2025屆上海市黃浦區(qū)格致中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆上海市黃浦區(qū)格致中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知直線：，：，：，若且，則的值為A. B.10C. D.22．如圖所示，在中，．若，，則（）A. B.C. D.3．將化為弧度為A. B.C. D.4．已知點(diǎn)，，，且滿足，若點(diǎn)在軸上，則等于A. B.C. D.5．定義域?yàn)镽的函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則=A.0 B.C. D.16．已知函數(shù)（其中）的圖象如下圖所示，則的圖象是（）A. B.C. D.7．函數(shù)的圖象大致是A. B.C. D.8．函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)同時(shí)擴(kuò)大為原來的3倍，再將圖象向右平移3個(gè)單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式為A. B.C. D.9．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A.圖象的一條對稱軸為 B.在上單調(diào)遞增C.在上的最大值為1 D.的一個(gè)零點(diǎn)為10．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，則AB中元素的個(gè)數(shù)為A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若sinθ=，求的值_______12．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,圓,點(diǎn),點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn),線段的垂直平分線交線段于點(diǎn),設(shè)分別為點(diǎn)的橫坐標(biāo),定義函數(shù),給出下列結(jié)論:①;②是偶函數(shù);③在定義域上是增函數(shù);④圖象的兩個(gè)端點(diǎn)關(guān)于圓心對稱;⑤動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和是定值.其中正確的是__________13．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為______.14．已知正四棱錐的底面邊長為4cm，高與斜高的夾角為，則該正四棱錐的側(cè)面積等于________cm215．已知扇形的圓心角為120°，半徑為3，則扇形的面積是________.16．若點(diǎn)P（1，﹣1）在圓x2+y2+x+y+k＝0（k∈R）外，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)的值；（2）若方程在上的解為，，求的值18．某單位安裝1個(gè)自動(dòng)污水凈化設(shè)備，安裝這種凈水設(shè)備的成本費(fèi)（單位：萬元）與管線、主體裝置的占地面積x（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.1，為了保證正常用水，安裝后采用凈水裝置凈水和自來水公司供水互補(bǔ)的用水模式．假設(shè)在此模式下，安裝后該單位每年向自來水公司繳納水費(fèi)為，記y為該單位安裝這種凈水設(shè)備費(fèi)用與安裝設(shè)備后每年向自來水公司繳水費(fèi)之和（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）求x為多少時(shí)，y有最小值，并求出y的最小值19．已知函數(shù)（且），在上的最大值為.（1）求的值；（2）當(dāng)函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)時(shí)，令，判斷函數(shù)的奇偶性，并證明，并求出的值域.20．已知點(diǎn)，圓.（1）求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程；（2）若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且弦的長為，求實(shí)數(shù)的值.21．已知直線l：與x軸交于A點(diǎn)，動(dòng)圓M與直線l相切，并且和圓O：相外切求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程若過原點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，問是否存在以MN為直徑的圓過點(diǎn)A？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，說明理由

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】由且，列出方程，求得，，解得的值，即可求解【詳解】由題意，直線：，：，：，因?yàn)榍遥?，且，解得，，所以故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記兩直線的位置關(guān)系，列出方程求解的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】根據(jù)．且，，利用平面向量的加法,減法和數(shù)乘運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋遥?，所以，，?故選：C3、D【解析】根據(jù)角度制與弧度制的關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.4、C【解析】由題意得，∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，∴，∴，解得故選：C5、C【解析】本題考查學(xué)生的推理能力、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)方程思想、分類討論等知識如圖，由函數(shù)的圖象可知，若關(guān)于的方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，方程只有一根為2；當(dāng)時(shí)，方程有兩不等實(shí)根（），從而方程，共有四個(gè)根，且這四個(gè)根關(guān)于直線對稱分布，故其和為8.從而，，選C【點(diǎn)評】本題需要學(xué)生具備扎實(shí)的基本功，難度較大6、A【解析】根據(jù)二次函數(shù)圖象上特殊點(diǎn)的正負(fù)性，結(jié)合指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：由圖象可知：，因，所以由可得：，由可得：，由可得：，因此有，所以函數(shù)是減函數(shù)，，所以選項(xiàng)A符合，故選：A7、A【解析】因?yàn)?、4是函數(shù)的零點(diǎn)，所以排除B、C；因?yàn)闀r(shí)，所以排除D,故選A8、D【解析】函數(shù)的圖像的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)同時(shí)擴(kuò)大為原來的3倍，所得圖像的解析式為，再向右平移3個(gè)單位長度，所得圖像的解析式為，選D.9、B【解析】對選項(xiàng)A，，即可判斷A錯(cuò)誤；對選項(xiàng)B，求出的單調(diào)區(qū)間即可判斷B正確；對選項(xiàng)C，求出在的最大值即可判斷C錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D，根據(jù)，即可判斷D錯(cuò)誤.詳解】，.對選項(xiàng)A，因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對選項(xiàng)B，因?yàn)椋?解得，.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，所以，，，故錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D，，故D錯(cuò)誤.故選：B10、B【解析】由題意可得，故中元素的個(gè)數(shù)為2，所以選B.【名師點(diǎn)睛】集合基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)：(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問題的前提(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問題簡單明了，易于解決(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、6【解析】先通過誘導(dǎo)公式對原式進(jìn)行化簡，然后通分，進(jìn)而通過同角三角函數(shù)的平方關(guān)系將原式轉(zhuǎn)化為只含的式子，最后得到答案.【詳解】原式=+，因?yàn)?，所?所以.故答案為：6.12、③④⑤【解析】對于①，當(dāng)即軸，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，顯然不在BD上，所以所以①不對；對于②，由于，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以不可能是偶函數(shù)，所以①不對；對于③，由圖形知,點(diǎn)D向右移動(dòng),點(diǎn)F也向右移動(dòng),在定義域上是增函數(shù)，正確；對于④，由圖形知,當(dāng)D移動(dòng)到圓A與x軸的左右交點(diǎn)時(shí),分別得到函數(shù)圖象的左端點(diǎn)(?7,?3),右端點(diǎn)(5,3),故f(n)圖象的兩個(gè)端點(diǎn)關(guān)于圓心A(-1,0)對稱，正確;對于⑤，由垂直平分線性質(zhì)可知，所以，正確.故答案為③④⑤.13、【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，由垂直的斜率關(guān)系，和線段的中點(diǎn)在直線上列出方程組即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，由對稱性知，直線與線段垂直，所以，所以，又線段的中點(diǎn)在直線上，即，所以，由，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：.故答案為：.14、32【解析】在正四棱錐的高和斜高所在的直角三角形中計(jì)算出斜高后，根據(jù)三角形的面積公式即可求出側(cè)面積.【詳解】因?yàn)檎睦忮F的底面邊長為4cm，高與斜高的夾角為，所以斜高為cm，所以該正四棱錐的側(cè)面積等于cm2故答案為：32.【點(diǎn)睛】本題考查了正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了求正四棱錐的側(cè)面積，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】先將角度轉(zhuǎn)化成弧度制，再利用扇形面積公式計(jì)算即可.【詳解】扇形的圓心角為120°，即，故扇形面積.故答案為：.16、【解析】首先把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,點(diǎn)在圓外,則圓心到直線的距離,從而得解.【詳解】∵圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴圓心坐標(biāo)（，），半徑r，若點(diǎn)（1，﹣1）在圓外，則滿足k，且k＞0，即﹣2＜k，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（﹣2，）.故答案為:（﹣2，）【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為；（2）.【解析】（1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡，再利用換元法即可求最值以及取得最值時(shí)的值；（2）求出函數(shù)的對稱軸，得到和的關(guān)系，利用誘導(dǎo)公式化簡可得答案.【詳解】（1），令，可得，對稱軸為，開口向下，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即，時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為；（2）令，可得，當(dāng)時(shí)，是的對稱軸，因?yàn)榉匠淘谏系慕鉃?，，，，且，所以，所以，所以，所以的值?18、（1）（2）當(dāng)時(shí)，y有最小值為3.【解析】（1）根據(jù)y為該單位安裝這種凈水設(shè)備費(fèi)用與安裝設(shè)備后每年向自來水公司繳水費(fèi)之和即可建立函數(shù)模型；（2）利用均值不等式即可求解.【小問1詳解】解：由題意，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為；【小問2詳解】解：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.所以當(dāng)時(shí)，y有最小值為3.19、（1）或（2）為偶函數(shù)，證明見解析，.【解析】（1）分別在和時(shí)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，利用最大值可求得；（2）由（1）可得，根據(jù)奇偶性定義判斷可知其為偶函數(shù)；利用對數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求解方法可求得值域.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，，解得：；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，，解得：；綜上所述：或.【小問2詳解】當(dāng)函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)時(shí)，，由（1）知：；，由得：，即定義域?yàn)?；又，是定義在上的偶函數(shù)；，當(dāng)時(shí)，，，即的值域?yàn)?20、（1）或；（2）.【解析】（1）考慮切線的斜率是否存在，結(jié)合直線與圓相切的的條件d=r，直接求解圓的切線方程即可（2）利用圓的圓心距、半徑及半弦長的關(guān)系，列出方程，求解a即可【詳解】（1）由圓的方程得到圓心，半徑.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線與圓顯然相切；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線方程為，即，由題意得：，解得，∴方程為，即.故過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.（2）∵弦長為，半徑為2.圓心到直線的距離，∴，解得.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查切線方程的求法，考查了垂徑定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力21、（1）（）（2）存在，【解析】（1）設(shè)出動(dòng)圓圓心坐標(biāo)，由動(dòng)圓圓心到切線的距離等于動(dòng)圓與定圓的圓心距減定圓的半徑列式求解動(dòng)圓圓心的軌跡方程；（2）求出過原點(diǎn)且傾斜角為的直線方程