.由題意知各點坐標如下:2(0,-百,0),5(1,0,0),4(0,—省,4),
4(1,0,2),q(o,V3,i)
因此葩=(1,行,2),4^=(1,A-2),淚=(0,2百3),由彳瓦?麗=0,得
AB[±AXBX.
由彳瓦?布=0,得又因為44n4G=4,所以,平面44cl.
(2)設直線zq與平面ZASi所成的角為必
由(1)可知有=(0,2百,1),A8=(l,V3,o),西=(0,0,2),設平面4B5]的法向量
n=(x,y,z),
〃,4B—0x+x/3v=0//-\
由4,即,可取萬=-行」,0,所以
n-BBt=02z=0''
因此,直線ZC]與平面4aBi所成的角的正弦值是叵.
asinCb
17.解析:(1)由題設,BD—由正弦定理知:-----即
sinZABCsinCsinN/BC
sinC
:.BD=—,又白=ac,.?.BD=6得證.
sinZABCbb
。人入
(2)由題意知:BD=b,AD=—,DC=~,
33
,4b2213/2,2b210b2-a2
b2H------c--------cbH-----a2
cosZADB=-----------=――-——,同理cosZCDB=--------------9
2b?”也2b2lb2
333亍
13Z?22210"
9Ca(P,11b2,
Y/ADB=TI—NCDB,—=-----整理得2/+027又=ac,
4b22b23
亍亍
.?.2/+±=獨,整理得6。4_11。2/+3/?4=(),解得或《=3,
a23b23b22
由余弦定理知;cosZABC=------------=---------
lac32b2
a217a237
當二=—時,cos/48C=—〉1不合題意;當^=—時,cos/45C=—;
b236b2212
7
綜上,cosZABC=—.
12
18.解析:(1)證明:/BCD為矩形,故
又平面PAD±平面ABCD
平面PADA平面ABCD=AD
所以45,平面尸40,因為PQu平面P40,故48,尸£).
(2)解:過尸作/£)的垂線,垂足為。,過。作的垂線,垂足為G,連接PG.
故平面/BCD,平面POG,BCA.PG
在直角三角形APC中,PG=—,GC=2?,BG=—,
333
設45=加,則r>P=JPG2_0G?=J3—加2,,故四棱錐p—4gCD的體積為
V=j-V6-m-jg—掰2=gV8-6m2.
因為鬲8-6ni2=J_61加2一g1+:
故當掰=J時,即48=J時,四棱錐的體積P—/BCD最大.
33
0(0,0,0),cj*,平、
建立如圖所示的空間直角坐標系,,0
7
心半小0,V62^/6布、
故Pc=5C=(0,V6,0),
CD=—[,0,0
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