2025屆福建省永春三中數(shù)學高二上期末統(tǒng)考試題含解析

2025屆福建省永春三中數(shù)學高二上期末統(tǒng)考試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列的前n項和為，公比為q，若，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.2．若離散型隨機變量的所有可能取值為1，2，3，…，n，且取每一個值的概率相同，若，則n的值為（）A.4 B.6C.9 D.103．已知隨機變量，，則的值為（）A.0.24 B.0.26C.0.68 D.0.764．已知直線l的方向向量，平面α的一個法向量為，則直線l與平面α的位置關系是（）A.平行 B.垂直C.在平面內(nèi) D.平行或在平面內(nèi)5．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則6．已知是拋物線的焦點，是拋物線的準線，點，連接交拋物線于點，，則的面積為（）A.4 B.9C. D.7．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為S，若，且，則S3等于（）A.28 B.26C.28或-12 D.26或-108．若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.9．如圖，在四面體中，，，，，為線段的中點，則等于（）A B.C. D.10．已知實數(shù)，滿足則的最大值為（）A.-1 B.0C.1 D.211．若直線l的傾斜角是鈍角，則l的方程可能是（）A. B.C. D.12．已知O為坐標原點，，點P是上一點，則當取得最小值時，點P的坐標為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線(a，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1且傾斜角為的直線l與雙曲線的左、右支分別交于點A，B.且|AF2|=|BF2|，則該雙曲線的離心率為____________.14．我國古代數(shù)學名著《九章算術》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來1524石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為_______石15．已知P，A，B，C四點共面，對空間任意一點O，若，則______.16．在等差數(shù)列中，，公差，則_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知拋物線的焦點為F，拋物線C上的點到準線的最小距離為1（1）求拋物線C的方程；（2）過點F作互相垂直的兩條直線l1，l2，l1與拋物線C交于A，B兩點，l2與拋物線C交于C，D兩點，M，N分別為弦AB，CD的中點，求|MF|·|NF|的最小值18．（12分）已知數(shù)列滿足，（）.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足：（），求數(shù)列的前項和.19．（12分）如圖，已知橢圓的短軸端點為、，且，橢圓C的離心率，點，過點P的動直線l橢圓C交于不同的兩點M、N與，均不重合），連接，，交于點T（1）求橢圓C的方程；（2）求證：當直線l繞點P旋轉(zhuǎn)時，點T總在一條定直線上運動；（3）是否存在直線l，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由20．（12分）已知數(shù)列滿足,，設.（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.21．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，且，，三角形為等腰直角三角形，且，.（1）若點為棱的中點，證明：平面平面；（2）若平面平面，點為棱的中點，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，側面底面ABCD，側棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，（1）求證：平面ACF；（2）在線段PB上是否存在一點H，使得CH與平面ACF所成角的正弦值為？若存在，求出線段PH的長度；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)，可求得，然后逐一分析判斷各個選項即可得解.【詳解】解：因為，所以，因為，所以，所以，故A錯誤；又，所以，所以，所以，故BC錯誤；所以，故D正確.故選：D.2、D【解析】根據(jù)分布列即可求出【詳解】因為，所以故選：D3、A【解析】根據(jù)給定條件利用正態(tài)分布的對稱性計算作答.【詳解】因隨機變，，有P(ξ<4)=P(ξ≤4)=0.76，由正態(tài)分布的對稱性得：，所以的值為0.24.故選：A4、D【解析】根據(jù)題意，結合線面位置關系的向量判斷方法，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，因為，所以，所以直線l與平面α的位置關系是平行或在平面內(nèi)故選：D5、C【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，逐一核對四個選項得答案【詳解】解：對于A：若，則或，故A錯誤；對于B：若，則或與相交，故B錯誤；對于C：若，根據(jù)面面垂直的判定定理可得，故C正確；對于D：若則與平行、相交、或異面，故D錯誤；故選：C6、D【解析】根據(jù)題意求得拋物線的方程為和焦點為，由，得到為的中點，得到，代入拋物線方程，求得，進而求得的面積.【詳解】由直線是拋物線的準線，可得，即，所以拋物線的方程為，其焦點為，因為，可得可得三點共線，且為的中點，又因為，，所以，將點代入拋物線，可得，所以的面積為.故選：D.7、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式列出方程求解，直接計算S3即可.【詳解】由可得，即，所以，又，解得，所以，即，當時，，所以，當時，，所以，故選：C8、C【解析】函數(shù)有兩個零點等價于方程有兩個根，等價于與圖象有兩個交點，通過導數(shù)分析的單調(diào)性，根據(jù)圖象即可求出求出的范圍.【詳解】函數(shù)有兩個零點，方程有兩個根，，分離參數(shù)得，與圖象有兩個交點，令，，令，解得當時，，在單調(diào)遞增，當時，，在單調(diào)遞減，且在處取得極大值及最大值，可以畫出函數(shù)的大致圖象如下：觀察圖象可以得出.故選：C.【點睛】本題主要考查函數(shù)零點的應用，構造函數(shù)求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)極值和導數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵.9、D【解析】根據(jù)空間向量的線性運算求解【詳解】由已知，故選：D10、D【解析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)，即可得到結果【詳解】由約束條件畫出可行域如圖，化目標函數(shù)為，由圖可知當直線過點時，直線在軸上的截距最小，取得最大值2.故選：D11、A【解析】根據(jù)直線方程，求得直線斜率，再根據(jù)傾斜角和斜率的關系，即可判斷和選擇.【詳解】若直線的傾斜角為，則，當時，為鈍角，當，，當，為銳角；當不存在時，傾斜角為，對A：，顯然傾斜角為鈍角；對B：，傾斜角為銳角；對C：，傾斜角為銳角；對D：不存在，此時傾斜角為直角.故選：A.12、A【解析】根據(jù)三點共線，可得，然后利用向量的減法坐標運算，分別求得，最后計算，經(jīng)過化簡觀察，可得結果.【詳解】設，則則∴當時，取最小值為-10，此時點P的坐標為.故選：A【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標運算，難點在于三點共線，審清題干，簡單計算，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由雙曲線的定義和直角三角形的勾股定理，以及解直角三角形，可得a，c的關系，再由離心率公式可得所求值【詳解】過F2作F2N⊥AB于點N，設|AF2|＝|BF2|＝m，因為直線l的傾斜角為，所以在直角三角形F1F2N中，，由雙曲線的定義可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a+m，同理可得|AF1|＝m﹣2a，所以|AB|＝|BF1|﹣|AF1|＝4a，即|AN|＝2a，所以|AF1|＝c﹣2a，因此，在直角三角形ANF2中，|AF2|2＝|NF2|2+|AN|2，所以（c）2＝4a2+c2，所以c＝a，則，故答案為：14、168石【解析】由題意，得這批米內(nèi)夾谷約為石考點：用樣本估計總體15、【解析】由條件可得存在實數(shù)，使得，再用向量表示出向量，即可得出答案.詳解】P，A，B，C四點共面,則存在實數(shù)，使得所以即所以，解得故答案為：16、15【解析】由等差數(shù)列通項公式直接可得.【詳解】.故答案為：15三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）8【解析】（1）由拋物線C上的點到準線的最小距離為1，所以，即可求得拋物線的方程；（2）設直線AB的斜率為k，則直線CD的斜率為，得到直線AB的方程為，聯(lián)立方程，求得，進而求得的坐標，得到的表達式，結合基本不等式，即可求解.【小問1詳解】解：因為拋物線C上的點到準線的最小距離為1，所以，解得，所以拋物線C的方程為【小問2詳解】解：由（1）可知焦點為F(1，0)，由已知可得ABCD，所以直線AB，CD的斜率都存在且均不為0，設直線AB斜率為k，則直線CD的斜率為，所以直線AB的方程為，聯(lián)立方程，消去x得，設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，因為M(xM，yM)為弦AB的中點，所以，由，得，所以點，同理可得，所以，＝，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為18、(1)證明見解析，；(2).【解析】(1)將給定等式變形，計算即可判斷數(shù)列類型，再求出其通項而得解；(2)利用(1)的結論求出數(shù)列的通項，然后利用錯位相減法求解即得.【詳解】(1)因數(shù)列滿足，，則，而，于是數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，，；(2)由(1)知，則于是得，，所以數(shù)列的前項和.19、（1）（2）證明見解析；（3）不存在直線l，使得成立，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得，即可求得橢圓的方程；（2）設直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，設，根據(jù)和在同一條直線上，列出方程求得的值，即可求解；（3）設直線的為，把轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立方程組求得，代入列方程，求得，即可得到結論.【小問1詳解】解：由題意可得，解得，所以所求橢圓的方程為.【小問2詳解】解：由題意，因為直線過點，可設直線的方程為，，聯(lián)立方程組，整理得，可得，因為直線與橢圓有兩個交點，所以，解得，設，因為在同一條直線上，則，①又由在同一條直線上，則，②由①+②3所以，整理得，解得，所以點在直線，即當直線l繞點P旋轉(zhuǎn)時，點T總在一條定直線上運動.【小問3詳解】解：由（2）知，點在直線上運動，即，設直線的方程為，且，又由且，可得，即，聯(lián)立方程組，整理得，可得，代入可得，解得，即，此時直線的斜率不存在，不合題意，所以不存在直線l，使得成立.20、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）計算可得出，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可求得數(shù)列的通項公式，進而可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用錯位相減法可求得.【小問1詳解】證明：對任意的，，則，則，因為，則，，，以此類推可知，對任意的，，所以，，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項為，公比為，所以，，則.【小問2詳解】解：，則，，下式上式得.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先證明，，進而證明平面，即可證明平面，從而證明平面平面.（2）以點為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，用向量法求解即可【小問1詳解】因為為等腰直角三角形，點為棱的中點，所以，又因為，，所以，又因為在中，，，所以，所以，所以，又因為，所以平面，又因為為平行四邊形，所以，所以平面，又因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】因為平面平面，平面平面，，所以平面，又因為，以點為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，所以，，，，設平面的一個法向量為，則由，，可得令，得，設直線與平面所成角為，，