湖南長沙某中學2024-2025學年九年級上學期入學考試數(shù)學試題（含答案）

湖南長沙長郡外國語學校2024-2025學年九年級上學期入

學考試數(shù)學試題含答案

長郡外國語實驗中學初三作業(yè)檢查練習

一、選擇題（共io小題，在下列各題的四個選項中，只有一項是符合要求的，請在答題卡中

填涂符合題意的選項，本大題共10個小題，每小題3分，共30分）

1.化簡廝的結果是（）

A.10B.2屈C.475D.20

2.二次函數(shù)y=（x—I?+3圖象的頂點坐標是（）

A.(1,3)B.(1,—3)C.(—1,3)D.(-1,-3)

3,下列各組數(shù)中，以a,b,c為邊的三角形不是直角三角形的是（）

A.〃=1.5,b—2,c=3B.。=7,8=24,c=25

C.Q=6,b=8,c=lQD.〃=3,b=4,c=5

4.一次函數(shù)＞=-3尤+5的圖象不經(jīng)過的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.要使式子萬金有意義，則X的取值范圍是（）.

A.x>0B.x>—2C.x>2D.x<2

6.如圖，為測量位于一水塘旁的兩點A3間的距離，在地面上確定點0,分別取的中點C。，量

得CD=20m,則A3之間的距離是（）

A.5mB.10mC.20mD.40m

7.一組數(shù)據(jù):5、4、3、4、6、8,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是（）

A.4.5,4B.3.5,4C.4,4D.5,4

8.如圖，在平面直角坐標系中、四邊形043。為菱形，。為原點，A點坐標為(8,0),ZAOC=60°,

則對角線交點E的坐標為（）

第1頁/共5頁

A.(4,273)B.(254)C.(2石，6)D.(6,2用

9.如圖，一次函數(shù)為=戈+6與一次函數(shù)%=Ax+4的圖象交于點P（l,3）,則關于x的不等式

%+。>履+4的解集是（）

A,x>3B.x<3C.x>1D.x<1

10.如圖，△ABC為等邊三角形，點尸從點A出發(fā)沿A-5fC路徑勻速運動到點C,到達點C時停

止運動，過點尸作PQLAC于點。.若△4PQ的面積為y,AQ的長為X,則下列能反映y與X之間

的大致圖象是（）

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11-若x=夜-1，則X?+2x+1=.

12.如圖，在平行四邊形A3CD中，A3=4cm,A￡>=7cm,NA3C的平分線交AD于點E,交CD的

延長線于點F,則DF=cm.

第2頁/共5頁

13.二次函數(shù)y=2%2-4x+5,當-3Sxa時，y的最大值是,最小值是.

14.如圖，拋物線、=以2與直線y=6x+c的兩個交點坐標分別為4(-3,9),3(1,1),則關于x的方程

15.設a,6是方程龍2+x—2024=0的兩個實數(shù)根，則/+2a+6的值為.

16.如圖，在平面直角坐標系中，點A(2,4)在拋物線丁=。/上，過點A作〉軸的垂線，交拋物線于另一

點、B,點、C、￡＞在線段A3上，分別過點C、D作x軸的垂線交拋物線于E、尸兩點.當四邊形CDFE為正

方形時，線段C。的長為.

三.解答題(本大題共8個小題，第17、18題每小題8分，第19、20、21、22題每小題9分,

第23、24題每小題10分，共72分。解時寫出必要的文字說明、證明過程或演算過程)

17.解方程：

(1)(x-l)2-l=0

⑵2X2+3X+1=0

18.近日遵義某中學為更好地落實“雙減”政策，提高課后服務質量，對部分家長進行關于對學校課后服務

第3頁/共5頁

質量滿意度的問卷調(diào)查，在此次調(diào)查中對問卷選項做了數(shù)據(jù)分析，其中A為非常滿意、2為比較滿意、C

為一般、。為不太滿意.并繪制了如下的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中的相關信息解決下列問題：

“課后服務滿意度調(diào)查”條形統(tǒng)計圖“課后服務滿意度調(diào)查”扇形統(tǒng)計圖

(1)參與這次調(diào)查的學生家長共計_____人，扇形統(tǒng)計圖中C所對應扇形的圓心角的度數(shù)是

(2)將圖中的統(tǒng)計圖補充完整.

(3)若該校學生共有900名，請估計對課后服務比較滿意和非常滿意的家長共多少人？

19.如圖，在平行四邊形A3CD中，AC=BC,M、N分別是A5和C。的中點.

(1)求證：四邊形AMCN是矩形；

(2)若NB=60°,BC=2,求平行四邊形A5CD的面積.

20.已知關于x的一元二次方程x2++"/+加=0有實數(shù)根.

(1)求機的取值范圍；

(2)若該方程的兩個實數(shù)根分別為為、無2,且+君=12,求相的值.

21.已知拋物線丁=2必—3x+機(根為常數(shù))與x軸交于A3兩點，且線段A3的長為;.

(1)求機的值；

(2)若該拋物線的頂點為尸，求口432的面積.

22.某商場將進價為25元的臺燈以40元出售，1月份銷售256個，2、3月份銷售量持續(xù)走高，在售價不

變的基礎上，3月份的銷售量達到400個.

(1)求2、3這兩個月銷售量的月平均增長率；

(2)該商場決定從4月份進行降價促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，臺燈價格在3月份的基礎上，每個降價1元，銷售

第4頁/共5頁

量可增加4個，若商場要想使4月份銷售這種臺燈獲利4200元，則臺燈售價應定為多少元？

23.我們不妨約定：在平面直角坐標系中，橫，縱坐標相等的點稱為“樸實點”，橫，縱坐標互為相反數(shù)的

點稱為“沉毅點”，把函數(shù)圖象至少經(jīng)過一個“樸實點”和一個“沉毅點”的函數(shù)稱為“樸實沉毅函數(shù)”.

(1)函數(shù)y=3x-2是一個“樸實沉毅函數(shù)”，求出該函數(shù)圖象上的“樸實點”和“沉毅點”：

(2)已知二次函數(shù)y=a(x—左圖象可以由二次函數(shù)y=-Y平移得到，二次函數(shù)y=a(x—/?)?+左

的頂點就是一個“樸實點”，并且該函數(shù)圖象還經(jīng)過一個“沉毅點”P(3,m),求該二次函數(shù)的解析式：

(3)已知二次函數(shù)y=2(x—c7+Q(c,d為常數(shù)，cwO)圖象的頂點為M,與V軸交于點N,經(jīng)過

35

點”,N的直線/上存在無數(shù)個“樸實點”，當〃z—函數(shù)y=2(x—c)~9+Q有最小值E，求

m的值.

24.如圖，AB//CD,三角形硒山的頂點E、頂點R分別在直線A3、直線CD上，點M在直線A5

與直線CD之間，ER平分NAEM.

(1)如圖(1),已知平分NEED,ZBEM=40°,則NN=°；

(2)如圖(2),已知點N為ME延長線上一點，且/BEM=NNEF=NN=20。,求NNb。的度數(shù)；

(3)在(2)間的條件下，將△HVE繞點R順時針以每秒5°的速度旋轉得到口網(wǎng)名'，當FN'落在射線

FD上時停止旋轉，直接寫出旋轉過程中N'E'與AEFM的邊平行時t的值.

第5頁/共5頁

長郡外國語實驗中學初三作業(yè)檢查練習

一、選擇題(共10小題，在下列各題的四個選項中，只有一項是符合要求的，請在答題卡中

填涂符合題意的選項，本大題共10個小題，每小題3分，共30分)

1.化簡a的結果是()

A.10B.2710C.475D.20

【答案】B

【解析】

【詳解】V40=74x10=2^/10.

2.二次函數(shù)y=(x—Ip+3圖象的頂點坐標是()

A.(1,3)B.(1,-3)C.(-1,3)D.(-1,-3)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式即可得出頂點坐標.

【詳解】Vy=(x-l)2+3,

???二次函數(shù)圖象頂點坐標為：(1,3).

故答案為A.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關鍵，即在y=a(x-h)2+k中,

對稱軸為x=h,頂點坐標為(h,k).

3.下列各組數(shù)中，以mb,c為邊的三角形不是直角三角形的是()

A.a=1.5,6=2,c=3B.a—1,6=24,c=25

C.a=6,b=8,c=10D.a=3,i>=4,c=5

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，進行計算即可解答.

【詳解】解：A.???1.52+22邦2,.?.該三角形不是直角三角形，故A選項符合題意；

B.?.?72+242=252,.?.該三角形是直角三角形，故B選項不符合題意；

C.?.?62+82=102,.?.該三角形是直角三角形，故C選項不符合題意；

D.?.?32+42=52,.?.該三角形是直角三角形，故D選項不符合題意.

第1頁/共23頁

故選：A.

【點睛】本題考查直角三角形的判定，掌握勾股定理是本題解題關鍵.

4.一次函數(shù)>=-3x+5的圖象不經(jīng)過的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】一次項系數(shù)-3<0,則圖象經(jīng)過二、四象限；常數(shù)項5>0,則圖象還過第一象限.

【詳解】解：.?.圖象經(jīng)過二、四象限；

又.?.直線與y軸的交點在y軸的正半軸上，圖象還過第一象限.

所以一次函數(shù)y=-3x+5的圖象經(jīng)過一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限.

故選C.

［點睛】一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第幾象限，取決于x的系數(shù)及常數(shù)是大于0或是小于0.可借助草圖分析解答.

5.要使式子萬行有意義，則：v的取值范圍是（）.

A.x>0B.x>-2C.x>2D.x<2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù)的條件解答.

【詳解】解：；要使收金有意義，

2—x>0,

：.x<2,

故選：D.

【點睛】此題考查了二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于等于零，熟記條件是解題的關鍵.

6.如圖，為測量位于一水塘旁的兩點A3間的距離，在地面上確定點0,分別取的中點C,。，量

得CD=20m,則A,B之間的距離是（）

A.5mB.10mC.20mD.40m

第2頁/共23頁

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查三角形中位線定理，根據(jù)三角形中位線定理解答即可，熟記三角形中位線等于第三邊的一

半是解題的關鍵.

【詳解】解：：C。分別是。4,03的中點，

CD是□A3。的中位線，

/.AB=2CD=2x20=40cm,

A3之間的距離是40cm,

故選：D.

7.一組數(shù)據(jù):5、4、3、4、6、8,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是（）

A.4.5,4B.3.5,4C.4,4D.5,4

【答案】A

【解析】

【分析】（1）把給出的此組數(shù)據(jù)中的數(shù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校捎跀?shù)據(jù)個數(shù)是6,6是偶

數(shù)，所以處于中間兩個數(shù)的平均數(shù)就是此組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（2）在此組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)就是此組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

【詳解】（1）按從小到大的順序排列為：3,4,4,5,6,8,

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是：（4+5）4-2=4.5；

（2）此組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是4,

所以4就是此組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

故選A.

【點睛】此題主要考查了中位數(shù)與眾數(shù)的意義與求解方法.

8.如圖，在平面直角坐標系中、四邊形0ABe為菱形，。為原點，A點坐標為（8,0）,ZAOC=60°,

則對角線交點E的坐標為（）

A.(4,2百)B.(254)C.(26，6)D.(6,273)

第3頁/共23頁

【答案】D

【解析】

【分析】過點E作所lx軸于點R由直角三角形的性質求出所長和。廠長即可.

【詳解】解：過點E作EFlx軸于點F,

:四邊形。42c為菱形，ZAOC=60°,

1

：.^AOE=-AAOC=30°,OBLAC,N曲￡=60°,

2

ZA￡F=30°

VA(8,0),

.\AO=8j

11

AE=—A.O——x8=4,

22

29

?*?^F=—AE=2fEF=JAE?——之2_y/_2—yfi2=2y/3

：.OF=AO-AF=S-2=6,

.?.E(6,2百).

【點睛】本題考查了菱形的性質、勾股定理及含30。直角三角形的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵.

9.如圖，一次函數(shù)為=x+）與一次函數(shù)為=近+4的圖象交于點尸（1，3）,則關于x的不等式

x+Z?>fcc+4的解集是（）

第4頁/共23頁

A.x>3B.x<3C.x>1D.x<1

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：用函數(shù)圖象，寫出一次函數(shù)必=x+6的圖象在一次函數(shù)

%=依+4的圖象上方所對應的自變量的范圍即可.

【詳解】解：根據(jù)圖象得，當x>l時，%〉%,

即：關于x的不等式％+匕>丘+4的解集為x>1.

故選C.

10.如圖，AABC為等邊三角形，點尸從點A出發(fā)沿A-3fC路徑勻速運動到點C,到達點C時停

止運動，過點尸作PQLAC于點。.若△4PQ的面積為y,AQ的長為X,則下列能反映y與X之間

【答案】D

【解析】

【分析】分兩種情況討論點尸從點A出發(fā)運動到點B之前；P點過了8點向C點運動.

【詳解】解：:△ABC為等邊三角形，「。，4。于點。,

設AQ=x,

則PQ=AQ-tan60。=6X，

點P從點A出發(fā)運動到點B之前,

第5頁/共23頁

B

???此時函數(shù)圖像為頂點在原點，開口向上的拋物線,

排除A、B：

設△ABC的邊長為相，則當x>一時，尸點過了8點向C點運動，如圖所示,

2

則CQ=m-x,

:.PQ=CQ-tan60°=V3（m-x）,

?.?y=-ixxV3zn-x、=---G---x2+,——Vsmx>

2V'22

此時函數(shù)圖像為開口向下的拋物線，

???選項C此階段的圖象仍然為開口向上的拋物線，選項D為開口向下的拋物線，

/.D正確.

故選：D.

【點睛】本題考查了動點軌跡的函數(shù)圖像，正確表示出了和x之間的關系是解題關鍵.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11-若x=夜-1，則x?+2x+1=.

【答案】2

【解析】

【分析】將爐+2%+1進行配方，然后代入％=血—1計算即可.

第6頁/共23頁

【詳解】解：X2+2X+1=(X+1)2,

將x=0—1代入(x+l)2

得(0_]+1)2=2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查了代數(shù)式求值，完全平方公式，將f+2x+l進行配方變形是解題的關鍵.

12.如圖，在平行四邊形A3CD中，A3=4cm,AD=7cm,NA5C的平分線交AD于點E,交CD的

延長線于點F,則DF=cm.

【答案】3

【解析】

【分析】先證明CB=B,再結合平行四邊形的性質，計算即可.

【詳解】解：???四邊形A3CD是平行四邊形，

BC=AD,AB//CF,AB=CD,

：.AABF=ABFC,

BF平分NABC,

：.NABF=ZCBF,

：.ZBFC=ZCBF,

CB=CF,

?：CF=CD+DF,

AD=AB+DF,

：.DF=7-4=3(cm),

故答案為：3.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，角的平分線的意義，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵.

13.二次函數(shù)y=2x2-4x+5,當-3W左4時，y的最大值是,最小值是.

【答案】①.35②.3

【解析】

第7頁/共23頁

【分析】先求出二次函數(shù)的對稱軸為直線x=2,然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性解答即可.

b-4

【詳解】解:：拋物線的對稱軸為%=--=——-=1，

2a2x2

a=2>0,

，X<1時，y隨X的增大而減小，X>1時，y隨X的增大而增大，

...在-3Wx*內(nèi)，x=l時,y有最小值，x=-3時y有最大值，分別是y=2-4+5=3和y=2x9-4x(-3)+5=35.

故答案為35,3.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)的增減性，根據(jù)函數(shù)解析式求出對稱軸解析式是解題

的關鍵.

14.如圖，拋物線y=a￡與直線y=6x+c的兩個交點坐標分別為4(-3,9),則關于x的方程

【解析】

【分析】由關于龍的方程依2一法一°=0可化為冰2=法+0,根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標可直接

求解方程的解.

【詳解】解：???拋物線丁=奴2與直線丁=以+。的兩個交點坐標分別為4(-3,9),5(1,1),

聯(lián)立二次函數(shù)及一次函數(shù)解析式可得"2=a+c,即底_打_0=0,

；?關于x的方程辦2一版-c=0的解為石=-3,赴=1;

故答案為Xi=-3,X2=1.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題是解題的關鍵.

15.設。，6是方程V+x—2024=0的兩個實數(shù)根，則/+2a+6的值為.

【答案】2023

【解析】

【分析】本題考查一元二次方程的解和根與系數(shù)的關系，先根據(jù)一元二次方程的解得到/+a=2024，

第8頁/共23頁

利用根與系數(shù)關系得到a+b=-l,則/+2。+6=("+。)+(。+4，再利用整體代入的方法計算即

可.熟練掌握一元二次方程的解及根與系數(shù)的關系是解題的關鍵.

【詳解】：。，6是方程必+%—2024=0的兩個實數(shù)根，

a2+a—2024=：0>a+b=--=-1,

a~+a=2024，

,?a~+2a+b

=(a~+a)+(a+/?)

=2024-1

=2023

故答案為：2023.

16.如圖，在平面直角坐標系中，點A(2,4)在拋物線y二。/上，過點A作〉軸的垂線，交拋物線于另一

點、B,點、C、￡>在線段A3上，分別過點C、D作x軸的垂線交拋物線于E、尸兩點.當四邊形CDFE為正

方形時，線段C。的長為.

V

【答案】-2+26

【解析】

【分析】點42,4)代入拋物線中求出解析式為丁=%2,再設CD=2x,進而求得E點坐標為(x,4-2x),代入

丁=必中即可求解.

【詳解】解：將點42,4)代入拋物線y=中，解得〃=1,

第9頁/共23頁

.??拋物線解析式為y=f,

設CD、跖分別與y軸交于點M和點N,

當四邊形CDEE為正方形時，設CD=2x,則CM=x=NE,NO=MO-MN=4-2x,

此時E點坐標為(x,4-2x),代入拋物線y=/中，

得到：4-2X=%2,

解得X]=-L+6,%=T一石(負值舍去)，

?*-CD=2x=-2+2y/5>

故答案為：—2+26.

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像上點的坐標及正方形邊長相等等知識點，屬于基礎題，熟練掌握二次函數(shù)

的圖像及性質是解決本題的關鍵.

三.解答題(本大題共8個小題，第17、18題每小題8分，第19、20、21、22題每小題9分，

第23、24題每小題10分，共72分。解時寫出必要的文字說明、證明過程或演算過程)

17.解方程：

⑴(x-l)2-l=0

⑵2X2+3%+1=0

【答案】(1)玉=2,%=。

(2)X]=——,%2=-]

【解析】

【分析】本題考查的是解一元二次方程，能根據(jù)方程的特點選擇適當?shù)慕夥匠痰姆椒ㄊ顷P鍵.

(1)利用直接開方法求解即可；

第10頁/共23頁

（2）利用因式分解法求解即可.

【小問1詳解】

解：(x-if-1=0

(1)2=1

x-l=±l

玉=2,%=0;

【小問2詳解】

解：2%2+3X+1=0

(2x+l)(x+l)=0

2x+l=0或x+l=0

18.近日遵義某中學為更好地落實“雙減”政策，提高課后服務質量，對部分家長進行關于對學校課后服務

質量滿意度的問卷調(diào)查，在此次調(diào)查中對問卷選項做了數(shù)據(jù)分析，其中A為非常滿意、B為比較滿意、C

為一般、。為不太滿意.并繪制了如下的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中的相關信息解決下列問題：

“課后服務滿意度調(diào)查”條形統(tǒng)計圖“課后服務滿意度調(diào)查”扇形統(tǒng)計圖

（1）參與這次調(diào)查的學生家長共計人，扇形統(tǒng)計圖中C所對應扇形的圓心角的度數(shù)是.

（2）將圖中的統(tǒng)計圖補充完整.

（3）若該校學生共有900名，請估計對課后服務比較滿意和非常滿意的家長共多少人？

【答案】（1）60,54°

（2）見解析（3）估計對課后服務比較滿意和非常滿意的家長共690人.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)作2的人數(shù)與所占的百分數(shù)即可得到參加此次調(diào)查的總人數(shù)，用總人數(shù)減去其它人數(shù),

求出C的人數(shù)，據(jù)此求得C所對應扇形的圓心角的度數(shù)；

（2）利用（1）的結論，從而補統(tǒng)計圖；

第11頁/共23頁

（3）用樣本估計總體即可.

【小問1詳解】

解:36+60%=60（人），即參與這次調(diào)查的學生家長共計60人，

C的人數(shù)60—10—36-5=9（人），

9

360°X—=54°,即扇形統(tǒng)計圖中C所對應扇形的圓心角的度數(shù)是54°.

60

故答案為：60,54°；

【小問2詳解】

【小問3詳解】

解：900x10+36=690（人），

60

答：估計對課后服務比較滿意和非常滿意的家長共690人.

【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，明確題意找出所求問題需要的條件是解

題的關鍵.

19.如圖，在平行四邊形A3CD中，AC=BC,M、N分別是A5和CD的中點.

（1）求證：四邊形AMCN是矩形；

（2）若NB=60。，BC=2,求平行四邊形A3CD的面積.

【答案】（1）見解析（2）2A/3

【解析】

【分析】（1）由平行四邊形的性質得出AB〃CD,AB=CD,由已知條件得出AM=,

AM=CN,證出四邊形AMCN是平行四邊形，由等腰三角形的性質得出01〃，陽，即可得出四邊形

第12頁/共23頁

AMCN是矩形；

(2)根據(jù)/8=60°,BC=2,即可得到C般和的長，再根據(jù)等腰三角形的性質即可得到A3的

長，進而得出平行四邊形A3CD的面積.

【小問1詳解】

證明：???四邊形A3CD是平行四邊形，

AB//CD,AB=CD,

'：M.N分別是A5和。。的中點，

AM=BM=-AB,CN=DN=-CD,

22

.1AM=CN,

四邊形AMCN是平行四邊形，

又?:AC=BC,

：.CM1AB,

：.ACMA=90°,

四邊形AMCN是矩形；

【小問2詳解】

解：,e?ZB=60°,BC=2,ZBMC=90°,

ZBCM=30°,

BM=—BC=1,CM=V22—I2=V3,

VAC=BC,CM!AB,

：.AB=2BM=2,

平行四邊形ABC。的面積為ABxCM=2x6=2百.

【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形“三線合一”的性質、含30°角

的直角三角形的性質及勾股定理等知識；熟練掌握平行四邊形的性質，由等腰三角形的性質得出

CMV加是解決問題的關鍵.

2

20.已知關于X的一元二次方程X+2mx+加2+根=o有實數(shù)根.

(1)求機的取值范圍；

(2)若該方程的兩個實數(shù)根分別為為、%，且才+云=12,求加的值.

【答案】(1)m<0；(2)冽=一2

第13頁/共23頁

【解析】

【分析】（1）根據(jù)方程有實數(shù)根的條件，即420求解即可；

（2）由韋達定理把芭+々和%尤2分別用含根的式子表示出來，然后根據(jù)完全平方公式將片+后=12變

形為（X1+%）2-2石々=12,再代入計算即可解出答案.

【詳解】（1）由題意可得：A=（2m）2-4（m2+m）>0

解得：m<0

即實數(shù)m的取值范圍是加<0.

（2）由％:+考=12可得：（石+%2『一2七入2=12

1

*.*%+/=—2m；x1x2-m+m

:.（-2m）2-2（療+ni）=12

解得：機=3或機=一2

m<0

m——2

即m的值為-2.

【點睛】本題主要考查的是根的判別式、根與系數(shù)的關系，要牢記：（1）當420時，方程有實數(shù)根；

（2）掌握根與系數(shù)的關系，即韋達定理；（3）熟記完全平方公式等是解題的關鍵.

21.已知拋物線丁=2必—3x+機（機為常數(shù)）與％軸交于A3兩點，且線段A3的長為g.

（1）求機的值；

（2）若該拋物線的頂點為尸，求DABP的面積.

【答案】（1）m=l

⑵工

32

【解析】

【分析】本題考查二次函數(shù)與面積綜合問題，一元二次方程根與系數(shù)的關系.

3TH

（1）令2必—3x+m=0根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得到XA+XB=5，XAXB=5，從而得到

9Q11?1

B

（xA+xBy=-,再根據(jù)線段A5的長為3,得到瓦-X|=］，進而得到（4-%）一=1,即可求解；

第14頁/共23頁

3_1

（）由（）知相=求出拋物線頂點坐標為,根據(jù)口的面積為即可求解.

211,4，-8432

【小問1詳解】

解：令2x?-3x+"z=0，

3m

..xA+xB=~,xAxB=-

29

2?2即彳:++機="

(xA+xB)'=XA+XB+2XAXB=-,4

11

/\z922,22，

\XA~XB)=+XB~^XAXB='即％T+Xj—機=[，

+42+"Z)一-+4-一=2,

【小問2詳解】

]_

解：由（1）知m=1,則拋物線為丁=2爐—3x+l=2

8

3_1

拋物線頂點坐標為

4，-8

1111

一^OABP=:明泡=；X—X—=——

22832

22.某商場將進價為25元的臺燈以40元出售，1月份銷售256個，2、3月份銷售量持續(xù)走高，在售價不

變的基礎上，3月份的銷售量達到400個.

（1）求2、3這兩個月銷售量的月平均增長率;

（2）該商場決定從4月份進行降價促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，臺燈價格在3月份的基礎上，每個降價1元，銷售

量可增加4個，若商場要想使4月份銷售這種臺燈獲利4200元，則臺燈售價應定為多少元?

【答案】⑴25%；

(2)35元.

【解析】

【分析】（1）設2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率為x,根據(jù)1月份銷售256個，2、3月份銷售

量持續(xù)走高，在售價不變的基礎上，3月份的銷售量達到400個，列一元二次方程，求解即可;

（2）設每個降價。元，根據(jù)商場要想使4月份銷售這種臺燈獲利4200元，列一元二次方程，求解即可.

【小問1詳解】

第15頁/共23頁

解：設2、3這兩個月銷售量的月平均增長率為x,

則：256（1+x）2=400,

2

（l+x）=—

16

1+x=±—

4

xx=-2.25（舍），々=0.25,

答：2、3這兩個月銷售量的月平均增長率為25%.

【小問2詳解】

解：設每個降價。元，

則：（40-67-25）X（400+4a）=4200,

整理得：/+85”450=0，

解得：ax=-90（舍），4=5，

所以售價=40-5=35元

答：售價定為35元在4月份可獲利4200元.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，理解題意并根據(jù)題意建立相應的等量關系是解題的關鍵.

23.我們不妨約定：在平面直角坐標系中，橫，縱坐標相等的點稱為“樸實點”，橫，縱坐標互為相反數(shù)的

點稱為“沉毅點”，把函數(shù)圖象至少經(jīng)過一個“樸實點”和一個“沉毅點”的函數(shù)稱為“樸實沉毅函數(shù)”.

（1）函數(shù)y=3x-2是一個“樸實沉毅函數(shù)”，求出該函數(shù)圖象上的“樸實點”和“沉毅點”：

（2）已知二次函數(shù)y=a（x—+左圖象可以由二次函數(shù)y=-Y平移得到，二次函數(shù)y=。（%一〃）？+左

的頂點就是一個“樸實點”，并且該函數(shù)圖象還經(jīng)過一個“沉毅點”P（3,m）,求該二次函數(shù)的解析式：

（3）已知二次函數(shù)y=2（x—+d（c,d為常數(shù)，cwO）圖象的頂點為V,與V軸交于點N,經(jīng)過

35

點的直線/上存在無數(shù)個“樸實點”，當〃z—函數(shù)y=2（x—c）9~+Q有最小值E，求

m的值.

【答案】（1）“樸實點”為（1』），“沉毅點”為：（J；

（2）y=—（x—l）'+1或y=6）~+6

第16頁/共23頁

、7

(3)m=±—

2

【解析】

【分析】(1)直接根據(jù)一次函數(shù)y=3x-2是一個“樸實沉毅函數(shù)”即可得出結論；

(2)先由平移確定出二次函數(shù)的。值，再由二次函數(shù)y=a(x-上的頂點就是一個“樸實點”,得

出力=左，二次函數(shù)y=a(x—〃)2+左圖象經(jīng)過一個“沉毅點”得出(3,-3),然后代入

y=-(x-k^+k,即可得出結論；

(3)由題意得，點M(c,d),求得點N的坐標為：(0,2c2+J),設直線MN的表達式為：

y=kx+2c2+d,將點M的坐標代入上式得：d=kc+2c-+d^直線MN的表達式為：

y=-2cx+2c2+d,由經(jīng)過點M,N的直線/上存在無數(shù)個“樸實點”，即丁=%,則直線和，=尤

重合，解得：C=—d=--.從而拋物線的表達式為：y=2(x+^-]—進而得％=不可能在

22{2J22

X=加—1和x=加之間.分情況討論即可得到答案.

【小問1詳解】

解：由題意得：V=x,即y=3x-2=x,

解得：％=1,

“樸實點”為(1,1),

當％+y=0時，即3%—2+x=0,

解得：X=-,

2

；?“沉毅點”為：J；

【小問2詳解】

解：二次函數(shù)y=a(x—力)？+左圖象可以由二次函數(shù)y=-f平移得到，

a=-1

則拋物線的表達式為：y^-(x-h^+k.

???拋物線的頂點就是一個“樸實點”，即〃=跖

第17頁/共23頁

拋物線的表達式為：y=—（x—

:還經(jīng)過一個“沉毅點”P（3,m）,

即加=—3,

將點（3,-3）代入拋物線表達式得：貝ij一3=—（3-+h,

解得：力=1或6,

即拋物線的表達式為：y=-（x-l）2+l^j=-（^-6）2+6；

【小問3詳解】

解：由題意得，點M（c,d）,

當x=0時，y=2（x-c）"+<7-2c~+d,

即點N的坐標為：（0,202+d）,

設直線MN的表達式為：y=kx+2c2+d,

將點M的坐標代入上式得：d=kc+2c2+d，解得：k=-2c,

直線MN的表達式為：y=-2cx+2c2+d,

???經(jīng)過點M,N的直線/上存在無數(shù)個“樸實點”，即丁=%,則直線MN和丁=%重合,

-2c=1且2c2+d=Q>

解得：c=—,d=—.

22

???拋物線的表達式為：y=+

935

??,當x工m,函數(shù)y=2（%一c）+d有最小值萬，

???拋物線在頂點處的最小值為-工，

2

X=—不可能在X=根—1和犬二機之間.

2

當加<---時，當X=機時，函數(shù)取得最小值，

2

日口」1丫135

I2J22

第18頁/共23頁

75

解得：=――,m2=—(不合題意，舍去).

[I，

當t相一I>—時,

2

當％=加一1時，函數(shù)取得最小值，

HnJ?1Y135

I2)22

75

解得：叫=5，，%=—萬(不合題意，舍去),

7

綜上所述，相=土一.

2

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象和性質在新定義中的應用，新定義“樸實點”

和“沉毅點”的理解和掌握，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵.

24.如圖，AB//CD,三角形瓦加的頂點E、頂點R分別在直線A3、直線CD上，點M在直線A5

與直線CD之間，平分NAEM.

(2)如圖(2),已知點N為MF延長線上一點，且NBEM=NNEF=NN=20。,求NNFD的度數(shù)；

(3)在(2)問的條件下，將△MVE繞點R順時針以每秒5。的速度旋轉得到口FN'E'，當MV'落在射線

FD上時停止旋轉，直接寫出旋轉過程中N'E'與AEFM的邊平行時t的值.

【答案】(1)75

(2)ZNFD=140°

(3)/=4或『=16或/=32或/'=40

【解析】

【分析】本題考查了平行性的性質，旋轉的性質，角平分線的定義等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識.

(1)過點"作MG〃A