黑龍江省綏化市安達(dá)七中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

黑龍江省綏化市安達(dá)七中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，則在上的投影向量為（）A.1 B.C. D.2．已知圓C的方程為，點(diǎn)P在圓C上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（）A.3 B.C. D.3．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積等于（）A. B.C. D.4．已知雙曲線＝1的一條漸近線方程為x－4y＝0，其虛軸長(zhǎng)為（）A.16 B.8C.2 D.15．若公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是，，且，，為等比數(shù)列，則使成立的最大n是（）A.6 B.10C.11 D.126．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.數(shù)列一定是等比數(shù)列 B.數(shù)列一定是等差數(shù)列C.數(shù)列一定是等差數(shù)列 D.數(shù)列可能是常數(shù)數(shù)列7．在空間直角坐標(biāo)系中，，，平面的一個(gè)法向量為，則平面與平面夾角的正弦值為（）A. B.C. D.8．已知是兩個(gè)數(shù)1，9的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率為（）A.或 B.或C. D.9．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10．雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.11．直線分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）A B.C. D.12．已知是空間的一個(gè)基底，，，，若四點(diǎn)共面．則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)為定點(diǎn)的三角形的面積為4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_____________14．設(shè)、、是三個(gè)不同的平面，、是兩條不同的直線，給出下列三個(gè)結(jié)論：①若，，則；②若，，則；③若，，則其中，正確結(jié)論的序號(hào)為__15．二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制數(shù)為______.16．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．若橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，均在軸上，且，的面積為，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前100項(xiàng)和18．（12分）已知圓的圓心在直線上，且圓經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）過點(diǎn)作圓的切線，求切線所在的直線的方程.19．（12分）已知拋物線C：x2＝2py的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)N（t，1）在拋物線C上，且|NF|＝.（1）求拋物線C的方程；（2）過點(diǎn)M（0，1）的直線l交拋物線C于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值.20．（12分）已知如圖①，在菱形ABCD中，且，為AD的中點(diǎn)，將沿BE折起使，得到如圖②所示的四棱錐，在四棱錐中，求解下列問題：（1）求證：BC平面ABE；（2）若P為AC中點(diǎn)，求二面角的余弦值.21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，且，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).22．（10分）在數(shù)列中，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)投影向量的概念求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：C2、B【解析】化簡(jiǎn)判斷圓心和半徑，利用圓的性質(zhì)判斷連接線段OC，交圓于點(diǎn)P時(shí)最小，再計(jì)算求值即得結(jié)果.【詳解】化簡(jiǎn)得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓心是，半徑，則連接線段OC，交圓于點(diǎn)P時(shí)最小，因?yàn)樵c(diǎn)到圓心的距離，故此時(shí).故選：B.3、D【解析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，即可判斷軌跡圖形，再求面積.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓，所以圍成圖形的面積等于.故選：D4、C【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程的特點(diǎn)，結(jié)合虛軸長(zhǎng)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線＝1的一條漸近線方程為x－4y＝0，所以，因此該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，故選：C5、C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)，且，，為等比數(shù)列，求得首項(xiàng)和公差，再利用前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，且，，為等比?shù)列，所以，解得或（舍去），則，所以，解得，所以使成立的最大n是11，故選：C6、B【解析】可根據(jù)已知條件，設(shè)出公差為，選項(xiàng)A，可借助等比數(shù)列的定義使用數(shù)列是等差數(shù)列，來進(jìn)行判定；選項(xiàng)B，數(shù)列，可以取，即可判斷；選項(xiàng)C，可設(shè)，表示出再進(jìn)行判斷；選項(xiàng)D，可采用換元，令，求得的關(guān)系即可判斷.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，選項(xiàng)A，數(shù)列是等差數(shù)列，那么為常數(shù)，又，則數(shù)列一定是等比數(shù)列，所以選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，數(shù)列不存在，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，數(shù)列是等差數(shù)列，可設(shè)（A、B為常數(shù)），此時(shí)，，則為常數(shù)，故數(shù)列一定是等差數(shù)列，所以該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列可能是常數(shù)數(shù)列，故該選項(xiàng)正確.故選：B.7、A【解析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再借助空間向量夾角公式即可計(jì)算作答.【詳解】設(shè)平面的法向量為，則，令，得，令平面與平面夾角為，則，，所以平面與平面夾角的正弦值為.故選：A8、A【解析】根據(jù)題意可知，當(dāng)時(shí)，根據(jù)橢圓離心率公式，即可求出結(jié)果；當(dāng)時(shí)，根據(jù)雙曲線離心率公式,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭莾蓚€(gè)數(shù)1，9的等比中項(xiàng)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，圓錐曲線，其離心率為；當(dāng)時(shí)，圓錐曲線，其離心率為；綜上，圓錐曲線的離心率為或.故選：A.9、C【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案【詳解】解：對(duì)于A：若，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則或與相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，根據(jù)面面垂直的判定定理可得，故C正確；對(duì)于D：若則與平行、相交、或異面，故D錯(cuò)誤；故選：C10、A【解析】先將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，再根據(jù)雙曲線漸近線方程求解即可.【詳解】解：將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以，所以其漸近線方程為：，即.故選：A.11、A【解析】把求面積轉(zhuǎn)化為求底邊和底邊上的高，高就是圓上點(diǎn)到直線的距離.【詳解】與x，y軸的交點(diǎn)，分別為，，點(diǎn)在圓，即上，所以，圓心到直線距離為，所以面積的最小值為，最大值為.故選：A12、A【解析】由共面定理列式得，再根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等計(jì)算.【詳解】因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，設(shè)存在有序數(shù)對(duì)使得，則，即，所以得.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題可得P到x軸的距離為1，把代入，得，可得P點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】設(shè)，由題意知，所以，則，由題意可得，把代入，得，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為故答案為：14、①②【解析】利用線面垂直的性質(zhì)可判斷命題①、②的正誤；利用特例法可判斷命題③的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】、、是三個(gè)不同的平面，、是兩條不同的直線.對(duì)于①，若，，由同垂直于同一平面的兩直線平行，可得，故①正確；對(duì)于②，若，，由同垂直于同一直線的兩平面平行，可得，故②正確；對(duì)于③，若，，考慮墻角處的三個(gè)平面兩兩垂直，可判斷、相交，則不正確故答案為：①②【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面、面面位置關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.15、13【解析】根據(jù)二進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換方法即可求解.【詳解】.故答案為：13.16、【解析】利用待定系數(shù)法列出關(guān)于的方程解出即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由題意得出，然后與原式結(jié)合，兩式相減并化簡(jiǎn)求出，最后根據(jù)等差數(shù)列的定義求得答案；（2）結(jié)合（1），分別討論，和三種情況，分別求出，進(jìn)而求出.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，兩式相減得，所以又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.18、（1）；（2）或.【解析】（1）求出線段中點(diǎn)，進(jìn)而得到線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點(diǎn)，∴.則圓的方程可求（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，可知切線方程為.當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，由到此直線的距離為，解得，即可到切線所在直線的方程.試題解析：（1）線段的中點(diǎn)為，∵，∴線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點(diǎn)，∴.∴圓的方程為.（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為.當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，則到此直線的距離為，解得，∴切線方程為.故滿足條件的切線方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求法，圓的切線，中點(diǎn)弦等問題，解題的關(guān)鍵是利用圓的特性，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解19、（1）x2＝2y；（2）證明見解析【解析】（1）利用拋物線的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)直線l的直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、斜率公式進(jìn)行證明即可.【小問1詳解】∵點(diǎn)N（t，1）在拋物線C：x2＝2py上，且|NF|＝，∴|NF|＝，解得p＝1，∴拋物線C的方程為x2＝2y；【小問2詳解】依題意，設(shè)直線l：y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，得x2﹣2kx﹣2＝0.則x1x2＝﹣2，∴.故k1k2為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.20、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）利用題中所給的條件證明，，因?yàn)?，所以，，即可證明平面；（2）先證明平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式即可求解【詳解】（1）在圖①中，連接，如圖所示：因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，所以是等邊三角?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，.又，所以.在圖②中，，所以，即.因?yàn)?，所以?又，，平面.所以平面.（2）由（1）知，，因?yàn)?，，平?所以平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，，，.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得.令，得，，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)?，由得令，，，得則，由圖象可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.21、（1）.（2）答案見解析.【解析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，求得，，由此可求得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求得導(dǎo)函數(shù)，分和討論，當(dāng)時(shí)，設(shè)，求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得出所令函數(shù)的單調(diào)性，從而得函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得答案.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，故，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【小問2詳解】解：依題意，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，設(shè)，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，在上