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文檔簡介
陜西省漢中市西鄉(xiāng)二中2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.若關(guān)于的一元二次不等式的解集為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A.或 B.C.或 D.2.從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球,那么互斥而不對立的事件是()A.至少有一個(gè)白球與都是紅球 B.恰好有一個(gè)白球與都是紅球C.至少有一個(gè)白球與都是白球 D.至少有一個(gè)白球與至少一個(gè)紅球3.如果,那么A. B.C. D.4.已知集合A=,B=,那么集合A∩B等于()A. B.C. D.5.已知為角終邊上一點(diǎn),則()A. B.1C.2 D.36.已知向量,其中,則的最小值為()A.1 B.2C. D.37.方程的解所在區(qū)間是()A. B.C. D.8.三個(gè)數(shù)大小的順序是A. B.C. D.9.下列關(guān)系式中,正確的是A. B.C. D.10.設(shè)則的值為A. B.C.2 D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.若,則_____12.將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C,有如下四個(gè)結(jié)論①AC⊥BD;②△ACD是等邊三角形;③AB與平面BCD成60°的角;④AB與CD所成的角是60°.其中正確結(jié)論的序號是________13.已知函數(shù),且,則__________14.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”,現(xiàn)有一“陽馬”如圖所示,平面,,,,則該“陽馬”外接球的表面積為________.15.角的終邊經(jīng)過點(diǎn),則的值為______16.某品牌筆記本電腦的成本不斷降低,若每隔4年價(jià)格就降低,則現(xiàn)在價(jià)格為8100元的筆記本電腦,12年后的價(jià)格將降為__________元三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.袋中有五張卡片,其中紅色卡片三張,標(biāo)號分別為1,2,3;藍(lán)色卡片兩張,標(biāo)號分別為1,2.(Ⅰ)從以上五張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率;(Ⅱ)現(xiàn)袋中再放入一張標(biāo)號為0的綠色卡片,從這六張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率.18.已知函數(shù)在上的最小值為(1)求在上的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),求的最大值以及取最大值時(shí)的取值集合19.已知A(2,0),B(0,2),,O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1),求sin2θ的值;(2)若,且θ∈(-π,0),求與的夾角20.如圖,在四棱錐P—ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱PA=PD=,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點(diǎn).(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD;(Ⅱ)求異面直線PB與CD所成角的余弦值;(Ⅲ)求點(diǎn)A到平面PCD的距離.21.“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn),研究表明:“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時(shí),某種魚在一定的條件下,每尾魚的平均生長速度(單位:千克/年)是養(yǎng)殖密度(單位:尾/立方米)的函數(shù).當(dāng)不超過4尾/立方米時(shí),的值為2千克/年:當(dāng)時(shí),是的一次函數(shù),當(dāng)達(dá)到20尾/立方米時(shí),因缺氧等原因,的值為0千克/年.(1)當(dāng)時(shí),求關(guān)于的函數(shù)解析式;(2)當(dāng)養(yǎng)殖密度為多大時(shí),魚的年生長量(單位:千克/立方米)可以達(dá)到最大?并求出最大值.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】由題意可得,解不等式即可求出結(jié)果.【詳解】關(guān)于的一元二次不等式的解集為,所以,解得,故選:B.2、B【解析】列舉每個(gè)事件所包含的基本事件,結(jié)合互斥事件和對立事件的定義,依次驗(yàn)證即可.【詳解】解:對于A,事件:“至少有一個(gè)白球”與事件:“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生,但是對立,故A錯(cuò)誤;對于B,事件:“恰好有一個(gè)白球”與事件:“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生,但從口袋內(nèi)任取兩個(gè)球時(shí)還有可能是兩個(gè)都是白球,所以兩個(gè)事件互斥而不對立,故B正確;對于C,事件:“至少有一個(gè)白球”與事件:“都是白球”可以同時(shí)發(fā)生,所以這兩個(gè)事件不是互斥的,故C錯(cuò)誤;對于D,事件:“至少有一個(gè)白球”與事件:“至少一個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生,即“一個(gè)白球,一個(gè)紅球”,所以這兩個(gè)事件不是互斥的,故D錯(cuò)誤.故選:B.3、D【解析】:,,即故選D4、C【解析】根據(jù)集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)锳=,B=,所以故選:C5、B【解析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出,再利用齊次化將弦化切進(jìn)行求解.【詳解】為角終邊上一點(diǎn),故,故.故選:B6、A【解析】利用向量坐標(biāo)求模得方法,用表示,然后利用三角函數(shù)分析最小值【詳解】因?yàn)?,所以,因?yàn)椋?,故的最小值?故選A【點(diǎn)睛】本題將三角函數(shù)與向量綜合考察,利用三角函數(shù)得有界性,求模長得最值7、C【解析】判斷所給選項(xiàng)中的區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值的積的正負(fù)性即可選出正確答案.【詳解】∵,∴,,,,∴,∵函數(shù)的圖象是連續(xù)的,∴函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選C【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)零存在原理判斷方程的解所在的區(qū)間,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8、B【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知:,即;,即;,即;所以,故正確答案為選項(xiàng)B考點(diǎn):指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;間接比較法9、C【解析】不含任何元素的集合稱為空集,即為,而代表由單元素0組成的集合,所以,而與的關(guān)系應(yīng)該是.故選C.10、D【解析】由題意可先求f(2),然后代入f(f(2))=f(﹣1)可得結(jié)果.【詳解】解:∵∴f(2)∴f(f(2))=f(﹣1)=故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的函數(shù)值的求解,解題的關(guān)鍵是需要判斷不同的x所對應(yīng)的函數(shù)解析式,屬于基礎(chǔ)試題二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】首先求函數(shù),再求的值.【詳解】設(shè),則所以,即,,.故答案為:12、①②④【解析】①取BD的中點(diǎn)O,連接OA,OC,所以,所以平面OAC,所以AC⊥BD;②設(shè)正方形的邊長為a,則在直角三角形ACO中,可以求得OC=a,所以△ACD是等邊三角形;③AB與平面BCD成45角;④分別取BC,AC的中點(diǎn)為M,N,連接ME,NE,MN.則MN∥AB,且MN=AB=a,ME∥CD,且ME=CD=a,∴∠EMN是異面直線AB,CD所成的角.在Rt△AEC中,AE=CE=a,AC=a,∴NE=AC=a.∴△MEN是正三角形,∴∠EMN=60°,故④正確考點(diǎn):本小題主要考查平面圖形向空間圖形的折疊問題,考查學(xué)生的空間想象能力.點(diǎn)評:解決此類折疊問題,關(guān)鍵是搞清楚折疊前后的變量和不變的量.13、或【解析】對分和兩類情況,解指數(shù)冪方程和對數(shù)方程,即可求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí),因?yàn)?,所以,所以,?jīng)檢驗(yàn),滿足題意;當(dāng)時(shí),因?yàn)?,所以,即,所以,?jīng)檢驗(yàn),滿足題意.故答案為:或14、【解析】以,,為棱作長方體,長方體的對角線即為外接球的直徑,從而求出外接球的半徑,進(jìn)而求出外接球的表面積.【詳解】由題意,以,,為棱作長方體,長方體的對角線即為外接球的直徑,設(shè)外接球的半徑為,則故.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了多面體外接球問題以及球的表面積公式,屬于中檔題.15、【解析】以三角函數(shù)定義分別求得的值即可解決.【詳解】由角的終邊經(jīng)過點(diǎn),可知?jiǎng)t,,所以故答案為:16、2400【解析】由題意直接利用指數(shù)冪的運(yùn)算得到結(jié)果【詳解】12年后的價(jià)格可降為81002400元故答案為2400【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(I).(II)【解析】解:(I)從五張卡片中任取兩張的所有可能情況有如下10種:紅1紅2,紅1紅3,紅1藍(lán)1,紅1藍(lán)2,紅2紅3,紅2藍(lán)1,紅2藍(lán)2,紅3藍(lán)1,紅3藍(lán)2,藍(lán)1藍(lán)2.其中兩張卡片的顏色不同且標(biāo)號之和小于4的有3種情況,故所求的概率為.(II)加入一張標(biāo)號為0的綠色卡片后,從六張卡片中任取兩張,除上面的10種情況外,多出5種情況:紅1綠0,紅2綠0,紅3綠0,藍(lán)1綠0,藍(lán)2綠0,即共有15種情況,其中顏色不同且標(biāo)號之和小于4的有8種情況,所以概率為.考點(diǎn):古典概型點(diǎn)評:主要是考查了古典概型的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題18、(1)單調(diào)遞增區(qū)間(2)最大值為,此時(shí)的取值集合為【解析】(1)先由三角變換化簡解析式,再由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出單調(diào)性;(2)由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出的值,進(jìn)而再求最大值.【小問1詳解】,令,,解得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】當(dāng)時(shí),,,解得,所以,當(dāng),,即,時(shí),取得最大值,且最大值故的最大值為,此時(shí)的取值集合為19、(1);(2)【解析】分析:(1)先根據(jù)向量數(shù)量積得sinθ+cosθ值,再平方得結(jié)果,(2)先根據(jù)向量的模得cosθ,即得C點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)向量夾角公式求結(jié)果.詳解:(1)∵=(cosθ,sinθ)-(2,0)=(cosθ-2,sinθ),=(cosθ,sinθ)-(0,2)=(cosθ,sinθ-2),=cosθ(cosθ-2)+sinθ(sinθ-2)=cos2θ-2cosθ+sin2θ-2sinθ=1-2(sinθ+cosθ)=-∴sinθ+cosθ=,∴1+2sinθcosθ=,∴sin2θ=-1=-.(2)∵=(2,0),=(cosθ,sinθ),∴+=(2+cosθ,sinθ),∵|+|=,所以4+4cosθ+cos2θ+sin2θ=7,∴4cosθ=2,即cosθ=.∵-π<θ<0,∴θ=-,又∵=(0,2),=,∴cos〈,〉=,∴〈,〉=.點(diǎn)睛:向量的平行、垂直、夾角、數(shù)量積等知識都可以與三角函數(shù)進(jìn)行交匯.對于此類問題的解決方法就是利用向量的知識將條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關(guān)系”,通過解三角求得結(jié)果.20、(1)同解析(2)異面直線PB與CD所成的角的余弦值為.(3)點(diǎn)A到平面PCD的距離d=【解析】解法一:(Ⅰ)證明:在△PAD卡中PA=PD,O為AD中點(diǎn),所以PO⊥AD.又側(cè)面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO平面PAD,所以PO⊥平面ABCD.(Ⅱ)連結(jié)BO,在直角梯形ABCD中,BC∥AD,AD=2AB=2BC,有OD∥BC且OD=BC,所以四邊形OBCD是平行四邊形,所以O(shè)B∥DC.由(Ⅰ)知PO⊥OB,∠PBO為銳角,所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角.因AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中,AB=1,AO=1,所以O(shè)B=,在Rt△POA中,因?yàn)锳P=,AO=1,所以O(shè)P=1,在Rt△PBO中,PB=,cos∠PBO=,所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為.(Ⅲ)由(Ⅱ)得CD=OB=,在Rt△POC中,PC=,所以PC=CD=DP,S△PCD=·2=.又S△=設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離h,由VP-ACD=VA-PCD,得S△ACD·OP=S△PCD·h,即×1×1=××h,解得h=.解法二:(Ⅰ)同解法一,(Ⅱ)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.則A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).所以=(-1,1,0),=(t,-1,-1),∞〈、〉=,所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為,(Ⅲ)設(shè)平面PCD的法向量為n=(x0,y0,x0),由(Ⅱ)知=(-1,0,1),=(-1,1,0),則n·=0,所以-x0+x0=0,n·=0,-x0+y0=0,即x0=y0=x0,取x0=1,得平面的一個(gè)法向量為n=(1,1,1).又=(1,1,0).從而點(diǎn)A到平面PCD的距離d=21、(1);(2)當(dāng)養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時(shí),魚的年生長量可以達(dá)到最大為千克/立方米.【解析】(1)由題意:當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),設(shè),在,是減函數(shù),由已知得,能求出函數(shù)(2)依題意并由(1),,
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