2025年高考文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：立體幾何-單元檢測（八）【含答案】

單元檢測（八）立體幾何

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的）

1.設(shè)a,/是兩個不同的平面，則a，/的充要條件是（）

A.平面a內(nèi)任意一條直線與平面￡垂直

B.平面a,夕都垂直于同一條直線

C.平面a,乃都垂直于同一平面

D.平面a內(nèi)存在一條直線與平面￡垂直

2.經(jīng)過一個圓柱體上底面圓的一條直徑作兩個平面分別與下底面圓相切，則圓柱體在

這兩個平面以下的部分就構(gòu)成一個正劈錐體（如圖），現(xiàn)將此幾何體水平放置，從如圖所示的

方向觀察該幾何體（正視方向所在的直線平行于所作兩個平面的交線），則其正視圖、側(cè)視圖、

俯視圖的形狀分別為（）

A.梯形、長方形、圓

B.三角形、長方形、圓

C.梯形、梯形、圓

D.三角形、梯形、圓

3.設(shè)/、“2、w表示不同的直線，a、或、y表示不同的平面，給出下列四個命題:

①若m〃/,且則/J_a；

②若aJ_￡,m//a,〃_!_￡,則，w_L〃；

③若/〃a,且相〃a,則/〃wz；

④若機(jī)_L〃，n//P，則a_L￡.

則正確的命題個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

4.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱的長度為（）

俯視圖

A.2y/2B.3C.忻D.2小

5.在正方體ABCO-AiBCQi中，下列說法中正確的是（）

D,

G

A.AC與BiC是相交直線且垂直

B.AC與小。是異面直線且垂直

C.BDi與BC是相交直線且垂直

6.如圖，正方體428—42〈1。中，點(diǎn)￡,歹分別是AB,AQi的中點(diǎn)，。為正方形

AI1CD1的中心,則（）

A.直線ERAO是異面直線

B.直線EF,8B1是相交直線

C.直線EP與8G所成的角為30。_

D.直線EF,881所成角的余弦值為當(dāng)

7.如圖①，已知是直角梯形，AB//PC,AB1BC,。在線段PC上，AD±PC.

如圖②，將沿AQ折起，使平面也。，平面ABC。，連接尸8,PC,設(shè)尸8的中點(diǎn)為

N.對于圖②，下列選項錯誤的是（）

A.平面BW_L平面PBC

B.8C_L平面PZJC

C.PD±AC

D.PB=2AN

8.在矩形A8CZ）中，BC=4,M為BC的中點(diǎn)，將和△ZJCM分別沿AM,DM

翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合于點(diǎn)P,若乙4尸。=150。，則三棱錐M-PAD的外接球的表面積

為（）

A.12兀B.34兀C.68兀D.126兀

9.劉徽《九章算術(shù)注》記載：“邪解立方有兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉

腌，陽馬居二，鱉席居一，不易之率也”.意思是：把一長方體沿對角面一分為二，這相同

的兩塊叫做塹堵，沿塹堵的一頂點(diǎn)與其相對的棱剖開成兩塊，大的叫陽馬，小的叫鱉腌，兩

者體積之比為定值2：1,這一結(jié)論今稱劉徽原理.如圖是一個陽馬的三視圖，則其外接球

的體積為（）

1

主視圖左視圖

俯視圖

A.4nB.3it

C.y[3nD.卓n

10.已知直三棱柱ABC—4SG中，ZABC=120°,AB=2,BC=CG=1,則異面直

線ABi與BCi所成的角的正弦值為（）

A.坐B.華

C.華D.9

11.如圖，在四邊形ABCZ）中，AB=BC=2,NABC=90。，DA=DC=,,現(xiàn)沿對角

線AC折起，使得平面D4CL平面ABC,此時點(diǎn)A,B,C,。在同一個球面上，則該球的

體積是（）

A，2兀B.3兀

27

C,~2TiD.1271

12.在三棱錐產(chǎn)一ABC中，平面尸BC_L平面A3C,ZACB=90°,BC=PC=2.^AC=

PB,則三棱錐尸一ABC體積的最大值為（）

A隹B量

i\.?3u?9

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上）

13.如圖，正八面體的棱長為2,則該正八面體的體積為.

14.如圖，四棱臺AiSGDi—ABCD的底面是正方形，Z）Oi_L底面ABC。，DDi=AB=

2AiBi,則直線ADi與BQ所成角的余弦值為.

15.三棱錐P—ABC中，B4_L底面A8C,9=3,在底面ABC中，AB=2,ZC=60°,

則三棱錐P-ABC的外接球的體積等于.

16.將正方形A8C。沿對角線8。折成直二面角，給出下列四個結(jié)論：①AB,C。所成

的角為60。；②△AZ5C為等邊三角形；③ACL3。；④與平面BCD所成角60。.其中真命

題是.（請將你認(rèn)為是真命題的序號都填上）

三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）

如圖，在四棱錐尸一ABCD中，底面ABC。為正方形，且B4,底面ABCD

（1）求證：平面融C_L平面P8。；

（2）若E為棱BC的中點(diǎn)，在棱出上求一點(diǎn)「使8歹〃平面PZJE

18.（本小題滿分12分）

如圖，四邊形A8EE為正方形，AD//BC,AD±DC,AD=2DC=2BC,

⑴求證：點(diǎn)。不在平面CEP內(nèi)：

（2）若平面ABC。1.平面ABEF,且AD=2,求點(diǎn)D到平面CEF的距離.

19.(本小題滿分12分)

______JT

如圖，圓臺。1。的上底面半徑為1,下底面半徑為2,/OBBi=^,441,231為圓臺

的母線，平面A410。，平面M為281的中點(diǎn)，尸為AM上的任意一點(diǎn).

(1)證明：BBi±OP；

(2)當(dāng)點(diǎn)P為線段AM的中點(diǎn)時，求三棱錐Bi-OPB的體積.

20.(本小題滿分12分)

7T

如圖，已知三棱柱ABC—AbBCi的所有棱長均為2,ZB,BA=3.

⑴證明:平面ABCi；

⑵若平面平面ABC,M為4G的中點(diǎn)，求四棱錐BLACGM的體積.

21.(本小題滿分12分)

圖①是矩形ABC。，AB=2,BC=1,M為CD的中點(diǎn)，將△AM。沿AM翻折，得到四

棱錐。一ABCM,如圖②.

(1)若點(diǎn)N為的中點(diǎn)，求證：CN〃平面D4M；

(2)若AD±BM,求點(diǎn)A到平面BCD的距離.

22.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐尸一A3C。中，底面ABCD為正方形，必，底面ABC。，PA=AB,E為

線段尸8的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動點(diǎn).

(1)平面AE尸與平面PBC是否互相垂直？如果垂直，請證明；如果不垂直，請說明理由.

(2)若A8=3,尸為線段BC的三等分點(diǎn)，求多面體的體積.

參考答案與解析

1.答案：D

解析：若a_L夕，則平面a內(nèi)存在直線與平面P不垂直，選項A不正確；若平面a,B

都垂直于同一條直線，則平面a與￡平行，選項B不正確；若平面a,￡都垂直于同一平面，

則平面a,￡可以平行，也可以相交，選項C不正確；若平面a內(nèi)存在一條直線與平面￡垂

直，則根據(jù)面面垂直的判定定理，可知若則由面面垂直的性質(zhì)定理知，平面

a內(nèi)垂直于兩個平面的交線的直線一定垂直于平面￡,故選項D正確.

2.

正視方向

答案：B

解析：由題意知，正劈錐體的模型如圖所示，按照題圖的視角觀察，其正視圖的形狀為

三角形，側(cè)視圖的形狀為長方形，俯視圖的形狀為圓.

3.答案：D

解析：①根據(jù)“垂直于同一平面的兩條直線互相平行”知，若m〃l,且加，a,則/La

正確；故①正確，

②若a_L￡,m//a,則機(jī)J_w錯誤，當(dāng)機(jī)〃w時，也滿足前面條件；故②錯誤，

③若/〃a,且機(jī)〃a,貝1/〃機(jī)不一定正確，有可能相交，也有可能異面；故③錯誤，

④若"z_L”,n//P，則a_LQ不一定成立，有可能平行.故④錯誤，

故正確的個數(shù)為1.

4.答案：B

解析：在棱長為2的正方體中，根據(jù)三視圖，截取四棱錐尸一ABC。如圖所示.

根據(jù)三視圖可得，AB=\,PD=2,AD=2.

根據(jù)立體圖形可知，最長邊為尸區(qū)

連接在RtaADB中，根據(jù)勾股定理得

DB2=AD2+AB2=22+12=5,

在RtAPDB中，根據(jù)勾股定理得PB2=PD2+DB2=4+5=9,

所以尸8=3.

故該幾何體的最長棱的長度為3.

5.答案：D

解析：

連接ABi,則△ABiC為等邊三角形，則AC與SC是相交直線且所成角為60。，故A錯

誤；

因為4￡>〃BiC,所以AC與4。是異面直線且所成角為60。，故B錯誤；

連接CA,因為BCJ_平面。AG,所以BCUCA,所以應(yīng)與8C所成角為銳角，

故C錯誤；

連接BQ1,因為AC_LB。，AC±DDi,且8。門。。1=。，所以ACJ_平面8￡)。囪，

則AC_LB￡)i,則AC與BDi是異面直線且垂直，故D正確.

6.答案：C

解析：易知四邊形AEOF為平行四邊形，所以直線EF,AO相交，直線EF,BBi是異

面直線，直線EF,281所成角的余弦值為坐，選項C正確.

7.答案：A

解析：由A8〃PC,AB±BC,ADI.PC,

得AO〃BC.

'：AD±PD,AD±DC,PDCDC=D,；.4￡>_1平面尸。C.

AAD//BC,；.BC_L平面尸DC,；.B正確.

:平面平面ABC。，平面力。。平面48Cr>=A。，PD±AD,ABLAD,：.PD±

平面ABC。，平面出。.：ACu平面ABCD,：.PD±AC,；.C正確.

由AB_L平面E4D,得A2_L%,...△B43是直角三角形.又PB的中點(diǎn)為N,：.PB=2AN,

AD正確.

8.答案：C

解析：由題意可知，MPLPA,MPLPD.

且B4npD=P,B4u平面P4D,POu平面E4。，所以MP_L平面RID

設(shè)△AZ)尸的外接圓的半徑為「，則由正弦定理可得.藝pc=2丫,

sinNAPD

4

即而1而="、所以〃=4.

設(shè)三棱錐M—的外接球的半徑為R,貝!!(2R)2=尸河2+⑵)2,

即(2R)2=4+64=68,所以爐=17,

所以外接球的表面積為4兀7?2=68兀

9.答案：D

p

解析：根據(jù)幾何體的三視圖知，該“陽馬”是底面對角線長為也的正方形，一條長為

1的側(cè)棱與底面垂直的四棱錐，將該四棱錐補(bǔ)成長方體，長方體的外接球與四棱錐的外接球

相同，球直徑等于長方體的對角線長，即2R=7(陋)2+1=小，R丹,

球體積為V=17tT?3=7i.

答案:C

解析：如圖，將題中的直三棱柱補(bǔ)形成一個直四棱柱ABC。一AiSCiOi,連接AA,易

知所以是直線與8Q所成的角或者其補(bǔ)角.連接囪。，在△AQd

中，&修=、22+12=小,AOI=^12+12=陋,BiD1=^/22+12-2X2X1XCOS60°二小,

ADi+BiDj=5=ABi,ADllBiDl,sinZB}AD[=^^=華.因此，異面直線ABi

與8cl所成的角的正弦值為華，故選C.

11.答案：A

解析：如圖，取AC的中點(diǎn)E,連接QE,BE,

因為AO=CD,所以。E_LAC,

因為平面ZMC_L平面ABC,平面D4CC1平面ABC^AC,OEu平面DAC,

所以O(shè)E_L平面ABC,

因為NABC=90。，所以棱錐外接球的球心O在直線OE上，

因為A8=8C=2,ZABC=90°,DA=DC=y/6,

所以BE=AE=CE=JAC=W,DE=yjAD2-AE2=2,

設(shè)OE=x,則00=2—x,OB=yjBEP+OE2=迎+2,

所以2—x=、f+2,解得x=T,

13

所以外接球的半徑為r=2-x=2-1=|,

外接球的體積為V=^y-=yx(|)3=y.

12.答案：D

解析：如圖，取尸3中點(diǎn)M,連接CM.

?.?平面尸8CJ_平面ABC,平面P8CC平面ABC=BC,ACu平面ABC,ACLBC,：.AC±

平面PBC.

設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離h—AC—lx.

,:PC=BC=2,PB^Ix(0<x<2),M為PB的中點(diǎn),

：.CM±PB,4T,

SAPBC~2X2xXy/4—W=r\/4—x2.

i____2x2>\/4—x2

VA-PBC=^X(x^—x2)X2x=-------

設(shè)片也一X2(0<Z<2),則/=4一戶.

2t(4一產(chǎn))Sf-2/3

=(0</<2).

VA-PBC3

,8,一2戶8—6Z2

對y=?0</<2求導(dǎo)，何g，

???函數(shù)在1o,明上單調(diào)遞增，在然，2)

上單調(diào)遞減.

當(dāng)，=平時，(M—PBC)max=若小.

13.答案：平

解析：正八面體可看成由上、下兩個相同的正四棱錐組成的，由棱長為2,可得每個正

四棱錐的斜高為、22—1=小，高為產(chǎn)工=^2,則該正八面體的體積為2義2；—X2

8啦

―3'

14?分安.■3

解析：設(shè)的中點(diǎn)為E,連接即1,則易知BE//CiDi,BE=GP,四邊形EBCD

是平行四邊形，???8G〃EDi,，NADiE為直線AA與BCi所成的角.：四邊形ABC。是正

方形，.?.8A_LAD,底面A8CZ),又A￡)nQd=D,平面AAi。。，

：.BA±ADi,△AEDi是直角三角形.設(shè)O￡>i=A8=248i=2a,貝!I他川心+宙=

N(2a)2+(2a)1=2吸a,EDi—yjAD^+AE2—yj(2-\/2a)2+cz2—3a,.'.cosNADiE

ADi2^2

=EA=3,

達(dá)建安43后

15.口木：54兀

解析：設(shè)G為△ABC外接圓圓心，。為三棱錐尸一ABC外接球球心，

則OG_L平面ABC,作OMLPA,垂足為M

由正弦定理可知△ABC外接圓直徑:

AB24^j

2r=2AG=

sinZBCA.?！?

sin3

:以！.平面ABC,OG_L平面ABC,J.AP//OG

又0M_LB4,AGLPA,：.OM//AG

四邊形0MAG為矩形，；.OG^AM

設(shè)OG=x,OP=OA=R

卜+'=/?2卜=1

在Rt^OMP和RtZ\0G4中，由勾股定理可得:，，，解得：《,一

I-會[“曙

三棱錐P—A8C外接球體積：V=|n7?3=43^29兀

16.答案：①②③

解析：在①中：：將正方形ABCO沿對角線8。折成直二面角，得到四面體A—BCD,

設(shè)AB=BC=C￡)=A￡)=2,

取3。中點(diǎn)。，AC中點(diǎn)E,BC中點(diǎn)尸，連結(jié)A。，CO,OF,OE,EF,

貝1OA=OC=g,且。A_LOC,：.OE=^AC=1,

由三角形中位線定理得。尸=；CD=1,AB^l,且。尸〃CD,EF//AB,

：.ZEFO^AB,CD所成的角，

：.0F=EF=0E=l,.?.△EPO是等邊三角形，ZEFO^60°,

.".AB,CO所成的角為60。，故①正確；

在②中：VOA=OC=V2,且。A_LOC,：.AC=yj2+2=2,

：.AC=CD=AD=2,

.?.△ADC為等邊三角形，故②正確；

在③中：'：AB=BC=CD=AD,。是中點(diǎn)，

：.A0±BD,CO±BD,又AOnCO=O,.?.3。_1面40。，

VACcWAOC,：.AC±BD,故③正確；

在④中：：4一8。一C是直二面角，AO1BD,

平面BDC,：.ZABO是AB與平面BCD所成角，

'."AO^BO,：,ZAB(9=45°,

.二AB與平面BCD所成角為45。，故④錯誤.

17.解析：(1)證明：因為出_L底面ABC。，BDc.^ABCD,所以B4_L8D；又底面

ABC。為正方形，所以8Z)_LAC,ACDPA=A,所以8O_L平面出C,又8￡)u平面尸80,所

以平面B4C_L平面得證.

(2)如圖所示，取出的中點(diǎn)。，PD的中點(diǎn)H,連接8。、QH.HE,

所以會有Q8〃A。，AD,又2E〃A￡),BE=3AD,

所以QH〃BE且QH=BE,

所以四邊形BQHE為平行四邊形，

所以BQ〃EH,BQQ面PDE,EHu面PDE,

所以2?！ㄆ矫鍼OE,

所以。點(diǎn)，即為我們要找的尸點(diǎn).

18.解析：

(1)證明：(反證法)假設(shè)點(diǎn)。在平面CEB內(nèi).

設(shè)C,D,E,尸四點(diǎn)確定的平面為a.因為四邊形為正方形，所以EF〃AB.因為平

面ABC。與平面A8EF不重合，所以E/過平面ABCD,又ABu平面ABCZ),所以EF〃平面

A8CD因為EFu平面a,平面aCl平面48CD=C￡),所以E尸〃CD；所以4B〃CDAB,CD

為直角梯形ABC。的兩腰，不可能平行，故假設(shè)不成立.點(diǎn)D不在平面CEP內(nèi).

(2)取A。中點(diǎn)H,連接HEHC,由AO=2BC,所以AH=8C,且A//〃BC,所以

AHCB為平行四邊形，：.HC//AB且HC=AB,

'：AB//EF,且AB=EF,/.C,H,E,尸共面，

SACHD=3X1X1=2'型=/，F(xiàn)H=y[3,CH=^2,CF=y)FA2+CA2=市，

222

FH+CH-CF1

所以cosZCHF=

2FHCHy[6'

:.SACHF=WFH-CHsinZ.CHF=~^.由VD-CHF=VF-CH。得;IISACHF—^E\-SACHDF

故D到平面CEF的距離是邛

解析：（1）證明：取OB中點(diǎn)N,連接NS,OBi,OM,

因為圓臺。1。的下底面半徑為2,上底面半徑為1,ON=NB=1,

IT

所以B1NL03,又因為NOBS=§,所以△OBI為正三角形，

于是213=20=021=2.

因為M為囪8中點(diǎn)，所以SB_LOM,

因為平面AAQiO_L平面8B1。。，OrO±OA,

所以AO_L平面22101。，平面B6010,

所以O(shè)ALBBi,

又因為OACOM=O,所以88」平面OAM,又因為OPu平面040,

所以BB」OP.

（2）連接PB,當(dāng)點(diǎn)P為線段AM的中點(diǎn)時，△0881的面積為:X2X2又當(dāng)=小.VBi

-OPB=VP~OBBi=^VA~OBBi=^x|XS/\OBBiXAO=^,

A/3

三棱錐8I—OPB的體積為為-.

20.解析：（1）證明：如圖，取AB中點(diǎn)。，連接8。，CD.

KM

:三棱柱的所有棱長均為2,ZBiBA^j,

.?.△ABC和△ABBi都是邊長為2的等邊三角形，且BiC_LBCi,

：.BiD±AB,CD±AB.

,：BiD,CDu平面BCD,BlDHCD=D,

.?.AB_L平面BiCDYBCu平面B{CD,：.AB±BiC.

,：AB,BGu平面ABCi,ABCiBCi^B,/.BIC±￥?ABCi.

（2）,平面A82iAi_L平面ABC,且兩平面的交線為A3,

由（1）BiD±AB,，以。！,平面ABC

方法一VBi-ACCiM=3VBi-AAiM=3W1—AXB{M=3XgS/\AXBYMBXD=1

i3

XIX小Xy[3=1.

方法二VBi-ACCxM=VABC-AxBiCi—VBi-ABC-VA-AxBxM=VABC-AyBxCx一

33111

2VBr-ABC=VABC-AiBiCi-X-VA8C—481G=5儂3C—431cl=5SAABCBD=

；X坐X22XA/3.

21.解析：（1）證明：如圖，取AO中點(diǎn)尸，連接MP,NP.

D

由N,尸分別為BD,AD的中點(diǎn)，得NP//AB且NP=^AB.

又且A/C=3A3,所以MC〃NP且MC=NP,所以四邊形MCNP為平行四邊

形.

所以CN//MP且CNC平面DAM,MPu平面DAM,所以CN〃平面DAM.

(2)如圖，由，BM=p,AB=2,可得

所以

又ADP\AM^A,所以BM_L平面A￡)胚

又平面ABCM,

所以平面ADM1.平面ABCM.

取AA/的中點(diǎn)E,連接DE.

因為AO=Z)M=1,AD±DM,所以。E_LAM,。石=號.又平面AOMCl平面ABCM=

AM,所以。E_L平面ABCM.

1y[2

所以VA-DBC=VD~ABC=2SAABC，DE=.

3

取BC的中點(diǎn)凡連接EB,DF,則所=],EFLBC.

因為。E_L平面A